三角函数综合测试题(含答案)76606

三角函数综合测试题

学生： 用时： 分数

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共18小题，每小题3分，共54分）

1.（08全国一6）2

(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数

D ．最小正周期为π的奇函数

2.（08全国一9）为得到函数πcos 3y x ?

?

=+

??

?

的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ）

A ．向左平移

π

6个长度单位 B ．向右平移

π

6个长度单位 C ．向左平移5π

6

个长度单位

D ．向右平移5π

6

个长度单位

3.(08全国二1)若sin 0α<且tan 0α>是，则α是 （ ） A ．第一象限角

B ． 第二象限角

C ． 第三象限角

D ． 第四象限角

4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．2

5.（08安徽卷8）函数sin(2)3

y x π

=+图像的对称轴方程可能是 （ ） A ．6

x π

=-

B ．12

x π

=-

C ．6

x π

=

D ．12

x π

=

6.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移

2

π

个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为 ( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x

7.（08广东卷5）已知函数2

()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ ）

A 、最小正周期为π的奇函数

B 、最小正周期为

2π

的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2

π

的偶函数

8.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 （ ）

A. －3，1

B. －2，2

C. －3，

32 D. －2，32 9.（08湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3

π

个单位长度得到图象F ′，若

F ′的一条对称轴是直线,1

x π

=

则θ的一个可能取值是 （ ）

A.512π

B.512π-

C.1112π

D.1112

π-

10.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin

2

x

f x x

x =+是 （ ）

A ．以4π为周期的偶函数

B ．以2π为周期的奇函数

C ．以2π为周期的偶函数

D ．以4π为周期的奇函数

11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则

MN 的最大值为 （ ）

A ．1

B

C

D ．2

12.（08山东卷10

）已知πcos sin 6αα??-

+= ??

?7πsin 6α??+ ??

?的值是（ ） A

．5

-

B

．

5

C ．45-

D ．45

13.（08陕西卷1）sin330?等于 （ ） A

．-

B ．12-

C ．12

D

14.（08四川卷4）()2

tan cot cos x x x += ( ) Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x 15.（08天津卷6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3

π

个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ） A ．sin 23y x x π??

=-

∈ ???R ， B ．sin 26x y x π??

=+∈

???

R ， C ．sin 23y x x π??

=+∈ ??

?

R ， D ．sin 23y x x 2π??

=+

∈ ??

?

R ，

16.（08天津卷9）设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7

c π

=，则 （ ） A ．a b c <<

B ．a c b <<

C ．b c a <<

D ．b a c <<

17.（08浙江卷2）函数2

(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 （ ）

A.

2π B .π C.32

π

D.2π 18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(2

32cos(ππ

，∈+=x x y 的图象和

直线2

1

=y 的交点个数是 （ ）

A.0

B.1

C.2

D.4 1-18题答案：

1.D

2.C

3.C

4.B

5.B

6.A

7.D

8.C

9.A 10.A 11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题3分，共 15分）.

19.（08北京卷9）若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ． 20.（08江苏卷1）()cos 6f x x πω?

?

=-

??

?

的最小正周期为

5

π，其中0ω>，则ω= ． 21.（08辽宁卷16）设02x π??

∈ ???

，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．

22.（08浙江卷12）若3

sin(

)25

π

θ+=，则cos2θ=_________。 23.（08上海卷6）函数f (x )＝3sin x +sin(π

2+x )的最大值是

19-23题答案： 19.

34 20. 10 21.3 22. 25

7- 23.2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共8小题，共81分） 24. （08四川卷17）求函数2

4

74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。 24. 解：2

4

74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-

()2272sin 24cos 1cos x x x =-+- 2272sin 24cos sin x x x =-+

272sin 2sin 2x x =-+

()2

1sin 26x =-+

由于函数()2

16z u =-+在[]11-，中的最大值为

()2

max 11610z =--+= 最小值为

()2

min 1166z =-+=

故当sin 21x =-时y 取得最大值10，当sin 21x =时y 取得最小值6

【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值； 【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；

25. （08北京卷15）已知函数2

π()sin sin 2f x x x x ωωω??

=+

??

?

（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03

??????

，上的取值范围．

25. 解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=

11

2cos 222

x x ωω=-+

π1sin 262x ω?

?=-+ ??

?．

因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以

2π

π2ω

=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262

f x x ??=-

+ ??

?． 因为2π03

x ≤≤， 所以ππ7π2666

x --≤≤，

所以1πsin 2126x ??-

- ??

?≤≤， 因此π130sin 2622x ?

?-

+ ??

?≤≤，即()f x 的取值范围为302??????

，．

26. （08天津卷17）已知函数2

2s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是

2

π

． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．

26. 解：

()2

42sin 22

4sin 2cos 4cos 2sin 22

2cos 2sin 12sin 2

2cos 12+??? ?

?

+=+??? ?

?

+=++=+++?

=πωπωπωωωωωx x x x x x x

x f 由题设，函数()x f 的最小正周期是2π，可得2

22π

ωπ=，所以2=ω．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()244sin 2+??? ?

?

+=

πx x f ．

当ππ

π

k x 22

4

4+=

+

，即()Z k k x ∈+

=

216

π

π

时，??? ?

?+44sin πx 取得最大值1，所以函数

()x f 的最大值是22+，此时x 的集合为?

??

???∈+=Z k k x x ,216|ππ

27. （08安徽卷17）已知函数()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x π

ππ

=-

+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122

ππ

-

上的值域

27. 解：（1）

()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x πππ

=-+-+

1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =

++-+

221cos 22sin cos 2x x x x =

++-

1cos 22cos 22x x x =

+-

sin(2)6

x π

=- 2T 2

π

π=

=周期∴ （2）

5[,],2[,]122636

x x ππ

πππ

∈-

∴-∈- 因为()sin(2)6

f x x π

=-在区间[,]123ππ-

上单调递增，在区间[,]32

ππ

上单调递减，

所以 当

3

x π

=

时，()f x 取最大值 1

又

1()()12

222f f π

π-

=-

<=，

∴当12

x π

=-时，()f x 取最小值2- 所以 函数 (

)f x 在区间[,]122

ππ

-

上的值域为

[2-

28. （08陕西卷17）已知函数2()2sin cos 444

x x x

f x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令π()3g x f x ?

?

=+

??

?

，判断函数(

)g x 的奇偶性，并说明理由． 28. 解：（Ⅰ）

()f x sin

22x x =π2sin 23x ??

=+ ???

． ()f x ∴的最小正周期2π

4π12

T =

=． 当πsin 123x ??+=-

???时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ??

+= ???

时，()f x 取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ??=+

???．又π()3g x f x ?

?=+ ??

?．

∴1ππ()2sin 233g x x ???

?=+

+ ???????π

2sin 22x ??

=+ ???

2cos 2x =． ()2cos 2cos ()22x x g x g x ??

-=-== ???．

∴函数()g x 是偶函数．

29. 在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=.

(Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列；

(Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S .

解：(I)由已知得：

sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=， sin sin()sin sin B A C A C +=， 2sin sin sin B A C =，

再由正弦定理可得：2b ac =， 所以,,a b c 成等比数列.

(II)若1,2a c ==，则22b ac ==，

∴2223

cos 24a c b B ac +-==，

sin C =，

∴△ABC

的面积11sin 1222S ac B ==??=

.

30. 函数()sin()16

f x A x π

ω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之

间的距离为

2

π

,

(1)求函数()f x 的解析式; (2)设(0,

)2π

α∈,则()22

f α

=,求α的值 1)1322..2()2sin(2) 1.226

A A T T f x x T πππ

πω+=∴=∴==∴==∴=-+解：（，，又函数图象相邻对称轴间的距离为半个周期，

，

12()2sin()12,sin(),

2662

0,,,.

2

6

6

3

6

6

3

f αππααπ

π

π

π

π

π

π

αααα=-+=∴-=<<

∴-

<-

<

∴-

=

∴=

（）

31.已知函数2

1

()cos

sin cos 2222

x x x f x =--.

(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域;

(Ⅱ)若()10

f α=,求sin 2α的值. (1)由已知,f(x)=2

12x cos 2x sin 2x cos 2--

2

1sinx 21cosx 121--+=）（

）（4x cos 22π+=

所以f(x)的最小正周期为2π,值域为???

?

???-22,22，

(2)由(1)知,f(α)=，）（10

2

34cos 22=+πα 所以cos(5

34

=

+

π

α). 所以）

（）（

4

2cos 22cos 2sin π

ααπα+-=+-= 257251814cos 212

=

-=+-=）（πα,