近世代数学习指导(09级版)

近世代数学习指导

1. 判断下列二元关系是否是等价关系:

设)},(),,(),,(),,{(},,,{1b b a a a b b a R c b a A ==；

)},(),,(),,(),,(),,{(2c c b b a a a b b a R =；

)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(3b c c b a b b a c c b b b a R =；

)},(),,(),,(),,(),,(),,{(4c a c b b a c c b b b a R =.

提示:1R 不是等价关系，因为1),(R c c ?，即不具有反身性，尽管具有对称性、传递性；2R 是等价关系，因为具有反身性、对称性、传递性；3R 不是等价关系，因为3),(R c a ?，即不具有传递性,尽管具有反身性、对称性；4R 不是等价关系，因为4),(R b c ?，即不具有对称性,尽管具有反身性、传递性．

2.设==A Z A ,{所有偶数},?是普通数的乘法.证明:),(?A 与),(?A 不同构.

提示 若),(?A 与),(?A 同构,设φ是使其同构的同构映射.

设m n 21,21 -,那么)2)(2()1()1())1(1()1(m n =-=-=-φφφφ,所以m m n 202)(2(=.若0≠m ,则12=n ,显然矛盾；若0=m ,即0)1(=-φ,则0)1()1()1(=--=φφφ,这样就有-1,1的象都是0,这与φ是一一映射矛盾.所以, ),(?A 与),(?A 不同构.

3．设},,{c b a A =，A 的代数运算 由下表给定：

1. 集合A 上的变换有几个？集合A 上的单变换有几个？

2. 定义在A 上的自同态映射有几个？

3. 定义在A 上的自同构有几个？并具体写出来？

提示：1. 27;6 2. 9 3. 2；c c b b a a ,,:σ；c c a b b a ,,:τ

4.分别举一个无单位元、有左单位元但无单位元、有单位元的半群的例子.

提示 ?,2Z 是无单位元的半群；设}2,1,|)0

0{(21

=∈=i Q a a a S i ，),(οS 是具有左单

位元001x

但无单位元的半群；?,Z ,其中,,ο?分别表示数的普通乘法、矩阵的普通乘法.

5.一个有限群的每一个元的阶都有限.

提示 设G 是有限群，任取G a ∈,则 ,,,32a a a 不能全不相同,因G 中只有有限个元素之故．设j i a a j i >=,,则k j i e a j i =-=-,是自然数．命

},|{N k e a k A k ∈==,则A 非空,而自然数的非空集合有最小元,设A 的最小元为m ,则e a m =,即m 是a 的周期.

6.设G 群除单位元以外的每一个元的周期均为2,则G 是交换群.

提示 G a ∈?,因e a =2,而e aa =-1,故12-=aa a ,由消去律知a a =-1；任取G b a ∈,则有11,--==b b a a ,又ba a b ab ==---111)(,但G ab ∈,故ab ab =-1)(进而, ba a b ab ab ===---111)(，即G 是交换群.

7.设a 的周期为m ,b 的周期为n ,1),(=n m ,且ba ab =,则ab 的周期为mn .

提示 设ab 的周期为k .由于e b a ab m n m n m n ==)(,故mn k |,又

km km km km b b a ab ==)(,而e ab km =)(,故km n e b km |,=,但1),(=n m ,故k n |.同样可得k n |,再一次利用1),(=n m ,有k mn |,则有k mn =,即ab 的周期为mn .

8.证明：阶是素数p 的群G 一定是循环群.

提示 因1>p ,故存在G a ∈,a 的周期为1>m ,又p m |,而p 是素数,则p m =,即)(a G =.

9. 假定群G 的元a 的周期是n .证明r a 的周期是

d n ,这里),(n r d =是r 和n 的最大公因子.

提示 首先e a a a d r n d nr d n r ===)()

(；其次,若有自然数m ,使得e a m r =)(,则e a m r =,故rm n |,又d r n =),(,故有整数t s 、,使得td r sd n ==,,且1),(=t s ,那么td m sd |,即tm s |,但1),(=t s ,故m s |,即m d n |,从而d

n a r =)(ο. 10. 假定群G 的阶为n ,且)(a G =.证明：)(r a G =,这里1),(=n r .

提示 因1),(=n r ,故存在整数t s 、,使得1=+nt rs ,这样G a m ∈?,有

m s r m t n m s r m nt m rs m a a a a a )()()(===+,故r a 是G 的一个生成元,从而)(r a G =．

11.已知置换)15243(1234544321),45)(123(=???

? ?

?==πσ (1)求σ的阶； 提示 因为2))45((,3))123

((==οο,且)123)(45()45)(123(=,1)3,2(= 故6))45)(123

((=ο． (2)求1-πσπ及其阶；

提示 因为)34251(1=-π,故)23)(154(1=-πσπ,从而6))45)(123((=ο.

(3)将1-πσπ表示成形式为)1(i 的2轮换的乘积.

提示 因为))()(()(2111121i i i i i i i i i k k k -= ,)1)(1)(1()(i j i ij =,所以

)12)(13)(12)(15)(14()23)(154(1==-πσπ.

12．设7,S ∈τσ，其中???

? ??=57316427654321σ，)45)(123(=τ. 1. 将置换σ分解为不相交轮换的乘积，并求该置换的阶;

2. 求1-τστ

及其阶; 3. 将1

-τστ表示成形式为(1i)的2轮换的乘积. 提示：1.)3675)(124(=σ，12||=σ ；2. )45)(132()45)(123(1στστ=-)235)(1674

(= ； （或)45)(132()45)(123(1στστ

=-)2674)(153(=，12||1=-τστ 3. )23)(25)(16)(17)(14(1=-τστ)12)(13)(15(12)(16)(17)(14(= ；

13．求模6加群66(,)Z +的每个元的阶及生成元。

解：

14．设G 是群，,a b G ∈，并且||3,||2a b ==，ba ab =，求由,a b 生成的子群(,)a b 。 解：按定义1212(,){|,}s n

n n s i i a b x x x x a b n Z ==∈ 或。由于ba ab =，并且 ||3,||2a b ==，从而(,)a b 的任一元素可表为：,0,1,2,0,1,i j h a b i j ===

所以(,)a b 的阶最多是6。又因(||,||)1,a b ba ab ==，所以||||||6ab a b ==，

因此知(,)a b 是由ab 生成的循环群，其元素为

0()e ab =，ab ，22()ab a =，3()ab b =，4()ab a =，52()ab a b =。

15．设9次置换???

? ??=249816735987654321σ， （1）将σ表成互不相交的轮换乘积；

(2) 将σ表示成形式为对换的乘积；

(3)求出σ的逆与σ的阶。

提示：（1）(15)(2379)(468),σ=（2）)46)(48)(23)(27)(29)(15(=σ

（3）1(15)(9732)(864),||12σσ-==。

16．设3S 是三次对称群，)}12(),1{(=H 是3S 的子群。

（1）求出3S 关于H 的所有左陪集和右陪集；

（2） 写出3S 的所有子群与正规子群。

提示：左陪集：)}12(),1{(=H ；)}132(),13{()13(=H ；)}123

(),23{()23(=H ---3分 右陪集：)}12(),1{(=H ；)}123

(),13{()13(=H ；)}132(),23{()23(=H ---6分 子群：)}12(),1{()},1{(21==H H

36543)},132(),123(),1{()},23(),1{()}},13(),1{(S H H H H ====六个子群；---12分 )},1{(1=H 365)},132(),123(),1{(S H H ==三个正规子群；---15分

17．阶群至少有一个3阶子群

证明：设G 是一个6阶群,e 是的单位元，由Lagrange 定理, G 的非单位元的阶只能是2,3,或6.

提示：若G 中非单位元的阶皆为2,则G 是交换群。设b a ,是两个2阶元，则},,,{ab b a e 是G

的4阶子群这与Lagrange 定理矛盾，所以G 中必有3阶元或6阶元。

若b 是6阶元,则2

b 是三阶元,因此G 必有一个3阶子群；若

c 是三阶元，则G 必有一个3阶子群。

18．设G N ≤，证明：G N 的充要条件是N 的任意两个左陪集的乘积是左陪集。

证明：G N ()()()(),,;aN bN a Nb N a bN N ab NN ab N a b G ??====?∈ 充分性，,,a b G c G ?∈?∈，使得 ()aN bN cN ab cN ab N cN ?=?∈?=()aN bN ab N ??=

111,,()()()a G n N an a n aN a N aa N N ---??∈∈∈?==，

所以1ana N -∈，故G N 。

19.假定～是一个群G 的元间的一个等价关系，并且对于G

的任意三个元y x a ,,来说，有ax ～x ay ?～y 。

证明：与G 的单位元e 等价的元所作成的集合G 的一个子群。

证明：设H=[e],由于～是等价关系，故e ～e,即H e ∈;H b a ∈?,,则a ～e, b ～e 因而ae ～a 1-a , be ～b 1-b ,由题设可得e ～1-a , e ～1-b ,由对称性及传递性得1-b ～1-a ,a a 1-1-b ～1-a e,再由题设得a 1-b ～e 即a 1-b H ∈,那么与G 的单位元e 等价的元所作成的集合G 的一个子群

20.一个群G 的可以写成ab b a 11--形式的元叫做换位子,证明：

(1)所有有限个换位子的乘积组成的集合C 是G 的一个不变子群,称为G 的导群或换位子群；

提示 由于ee e e e 11--=,C e ∈；C 的两个元的乘积仍是有限个换位子的乘积,因而仍是C 的一个元；一个换位子的逆仍是一个换位子,所以C 的一个元的逆仍是的C 一个元,这样C 是G 的一个子群；对于C c G a ∈∈,,)(111---=c aca aca C c ∈，所以C 是G 的一个不变子群.

(2)G ／C 是交换群；

令G b a ∈,,那么C c ab b a ab ba ∈==---111)(,由此得baC abC =,即

bCaC aCbC =,因而G ／C 是交换群.

(3)若N 是G 的一个不变子群，并且N G /是交换群，那么C N ?.

提示 因为N G /是交换群,所以对G 的任何两个元a 和b ,

))(())((aN bN bN aN = ,由此得N ab b a ab ba ∈=---111)()(,这样N 含有一切换位子,因而N 含有C .

21．设f 是群G 到群-G 的满同态，--G N ，)(1--=N f

N ，则G N 并且--?N G N G 。

提示 设π是-G 到--N

G

的自然映射，则f 与的π合成是G 到--N G 满同态，---→?→?N G G G f

，-N x f x f x )()(

并且}))((|{)ker(

-=∈=N x f G x f ππ=}))((|{-=∈N x f G x π})(|{--=∈=N N x f G x })(|{-∈∈=N x f G x =N ，因此由同态基本定理知，G N 并且--?N G

N G 。

22．设?是群G 到群-G 的一个同态满射，?Ker K =,G H ≤,则HK H =-))((1??。 提示 HK hk ∈?，)()()()()(H h k h hk ?????∈==，因此∈hk ))((1H ??-，即

))((1H HK ??-?；

∈?x ))((1H ??-，有)()(H x ??∈，存在H h ∈，使得)()(x h ??=，因此K e x h x h ∈==-

--)()()(11???，存在K k ∈，使得HK hk x k x h ∈==-,1，即HK H ?-))((1??，因此HK H =-))((1??。

23．设3S 是三次对称群。

（1） 把3S 的所有元素写成不相连的循环置换的乘积。

(2) 证明3S 是阶数最小的不可换群。

提示1、)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ;

利用拉格朗日定理及素数阶群一定是循环群。-

24. 设3S 是3次对称群。

1．找出3S 的所有子群； 2．找出3S 的所有的不和)123(交换的元；

3．取3S 的子集)}123

(),12{(=S ，则S 生成的子群包含哪些元素？群3S 的两个不同的子集合会不会生成相同的子群？

提示：1。子群：)}12(),1{()},1{(21==H H

36543)},132(),123(),1{()},23(),1{()}},13(),1{(S H H H H ====六个子群；

2．)23(),13(),12(；3。3)(S S =；一个群的两个不同的子集合会生成相同的子群:

如)}132{()},123

{(==B A ，)}132(),123(),1{()()(==B A 。 25. 设G 是一个阶大于1的群，证明：G 只有平凡子群当且仅当G 为素数阶循环群。 证明：充分性，由Lagrange 定理知，显然成立。

提示 必要性，因为1||>G ，所以存在e a G a ≠∈,。设)(a H =，则}{e H ≠，但是G H ?，由假设，G H =；若∞=||a ，则)(2a 是G 的非平凡子群，与假设矛盾； 若n a =||是合数，即21n n n =，1,121>>n n ，则2||1n a

n =，从而)(1n a 是G 的非平凡子群与假设矛盾。因此G 为素数阶循环群。

26. 证明：循环群的子群是循环群.

提示: 设)(a G =是一个循环群，G H ≤。若}{e H =，则)(e H =；若}{e H ≠，则存在0,≠∈n Z n 使得H a n ∈，于是H a n ∈-，从而}|{H a P n M n ∈∈=是一个非空集合，令r 是M 中的最小正整数。H a m

∈?，设r t t rq m <≤+=0,，则H a a a a q r m rq m t ∈==--)(，由r 最小性的假设可得0=t ，于是rq m =，因而q r rq m a a a )(==，因此)(r a H =。故得证。

27．设循环群),(a G =且n a =||，证明：若正整数k 整除n ，则G 恰有一个k 阶子群。 证明：对n 的每一个正因子k ,，则k a k n =||，令)(k n a H =，则H 是G 一个k 阶子群；

设)(m a M =是G 任一个k 阶子群，则e a mk =，于是mk n |，因而m k

n |，从而?)(m a )(k n a H =，然而||||M H =，因而，=M )(k

n a H =，从而G .

28.证明：阶是m p 的群G 一定包含一个阶是p 的子群，其中+∈Z m ，p 是素数. 提示：取G a ∈而e a ≠，则由Lagrange 定理知，n p a =||，其中m n ≤≤1，则1-n p a 的阶是p ，所以)(1-=n p a H 是G 的一个p 阶子群。

29. 设A 是集合。

1． 集合A 上的二元关系满足什么条件时就是A 上的等价关系？

2． 设}3,2,1{=A ，A 上的二元关系有几个？A 上的等价关系有几个？A 可分几类？

提示1。反身性；对称性；传递性； 2。 92；A 可分五类：}}3{},2{},1{{1=π；

}}3{},2,1{{2=π；}}2{},3,1{{3=π；}}1{},3,2{{4=π；}}3,2,1{{5=π；由集合的分类

决定等价关系知，A 上的等价关系有5个。

30. 证明：在一个没有零因子的环R 里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。 提示：如果R 里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是无限大，那么结论成立；假定*R 中

的某个元a 的阶是有限整数，而b 是环R 里任意不等于零的元，那么由0)()(==nb a b na 及R 是无零因子的环知0=nb ，所以b 的阶≤a 的阶，同理a 的阶≤b 的阶，即有a 的阶=b 的阶，从而结论得证。

31.环R 叫Boole 环是指R a a a ∈?=,2。证明：每个Boole 环都是交换环并且R a a a ∈?=+,0。

提示：a a a a R a -=-==∈?22)(,，所以R a a a ∈?=+,0；

由于b a ba ab b a b a R b a +=+++=+∈?222)(,,，即有ba ab ba ab ==+,0。 32给出环R 与它的子环S 的例子,使它们分别具有以下性质:

1. R 具有单位元素,S 无单位元素;

2. R 无单位元素,S 具有单位元素;

3. R 、S 都有单位元素,但不相同;

4. R 无单位元素,S 无单位元素;

5. R 不交换,S 交换；

6. R 有零因子,S 无零因子.

提示：1。),,2(),,,(?+=?+=Z S Z R ，R 的单位元是1，关于数的普通加法和普通乘法； 2。},|00{Q b a b a R ∈???? ??=，},|000{Q b a a S ∈???? ??=，S 的单位元是???

? ??0001，关于矩阵的普通加法和普通乘法；

3。},,,|{Q d c b a d c b a R ∈???? ??=，},|000{Q b a a S ∈???? ??=，R 的单位元是???

? ??1001，S 的单位元是???

? ??0001，关于矩阵的普通加法和普通乘法；4。Z S Z R 4,2==，关于数的普通加法和普通乘法；5． },,,|{Q d c b a d c b a R ∈???? ??=，}|00{Q a a a S ∈???

? ??=，关于矩阵的普通加法和普通乘法；

6。 },,,|{Q d c b a d c b a R ∈???? ??=，}|00{Q a a a S ∈???

? ??=，关于矩阵的普通加法和普通乘法。

33.找出模6的剩余类环的所有理想.

提示 6Z 的所有理想有4个,它们为:6},4,2,0{},3,0{},0{Z .

34.3Z 是模3的剩余类所作成的集合。找出加群3Z 的所有自同构映射，再找出域3Z 的所有

自同构映射。

提示：对加群3Z 的自同构映射，自同构映射必保持零元，所以有2个自同构映

射,;2,1,0,:1=→i i i φ 12,21,00:2→→→φ.

对域3Z 的自同构映射，自同构映射必保持零元和单位元，所以有1个自同构映

射,;2,1,0,:1=→i i i φ

35. 写出20Z 的所有理想和最大理想。

提示：20Z 的理想：]]0{[1=H ，202Z H =，]}16[],12[],8[],4[],0{[3=H

]}18[],16[],14[],12[],10[],8[],6[],4[],2[],0{[4=H ，]}15[],10[],5[],0{[5=H ，]}10[],0{[6=H ； 20Z 的最大理想：]}15[],10[],5[],0{[5=H ，

]}18[],16[],14[],12[],10[],8[],6[],4[],2[],0{[4=H

36.找出环8Z 的所有可逆元与零因子，并给出它的所有子环和最大理想。

提示：8Z 的可逆元为：]7[],5[],3[],1[；8Z 的零因子：]6[],4[],2[；子环：]]0{[1=H ，82Z H =，]}6[],4[],2[],0{[3=H ，]}4[],0{[4=H ； 8Z 的最大理想：]}6[],4[],2[],0{[3=H 。

37. 证明:有限整环是一个域.

提示 设R 是一个有限整环,任取*R a ∈,能证1-a 存在即可.

考虑R 到R 的映射ax x f :,此处x 是R 的任意元．由于R 中乘法消去律成立，故2121ax ax x x ≠?≠.设R 含有n 个元,那么}|{)(R x ax R f ∈=也含有n 个元,故R R f =)(,即f 是R 到R 的一个双射,从而存在R x ∈,使得1=ax ,即1-=a x ,故有限整环R 是一个域.

38. 证明：一个除环R 的中心是一个域.

提示：显然)(1,0R C ∈，从而?≠)(R C ；又)(,21R C c c ∈?，R x ∈?，有2211,xc x c xc x c ==，于是)()(21212121c c x xc xc x c x c x c c -=-=-=-，

)()()()()()(212121212121c c x c xc c x c xc c x c c x c c =====；*)(R C c ∈?，R x ∈?，即

xc cx =，所以，x xcc cxc ==--11，x c xc 11--=，

所以21c c -，21c c ，1-c )(R C ∈，显然)(R C 是交换子群，因此)(R C 是域。

39.假定R 是由所有复数b a bi a ,(+是整数)作成的环,

(1)环)1/(i R +有多少元? (2) 证明: )1/(i R +是一个域.

提示 R 是一个有单位元的可换环,那么理想)1(i +的元素形式为

i b a b a i bi a )()()1)((++-=++,注意到b a b a +-,同奇偶性；而且对任意的R yi x ∈+,且y x ，的奇偶性相同,设y b a x b a =+=-,,即2,2x y b y x a -=+=

,则)1(i yi x +∈+,因此)1(i +由一切yi x +组成,其中y x ，同奇偶性；

由此可见对任意的R yi x ∈+,只要y x ，同奇偶性,恒有)1()1(i i yi x +=+++；若R yi x ∈+,且y x ，奇偶性不相同,恒有)1(1)1(i i yi x ++=+++,即}1,0{)1/(=+i R ,从而)1/(i R +是仅含有两个元的域,即2)1/(Z i R ?+.

40.假定F 是一个四个元的域．证明：

(1)F 的特征值是2

提示 F 的特征p 是F 非零元的周期,并且p 是一个素数；F 作为加群的阶是4,且4|p ,因此2=p .

(2) F 的不为0或1的两个元都适合方程12

+=x x .

提示 乘群*F 的阶是3,因而是一个循环群)(a ,而*F 的元是2,,1a a ,这样,其},,1,0{2a a F =，加法运算表必为:

有21a a =+,222)(1a a a ==+因F 的不等于0或1的两个元2,a a 都适合方程

12+=x x .

110011

100

10222222a a a a a a

a a a a a a +

41.假定][x R 是整数环R 上的一元多项式,

(1)写出][x R 的理想),2(x 所含元素形式.

提示 因为][x R 是有单位元的可换环,所以),2(x 由所有形如:

),()(221x xp x p +])[)(),((21x R x p x p ∈

的元作成,即),2(x 刚好包含所有多项式:

)0,(,210≥∈+++n R a x a x a a i n n .

(2)证明: ),2(x 不是主理想.

提示 假定),2(x 是主理想,即))((),2(x p x =那么)),((2x p ∈))((x p x ∈,因而 )()(),()(2x p x h x x p x q ==但由)()(2x p x q =,可得R a x p ∈=)(,即

1±=a , a x h x )(=

这样),2()(1x x p ∈=±是矛盾的.

(3)证明:若R 是有理数域,那么),2(x 是一个主理想.

提示 若R 是有理数域,那么][x R 包含有理数21,于是),2(122

1x ∈=,因而它的理想),2(x 含有单位元1,因此),2(x 等于主理想(1).

42.环R 上的一个一元多项式环][x R .当R 时整数环时, ][x R 的理想)(x 是不是最大理想？当R 是有理数域的时候,情形如何?

提示 考察][x R 的理想),2(x ,由于)(x 的元都可以写成)(x xf 的形式,其中][)(x R x f ∈,所以显然有),2()(),(2),,2()(x x x x x ???.

当R 是整数环时, ),2(x 不是一个主理想,因而][)1(),2(x R x =≠,因此)(x 不是一个最大理想.

当R 是有理数域时,设N 是的一个理想并且N x N x ≠?)(,)(,那么有)0,)(010≠∈+++=a N x a x a a x f n n ,由此得))(01a x a x a x f n n =++- ,因此N a a ∈=1100

,因而][)1(x R N ==,这就是说,在这一情形下)(x 是一个最大理想.

43. 假定R 是偶数环,

(1)证明:所有整数)(4R r r ∈是的一个理想N ．等式)4(=N 对不对？

提示 显然N 非空,令214,4r r 是N 的任意两个元,由于偶数减偶数还是偶数，

所以N r r r r ∈-=-)(4442121,令R r 是的任意元,由于偶数乘偶数还是偶数,所以N rr r r ∈=)(4)4(11,因此N 是R 的一个理想.由于}|4{)4(4是整数n n =∈,而N ?4,所以)4(≠N .

(2)证明:)4(是R 的最大理想,但)4/(R 不是一个域.

由于(4)刚好含有一切n 4,这里n 是整数 .设M 是R 的一个理想,并且

M ?)4(, M ≠)4(,那么有)4(2,2?∈m M m ,由此有242+=q m ,N q m ∈=-242,则R N ==)2(,这就是说(4)是R 的最大理想；

)4/(R 不是域，因为在R /(4)中[2]\[0],而]0[]4[]2][2[==,因此R /(4)有零因子,因而R /(4)不

是

一个域.

44. 证明：有理数域Q 是所有复数bi a +，其中b a ,是有理数，作成的域)(i R 的唯一的真子域。

提示: 设F 是域)(i R 的一个真子域，由于有理数域Q 是最小数域，则F Q ?；若F Q ≠，

则存在0,≠∈+b F bi a 。于是F a bi a b i ∈-+=-))((1，所以)(i R F =矛盾，从而有理数

域Q 是)(i R 的唯一的真子域。

45.设有理数域F 上的全部22?矩阵环为22F .证明: 22F 只有零理想同单位理想,但不是一个除环.

提示 设N 是22F 的一个理想并且}0{≠N ,那么N 含有2阶矩阵0≠A .

若A 的秩是2,那么A 有逆1-A ,而N E A A ∈=???

? ??=-10011,此时22F N =； 若A 的秩是1,则存在可逆矩阵Q P 和,使得N PAQ ∈????

??=0001,又 N ∈???

? ??=???? ?????? ?????? ??1000011000010110

因此 E =???

? ??+???? ??10000001, 因而也有22F N =,这就是说22F 只有零理想同单位理想,但

???

? ??=???? ?????? ??000010000001,

所以22F 又零因子,因而22F 不是一个除环.

46．设R 是一个环，令},|{)(R x xc cx R c R C ∈=∈=。

证明：)(R C 是R 的交换。

显然)(0R C ∈，从而?≠)(R C ；又)(,21R C c c ∈?，R x ∈，有2211,xc x c xc x c ==，于是)()(21212121c c x xc xc x c x c x c c -=-=-=-，

)()()()()()(212121212121c c x c xc c x c xc c x c c x c c =====

所以21c c -，21c c )(R C ∈，因此)(R C 是一个交换子环。

设R 是交换环，R a ∈，令}0|{=∈=ax R x A a ，证明：R A a

显然a A 非空； a A y x ∈?,，即0==ay ax ，因此000)(=-=-=-ay ax y x a ，所以a A y x ∈-；令R r 是的任意元,00)()(===r ax r rx a , 所以a A rx ∈，由于R 是交换环，所以a A xr ∈，因此a A 是R 的一个理想。

47. 在特征是素数的域里，有等式p p p b a b a +=+)(，p p p b a b a -=-)(，F b a ∈?,。 由二项式定理，p p p p p p p p p p b ab C b a C b a C a b a +++++=+----1122211)( ，其中 !

)1()1(i i p p p C i

p +--= ，1,,2,1-=p i 都是p 的倍数，从而0=-i i p i p b a C ，因此p p p b a b a +=+)(，并且p p p p b b a b b a a +-=+-=)(])[(，于是p p p b a b a -=-)(。

48.假定有一个环R 的分类,而S 是由R 所有的类 ],[],[],[c b a 作成的集合,又假定

][][][y x y x +=+,][]][[xy y x =规定两个S 的代数运算.

证明:[0]是R 的一个理想,并且给定的类刚好是[0]模的R 剩余类.

提示 设R r v u ∈∈],0[,,那么

]0[][][==r u ;

]0[])[(][][]0[][][=+-=+-=+-=-v v v v v u ；

于是

]0[]0[]0[][][][=+=-+=-v u v u ；

]0[]0[]0][[]][[][====r r u r ru ；

]0[]0[]][0[]][[][====r r r u ur ,

因此

]0[],0[],0[∈∈∈-ur ru v u ,

故[0]是R 的一个理想.

设][][v u =,那么]0[][][][][][=-+=-+=-v v v u v u ,因而]0[∈-v u ；反之设]0[∈-v u ,那么]0[][∈-v u ,

][]0[])[(][][][]0[][u u v v u v v u v v =+=+-=+-=+=,

所以][][v u =当且仅当]0[∈-v u ,这就是说给定的类刚好是[0]模的R 剩余类.

近世代数期末考试试卷与答案

一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则 G 的子集（）是子群。 A、a B、 a , e 33 C、 e, a D、 e, a , a 2、下面的代数系统（ G， * ）中，（）不是群 A、G为整数集合， * 为加法 B、G为偶数集合， * 为加法 C、G为有理数集合， * 为加法 D、G为有理数集合， * 为乘法 3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设 1 、 2 、 3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13），2 =（24）（14），3=（ 1324），则3=（） A、2 B 、12 D 、2 1 12C 、2 5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正 确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环。 4 3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a的阶等于 ------。 4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与-------同构。 5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么 A∩B=----- 。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。 7 、叫做域F的一个代数元，如果存在F的----- a 0 , a1 , , a n使得 n a 0 a 1 a n0 。

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一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ= （1324），则 3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得

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多所高校近世代数题库 一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ）

[精华版]近世代数期末考试试卷及答案

[精华版]近世代数期末考试试卷及答案 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集( )是子群。 33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统(G，*)中，( )不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、 a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| ,,,,,,3322114、设、、是三个置换，其中=(12)(23)(13)，=(24)(14)，= ,3(1324)，则=( ) 22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它( )。 A、不可能是群,,,B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。,,

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近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题３分,共15分)在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。错选、多选或未选均无分。 １、设Ａ＝Ｂ=R(实数集）,如果Ａ到Ｂ得映射:x→x+２,ｘ∈R,则就就是从Ａ到B得( ）Ａ、满射而非单射?B、单射而非满射 C、一一映射??? D、既非单射也非满射 ２、设集合Ａ中含有5个元素，集合B中含有２个元素,那么,Ａ与Ｂ得积集合A×B中含有( )个元素。 A、2 ??? B、5 Ｃ、7????D、10 ３、在群G中方程ａx=b,yａ=b, a,b∈Ｇ都有解,这个解就就是( ）乘法来说 Ａ、不就就是唯一 B、唯一得 C、不一定唯一得Ｄ、相同得(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群Ｈ所含元得个数与任一左陪集aH所含元得个数( ） Ａ、不相等Ｂ、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G得子群Ｈ得阶必须就就是n得( ) A、倍数 B、次数Ｃ、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题,每空３分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 １、设集合；,则有------－--。 2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae＝ea=a,则e称为环R得-－-－---－。 3、环得乘法一般不交换。如果环Ｒ得乘法交换，则称Ｒ就就是一个-－－--－。 4、偶数环就就是-－----－--得子环。 ５、一个集合Ａ得若干个－-变换得乘法作成得群叫做Ａ得一个-----－－-。 6、每一个有限群都有与一个置换群－-------。 7、全体不等于0得有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群得单位元就就是---,元ａ得逆元就就是------－。 ８、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想，那么--－－-－--－。 ９、一个除环得中心就就是一个--－－---。 三、解答题(本大题共3小题,每小题1０分,共30分) １、设置换与分别为:,，判断与得奇偶性,并把与写成对换得乘积。 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之与。 ３、设集合,定义中运算“”为ａｂ=(a+b)(modm),则(，)就就是不就就是群,为什么? 四、证明题(本大题共2小题，第1题1０分，第2小题１5分,共25分） 1、设就就是群。证明:如果对任意得,有,则就就是交换群。 2、假定R就就是一个有两个以上得元得环，Ｆ就就是一个包含R得域,那么F包含R得一个商域。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、１、设Ｇ有6个元素得循环群,a就就是生成元,则Ｇ得子集( ）就就是子群。 Ａ、 B、 C、 D、 2、下面得代数系统(G,*）中，（ )不就就是群 Ａ、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,＊为加法

近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整 数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

近世代数期末考试试卷

近世代数模拟试题二 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

近世代数复习试题2010级

《近世代数》复习试题 一 填空题 1．12,,n A A A 是集合A 的子集，如果（1） ，（2） ， 则称12,,n A A A 为A 的一个分类. 2．设},{21A =,},,,,{e d c b a B =,则有____个A 到B 的映射,_____个A 到B 的单射. 3. 设G 是一个群,G a ∈,且21||=a ,则=||6a __________. 4. 设G 是群,,,G b a ∈若1),(,||,||===n m n b m a ，而且ba ab =，则=||ab ______. 5. 在3S 中，)23()12)(123(1-= . 6. 模6的剩余类环6Z 的所有可逆元: . 7. 模6的剩余类环6Z 的所有零因子: . 8. R 是一个有单位元交换环,R a ∈,则由a 生成的主理想=)(a . 9. 设群G 的阶是45, a 是群G 中的一个元素,则a 的阶只可能是____________. 10. 高斯整环][i Z 的单位群])[(i Z U 的全部元素:____________________________. 二 解答、证明题 1.设Z 是全体整数的集合，在Z 中规定： .,,2Z b a b a b a ∈?-+= 证明：),( Z 是一个交换群. 2.证明:群G 不能表示成两个真子群的并. 3.证明:r-循环为偶置换的充要条件是r 为奇数. 4.设p 为素数,||G =n p ，证明：G 一定有一个p 阶子群. 5.设G 是一个群，,,G K G H ≤≤证明：KH HK G HK =?≤. 6.设H G ≤，N G ，证明：HN G ≤. 7.设H G ≤，且2]:[=H G ，证明：.G H 8.证明:每个素数阶的群都是循环群. 9.设N 是群G 的子群，N 的阶是r （1）证明1()gNg g G -∈也是G 的一个子群.

近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。

《近世代数》模拟试题1及答案

近世代数模拟试题 一. 单项选择题(每题5分，共25分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群. 3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ). A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）. A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. －1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元， 逆元存在. D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，

逆元存在. 二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ???? == ? ?-????， 的阶. 2. 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.

3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明. 三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分). 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程

近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ???Λ21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算就是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο; ③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。 3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定

近世代数期末考试题库45962

近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：??? ???=6417352812345678σ，? ? ? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、 2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能就是群 B 、不一定就是群 C 、一定就是群 D 、 就是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。 5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既就是单射又就是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 010=+++n n a a a ααΛ。 8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为

近世代数期末考试真题

近世代数期末练习题 一、判断题（在括号里打上 √ 或 ? ） 1、一个阶是11的群只有两个子群。( ) 2、循环群的子群是循环子群。( ) 3、在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。( ) 4、消去律在无零因子环中一定成立。( ) 5、在环中，逆元一定不是零因子。( ) 6、在一个域中一定不存在零因子。( ) 7、模99的剩余类环99Z 是一个域。( ) 8、模19的剩余类环19Z 是一个整环。( ) 9、整除关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 10、同余关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 11、群G 的两个子群的交还是子群。( ) 12、环R 的一个子环和一个理想的交一定是R 的子环。( ) 13、群G 的不变子群也是G 的子群，环R 的理想也是R 的子环。( ) 14、设群G 与群G'同态，则G 的不变子群的同态像是G'的不变子群。 ( ) 15、一个域一定是一个整环。( ) 二、填空题 1、在3次对称群3S 中，元素（123）的阶为 ，（123）的逆元为 ，（123） 所生成的子群在3S 中的指数为 ，该子群是否3S 的不变子群？ 。 2、环Z 6的全部零因子是 ，全部可逆元是 。 3、在环Z 10中，[6]+[7]= ，[6][7]= ，[6]-[7]= ，[6]3= ， [7]-1= 。 三、证明：（1）若群G 的元a 的阶为2, 则a – 1 = a . （2）若群G 的元 a 的阶大于2, 则a – 1 ≠ a . （3）在群G 中, 元 a 与逆元a –1有相同的阶. 四、证明：设群G 中元a 的阶为n . 证明a s = a t ? n | ( s – t ) . 五、设R 是一个环，证明R 是交换环当且仅当(a+b) 2=a 2+2ab+b 2。 六、设G 是一个群，证明G 是交换群当且仅当(ab) -1=a -1b -1。

近世代数期末考试题库

世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ c ） A、满射而非单射 B、单射而非满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素。 A、2 B、5 C、7 D、10 3、在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ） A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合；，则有。 2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。 3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。 4、偶数环是整数环的子环。 5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。 6、每一个有限群都有与一个置换群同构。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a-1。 8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-域-----。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积： 可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积： 2解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：，，所以，表示法唯一。 3、设集合，定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则（，）是不是群，为什么？ 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。 2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。 1、对于G中任意元x，y，由于，所以（对每个x，从可得）。 2、证明在F里 有意义，作F的子集 显然是R的一个商域证毕。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c ）是子群。 A、B、C、D、 2、下面的代数系统（G，*）中，（d ）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ b ） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（b ）

近世代数期末复习

m m m m m 1、模m 的剩余类环的理想都是主理想。 证明，首先是循环环，则的理想就是的子加群。而的子加群都是循环群，是一个元素生成的。所以也是主理想。 0||,,0,0.I a I a I I a I a b I q r b qa r r a I r b qa I a r b qa I I a I a >∈?<> =<>?∈∈=+≤<=-∈==∈?<>=<> 2、证明：是主理想整环。 显然，是整环。所以我们只证的理想都是主理想。 设，则存在，使得是中元素最小的。显然我们证明，，事实上，对。 由带余除法，存在使得因为是理想，则但根据的选取，必有则所以，则，即的任何理想都是主理想。 22112211221212121212112212121203|,,,|000(1)(2)(1)-0000000a b x R a b c I x c R I R a b a b a b a b a a b b R R c c c c c c a b a b a a a b c c ?????????=∈=∈???????????????? --???????????∈=∈??????????-??????? ???????=???????? 、设证明是的子环是的理想 证：对，，则121222000000(2),-0000000000000000000000000000b c R c c R x y x y x y I I a b x a b x ax R I I c c x a b cx I c I R ?+??∈??? ?-???????????∈=∈???????????????????? ???????????∈?∈=∈???????????????????? ??????=∈???????????? 则是的子环。，对，，则是的加法子群，I R 且是左理想和又理想。故是的理想。 4R R I R I I R I R I R I I ?、证明：是主理想整环，是的一个理想，则是域当且仅当是由素元生成的主理想。 证明：是域是的极大理想。而在主理想整环中，极大理想和素元生成的主理想是等价的。 则是域当且仅当是由素元生成的主理想

近世代数期末考试题库包括模拟卷和1套完整题

多所高校近世代数题库 一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打，错的打“X” ；每小题1分，共10 分） 1、设A与B都是非空集合，那么A_. B」xx?A且B：。（） 2、设A、B、D都是非空集合，则A B到D的每个映射都叫作二元运算。（） 3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f」。（） 4、如果循环群G = a中生成元a的阶是无限的，贝U G与整数加群同构。（） 5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（） 6、近世代数中，群G的子群H是不变子群的充要条件为-g ? G,-h? H;g'Hg H 。（） 7、如果环R的阶_2，那么R的单位元1-0。 （） 8若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。（） 9、F（x）中满足条件p（「）=0的多项式叫做元［在域F上的极小多项式。（） 10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与%p）同构的子域，这里Z是整数环，（p ）是由素数p生成的主理想。（） 二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号 内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设A,A2,…，A n和D都是非空集合，而f是A1 A2… A n到D的一个映射，那么（） ①集合A,A2,…，A n,D中两两都不相同；② A1,A2/ , A n的次序不能调换； ③A1A2A n中不同的元对应的象必不相同； ④一个元a1,a2,…，a n的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（） ①在整数集Z上，a °b = —b；②在有理数集Q上，a°b = Jab ； ab 、 ③在正实数集R*上，a ^b=alnb:④在集合｛n^Zn^。｝上，a"b=a — b。 3、设是整数集Z上的二元运算，其中a ^max：a,b?（即取a与b中的最大者），那么?在Z中（） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。 4、设G,为群，其中G是实数集，而乘法:a ^a b k，这里k为G中固定的常数。那么群G/中的单位元e和元x的逆元分别是（） ①0和-x ；②1和0 ；③k和x-2k ；④-k和-（x 2k）。 5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a =bxc」，acx =xac，那么x=（） ① bc J a 4；② c °a '；③ a J bc J；④ b 'ca。 6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类 5 , aH ,bH ,cH ｝。如果6,那么G的阶G =（） ①6；②24；③10 ；④12。 7、设f ：G1 > G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（） ①f的同态核是G1的不变子群；②G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；③G1的子群的象是G2的子群；④G1的不变子群的象是G2的不变子群。 8设f :尺> R2是环同态满射，f（a）二b，那么下列错误的结论为（） ①若a是零元，则b是零元；②若a是单位元，则b是单位元； ③若a不是零因子，则b不是零因子；④若R2是不交换的，则R1不交换。 9、下列正确的命题是（） ①欧氏环一定是唯一分解环；②主理想环必是欧氏环； ③唯一分解环必是主理想环；④唯一分解环必是欧氏环。 10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（） ①E:I = E:I I :F ；② F:E=I:FE:I ； ③ I:…E:FF:I ；④ E:…E:II:F。

近世代数期末考试试卷与答案

一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共15 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（） 3 =（1324 ），则3 =（） A 、 2 1 B、 1 2 C、2 2 D 、 2 1 5 、 任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（） A 、 不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、是交换群 二、填空题（本大题共10 小题，每空3分，共30 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1 、凯莱定理说：任一个子群都同一个 ------ 同构 2、一个有单位元的无零因子称为整环。 4 3、已知群G中的元素a 的阶等于50，则 a 的阶等于 A、a B 、 a,e C、3 e,a 3 D 、 e,a,a 2、下面的代数系统（G，*）中，（ A、G 为整数集合，*为加法 C、G 为有理数集合，* 为加法）不是群 B 、G 为偶数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法 A、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1 、 2 、3是三个置换，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），

4、 a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与—— 同构。 5、 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么 A A B=-----。 6 、若映射 既是单射又是满射,则称 为 --------------- 7、 叫做域 F 的一个代数元, 如果存在 F 的 --------------- a0,a1, ,an 使得 a 0 a 1 8、a 是代数系统（A,0）的元素，对任何x A 均成立x a x ，则称a 为 ---------- 对于乘法封闭；结合律成立、 ------ 。 10 、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则 P 是 ------- 三、解答题（本大题共 3小题，每小题 10 分，共 30分） 1、 设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群，H 是G 的子群，H={l,（1 2）}，写出H 的所有陪集。 2、 设E 是所有偶数做成的集合，“ ？ ”是数的乘法，则“ ？ ”是E 中的运算，（E ，?）是 一个代数系统，问（ E ， ? ）是不是群，为什么？ 3 、 a=493, b=391, 求 （a,b ）, [a,b] 和 p, q 。 四、证明题（本大题共 2小题，第 1 题10 分，第 2小题15 分，共 25 分） 1、 若＜G ，*＞是群，则对于任意的a 、b € G ，必有惟一的x € G 使得a*x = b 。 2、 设 m 是一个正整数，利用 m 定义整数集 Z 上的二元关系： a ？ b 当且仅当a n n 9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合 G 作成一个群，如果满足 G

北航2012抽象代数试卷与答案

班号学号姓名成绩 《抽象代数》期末考试卷 注意事项： 1、请大家仔细审题 2、千万不能违反考场纪律 题目： 一、判断题（每小题2分，共20分）(?) 1、设* 是集合X上的二元运算，若a∈ X是可约的，则a是可逆的。(√) 2、任何阶大于1的群没有零元。 (√) 3、任何群都与一个变换群同构。 (√) 4、奇数阶的有限群中必存在偶数个阶为2的元素。 (√) 5、素数阶群必为循环群。 (?) 6、x 2 + 5 是GF (7) 上的不可约多项式。 (√) 7、环的理想构成其子环。 (?) 8、有补格中任何元素必有唯一的补元。 (?) 9、格保序映射必为格同态映射。 (√) 10、设A?S，则< P(A)，? > 是格< P (S)，? > 的子格。 二、填空题（10分） 1、设〈G，*〉为群，a，b∈G且a的阶为n，则b－1a b的阶为__n______。 2、设〈G，*〉为群且a∈G。若k∈I且a的阶为n，则a k 的阶为_n/(n,k) _； 并且 a k = e 当且仅当__n | k 3、域的特征为___0或素数___________ ；有限域的阶必为___素数的幂______。 4、GF（3）上的二次不可约首1多项式有_x2+1,x2+x+2,x2+2x+2 5、设D 是I+ 上的整除关系，即对任意的a，b∈I+ ，a D b 当且仅当a | b。 对任意a，b∈I+ ，则a * b = __(a, b)__， a ⊕b = __[a, b]__。 三、计算题（40分，每小题8分） 1、试求群< N11—{0}，·11 > 的所有子群。 解： 所有子群是： <{1}, ?11 > <{1, 3, 4, 5, 9}, ?11 > <{1, 10}, ?11 > < N11—{0}，?11 >