最新数学高考模拟试题(带答案)

最新数学高考模拟试题(带答案)

一、选择题

1．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（ ）

A ． 1.2308?.0y

x =+ B ．0.0813?.2y

x =+ C ． 1.234?y

x =+ D ． 1.235?y

x =+ 2．设5sin

7a π=，2cos 7b π=，2tan 7

c π

=，则（ ） A ．a b c <<

B ．a c b <<

C ．b c a <<

D ．b a c <<

3．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π

)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 A ．

23

B ．43

C ．

32

D ．3

4．如果

4

2

π

π

α<<

，那么下列不等式成立的是（ ）

A ．sin cos tan ααα<<

B ．tan sin cos ααα<<

C ．cos sin tan ααα<<

D ．cos tan sin ααα<<

5．函数()()2

ln 1f x x x

=+-的一个零点所在的区间是( ) A ．()0,1

B ．()1,2

C ．()2,3

D ．()3,4

6．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22

221x y a b

+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，

使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )

A ．2,13??

????

B ．12,32??????

C ．1,13??

????

D ．10,3?? ???

7．函数()1

ln 1y x x

=

-+的图象大致为( ) A ． B ．

C ．

D ．

8．已知非零向量a b ，满足2a b =，且b a b ⊥（–），则a 与b 的夹角为 A ．

π

6

B ．

π3

C ．

2π3

D ．

5π6

9．已知向量(

)

3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ?=，则b =（ ）

A ．31,2??

?

???

B ．1

3,

22?? ?

?

?? C ．133,44??

?

???

D ．()1,0

10．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2

π

)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )

A ．2，－

3π

B ．2，－6

π C ．4，－6

π

D ．4，

3

π 11．不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个必要不充分条件是（ ）

A ．1x <-或4x >

B ．0x 或2x -

C ．0x <或2x >

D ．1

2

x -

或3x 12．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220

B ．2755

C ．

2125

D ．

27

220

二、填空题

13．曲线2

1

y x x

=+

在点（1，2）处的切线方程为______________． 14．函数()22,0

26,0x x f x x lnx x ?-≤=?-+>?

的零点个数是________．

15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2

EF ，现有如下四个结论：

AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；

③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值，

其中正确结论的序号是______．

16．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数

y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则

12

m n

+的最小值为 17．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1

()tan 2

g x x =

的图象交于,,A B C 三点，则ABC ?的面积为__________．

18．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21

,,36

BE BC DF DC =

=则AE AF ?的值为 ． 19．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．

20．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．

三、解答题

21．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t α

α

=??

=?（t 为参数，0≤α<π）．以坐

标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为

244cos 2sin ρρθρθ-=-．

(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；

(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为5l 的普通方程． 22．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2

n

n n a b =

，求数列{}n b 的通项公式；

（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()

(

)

2

1

1422n

n

n n n n

n c a a +-++=

，求数列{}n c 的前n 项和n T .

23．已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的一个焦点为

(

)

5,0，离心率为5.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.

24．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：

附：参考数据与公式 6.92 2.63≈，若 ()2

~,X N

μσ，则①

()0.6827P X μσμσ-<+=；② (22)0.9545P X μσμσ-<+=；③ (33)0.9973P X μσμσ-<+=.

（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；

（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 (

)2

,N μσ

，其

中μ近似为年平均收入2,x σ 近似为样本方差2s ，经计算得：2 6.92s =，利用该正态分布，求：

（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?

（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少? 25．

在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,

,

x t y kt =??

=?（t 为参数），直线l 2的参数方程为

2,,x

m m m y k =-+??

?

=??

（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设

()3:cos sin 20l ρθθ+-=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.

26．如图，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，将AED ，

DCF 分别沿DE ，DF 折起，使得A ，C 两点重合于点M ．

(1) 求证：MD EF ⊥； (2) 求三棱锥M EFD -的体积．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】

由题意得在线性回归方程?y bx a =+中 1.23b =，然后根据回归方程过样本点的中心得到

a 的值，进而可得所求方程．

【详解】

设线性回归方程?y bx a =+中，由题意得 1.23b =， ∴ 1.23?y x a =+．

又回归直线过样本点的中心()4,5， ∴5 1.234a =?+， ∴0.08a =，

∴回归直线方程为 1.2308?.0y

x =+． 故选A ． 【点睛】

本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题．

2．D

解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 因为

，

，所以，

，且，所以

，

，所以

,

故选D.

3．C

解析：C 【解析】 函数sin 23y x πω??

=+

+ ??

?的图象向右平移43

π

个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx π

πππ?????

?

=-

++=+-+ ? ???????

??

所以有4333

20132

22

w k

k k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=

≥ 故选C

4．C

解析：C 【解析】 【分析】

分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解. 【详解】

如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ， 很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<. 故选C.

【点睛】

本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.

5．B

解析：B 【解析】 【分析】

先求出(1)(2)0,f f <根据零点存在性定理得解. 【详解】

由题得()2

1ln 2=ln 2201

f =-

-<， ()2

2ln3=ln3102

f =-->，

所以(1)(2)0,f f <

所以函数()()2

ln 1f x x x

=+-的一个零点所在的区间是()1,2. 故选B 【点睛】

本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

6．C

解析：C 【解析】 如图所示，

∵线段PF 1的中垂线经过F 2，

∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝

1

[,1)3

c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围。本题就是通过中垂线上点到两端点距离相等，建立焦半径与,,a b c 的关系，从而由焦半径的范围求出离心率的范围。

7．A

解析：A 【解析】 【分析】

确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项． 【详解】

0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，

1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足．

故选：A. 【点睛】

本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．

8．B

解析：B 【解析】 【分析】

本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】

因为()a b b -⊥，所以2

()a b b a b b -?=?-=0，所以2

a b b ?=，所以

cos θ=22

||122||

a b

b b a b ?==?，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】

对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．

9．B

解析：B 【解析】 【分析】

设()(),0b x y y =≠，根据题意列出关于x 、y 的方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量b 的坐标.

【详解】

设(),b x y =，其中0y ≠

，则3a x y b ?=+=

由题意得221

0x y y y ?+=+=≠??，解得122x y ?=??

??=??

，即13,2b ?= ??. 故选：B.

【点睛】

本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.

10．A

解析：A 【解析】 【分析】

由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象，求得T 、ω和φ的值． 【详解】

由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象知，

3T 5π412=-（π3-）3π4

=， ∴T 2π

ω

=

=π，解得ω＝2； 又由函数f （x ）的图象经过（5π

12

，2）， ∴2＝2sin （25π

12

?+φ）， ∴

5π6+φ＝2kππ

2

+，k∈Z， 即φ＝2kππ

3

-， 又由π2-

＜φπ2＜，则φπ3

=-； 综上所述，ω＝2、φπ

3

=-． 故选A ． 【点睛】

本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．

11．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-

12或x≥3，题目可以转化为找x≤-1

2

或x≥3的必要不充分条件条件，依次分析选项即可得答案． 【详解】

根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-

12或x≥3，则2x 2-5x-3≥0?x≤1

2

-或3x ，所以

可以转化为找x≤-

1

2

或x≥3的必要不充分条件； 依次选项可得：x 1<-或x 4>是1

2

x ≤-

或x≥3成立的充分不必要条件； x 0≥或x 2≤-是1

2x ≤-或x≥3成立的既不充分也不必要条件

x 0<或x 2>是1

2

x ≤-或x≥3成立的必要不充分条件；

x≤-12或x≥3是1

2x ≤-或x≥3成立的充要条件； 故选C ． 【点睛】

本题考查了充分必要条件，涉及一元二次不等式的解答，关键是正确解不等式2x 2-5x-3≥0．

12．D

解析：D 【解析】 【分析】

旧球个数x=4即取出一个新球，两个旧球，代入公式即可求解． 【详解】

因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数为x=4，即旧球增加一

个，所以取出的三个球中必有一个新球，两个旧球，所以12933

1227

(4)220

C C P X C ===，故选

D ． 【点睛】

本题考查离散型随机变量的分布列，需认真分析P(X=4)的意义，属基础题．

二、填空题

13．【解析】设则所以所以曲线在点处的切线方程为即点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出斜率其求法为：设是曲线上的一点则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴（即 解析：1y x =+

【解析】

设()y f x =，则21

()2f x x x

'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线2

1

y x x

=+

在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=?-，即1y x =+． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，

其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是

000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不

存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．

14．2【解析】【详解】当x≤0时由f （x ）=x2﹣2=0解得x=有1个零点；当x ＞0函数f （x ）=2x ﹣6+lnx 单调递增则f （1）＜0f （3）＞0此时函数f （x ）只有一个零点所以共有2个零点故答案为：

解析：2 【解析】 【详解】

当x≤0时，由f （x ）=x 2﹣2=0，解得x=1个零点； 当x ＞0，函数f （x ）=2x ﹣6+lnx ，单调递增，

则f （1）＜0，f （3）＞0，此时函数f （x ）只有一个零点， 所以共有2个零点． 故答案为：2． 【点睛】

判断函数零点个数的方法

直接法（直接求零点）：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点， 定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点，

图象法（利用图象交点的个数）：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0?h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数，

性质法（利用函数性质）：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数

15．【解析】【分析】对于①可由线面垂直证两线垂直；对于②可由线面平行的定义证明线面平行；对于③可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对 解析：①②③

【解析】 【分析】

对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值． 【详解】

对于①，由1,AC BD AC BB ⊥⊥，可得AC ⊥面11DD BB ，故可得出AC BE ⊥，此命题正确；

对于②，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在平面1111D C B A 内，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确；

对于③，EF 为定值，B 到EF 距离为定值，所以三角形BEF 的面积是定值，又因为A 点到面11DD BB 距离是定值，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，此命题正确； 对于④，由图知，当F 与1B 重合时，此时E 与上底面中心为O 重合，则两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是

1OBC ∠，此二角不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不为定值，此命题错误．

综上知①②③正确，故答案为①②③ 【点睛】

本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.

16．8【解析】∵函数（且）的图象恒过定点A∴当时∴又点A 在一次函数的图象上其中∴又∴∴（当且仅当时取）故答案为8点睛：本题主要考查了基本不等式基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值其失误

解析：8 【解析】

∵函数log 1

1a y x =-+（）（0a ＞，且1a ≠）的图象恒过定点A ， ∴当2x =时，1y =，∴()21A ，，又点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中

0mn >，

∴21m n +=，又0mn >，

∴0m >，0n >，∴()12124 248n m

m n m n m n m n

+=+?+=++≥（），（当且仅当1

22

n m ==时取“=”），故答案为8.

点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

17．【解析】【分析】画出两个函数图像求出三个交点的坐标由此计算出三角形的面积【详解】画出两个函数图像如下图所示由图可知对于点由解得所以【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像考查三角函数图像交点坐

解析：

4

【分析】

画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【详解】

画出两个函数图像如下图所示，由图可知()()0,0,π,0A C ，对于B 点，由sin 1

tan 2y x

y x =??

?=??

，解得π3,3B ?? ? ???，所以133π

π2ABC S ?=??

=.

【点睛】

本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.

18．【解析】在等腰梯形ABCD 中由得所以考点：平面向量的数量积 解析：

2918

【解析】

在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=得

12AD BC ?=

,1AB AD ?=,1

2

DC AB =,所以()()

AE AF AB BE AD DF ?=+?+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ????

=+?+=?+?++?=++-=

? ?????

.考点：平面向量的数量积.

19．【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系则答案可求【详解】设三棱柱的底面积为高为则再设到底面的距离为则得所以则到上底面的距离为所 解析：1

【分析】

由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求． 【详解】

设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h

==

，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19

'23h h

??=， 所以

'2

3

h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13

h ， 所以三棱锥111S A B C -的体积为111

'91339

S h ?=?=． 故答案为1． 【点睛】

本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为1

V 3

S h =

底，本题是中档题． 20．【解析】【分析】首先根据题中所给的类比着写出两式相减整理得到从而确定出数列为等比数列再令结合的关系求得之后应用等比数列的求和公式求得的值【详解】根据可得两式相减得即当时解得所以数列是以-1为首项以2 解析：63-

【解析】 【分析】

首先根据题中所给的21n n S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到

12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得

11a =-，之后应用等比数列的求和公式求得6S 的值.

【详解】

根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=， 当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-， 所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，

所以66(12)

6312

S --==--，故答案是63-.

点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.

三、解答题

21．(Ⅰ) ()()2

2

219x y -++=；（Ⅱ）3

4

y x =和x=0. 【解析】 【分析】

（I ）将x cos y sin ρθρθ=??=?

代入曲线C 极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程.（II ）

将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线l 的普通方程. 【详解】

解：（Ⅰ）将x cos y sin ρθ

ρθ=??=?

代入曲线C 极坐标方程得：

曲线C 的直角坐标方程为：2

2

442x y x y +-=- 即()()2

2

219x y -++=

（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程：

()()

22

cos 2sin 19t t αα-++=

整理得24cos 2sin 40t t t αα-+-= 设点A ，B 对应的参数为1t ，2t ， 解得124cos 2sin t t αα+=-，124t t ?=- 则

12AB t t =-=

=

=23cos 4sin cos 0ααα-=，因为0απ≤<

得3tan 2

4π

αα=

=

或，直线l 的普通方程为3

4

y x =和x=0 【点睛】

本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题.

22．（1）n b n =（2）()1

122n n S n +=-+（3）()()()1

1

4123312n n n n +++---+?

【解析】 【分析】 【详解】

（1）由1

122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =；

（2）易得2n

n a n =，1223112222,212222,n n n n S n S n +=?+?++?=?+?++?

错位相减得12

1

1122222

2212

n

n n n n S n n ++--=+++-?=?-?-

所以其前n 项和()1

12

2n n S n +=-+； （3）()()

()()(

)()()()(

)()2221

1

1

1422142

121·2?12?12?12n

n

n

n

n n n n n n n n n n n n n

c n n n n n n +++-++-++-++++=

=

=

+++

()()()()()()11

11111111112?21?222?21?2n

n n n n n n n n n n n n n ++++????---??

?=

+-+=-+- ? ? ? ?++??????

， ()()()()()()2231

2

1223

1111111111122221?22?22?23?2?21?2n n n n n n T n n ++?

?????????------????

???? ? ? ?=-+-+

+-+-+-++-

?? ? ? ? ? ? ?+??????

???????

???????

()()1112113621?2n n

n n ++-??=-+-- ?+??或写成()()()1

1

412331?2

n n n n +++---+. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

23．（1）22194

x y +=；（2）22

013x y +=. 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、

b 、

c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：

第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、

2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为

()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用

0?=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方

程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程.

（1）由题意知

5533

a a =?=，且有2235

b -=2b =，

因此椭圆C 的标准方程为22

194

x y +=；

（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-， 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-， 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得

()()()2

2

2000094189360k

x k y kx x y kx ++-+--=，

()(

)

()2220000184949360k y kx k y kx ?????=--?+--=????

， 化简得()2

2

00

940y kx k ---=，即()()2

2

20

00

9240x k kx y y --+-=，

则1k 、2

k 是关于k 的一元二次方程()()22

20

00

9240x k kx y y --+-=的两根，则

201220419

y k k x -==--，

化简得22

0013x y +=；

②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆

2213x y +=上.

综上所述，点P 的轨迹方程为2

2

13x y +=.

考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用?的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.

24．（1）17.4；（2）（i ）14.77千元（ii ）978位 【解析】 【分析】

（1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数； （2）（i ）根据正态分布可得：0.6827

()0.50.84142

P X μσ>-=+

≈即可得解；（ii ）根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，利用独立重复试验概率计算法则求得概率最大值的k 的取值即可得解. 【详解】

（1）由频率分布直方图可得：

120.04140.12160.28180.36200.1220.06240.0417.4x =?+?+?+?+?+?+?=；

（2）（i ）由题()~17.4,6.92X N ，0.6827

()0.50.84142

P X μσ>-=+

≈，

所以17.4 2.6314.77μσ-=-=满足题意，即最低年收入大约14.77千元；

（ii ）0.9545

(12.14)(2)0.50.97732

P X P X μσ≥=≥-=+

≈， 每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，

记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X ，()1000,0.9773X B

恰有k 位农民中的年收入不少于12.14千元的概率

()()

100010000.997310.9973k

k

k P X k C -==-

()()()()

10010.97731

110.9773P X k k P X k k =-?=>=-?-得10010.9773978.2773k

所以当0978k ≤≤时，()()1P X k P X k =-<=，当9791000k ≤≤时，

()()1P X k P X k =->=，所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有

可能是978位. 【点睛】

此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强.

25．（1）()22

40x y y -=≠（2

【解析】

（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程

()21

:2l y x k

=

+. 设(),P x y ,由题设得()()21

2y k x y x k ?=-??=+??

，消去k 得()22

40x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2

2

40x y y -=≠.

（2）C 的极坐标方程为()()2

2

2

cos sin 402π,πρ

θθθθ-=<<≠.

联立()

(

)222

cos sin 4,cos sin 0

ρθθρθθ?-=??+=??得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+.

故1

tan 3

θ=-

， 从而2

291cos ,sin 1010

θθ==. 代入()2

2

2

cos sin 4ρ

θθ-=得2

5ρ

=，

所以交点M

【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲

线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 26．（1）见解析；（2）13

【解析】 【分析】

（1）在正方形ABCD 中，有AB AD ⊥，CD BC ⊥，在三棱锥M DEF -中，可得

MD MF ⊥，MD ME ⊥，由线面垂直的判定可得MD ⊥面MEF ，则MD EF ⊥； （2）由E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，可得1BE BF ==，求出三角形MEF 的面积，结

合()1及棱锥体积公式求解． 【详解】 （1）证明：

在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，CD BC ⊥，

∴在三棱锥M DEF -中，有MD MF ⊥，MD ME ⊥，且ME MF M ?=，

MD ∴⊥面MEF ，则MD EF ⊥；

（2）解：E 、F 分别是边长为2的正方形ABCD 中AB 、BC 边的中点， 1BE BF ∴==，

11

1122MEF BEF S S ∴==??=，

由（1）知，1111

23323

M DEF MEF V S MD -=?=??=．

【点睛】

本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，考查棱锥体积的求法，是中档题．