《平面向量及其应用》单元测试题百度文库

一、多选题

1．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）

A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+

B ．若0?=?=a b a c ，则//b c

C ．若////a b c ，则a b c a b c =++++

D ．若0a b ?=，则a b a b +=- 2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ?≤

B ．若a b c b ?=?且0b ≠，则a c =

C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向

D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是

5,3??-+∞ ???

3．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 方向上的投影为5

C ．2m +n =4

D ．mn 的最大值为2

4．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB +=

D ．0PA PB PC ++=

5．ABC 中，4a =，5b =，面积53S =，则边c =（ ） A ．21 B ．61

C ．41

D ．25

6．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，

则（ ）

A ．12AF AD A

B =+

B ．1

()2

EF AD AB =

+ C ．21

33

AG AD AB =-

D ．3BG GD =

7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）

A ．2OA OD ?=-

B ．2OB OH OE +=-

C ．AH HO BC BO ?=?

D ．AH 在AB 向量上的投影为2-

8．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ） A ．5B ．

23

C ．23

-

D 59．（多选题）下列命题中，正确的是（ ） A ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b +≤+； B ．若0a b ?=，则00a b ==或； C ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b ?≤ D ．若,a b 共线，则||||a b a b ?=±

10．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa b

B ．若a b ⊥，则a b a b +=-

C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为a

D ．若存在实数λ使得λa

b ，则a b a b +=-

11．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ） A ．00a ?= B ．()

()

a b c a b c ??=?? C ．0a b a b ?=?⊥

D ．(

)(

)

22

b b a b a a +-=?-

12．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等

B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量

C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >

D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 13．化简以下各式,结果为0的有( ) A ．AB BC CA ++ B ．AB AC BD CD -+-

C ．OA O

D AD -+

D ．NQ QP MN MP ++-14．题目文件丢

失！

15．题目文件丢失！

二、平面向量及其应用选择题

16．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45?，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75?，则山高BC =（ ）

A ．500米

B ．1500米

C ．1200米

D ．1000米

17．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则

::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）

A ．1∶2∶3

B ．1∶2∶1

C ．2∶1∶1

D ．1∶1∶2

18．下列说法中说法正确的有（ ）

①零向量与任一向量平行；②若//a b ，则()a b R λλ=∈；

③()()a b c a b c ??=??④||||||a b a b +≥+；⑤若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④

B ．①②④

C ．①②⑤

D ．③⑥

19．设θ为两个非零向量,a b →→

的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →

→

-的最小值为1，则（ ）

A ．若θ确定，则||a →

唯一确定 B ．若θ确定，则||b →

唯一确定 C ．若||a →

确定，则θ唯一确定

D ．若||b →

确定，则θ唯一确定

20．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为

S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）

A ．43

-

B ．34

-

C ．

34

D ．

43

21．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，42c =，

45B =?，则sin C 的值等于（ ）

A ．

441

B ．

45

C ．

425

D ．

441

22．在ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是（ ） A ．2

3BG BE = B ．2CG GF = C ．1

2

DG AG =

D ．0GA GB GC ++=

23．在ABC ?中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形

D ．等腰或直角三角形

24．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且

3

03

aGA bGB cGC ++

=.则BAC ∠等于（ ） A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

25．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（ ） A ．4 B ．72

C ．

258

D ．

25

9

26．题目文件丢失！

27．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15?的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60?和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）

A ．

33

23

B ．

53

23

C ．

73

23

D ．

83

23

28．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且

2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）

A ．

34

B ．

58

C ．38

D ．

23

29．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足1

2

BD DC =

，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）

A ．m n +是定值，定值为2

B ．2m n +是定值，定值为3

C ．

11

m n +是定值，定值为2 D ．

21

m n

+是定值，定值为3 30．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=?，2AB BC ==，1AD =，则

BD AC ?=（ ）

A ．2-

B ．3-

C ．2

D ．5

31．已知,m n 是两个非零向量，且1m =，2||3m n +=，则||+||m n n +的最大值为 A ．5

B ．10

C ．4

D ．5

32．如图所示，设P 为ABC ?所在平面内的一点，并且11

42

AP AB AC =+，则BPC ?与ABC ?的面积之比等于（ ）

A ．

2

5

B ．

35

C ．

34

D ．

14

33．在ABC ?中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ?的外心，若

AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）

A ．

34

B ．

53

C ．

73

D ．

8

3

34．设ABC ?中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）

A ．1233A

B A

C -

+ B ．

21

33AB AC - C ．1233

AB AC -

D ．21

33

AB AC -

+ 35．已知ABC 的面积为30，且12

cos 13

A =，则A

B A

C ?等于（ ） A ．72

B ．144

C ．150

D ．300

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．BD 【分析】

假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】

A 选项，若与共线，与，都 解析：BD 【分析】

假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】

A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；

B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0?=?=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以

//b c ，即B 正确；

C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出

a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；

D 选项，若0a b ?=，则(

)

2

2

2

2

2

2a b a b

a b a b a b

+=+=++?=

+，

(

)

2

2

2

2

2

2a b a b

a b a b a b -=

-=+-?=

+，所以a b a b +=-，即D 正确.

故选：BD.

本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.

2．AC 【分析】

根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】

对于A ，由平面向量数量积定义可知

解析：AC 【分析】

根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】

对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ?=，则||||||a b a b ?≤，所以A 正确，

对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，

对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即

22||||a b a b -?=，cos 1θ=-，

则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ?+>即2||0a a b λ+?>可得530λ+>，解得53

λ>-

， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+?= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时5

3

λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】

本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.

3．CD 【分析】

对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；

对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】 对于A ，向量(

【分析】

对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断. 【详解】

对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ?=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；

对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为2

2

a b b

?=

，错误；

对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；

对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12=

(2m ?n )12

≤ (

22m n +)2

=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD. 【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.

4．CD 【分析】

转化为，移项运算即得解 【详解】 由题意： 故 即 , 故选：CD 【点睛】

本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.

解析：CD 【分析】

转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解 【详解】

由题意：3AB AC AP +=

故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=

0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=

故选：CD 【点睛】

本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.

5．AB 【分析】

在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】

中，因为，，面积， 所以， 所以，解得或，

当时，由余弦定理得：， 解得，

当时，由余弦定理得：， 解得 所以或

解析：AB 【分析】

在ABC 中，根据4a =，5b =，由1

sin 2

ABC

S

ab C =

=60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.

【详解】

ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABC

S

=

所以1

sin 2

ABC

S

ab C =

=

所以sin 2

C =

，解得60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，

解得c =

当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，

解得c =

所以c =c =故选：AB

【点睛】

本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

6．AB 【分析】

由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误 【详解】 ，即A 正确 ，即B 正确

连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示

由其性质有 ∴，即C 错误 同理 ，

解析：AB 【分析】

由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+

、1

()2

EF AD AB =+、21

33AG AD AB =

+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 11

22

AF AD DF AD DC AD AB =+=+

=+，即A 正确 11

()()22

EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确

连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示

由其性质有

||||1

||||2

GF GE AG CG == ∴211121

()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =

+=++=+，即C 错误 同理21212

()()33333

BG BF BA BC CF BA AD AB =

+=++=-

211()333DG DF DA AB DA =

+=+，即1

()3

GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误 故选：AB 【点睛】

本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系

7．AB 【分析】

直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】

图2中的正八边形，其中， 对于；故正确． 对于，故正确．

对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于

解析：AB 【分析】

直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】

图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，

对于3:11cos

4A OA OD π=??=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．

对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32

||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】

本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

8．AD 【分析】

利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】

由正弦定理，可得， ，则，所以，为锐角或钝角.

故选：AD. 【点睛】

本题考查利用正弦定理与同

解析：AD 【分析】

利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】

由正弦定理sin sin b a B A

=，可得1

20sin 22sin 153

b A B a ?

===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.

因此，cos 3

B ==±. 故选：AD. 【点睛】

本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.

9．ACD 【分析】

利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项. 【详解】

由向量加法的三角形法则可知选项A 正确； 当时，，故选项B 错误； 因为，故选项C 正确； 当共线同向时，， 当共线反

解析：ACD 【分析】

利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项. 【详解】

由向量加法的三角形法则可知选项A 正确； 当a b ⊥时，0a b ?=，故选项B 错误；

因为||cos ||||a b a b a b θ?=≤，故选项C 正确； 当,a b 共线同向时，||||cos 0||||a b a b a b ?==，

当,a b 共线反向时，||||cos180||||a b a b a b ?=?=-，所以选项D 正确. 故选：ACD.

本题考查向量加法的性质以及对向量数量积的运算规律的辨析，注意数量积运算有交换律，但没有消去律，本题属于基础题.

10．AB 【分析】

根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】

当时，则、方向相反且，则存在负实数

解析：AB 【分析】

根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】

当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A

选项正确，D 选项错误；

若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】

本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.

11．AB 【分析】

利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】

对于A 选项，，A 选项错误；

对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误； 对于C 选项，

解析：AB 【分析】

利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】

对于A 选项，00a ?=，A 选项错误；

对于B 选项，()

a b c ??表示与c 共线的向量，()

a b c ??表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；

对于C 选项，0a b a b ?=?⊥，C 选项正确；

对于D 选项，(

)()

2

2

22a b a b a b a b +?-=-=-，D 选项正确. 故选：AB. 【点睛】

本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.

12．AD 【分析】

利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】

单位向量的模均为1，故A 正确； 向量共线包括同向和反向，故B 不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确； 根据

解析：AD 【分析】

利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】

单位向量的模均为1，故A 正确； 向量共线包括同向和反向，故B 不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确； 根据相等向量的概念知，D 正确. 故选：AD 【点睛】

本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．

13．ABCD 【分析】

根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】 ; ; ;

.

故选：ABCD 【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.

解析：ABCD 【分析】

根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】

0AB BC CA AC CA ++=+=;

()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=; ()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=; 0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.

故选：ABCD 【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.

14．无 15．无

二、平面向量及其应用选择题

16．D 【分析】

作出图形，过点S 作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，依题意可求得SE 在BDS ?中利用正弦定理可求BD 的长，从而可得山顶高BC ． 【详解】

解：依题意，过S 点作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，

30SAE ∠=?，1000AS =米，sin30500CD SE AS ∴==?=米，

依题意，在Rt HAS ?中，453015HAS ∠=?-?=?，sin15HS AS ∴=?， 在Rt BHS ?中，30HBS ∠=?，22000sin15BS HS ∴==?， 在Rt BSD ?中，

sin75BD BS =?2000sin15sin75=??2000sin15cos15=??1000sin30=??500=米， 1000BC BD CD ∴=+=米，

故选：D ． 【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题． 17．B 【分析】

延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。 【详解】

延长PB 至D ，使得2PD PB =，于是有0PA PD PC ++=，即点P 是ADC 的重心，依据重心的性质，有PAD PAC PDC S S S ==△△△.由B 是PD 的中点，得

::1:2:1PAB PAC PBC S S S =△△△.

故选：B 【点睛】

本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。另外本题是奔驰定理直接推导得出。 18．A 【分析】

直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】

对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；

对于②：若//a b ，则()a b R λλ=∈，必须有0b ≠，故②错误； 对于③：()()

a b c a b c ??=??，a 与c 不共线，故③错误； 对于④：a b a b +≥+，根据三角不等式的应用，故④正确；

对于⑤：若0AB BC CA ++=，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】

本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 19．B 【分析】

2

2

22

||2b ta b a bt a t -=-?+，令2

22

()2f t b a bt a t =-?+，易得2cos b a b t a a

θ

?==

时，222min 2

44()()14a b a b f t a

-?==，即222

||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】

2222||2b ta b a bt a t -=-?+，令222()2f t b a bt a t =-?+，因为t R ∈，

所以当2cos b a b t a a

θ

?==时，222min 2

44()()4a b a b f t a -?=，又||b t a →→-的最小值为1， 所以2

||b ta -的最小值也为1，即222

min

2

44()()14a b a b f t a

-?==，222||cos 1b b θ-=，

所以2

2

||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ

=，故若θ确定，则||b →

唯一确定. 故选：B 【点睛】

本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 20．A 【分析】

由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan

2

C

，从而求得tan C ． 【详解】

∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即2221

2sin 22

ab C a b ab c ??=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ?-=+-，

又222sin 2sin cos 1222

a b c ab C ab C

C ab ab +-?-===-，∴sin cos 12C C +=

， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan

2242tan 1231tan 2

C

C C ?===---， 故选：A ．

【点睛】

本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力． 21．B 【分析】

在三角形ABC 中，根据1a =，c =45B =?，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦

定理

sin sin b c

B C =求解. 【详解】

在三角形ABC 中， 1a =

，c =45B =?， 由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，

13221252

=+-??=， 所以5b =， 由正弦定理得：

sin sin b c

B C

=，

所以

2

sin 42sin 55

c B

C b

=

==， 故选：B 【点睛】

本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 22．C 【分析】

由三角形的重心定理和平面向量的共线定理可得答案． 【详解】

ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，可得G

为重心，则23BG BE =，2CG GF =，1

2

DG GA =且0GA GB GC ++=

故选：C 【点睛】

本题考查了三角形的重心定理和向量共线定理，属于中档题． 23．D 【分析】

首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果． 【详解】

解：已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，

所以：22A B =或21802A B =?-，解得：A B =或90A B +=? 所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形 故选：D ． 【点评】

本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 24．D

【分析】

由点G是ABC的重心可得0

GA GB GC

++=,即GA GB GC

=--,代入

3

aGA bGB cGC

++=中可得

3

()0 b a GB c a GC

??

-+-

=

?

?

??

,由,

GB GC不共线可得

b a

a

-=

?

-=

,即可求得,,

a b c的关系,进而利用余弦定理求解即可

【详解】

因为点G 是ABC的重心,所以0

GA GB GC

++=,

所以GA GB GC

=--,

代入

3

3

aGA bGB cGC

++=可得

3

()0

3

b a GB

c a GC

??

-+-=

?

?

??

,

因为,

GB GC不共线,所以

3

b a

c a

-=

?

-=

?

,

即

b a

c

=

??

?

=

??

,所以

222

cos

2

b c a

BAC

bc

+-

∠==,故30

BAC?

∠=,

故选:D

【点睛】

本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角

25．C

【分析】

在ABC中，根据5

AB AC

==，6

BC=，由余弦定理求得

7

cos

25

A=，再由平方关

系得到sin A，然后由正弦定理2

sin

BC

R

A

=求解.

【详解】

在ABC中，5

AB AC

==，6

BC=，

由余弦定理得：

222222

5567

cos

225525

AB AC BC

A

AB AC

+-+-

===

???

，

所以

24

sin

25

A==，

由正弦定理得：

625

2

24

sin4

25

BC

R

A

===

，

所以

25

8

R=，

此三角形的外接圆半径是258

故选：C 【点睛】

本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

26．无

27．B 【分析】

如解析中图形，可在HAB ?中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ?中求出直角边

HO 即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】

如图，由题意45,105HAB HBA ∠=?∠=?，∴30AHB ∠=?， 在HAB ?中，

sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102

sin 45sin 30HB =

??

，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=?=，

10353

4623

v =

=

/秒）． 故选B ． 【点睛】

本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件． 28．A 【分析】

设出()()()

11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得

()21

13

m AP AB m AD +=

+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，

所以()()()

11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+， 因为2CF DF =，所以11

33

DF DC AB =

=，