考研高数笔记
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文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
第一章 函数、极限、连续
第1节
函数
a) 反函数和原函数关于y=x 对称。
b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。
d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶
函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。
e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为
|T/a|。
f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函
数。初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。
g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。
第2节 极限
a) 左右极限存在且相等?极限存在。
b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中
0=(x)ɑlim 0
x x →。（等价无穷小）
c) 极限存在?极限唯一。（极限唯一性）
d) A x =→)(f lim 0
x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性）
e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内f(x)
有界。（有界性）
f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么
lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B
lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b （极限的四则运算）
g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷
小和有界量乘积仍然是无穷小。 h)
)
()(lim
x g x f =l i. l=0，f(x)=o(g(x)). ii. l=∞，f(x)是g(x)低阶.
iii. 0 特别的，如果k x g x f )]([) (lim =l(l ≠0)，则称f(x)是g(x)的k 阶无穷小。 i) 等价无穷小代换： x →0时，x ~sinx ~tanx ~arcsinx ~arctanx ~e x -1~ln(1+x) 1-cosx ~2 1x 2 =》1-cos αx ~2 αx 2 x 1+-1~2 1x =》α)x 1(+-1~αx tanx-x ~3 13x x-sinx ~6 13x 特殊的，x →0时a x -1~xlna j) 只有因子才能进行等价无穷小的代换。 k) 要注重推广形式。例如【x →0时，x ~sinx 】，如果当x →x 0 时，f(x)→ 0，那么将原式中x 换成f(x)也成立。 l) 求极限的方法： i. 利用函数的连续性（极限值等于函数值）。利用极限的四则运算性 质。 ii. 抓头公式（处理多项式比值的极限）。 1. 抓小头公式。（x →0） 2. 抓大头公式。（x →∞）（分子分母同除最高次项）（极限为【最 高次项的系数比】） iii. 两个准则： 1. 夹逼准则 2. 单调有界必有极限 iv. 两个重要极限： 1. x sinx lim x →=1 （利用单位圆和夹逼准则进行证明） 2. e x x =+ ∞ →)11(lim x e =+→x 10 x ) x 1(lim （利用单调有界准则进行证明） 口诀：倒倒抄。（结合抓头公式） v. 无穷小的运算性质、等价无穷小的代换 1. 有限个无穷小之和为无穷小。有限个无穷小之积为无穷小。无穷 小与有界量乘积为无穷小。 2. 12种等价无穷小的代换。 vi. 左右极限：求分段函数分段点的极限值。 vii. 利用导数的定义求极限。导数定义：增量比，取极限。构造出“增 量比”的形式，则极限就是导数。 viii. 定积分的定义求极限。（处理多项求和的形式） ix. 泰勒公式 1. 泰勒公式中系数表达式：f (f )(f 0) f ! (f ?f 0)f 2. 当f 0=0的时候，泰勒公式则称为麦克劳林公式。 常用的麦克劳林公式： e x sinx cosx ln(x+1) (1+x)m x.洛必达法则 使用前提：（1）分子分母都趋向于0。（2）分子分母的极限都存在。（3）分子分母导数的比值为一个定值或为无穷。 第一层次 0 0∞∞ 第二层次 0*∞：转换成0 0或∞ ∞ ∞-∞：通分化为0 （常用换元的方法求解） 第三层次 1∞∞000 使用f ff进行转化。 第3节连续与间断 a)连续 某点：极限值=函数值 函数在该点连续 开区间：在该区间中每个点都是连续的，则在开区间连续。 闭区间：开区间连续切在端点连续 b)间断 第一类间断点（左右极限都存在） 可去间断点：左右极限相等 跳跃间断点：左右极限不相等 第二类间断点（左右极限至少有一个不存在） 无穷间断点：因趋于无穷而造成的不存在。 振荡间断点：因振荡而不存在。 c)初等函数的连续性 i.基本初等函数在相应的定义域内连续。 ii.区间I上的连续函数做四则运算形成的新函数在I上仍然是连续函数。 iii.连续函数经过有限次的复合仍为连续函数。 iv.原函数连续且单调，反函数必为连续且单调。 v.一切初等函数在相应定义区间内连续。 d)闭区间连续函数的性质 如果f(x)在[a,b]连续，则： 1.f(x)在[a,b]有界。 2.有最大最小值 3.介值定理 4.零点定理：f(a)*f(b)<0，a、b之间必有零点。 第二章一元函数微分学 第1节导数与微分 1导数 a)导数定义：增量比，取极限。 b)左导数和右导数存在且相等 导数存在 c)函数在某点的导数值即函数在该点的切线的斜率。 d)导数的物理意义：对路程函数中的t求导为瞬时速度.etc e) 导数的经济意义：边际成本、边际收益、边际利润。 f) 函数的相对变化率（弹性）：f f ?f′(f ) g) 可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。 h) 偶函数的导数是奇函数。 2 微分 微分定义：自变量?x沿着切线方向的增量?y。 3 求导法则 a) 导数微分表（4组16个）。 b) 导数的四则运算。 c) 反函数的导数：原函数导数的倒数。 d) 复合函数求导法则。 e) 参数方程求导：dy dx =dy dt /ff ff f) 隐函数求导：左右两侧同时求导，y 当作x 的函数处理。 g) 对数求导法 i. 幂指函数：先将等式两边同时化为ln 的真数，再运用隐函数求导法 则。 ii. 连乘函数：先将等式两边同事化为ln 的真数，变成连加，再运用隐 函数求导法则。 4 高阶导数 a) 莱布尼茨公式：[u (x )v (x )](f )=∑f f f f f =0f (f )(f )f (f ?f )(f ) b)反函数的二阶导数：?f′′(f) [f′(f)]3 c)参数方程的二阶导数：f′′f′?f′f′′ (f′)3 第2节微分中值定理 1罗尔中值定理 条件：（1）f(x)在[a,b]连续。（2）f(x)在(a,b)可导。（3）f(a)=f(b)。 结论：在a和b之间必有一个值f使得f’(f)=0。 几何意义：在该条件下的函数，必可在在其区间内找到一点使得切线斜率为0。 引申---费马引理 y=f(x)，若x 0为y=f(x)的极值点，则f’(x )=0。 2拉格朗日中值定理 条件：（1）f(x)在[a,b]连续。（2）f(x)在(a,b)可导。 结论：在a和b之间必有一个值f使得f’(f)=f(f)?f(f) f?f 。 几何意义：在该条件下的函数，必可在其区间内找到一点使得切线斜率与端点连线斜率相等。 拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广。 证明：使用曲线减去两端点连线得出一个函数，再对该函数应用罗尔中值定理。 使用该定理的信号：要求证的式子中有一个端点处函数值之差。 3柯西中值定理 条件：（1）f(x)、g(x)在[a,b]连续。（2）f(x)、g(x)在(a,b)可导。且g’(x)≠0 结论：在a和b之间必有一个值f使得f′(f) f′(f)=f(f)?f(f) f(f)?f(f) 。 柯西中值定理是拉格朗日中值定理推广。 证明：使用参数方程，将f(x)和g(x)作为参数表示。证明过程与拉格朗日中值定理相同。 使用该定理的信号：要求证的式子中有两个端点处函数值之差。 4泰勒中值定理 泰勒中值定理即带有拉格朗日余项的泰勒公式。 f(f)=∑f(f)(f0) f! (f?f0)f+ f(f+1)(f) f1 (f?f0)f+1 ∞ f=0 拉格朗日中值定理是带有拉格朗日余项的泰勒中值定理的特例。 使用该定理的信号：高阶导数。 使用方法：（1）确认n的取值，一般根据高阶导数的阶数选取。（2）确认x0的取值，一般选取题中已知导数值的点。（3）确认x的取值，一般为题中所给已知值的点或端点和极值点。 第3节微分学的应用 1单调性、极值 单调性： f’(x)>0的区间，f(x)单调增的区间；f’(x)<0的区间，f(x)单调减的区间。 极值： 极值点和导数为零的点没有充要条件关系。 可导函数的极值点，对应的导数值为0。（费马引理） 驻点（导数为0的点）不一定是极值点。 第一判定法：若在f0的邻域内，f0左右导数异号，则f0是一个极值点。 第二判定法：f0为驻点，且在f0处，f(x)的二阶导数存在。通过二阶 导数的符号进行判定。 2最值（闭区间） 最值可能出现在（1）极值点（2）区间端点。 3凹凸、拐点 凹凸： 视觉定位：俯视 凹函数：f(f1+f2 2)≤f(f1)+f(f2) 2 凸函数：f(f1+f2 2 )≥f(f1)+f(f2) 2 凹函数：f’’(x)>0 凸函数：f’’(x)<0 拐点：可能出现在f’’(x)=0或f’’(x)不存在的点，但不一定是。4渐近线 水平渐近线：当f(x)趋向于∞时，极限存在，则该极限为水平渐近线。 铅直渐近线：当f(x)趋向于f 0时，极限趋向于∞，则f 0为该函数的铅直渐近线。 斜渐近线：当f(x)趋向于∞时，f(x)-(kx+b)=0，则(kx+b)为该函数的斜渐近线。其中，k= f (f ) f ，b=lim f →∞ [f (f )?ff ]。 5 函数图像的描绘 利用极值点、拐点、与坐标轴交点、单调性、凹凸性、渐近线进行描绘。 6 曲率 弧微分：ds=√1+[f ′(f )]2 ff 曲率即：角度在单位弧长的变化。 曲率：K= ff ff =ff /ff ff /ff = |f ′′| [(1+(y ′)2] 3 2 曲率半径：ρ=1 f 曲率圆：从弧上某点出发，向凹侧沿法线方向移动ρ的长度，即得到曲率圆的圆心。 第三章 一元函数积分学 第1节 不定积分 (一) 定义 ’(x)=f(x)，称F(x)为f(x)的原函数。[F(x)+C]’=f(x)，称F(x)+C 为f(x)的原函数组。2.∫f (f )ff =f (f )+f 为f(x)的不定积分。 (二) 性质 1.∫f ′(f )ff =∫f (f )ff =f (f )+f 2.∫[f (f )ff ]′=[f (f )+f ]′=f (f ) 3.∫ff (f )ff =f ∫f (f )ff 4.∫(f 1(f )±f 2(f ))ff =∫f 1(f )ff ±∫f 2(f )ff (三) 基本几分公式 24个公式=13（基本导数表）+11（常用公式） (四) 积分方法 1.凑微分法（第一换元法） ∫f [f (f )]?f ′(f )ff =f [f (f )]+C 有13个常用公式。 2.换元法（第二换元法） ∫f (f )ff =∫f [f (f )]?f ′(f )ff =F(t)+C=F[f ?1(f )]+f f (f )可导且存在反函数。（根式换元、三角换元、倒代换） 3.分部积分法 ∫f (f )ff (f )=f (f )f (f )?∫f (f )ff (f ) 口诀：反对幂指三，谁先出现谁留下。 第2节 定积分 (一) 定义：分割，近似，求和，取极限。 几何意义：曲线与x 轴所围面积的代数和。 (二) 性质： 1. ∫f (f )ff =0f f 2. ∫f (f )ff =?∫f (f )ff f f f f 3. ∫ff (f )ff =f ∫f (f )ff f f f f 4. ∫[f 1(f )±f 2(f )]=∫f 1(f )ff ±∫f 2(f )ff f f f f f f 5. ∫f (f )ff =f f ∫f (f )ff +f f ∫f (f )ff f f 6. 若f(x)≥0，x ∈[a,b]，则∫f (f )ff ≥0f f 7. 若f(x)≥g(x) ，x ∈[a,b]，则∫f (f )ff ≥∫f (f )ff f f f f 8. m ≤f(x)≤M ，x ∈[a,b]，则m(b-a)≤ ∫f (f )ff f f ≤M(b-a) (三) 基本定理 1.积分中值定理：f(x)在[a,b]连续，则在[a,b]中存在一点ξ，使得 ∫f (x )ff =f (ξ)(b ?a )f f 常把f(ξ) 称为积分平均值。 2.变限积分：函数 变上限φ(x )=∫f (f )ff f f φ′ (f )=f (f ) 变下限φ(x )=∫f (f )ff f f φ′ (f )=?f (f ) φ(x )=∫f (f )ff f (f )f φ′(f )=f [f (f )]?f′(f ) φ(x )=∫f (f )ff f f (f ) φ′(f )=?f [f (f )]?f′(f ) φ(x )=∫f (f )ff f (f ) f (f ) φ′(f )=f [f (f )]?f ′(f )? f [f (f )]?f′(f ) 3.牛顿-莱布尼茨公式: F’(x)=f(x)则∫f (f )ff =f f f (f )|f f =f (f )?f (f ) 第3节 反常积分（广义积分） 定积分：（1）有限区间。（2）区间内有界。 (一) 无穷区间上的广义积分 ∫f (f )ff =lim f →+∞ ∫f (f )ff f f +∞ f ，若极限存在，称广义积分是收 敛的。若极限不存在，称广义积分是发散的。 ∫f (f )ff =lim f →?∞ ∫f (f )ff f f f ?∞ ，若极限存在，称广义积分是收敛 的。若极限不存在，称广义积分是发散的。 ∫f (f )ff =∫f (f )ff +∫f (f )ff +∞ f f ?∞+∞ ?∞ ，若两个广义积分极 限都存在，称原广义积分是收敛的。若至少有一个广义积分极限不存在，称原广义积分是发散的。 常用公式：∫ff f f (f >0)+∞f 当P>0时收敛，值为 f 1?f f ?1 。当p>1时发散。 (二) 无界函数的广义积分（瑕积分） f(x)在a 点无界：∫f (f )ff =lim f →0 +∫f (f )ff f f +f f f ，若极限存在， 称积分收敛。若极限不存在，称积分发散。 f(x)在b 点无界：∫f (f )ff =lim f →0 +∫f (f )ff f ?f f f f ，若极限存在， 称积分收敛。若极限不存在，称积分发散。 f(x)在c 点无界：∫f (f )ff =∫f (f )ff +∫f (f )ff f f f f f f ，若两个广义积分极限都存在，称原广义积分是收敛的。若至少有一个广义积分极限不存在，称原广义积分是发散的。 第4节 定积分的应用 (一) 微元法：U 1.确定变量x ，确定x 的范围[a,b]。 →Du=f(x)dx =∫ff =∫f (f )ff f f (二) 几何问题 1.面积： （1）直角坐标系 （2）极坐标系：S=∫ff =∫1 f 2(f )ff f f 极坐标系转化为直角坐标系：f 2=f 2+f 2,x =ρcosθ,y = ρsinθ,θ=arctan f f 2.体积： （1）截面面积已知的几何体的体积：V=∫ff =∫f (f )ff f f （2）旋转体的体积：绕x 轴转：V=∫ff 2(f )ff f f ；绕y 轴转：V=∫ff 2(f )ff f f V=∫2fff (f )ff f f 3.曲线的弧长 （1）参数方程：S=∫√[f ′(f )]2 +[f ′(f )]2 f f dt （2）直角坐标系：S=∫√1+[f ′(f )]2 f f dx （3）极坐标系：S=∫√[f ′(f )]2 +[f (f )]2 f f d θ (三) 物理问题 运用微元法三步求解。 第四章 多元函数微分学 第1节 基本概念 （1） 多元函数： 二元函数：z=f(x,y) D 定义域 几何意义：曲面 （2） 二元函数的极限： 趋向方式有无数种，若不同趋向方式得到的极限不同，则极限不存在（极限唯一性）。 （3）二元函数的连续 极限值等于函数值，则函数在该点连续。 闭区域上连续函数的性质： D为闭区域，f(x,y)在D上连续，则： 1.f(x,y)在D上有界。 2.存在最大最小值。 3.可应用介值定理。 4.可应用零点定理。 第2节偏导数与全微分 （1）偏导数：z=f(x,y) 对x的偏导数：lim ?f→0f(f+?f,f)?f(f,f) ?f =?f ?f =f f′(f,f)= f1′(f,f) 对y的偏导数：lim ?f→0f(f,f+?f)?f(f,f) ?f =?f ?f =f f′(f,f)= f2′(f,f) 二阶偏导数：若f f′f′(f,f)和f f′f′ (f,f)连续，则 f f′f′(f,f)等于f f′f′ (f,f)。 （2）全微分：z=f(x,y) 若?f=A?f+B?f+o(√?f2+?f2)则z可微。 dz=Adx+Bdy+ o(√?f2+?f2)=?f ?f ff+?f ?f dy （3）偏导数与全微分的关系 全微分存在?函数连续 全微分存在? ?f ?f 、?f ?f 存在 ?f ?f 、?f ?f 连续?可微 （4） 偏导数的计算 直接计算：对不求导的变量当作常量处理（二元→一元）。 多元复合函数求导（链式法则） =f(u,v) u=u(x,y) v=v(x,y) ?f ?f =?f ?f ??f ?f +?f ?f ??f ?f ?f ?f =?f ?f ??f ?f +?f ?f ??f ?f 画树状图找到求导路径 隐函数的偏导数 左右同时求导 多元隐函数求导公式： ?f ?f =? f f ′f f ′ ?f ?f =? f f ′f f ′ 第3节 多元函数微分学的应用（数二只要求极值、最值问题） （1） 二元函数的极值问题（无条件） 极值点：可能是一阶偏导数为零或不存在的点。 判定极值点：当求出某点可能为极值点(f 0,f 0)，带入f 0=?2f ?f 2、f 0=?2f ?f ?f 、f 0=?2f ?f 2。 计算f 02?f 0f 0。当其 小于零： f 0>0为极小值点 f 0<0为极大值点 大于零： 不是极值点 等于零： 无法判断 （2）条件极值 先构造拉格朗日函数，再求各值的偏导数。 （3）闭区域上的最值 1.先找极值。 2.边界点（条件极值）。 3.比较，选出最大最小值。 第五章重积分 第1节二重积分 （1）几何意义：f(x,y)>0，以D为底，以f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。（2）计算 a)直角坐标系下：?f(f,f)ff= f ∫ff f f ∫f(f,f)ff f2(f) f1(f) 口 诀：后积先定限 b)极坐标系下：先积r后积 θ?f(f,f)ff= f ∫ff f f ∫f(fffff,fffff)fff f2(f) f1(f) 坐标系选择： 极坐标系： 1. D：圆（环）、扇（环） (x,y)：f2+f2、f f 除此之外一般选择直角坐标系。 第六章常微分方程 第1节基本概念 1.常微分方程 含未知函数的导数的方程。 2.阶 未知函数有几阶导，就是几阶的微分方程。 3.解 通解：含有任意常数的个数与阶数相同。 特解：通解中的任意常数确定。 初始条件：y(f0)=f0，f′(f0)=f1，…，f(f?1)(f0)=f f?1 4.线性方程 y和y的各阶导数都是以一次式出现的。 第2节一阶微分方程 1.可分离变量的微分方程： 转化：ff ff =f(x)?g(x)?∫ff f(f) =∫f(f)ff 两边同时积分2.齐次微分方程： 如果ff ff =f(f f )，那么设f f =u，则y=x?u(x) 那么ff ff =u(x)+x ff ff 带入原方程 得：u+x?ff ff =f(u) ?ff f(f)?f = ff f （可分离变量） 3.一阶线性微分方程 通式：f′+P(x)?y=Q(x)，若Q(x)，则称之为一阶线性齐次微分方 程。 一阶线性齐次微分方程通解：y=C?f?∫f(f)ff 一阶线性非齐次微分方程通解： y=f?∫f(f)ff(∫f(f)?f∫f(f)ff ff+f) 第3节高阶微分方程 1.可降阶的高阶微分方程 a)f(f)=f(f) 逐次积分解决。 b)f′′=f(f,f′) 令u(x)=f′,则f′(f)=f′′。代入原式。 c)f′′=f(f,f′) 令f′=p(y),则f′′=f′(f)?p(y)。代入原式。 2.线性微分方程解的结构 通式（二阶为例）：f′′+P(x)f′+Q(x)?y=f(x) 若f(x)=0则为齐次。 （1）若y(x)为齐次的解，则ky(x)仍然是它的解。 （2）若f1(f),f2(f)是齐次的解，则f1f1(f)+f1f2(f)仍然是它的解。