杭州初三数学二次函数练习题复习题二次函数知识点

杭州初三数学二次函数练习题复习题二次函数

知识点

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

二次函数

一、解析式的求法

一般式2y ax bx c =++???已知没有规律的三个点的坐标已知a:b:c,并且已知一个点的坐标

顶点式2()y a x m n =++?????

已知顶点及另一点的坐标已知对称轴和另外两点的坐标已知最值和另外两点的坐标

两点式（交点式）12()()y a x x x x =--

二、二次函数的图像

1、二次函数的平移问题

（1）、平移的实质：a 相同。（a 决定二次函数的形状、开口和开口的大小，其中a 决定开口的大小，a 的正负决定开口方向。注意，两个二次函数的a 相等，则这两个二次函数的形状就是相同的）

（2）、平移的规律：顶点坐标的平移。

2、二次函数的对称变换：

2222()(+)()(+)y a x m k y a x m k y y a x m k y a x m k x ?=-+=+?=-+=--?与关于轴对称与关于轴对称

3、二次函数的图像与,,a b c 及其相关代数式(2,2,4a b c a b b ac ±+±-)之间的关系

0a a a ?>???

0y ab b y ab ??对称轴在轴右侧对称轴在轴左侧0

00

y y c c y y c ?>???

22224044040x b ac b ac

x b ac x b ac ??->?-?-=???-

2+1(<1)

2

2 2

21(<1)

22

b b

a b

a a

a b a

b b

a b

a a

?

>

??

±?

?->--

??

由--可得

注意的正负

由--可得

例1、（1）已知二次函数)0

(

2≠

+

+

=a

c

bx

ax

y的图象如图所示，有下列5个结论：

①0

>

abc；②c

a

b+

<；③0

2

4>

+

+c

b

a；④b

c3

2<；⑤

)

(b

am

m

b

a+

>

+，（1

≠

m的实数）

其中正确的结论有（）

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

（2）如图4所示，二次函数2(0)

y ax bx c a

=++≠的图象经过点（－1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中－2< x1<－1，0< x2<1，下列结论：①4a－2b+c<0；②2a－b<0；③a<－1；④b2+8a>4ac。

其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个

D．4个

（3）如图，抛物线2

y ax bx c

=++与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则

①abc 0(填“>”或“<”)；②a 的取值范围是

三、二次函数的性质

①当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；在对称轴右侧，y 随x 增大而增大。它有最底点，所以存在最小值，这个最小值就是当x 取顶点横坐标，顶点纵坐标的值就是二次函数的最小值。

②当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 增大而减小。它有最高点，所以存在最大值，这个最大值就是当x 取顶点横坐标，顶点纵坐标的值就是二次函数的最大值。

例2、已知M,N 两点关于Y 轴对称，且点M 在双曲线12y x

=上，点N 在直线3y x =+上，设点M 的坐标为(,)a b ，则二次函数2()y abx a b x =-++有最大值还是最小值，那最大（小）值是多少？

四、二次函数的基本应用

1、利润问题

例3、（1）、某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月可售出400件，根据销售经验（提高销售单价会导致销售量的减少），即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，如何提高售价，才能在半月内获得最大利润？

（2）、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）。

根据图象提供的信息，解答下列问题：

① 由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数表达式；

② 求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；

③ 求第8个月公司所获利润是多少万元？

（3）、某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批量生产。已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价x为元，年销售量为y万件，年获利z（年获利＝年销售额－生产成本－投资）万元。

①试写出y与x之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）

②试写出z与x之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）

③计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元相应的年销售量分别为多少万件

④公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年年获利不低于1130万元。请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价（元）应确定在什么范围内？

2、距离(长度)问题

例4、某施工队要修建一个横截面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽OM=12米,现以O 点为原点,OM所在直线为x轴建立如图的直角坐标系.

①请直接写出点M及抛物线顶点P的坐标.

②求出这条抛物线的解析式.

③施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A、D在抛物线上,B、C在地面OM上,为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木料AB、AD、DC的长度之和的最大值.试问:其最大值是多少

20

48

39y 3、过隧道及过桥问题

例5、如图所示，隧道的截面是由抛物线和长方形构成的。长方形的宽是2米，长是8米，抛物线可用y x =-+02542.表示。

① 一辆卡车高4米，宽2米，它能通过该隧道吗？

② 如果该隧道内设双行道，那么这辆卡车能通过吗？

4、分段函数

例6、（1）、通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示注意力越集中）.当0≤x ≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x ≤20和20≤x ≤40时，图象是线段．⑴当0≤x ≤10时，求注意力指标数y 与时间x 的函数关系式；⑵一道数学综合题，需要讲解24分钟．问老师能否经过适当安排，使学生听这道题时，注意力的指标数都不低于36．

二次函数知识点总结及典型题目

二次函数知识点总结及典型题目 一.定义： 一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点. 二.二次函数2ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0

二次函数知识点总结及中考题型总结

二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结 （一）二次函数知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数， 叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2y a x h k =-+的性质：

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 22424b ac b y a x a a -??=++ ???，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为 2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当 2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时， y 有最大值2 44ac b a -．

二次函数知识点及典型例题

二次函数一、二次函数的几何变换 二、二次函数的图象和性质 (Ⅰ) y=a(x-h)2+k (a≠0)的图象和性质

(Ⅱ) y=ax2+bx+c (a≠0)的图象和性质

(Ⅲ) a 、b 、c 的符号对抛物线形状位置的影响 三、待定系数法求二次函数的解析式 1、一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式。 2、顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 3、交点式：已知图像与x 轴的交点横坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=。 4、顶点在原点，可设解析式为y=ax 2 。 5、对称轴是y 轴（或者顶点在y 轴上），可设解析式为y= ax 2 +c 。 6、顶点在x 轴上，可设解析式为()2 h x a y -=。 7、抛物线过原点，可设解析式为y=ax2+bx 。 四、抛物线的对称性 1、抛物线与x 轴有两个交点（x 1,0）（x 2,0），则对称轴为x= 2x x 2 1+。 2、抛物线上有不同的两个交点（m ，a ）（n,a ），则对称轴为x=2 n m +。 3、抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）与y 轴交点关于对称轴的对称点为(a b -, c)。

五、二次函数与一元二次方程的关系 对于抛物线c bx ax y ++=2 （a ≠0），令y=0，即为一元二次方程02=++c bx ax ，一元二次方程的解就是二次函数与x 轴交点的横坐标。要分三种情况： 1、 判别式△=b 2 -4ac ＞0?抛物线与x 轴有两个不同的交点（a b 24ac b -2+，0） （a b 24ac b --2，0）。有韦达定理可知x 1+x 2=a b - ，x 1·x 2= a c 。 2、 判别式△=b 2 -4ac=0?抛物线与x 轴有一个交点（a b 2-，0）。 3、 判别式△=b 2 -4ac=0?抛物线与x 轴无交点。 六、二次函数与一元二次不等式的关系 1、a ＞0：（1）02＞c bx ax ++的解集为：x ＜x 1或x ＞x 2（x 1＜x 2）。 （2）02 ＜c bx ax ++的解集为：x 1＜x ＜x 2（x 1＜x 2）。 2、a ＜0：（1）02＞c bx ax ++的解集为：x 1＜x ＜x 2（x 1＜x 2）。 （2）02 ＜c bx ax ++的解集为：x ＜x 1或x ＞x 2（x 1＜x 2）。 七、二次函数的应用 1、面积最值问题。 2、长度、高度最值问题。 3、利润最大化问题。 4、利用二次函数求近似解。

二次函数考点和题型归纳

二次函数考点和题型归纳 一、基础知识 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； 顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； 两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．二次函数的图象与性质 二次函数系数的特征 (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，系数a 的正负决定图象的开口方向及开口大小； (2)－ b 2a 的值决定图象对称轴的位置； (3)c 的取值决定图象与y 轴的交点； (4)b 2－4ac 的正负决定图象与x 轴的交点个数． 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ??? ?4ac －b 24a ，＋∞ ? ???－∞，4ac －b 24a 单调性 在??? ?－b 2a ，＋∞上单调递增；在????－∞，－b 2a 上单调递减 在? ???－∞，－b 2a 上单调递增；在??? ?－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ????－b 2a ，4ac －b 24a 对称性 图象关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形

二、常用结论 1．一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0，且Δ<0”． (2)“ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0，且Δ<0”． 2．二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，闭区间为[m ，n ]． (1)当－b 2a ≤m 时，最小值为f (m )，最大值为f (n )； (2)当m <－b 2a ≤m ＋n 2时，最小值为f ????－b 2a ，最大值为f (n )； (3)当 m ＋n 2<－b 2a ≤n 时，最小值为f ????－b 2a ，最大值为f (m )； (4)当－b 2a >n 时，最小值为f (n )，最大值为f (m )． 考点一 求二次函数的解析式 求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同. [典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． [解] 法一：利用二次函数的一般式 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得?? ? 4a ＋2b ＋c ＝－1， a － b ＋ c ＝－1， 4ac －b 2 4a ＝8， 解得????? a ＝－4， b ＝4， c ＝7. 故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：利用二次函数的顶点式 设f (x )＝a (x －m )2＋n .

二次函数知识点总结及典型例题

浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法--------五点作图法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2 与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 【例1】、已知函数y=x 2 -2x-3， （1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图； （2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积： （3）根据第（1）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=0；② y<0；③ y>0 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程02 =++c bx ax 有实根1x 和 2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式 ))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3）三顶点 顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我

二次函数知识点总结题型分类总结

二次函数知识点总结——题型分类总结 一、二次函数的定义 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①142 +-=x x y ； ②2 2x y =； ③x x y 422 +=； ④x y 3-=； ⑤12--=x y ； ⑥p nx mx y ++=2 ； ⑦()x y ,4=； ⑧x y 5-=。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为t t s 252 +=，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 _________ 。 3、若函数( ) 54722 2 ++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 4、若函数()1522 ++-=-x x m y m 是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 6、已知函数()35112 -+-=+x x m y m 是二次函数，求m 的值。 二、二次函数的对称轴、顶点、最值 记忆：如果解析式为顶点式：()k h x a y +-=2 ，则对称轴为： _ , 最值 为： ； 如果解析式为一般式：c bx ax y ++=2 ，则对称轴为： __ ，最值为： ； 如果解析式为交点式：()()21x x x x a y --=, 则对称轴为： ，最值为： 。 1．抛物线m m x x y -++=2 2 42经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线x x y 32+=的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线x ax y 62-=经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 5．若直线b ax y +=不经过二、四象限，则抛物线c bx ax y ++=2 ( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线()4 1 12- -+=x m x y 的顶点的横坐标是2，则m 的值是 . 7．抛物线322 -+=x x y 的对称轴是 。 8．若二次函数332 -+=mx x y 的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。 9．当n ＝______，m ＝______时，函数()()x n m x n m y n -++=的图象是抛物线，

二次函数知识点总结与典型例题讲解

二次函数知识点总结及典型例题讲解 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， （3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1 x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 三、二次函数的性质

二次函数知识点及题型归纳总结

二次函数知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、二次函数解析式的三种形式及图像 1. 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠； （2）顶点式：2 ()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程. （3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 2．二次函数的图像 二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2b x a =- ，顶点坐标为24(,)24b ac b a a --. (1) 单调性与最值 ①当0a >时，如图2-8所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时， 2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图2-9所示，抛物线开口向下，函数在(,] 2b a -∞-上递增，在[,) b -+∞上递减，当 b x =- 时，；24()4ac b f x a -=. (2) 当2 40b ac ?=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和 22(,0)M x ，1212|||||| M M x x a =-== . 二、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ， 图2-9

二次函数知识点总结及典型例题

二次函数知识点总结及典型例题 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法---五点法： 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数， （3）当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程0 2=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212 x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2 可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这 样表示。 三、抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴所在直线；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0

初中二次函数知识点及经典题型

二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式 ))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式 ))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3） 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 知识点八、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a b x 2-=时，a b a c y 442-=最值。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2- 是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，a b a c y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而 增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如 果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2 x x =时，c bx ax y ++=222最小。 知识点九、二次函数的性质 1、二次函数的性质

初中二次函数知识点详解及典型例题

知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2 与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程02 =++c bx ax 有 实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212 x x x x a c bx ax --=++，二次函数 c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3）三顶点 顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 知识点三、二次函数的最值

初中数学二次函数知识点总结及典型例题

初中数学二次函数知识点总结及典型例题 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法--------五点作图法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2 与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 【例1】、已知函数y=x 2 -2x-3， （1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图； （2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积： （3）根据第（1）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=0；② y<0；③ y>0 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，

二次函数知识点总结及相关典型题目25596解析

二次函数知识点总结及相关典型题目 一．基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 1 、 下 列函 数： ① 2 3y x ；② 21y x x x ；③ 224y x x x ④2 1y x x ；⑤ 1y x x ，其中是二次函数的是 ，其 中a ，b ，c 3、当m 时，函数2235y m x x （m 为常数）是关于x 的二次函数 4、当____m 时，函数2 2 21 m m y m m x 是关于x 的二次函数 5、当____m 时，函数2 56 4m m y m x +3x 是关于x 的二次函数 2.二次函数2ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；

二次函数知识点总结及练习题

二次函数 考点1、二次函数的概念 定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数． 注意: （1)二次函数是关于自变量x 的二次式，二次项系数ａ必须为非零实数,即a ≠０， 而b 、ｃ为任意实数。 (2）当ｂ=c=0时,二次函数2 ax y =是最简单的二次函数。 （3)二次函数c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a 自变量的取值为全体实数 （c bx ax ++2 为整式) 例1： 函数y=(m ＋２)ｘ2 2-m +2ｘ－1是二次函数,则m= ＿_＿____． 例2：已知函数y=ax 2 ＋bx ＋ｃ（其中a ，b,ｃ是常数),当ａ__＿_时，是二次函数;当ａ_＿____，b___＿＿时，是一次函数;当ａ__＿＿___，ｂ＿______,c_＿＿__＿___时,是正比例函数． 例3：函数y ＝（m-n ）x 2 ＋mx+ｎ是二次函数的条件是( ) A.m 、n 为常数,且m ≠0 ?????Ｂ.m 、n 为常数，且m ≠n C ．ｍ、n 为常数，且n ≠0 ? ??Ｄ．ｍ、n 可以为任何常数 例4: 下列函数中是二次函数的有（ ) ①y=x+ x 1；②ｙ=3(x-１)2＋2;③y=(ｘ＋3）2-2x ２ ;④y=2x 1+x. A ．１个 B.2个 C.3个 D ．4个 考点2、三种函数解析式: （1）一般式: ｙ=ax 2 +bx+c （ａ≠０),? 对称轴：直线x ＝a b 2- 顶点坐标:（ a b a c a b 4422 --， ） (2）顶点式：()k h x a y +-=2 （ａ≠０）， 对称轴:直线x=h 顶点坐标为（h ,k ) （３)交点式：ｙ=a(x-ｘ1）(x －ｘ2)(a ≠0), ? 对称轴:直线x= 2 2 x1x + （其中x1、ｘ2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标). 例１：抛物线822 --=x x y 的顶点坐标为___＿____＿__＿；对称轴是＿＿_＿__＿__＿_。 例2:二次函数y=-4(1＋2x)(ｘ-3）的一般形式是＿__＿___ 例3：已知函数2)(2 2+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称,则ｍ＝_＿_＿__＿＿； 例4：抛物线y=x 2 -４x+3与x 轴的交点坐标是＿__＿＿_. 例５:把方程x （x+2)=５(ｘ-2)化为一元二次方程的一般形式后a=____,b=_＿___,ｃ=＿＿__＿. 考点３、用待定系数法求二次函数的解析式 （1)一般式:c bx ax y ++=2 .已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式. （２）顶点式：()k h x a y +-=2 ．已知图像的顶点或对称轴或最值,通常选择顶点式． (3）交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点 式:()()21x x x x a y --=. 例1:一个二次函数的图象顶点坐标为(-5，1）,形状与抛物线y ＝2x 2 相同，这个函数解析式为_＿＿＿____＿＿_＿__. 例2：已知抛物线的顶点坐标是（－2，1)，且过点（1，－2),求抛物线的解析式。

初三数学九上二次函数所有知识点总结和常考题型练习题

二次函数知识点 12. 二次函数的性质 函数 二次函数y ax bx c =++2 a 、 b 、 c 为常数，a ≠0 y a x h k =-+()2（a 、h 、k 为常 数，a ≠0） a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0

图象 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向 下无限延伸 (1)抛物线开口向 上，并向上无限 延伸 (1)抛物线开口向 下，并向下无限 延伸 性 (2)对称轴是x＝- b a2， 顶点是 （- - b a ac b a 2 4 4 2 ， ） (2)对称轴是x＝ - b a2， 顶点是 （ - - b a ac b a 2 4 4 2 ， ） (2)对称轴是x＝ h，顶点是（h，k） (2)对称轴是x＝ h，顶点是（h，k） 质 (3)当x b a <- 2时，y随x 的增大而减小；当 x b a >- 2时，y随x的增 大而增大(3)当 x b a <- 2时，y随x 的增大而增大；当 x b a >- 2时，y随x的增 大而减小 (3)当x h <时，y 随x的增大而减 小；当x＞h时， y随x的增大而增 大。 (3)当x＜h时，y 随x的增大而增 大；当x＞h时， y随x的增大而 减小 (4)抛物线有最低点，当 x b a =- 2时，y有最小 值，y ac b a 最小值 = - 4 4 2 (4)抛物线有最高点，当 x b a =- 2时，y有最大 值， y ac b a 最大值 = - 4 4 2 (4)抛物线有最低 点，当x＝h时， y有最小值 y k 最小值 = (4)抛物线有最高 点，当x＝h时， y有最大值 y k 最大值 = 二次函数练习 一、选择题 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4

二次函数知识点总结及典型例题和练习极好

二次函数知识点总结及典型例题和练习（极好） 知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零，那么y 叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法--------五点作图法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 【例1】 已知函数y=x 2-2x-3， （1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图； （2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积： （3）根据第（1）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=0；② y<0；③ y>0 知识点二：二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：

二次函数知识点总结和题型总结

二次函数知识点总结和题型总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如 2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函 数，叫做二次函数。 这里需要强调：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 2. 二次函数 2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 例题： 例1、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。 练习、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围 为 。 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质： （技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式 y=ax 2+bx+c 则最值为4ac-b 2 4a ） 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )

二次函数知识点总结——题型分类总结

授课教师学生姓名上课时间 学科数学年级九年级课时计划第次共次提交时间学管师教学主管 课题名称二次函数知识点总结——题型分类总结 教学目标： 1. 掌握二次函数表达式的三种形式，能灵活选用三种形式提高解题效率。 2. 掌握二次函数的图像与性质，结合解析式确定图像顶点、对称轴和开口方向； 熟练掌握其与一元二次方程和一元二次不等式的关系；能通过基本性质解决图像 的系数符号问题、共存问题、对称性问题、以及应用问题。 教学重难点： 教学重点：1、二次函数的三种解析式形式 2、二次函数的图像与性质 教学难点：1、二次函数与其他函数共存问题 2、根据二次函数图像，确定解析式系数符号 3、根据二次函数图像的对称性、增减性解决相应的综合问题。 教学过程 【回顾与思考】 一、二次函数的定义 定义：一般地，如果 c b a c bx ax y, , ( 2+ + = 是常数， )0 ≠ a，那么y叫做x的二次函数. （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）精典例题： 例1：在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（）

A．2xy+x2=1 B．y2-ax+2=0 C．y+x2-2=0 D．x2-y2+4=0 考点：二次函数的定义． 分析：根据二次函数的定义对四个选项进行逐一分析即可，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 解答：解：A、2xy+x2=1当x≠0时，可化为的形式的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误； B、y2-ax+2=0可化为y2=ax-2不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误； C、y+x2-2=0可化为y=x2+2，符合一元二次方程的一般形式，故本选项正确； D、x2-y2+4=0可化为y2=x2+4的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误． 故选C． 点评：本题考查的是二此函数的一般形式，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 例2：函数y=(m+3)x m2+m-4，当m= 时，它的图象是抛物线． 考点：二次函数的定义． 分析：二次函数的图象是抛物线的，由二次函数的定义列出方程与不等式解答即可． 解答：解：∵它的图象是抛物线， ∴该函数是二次函数， ∴，解得m=2或-3，m≠-3，∴m=2． 点评：用到的知识点为：二次函数的图象是抛物线；二次函数中自变量的最高次数是2，二次项的系数不为0． 例3：若y=x m-2是二次函数，则m= 考点：二次函数的定义． 分析：根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可． 解答：解：∵函数y=x m-2是二次函数， ∴m-2=2， ∴m=4． 故答案为4． 点评：本题考查了二次函数的定义，比较简单，属于基础题． 学以致用：

二次函数知识点及解题方法总结

二次函数知识点及解题方法总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：①将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；②保持抛物线 2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 方法二： ①c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）：②c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 2. 平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前 者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．