2020-2021学年高二(上)期末数学试卷(理科)
2020-2021学年高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．若集合A={1，2，3，4}，B={2，4，7，8}，C={1，3，4，5，9}，则集合（A ∪B）∩C等于（）
A．{2，4}B．{1，2，3，4}C．{2，4，7，8}D．{1，3，4}
2．cos300°=（）
A．B．﹣ C．D．
3．函数f（x）=的值域是（）
A．{y|y≠0}B．（0，1]C．（0，1） D．[1，+∞）
4．下列函数中既是偶函数，又在区间（0，1）上是减函数的是（）
A．y=|x|B．
C．D．y=cosx
5．在等差数列{a n}中，a1=1，d=3，当a n=298时，序号n等于（）
A．99 B．100 C．96 D．101
6．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．
7．圆C1：（x﹣1）2+y2=1与圆C2：x2+（y﹣2）2=4的位置关系是（）A．相交B．相离C．外切D．内切
8．下列有关命题的说法错误的为（）
A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“|x|＜2”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件
C．命题“存在∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”D．若p∧q为假命题，则p，q均为假
9．若a=20.5，b=logπ3，c=log20.5，则（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
10．函数y=的图象大致是（）
A．B．C．D．
11．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图则输出的值为（）
（参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）
A．6 B．12 C．24 D．48
12．已知函数f（x）=，x1，x2，x3，x4，x5是方程f（x）
=m的五个不等的实数根，则x1+x2+x3+x4+x5的取值范围是（）
A．（0，π） B．（﹣π，π）C．（lgπ，1）D．（π，10）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．统计某产品的广告费用x与销售额y的一组数据如表：
2356
广告费用
x
销售额y7m912
若根据如表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是
=1.1x+4.6，则数据中的m的值应该是．
14．若幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），则f（25）的值是．
15．巳知一个空间几何体的三视图（如图），则该几何体的表面积为．
16．已知实数x，y满足，则2x﹣y的最大值为．
三、解答题（17题10分，其它各题每题12分，共70分）
17．设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）的图象过点（，﹣1）．（1）求φ；
（2）求函数y=f（x）的周期和单调增区间；
（3）在给定的坐标系上画出函数y=f（x）在区间，[0，π]上的图象．
18．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的余弦值．
19．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsinB=（2a+c）sinA+（2c+a）sinC．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若b=，A=，求△ABC的面积．
20．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知S3=6，a4=4．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=3﹣3，求证： ++…+＜．
21．设函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a≠0时，求f（x）的单调区间．
22．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为，且点（1，）在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．
2016-2017学年新疆哈密二中高二（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．若集合A={1，2，3，4}，B={2，4，7，8}，C={1，3，4，5，9}，则集合（A ∪B）∩C等于（）
A．{2，4}B．{1，2，3，4}C．{2，4，7，8}D．{1，3，4}
【考点】交集及其运算；并集及其运算．
【分析】由已知中A={1，2，3，4}，B={2，4，7，8}，根据并集的定义先计算出A∪B，再由C={1，3，4，5，9}，结合交集的定义即可得到答案．
【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={2，4，7，8}，
∴A∪B={1，2，3，4，7，8}
又∵C={1，3，4，5，9}，
∴（A∪B）∩C={1，3，4}
故选D
2．cos300°=（）
A．B．﹣ C．D．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】利用三角函数的诱导公式，将300°角的三角函数化成锐角三角函数求值．
【解答】解：∵．
故选C．
3．函数f（x）=的值域是（）
A．{y|y≠0}B．（0，1]C．（0，1） D．[1，+∞）
【考点】函数的值域．
【分析】设t=x2+1，则t≥1，代入原函数化简，由反比例函数的性质求出函数f （x）的值域．
【解答】解：设t=x2+1，则t≥1，
原函数变为y=，
由t≥1得，y=∈（0，1]，
所以函数f（x）的值域是（0，1]，
故选：B．
4．下列函数中既是偶函数，又在区间（0，1）上是减函数的是（）
A．y=|x|B．
C．D．y=cosx
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】怎么BD都正确，请查看题目
【解答】解：选项A中，y=|x|是偶函数，但在（0，1）上是增函数，
选项B中，是偶函数，在（0，1）上是减函数，
选项C中，是偶函数，但在（0，1）上是增函数，
选项D中y=cosx是偶函数，且在区间（0，1）上是减函数．
故选DD
5．在等差数列{a n}中，a1=1，d=3，当a n=298时，序号n等于（）
A．99 B．100 C．96 D．101
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由题意易得等差数列{a n}的通项，令其等于298，即可解n的值．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a1=1，d=3，
∴其通项公式a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2，
令3n﹣2=298，解得n=100，
故选B
6．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．
【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，
基本事件总数n==10，
甲被选中包含的基本事件的个数m==4，
∴甲被选中的概率p===．
故选：B．
7．圆C1：（x﹣1）2+y2=1与圆C2：x2+（y﹣2）2=4的位置关系是（）
A．相交B．相离C．外切D．内切
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】根据两圆的标准方程求出这两个圆的圆心和半径，求出圆心距，再根据两圆的圆心距C1C2与半径和与差的关系，得出结论．
【解答】解：已知圆C1：（x﹣1）2+y2=1；圆C2：x2+（y﹣2）2=4，则圆C1（1，0），C2（0，2），r2=2
两圆的圆心距C1C2==，由，故两圆相交，
故选：A．
8．下列有关命题的说法错误的为（）
A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“|x|＜2”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件
C．命题“存在∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”D．若p∧q为假命题，则p，q均为假
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】写出原命题的逆否命题，可判断A；根据充要条件的定义，可判断B；写出原命题的否定可判断C；根据复合命题真假判断的真值表，可判断D．
【解答】解：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故A正确；
“|x|＜2”?“﹣2≤x≤2“，
“x2﹣x﹣6＜0”?“﹣2≤x≤3“，
故“|x|＜2”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件，故B正确；
命题“存在∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C 正确；
p∧q为假命题，则p，q中存在假命题，但不一定均为假，故D错误；
故选：D
9．若a=20.5，b=logπ3，c=log20.5，则（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【考点】不等式比较大小．
【分析】利用指数函数和对数函数的性质即可得出．
【解答】解：∵20.5＞20=1，0＜logπ3＜logππ=1，log20.5＜log21=0，
∴a＞b＞c．
故选A．
10．函数y=的图象大致是（）
A．B．C．D．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项．
【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，
所以排除A，B
当x=1时，f（x）=0排除C
故选D
11．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图则输出的值为（）
（参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）
A．6 B．12 C．24 D．48
【考点】程序框图．
【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：
n=6，S=3sin60°=，
不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，
不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°≈12×0.2588=3.1056，
满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．
故选：C．
12．已知函数f （x ）=，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f （x ）
=m 的五个不等的实数根，则x 1+x 2+x 3+x 4+x 5的取值范围是（ ） A ．（0，π） B ．（﹣π，π） C ．（lgπ，1） D ．（π，10） 【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】作出函数的图象，根据函数图象的对称性，即可得到结论． 【解答】解：函数f （x ）=
，图象如图所示
则x 1与x 4对称，x 2与x 3对称，所以x 1+x 4=0，x 2+x 3=0，10＞x 5＞π． 所以10＞x 1+x 2+x 3+x 4+x 5＞π． 故选D ．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．统计某产品的广告费用x 与销售额y 的一组数据如表： 广告费用
x 2
3
5
6
销售额y
7
m
9
12
若根据如表提供的数据用最小二乘法可求得y 对x 的回归直线方程是=1.1x +4.6，则数据中的m 的值应该是
8 ． 【考点】线性回归方程．
【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得m 的值． 【解答】解：由题意， =4， =7+，
∵y对x的回归直线方程是=1.1x+4.6，
∴7+=4.4+4.6，∴m=8，
故答案为8．
14．若幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），则f（25）的值是．
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．
【分析】设出幂函数f（x）=xα，α为常数，把点（9，）代入，求出待定系数α的值，得到幂函数的解析式，进而可
求f（25）的值．
【解答】解：∵幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），设幂函数f（x）=xα，α为常数，
∴9α=，∴α=﹣，故f（x）=，∴f（25）==，
故答案为：．
15．巳知一个空间几何体的三视图（如图），则该几何体的表面积为．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中三视图可得该几何体是一下底面半径R=1，高h=的半圆锥，分别求出半圆锥三个面的面积，累加可得几何体的表面积
【解答】解：由已知的三视图，可得该几何体是一下底面半径R=1，高h=的半圆锥，则圆锥的母线长l=2
半圆锥的底面积S1=
半圆锥的曲侧面面积S2=?2=π
半圆锥的轴截面面积S3=×2×=
故该几何体的表面积S=S1+S2+S3=
故答案为：
16．已知实数x，y满足，则2x﹣y的最大值为．
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据条件画出可行域，再利用z=2x﹣y，几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=2x﹣y，过可行域内的点B时的最大值，从而得到z最大值即可．
【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三
角形，
平移直线2x﹣y=0经过点B（，）时，2x﹣y最大，最大值为：，
则目标函数z=2x﹣y的最大值为：．
故答案为：．
三、解答题（17题10分，其它各题每题12分，共70分）
17．设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）的图象过点（，﹣1）．（1）求φ；
（2）求函数y=f（x）的周期和单调增区间；
（3）在给定的坐标系上画出函数y=f（x）在区间，[0，π]上的图象．
【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．
【分析】（1）根据题意可得，结合φ的范围可得k=﹣1，φ=．（2）利用求周期的公式可得周期；利用整体思想结合正弦函数的性质可得
，进而得到函数的增区间．
（3）求出x与y的取值结合五点作图法，即可画出函数的图象．
【解答】解：（1）∵f（x）的图象过点（，﹣1）．
∴sin（2×φ）=﹣1，
∴，
所以，
因为﹣π＜φ＜0，所以k=﹣1，φ=．
（2）T=，
由（1）知φ=，所以f（x）=sin（2x），
由题意得，
解得：，
所以函数f（x）=sin（2x）的单调增区间为．（3）
x0π
f（x）=sin（2x）﹣1010
故函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象是：
18．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出BC⊥AB，BC⊥PA，由此能证明BC⊥平面PAB．
（Ⅱ）延长BA，CD交于Q点，过A作AH⊥PQ，垂足为H，连DH，则∠AHD 是面PCD与面PBA所成的二面角的平面角，由此能求出面PCD与面PAB所成二面角的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．
∴BC∥AD且∠DAB=90°，BC⊥AB，
又PA⊥平面ABCD，∴BC⊥PA，
而PA∩PB=A，∴BC⊥平面PAB…
（Ⅱ）延长BA，CD交于Q点，过A作AH⊥PQ，垂足为H，连DH，
由（Ⅰ）及AD∥BC知：AD⊥平面PAQ，
∴AD⊥PQ且AH⊥PQ，
∴PQ⊥平面HAD，即PQ⊥HD．
∴∠AHD是面PCD与面PBA所成的二面角的平面角．…
由题意得，，∴，
∴，∴cos∠AHD=．
∴面PCD与面PAB所成二面角的余弦值为．
19．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsinB=（2a+c）sinA+（2c+a）sinC．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若b=，A=，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理的应用．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理，化简整理a2+c2﹣b2+ac=0，再由余弦定理，求得角B 的大小，
（Ⅱ）由三角行的内角和定理，求得C及sinC，再由正弦定理，求得c的值，可求得三角形的面积．
【解答】（Ⅰ）解：∵2bsinB=（2a+c）sinA+（2c+a）sinC，
由正弦定理得，2b2=（2a+c）a+（2c+a）c，…
化简得，a2+c2﹣b2+ac=0．…
∴．…
∵0＜B＜π，
∴B=．…
（Ⅱ）解：∵A=，∴C=．…
∴sinC=sin==．…
由正弦定理得，，…
∵，B=，
∴．…
∴△ABC的面积=．…
20．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知S3=6，a4=4．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=3﹣3，求证： ++…+＜．
【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．
【分析】（1）根据等差数列的性质和求和公式可得到关于首项和公差的方程组，解得即可，
（2）先判断出{}是等比数列，再根据等比数列的求和公式和放缩法即可证明．【解答】解：（1）设公差为d，则，
解得，
∴a n=n．
（2）证明：∵b n=3﹣3=3n+1﹣3n=2?3n，
∴=，
∴{}是等比数列．
∵=，q=，
∴++…+==（1﹣）＜．
21．设函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a≠0时，求f（x）的单调区间．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）写出a=0的f（x），求出导数，注意x＞0，分别令导数大于0，小于0，从而确定极值；
（Ⅱ）求出导数，并因式分解成（2x﹣1）（ax+1），讨论a＞0，a＜0分a=﹣2，a＞﹣2，a＜﹣2三种情况，求出单调区间，应注意x＞0．
【解答】解：（Ⅰ）a=0时，f（x）=2lnx+（x＞0），
∴f′（x）=﹣=，
f′（x）＞0，得x＞；f′（x）＜0，得0＜x＜，
则x=是极小值点，且f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．
（Ⅱ）当a≠0时，f′（x）=+2a（x＞0）
=（2x﹣1）（ax+1），
当a＞0时，f′（x）＞0，得x＞；f′（x）＜0，得0＜x＜，
当a＜0时，①a=﹣2，f′（x）≤0，在x＞0恒成立；
②a＜﹣2，f′（x）＜0，得x＞或0＜x＜﹣；f′（x）＞0，得﹣＜x＜，
③﹣2＜a＜0，f′（x）＜0，得0＜x＜或x＞﹣；f′（x）＞0，得＜x＜﹣．综上，可得当a＞0时，f（x）的增区间为（，+∞），减区间为（0，），
当a=﹣2时，只有减区间（0，+∞），
当a＜﹣2时，增区间为（﹣，），减区间为（，+∞），（0，﹣），
当﹣2＜a＜0时，增区间为（），减区间为（0，），（﹣，+∞）．
22．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为，且点（1，）在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．
【考点】椭圆的标准方程；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）设出椭圆的标准方程，根据离心率求得a和c关系，进而根据a2=b2+c2，求得a和b的关系，把点C坐标代入椭圆方程求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）先看当l与x轴垂直时，可求得A，B的坐标，进而求得三角形AOB的坐标，不符合题意；再看直线l斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），进而求得x1+x2和x1x2的表达式，进而表示出|AB|，进而求得圆的半径后表示出三角形AOB的面积，求得k，进而求得圆的半径，则圆的方程可得．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意可得，
又a2=b2+c2，所以
因为椭圆C经过（1，），代入椭圆方程有
解得a=2
所以c=1，b2=4﹣1=3故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）当直线l⊥x轴时，计算得到：，
，不符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），k≠0
由，消去y，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
又
=
=
即
又圆O的半径
所以
化简，得17k4+k2﹣18=0，即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得（舍）
所以，，故圆O的方程为：．
2017年3月22日