江苏省高考数学复习知识点按难度和题型归纳总结

江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳

一、填空题

答卷提醒:重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误,这是取得好成绩的基石!

A 、1~4题，基础送分题,做到不失一题! A1.集合性质与运算 1、性质:

①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?; ②空集是任何集合的子集,记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集;

如果B A ?,同时A B ?,那么A ＝ Ｂ. 如果C A C B B A ???，那么，． 【注意】:

①Ｚ＝ {整数}(√) Z =｛全体整数} (×)

②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集．(×) ③空集的补集是全集.

④若集合A ＝集合B ,则C B A = ?, C ＡＢ ＝ ?C Ｓ（C ＡB ）＝ D （ 注 :C ＡB = ?）. 2、若A ={123

,,n a a a a ｝,则Ａ的子集有2n 个,真子集有21n -个,非空真子集有22n -个.

3、A B C A B A C A B C A B A C ==（）（）（）,（）（）（）；

A B C A B C A B C A B C ??=??=（）（）,（）（） 4、 D ｅ M ｏrgan 公式:()U U U C A

B C A

C B =;()U U U C A

B C A

C B =.

【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具.

在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

A2.命题的否定与否命题

*１．命题p q ?的否定与它的否命题的区别：

命题p q ?的否定是p q ??,否命题是p q ???.

命题“p 或q ”的否定是“p ?且q ?”,“p 且q ”的否定是“p ?或q ?”. *2.常考模式：

全称命题ｐ：,()x M p x ?∈;全称命题ｐ的否定?p ：,()x M p x ?∈?. 特称命题ｐ:,()x M p x ?∈;特称命题p 的否定?p ：,()x M p x ?∈?． A3.复数运算

*１.运算律:⑴m n m n z z z +?=； ⑵()m n mn z z =； ⑶1212()(,)m m m z z z z m n N ?=∈.

【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围． ＊2.模的性质：

⑴1212||||||z z z z =； ⑵1122||||||

z z z z =; ⑶n n

z z =. *3.重要结论:

⑴2

2

2

2

121212||||2||||()z z z z z z -++=+;

⑵2

2

12

z z z z ?==； ⑶()2

12i i ±=±； ⑷

11i i i -=-+，11i

i i

+=-;

1x

⑸i 性质:T=4；1 , ,1,434241

4=-=-==+++n n n n i i i i i i

.

【拓展】：()()

32

11101ωωωωω=?-++=?=

或12

2

ω=-±

．

A ４.幂函数的的性质及图像变化规律：

（1)所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图像都过点(1,1);

（2）0a >时,幂函数的图像通过原点,并且在区间[0,)+∞上是增函数.特别地,当1a >时,幂函数的图像下凸；当01a <<时,幂函数的图像上凸；

(3)0a <时，幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数.在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于+∞时,图像在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴. 【说明】：对于幂函数我们只要求掌握111,2,3,,23

a =的这5类，它们的图像都经过一个定点(0，0)和(0,1）,

并且1-=x 时图像都经过(1,１),把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了. Ａ５.统计 1.抽样方法:

（1)简单随机抽样（抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时,它的主要特征是从总体中逐个抽取． (2）分层抽样，主要特征分层按比例抽样,主要使用于总体中有明显差异.共同点:每个个体被抽到的概率都相等（

n

N

）． 2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.

总体估计掌握：一“表”（频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图）. ⑴频率分布直方图

用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.

①频率=

样本容量

频数

．

②小长方形面积＝组距×

组距

频率

=频率． ③所有小长方形面积的和=各组频率和＝1.

【提醒】：直方图的纵轴（小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小,小矩形的面积表示频率． ⑵茎叶图

当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子,这种表示数据的图叫做茎叶图。

３.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；

样本平均数: 121

1

1()n

n i i x x x x x n

n ==++

+=∑

４.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差)．

(1）一组数据123,,,,n x x x x ? ①样本方差

2

222

121[()()()]n S x x x x x x n

=-+-+???+-222111111()()()n n n i i i i i i x x x x n n n ====-=-∑∑∑ ;

②样本标准差

σ==

(2)两组数据

123

,,,,

n

x x x x

?与

123

,,,,

n

y y y y

?,其中

i

y ax b

=+,1,2,3,,

i n

=?.则y ax b

=+,它们的

方差为222

y x

S a S

=,标准差为||

y x

a

σσ

=

③若

12

,,,

n

x x x的平均数为x,方差为2s，则

12

,,,

n

ax b ax b ax b

+++的平均数为ax b

+,方差为22

a s．

样本数据做如此变换：'

i i

x ax b

=+,则'x ax b

=+,222

()

S a S

'=.

Ｂ、(5～9，中档题,易丢分,防漏/多解)

B1．线性规划

1、二元一次不等式表示的平面区域：

（1)当0

A>时，若0

Ax By C

++>表示直线l的右边,若0

Ax By C

++<则表示直线l的左边．（2)当0

B>时,若0

Ax By C

++>表示直线l的上方，若0

Ax By C

++<则表示直线l的下方.

2、设曲线

111222

:()()0

C A x B y C A x B y C

++++=(

1212

A A

B B≠),则

111222

()()0

A x

B y

C A x B y C

++++>或0

<所表示的平面区域：

两直线

111

A x

B y C

++=和

222

A x

B y C

++=所成的对顶角区域（上下或左右两部分）.

3、点

000

(,)

P x y与曲线()

,

f x y的位置关系：

若曲线(,)

f x y为封闭曲线（圆、椭圆、曲线||||

x a y b m

+++=等),则

00

()

,0

f x y>,称点在曲

线外部;

若(,)

f x y为开放曲线(抛物线、双曲线等)，则

00

()

,0

f x y>，称点亦在曲线“外部”.

4、已知直线:0

l Ax By C

++=，目标函数z Ax By

=+．

①当0

B>时，将直线l向上平移,则z的值越来越大；直线l向下平移,则z的值越来越小；

②当0

B<时，将直线l向上平移,则z的值越来越小；直线l向下平移，则z的值越来越大；

5、明确线性规划中的几个目标函数(方程）的几何意义：

（1)z ax by

=+，若0

b>，直线在y轴上的截距越大,z越大，若0

b<,直线在y轴上的截距越大，z 越小.

（2)y m

x n

-

-

表示过两点()()

,,,

x y n m的直线的斜率，特别y

x

表示过原点和(),n m的直线的斜率.

（3）()()

22

t x m y n

=-+-表示圆心固定,半径变化的动圆,也可以认为是二元方程的覆盖问题.

(4）

y=(),x y到点()

0,0的距离.

(5)(cos,sin)

Fθθ；

(6）d=；

（7)22

a a

b b

±+；

【点拨】:通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆ｘ2+y２=１上的点)

sin

,

(cosθ

θ及余

弦定理进行转化达到解题目的。

B 2.三角变换：

三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．

三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式,和差化积和积化和差公式，万

能公式为基础．

三角代换是以三角函数的值域为根据,进行恰如其分的代换,使代数式转化为三角式,然后再使用上述诸公式进行恒等变形,使问题得以解决．

三角变换是指角(“配”与“凑”)、函数名（切割化弦)、次数(降与升） 、系数(常值“１”) 和 运算结构(和与积)的变换,其核心是“角的变换”．

角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．

变换化简技巧:角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化,引入辅角，平方消元等.

具体地：

（1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后,还应注意一些配凑变形技

巧，如下:

2=+ααα，22

αα=?;

22

αβαβ++=?

,()()

2

2

2

αββ

ααβ+=---;

()()2

2

2

2

=+-=-+=

=

+-+-+

-

ααββαββαβ

αβ

βα

βα

;

22[()]2[()]()()()()=+-=-+=++-=+--ααββαββαβαββαβα；

2()+=++αβαβα,2()-=-+αβαβα;

154530,754530?=?-??=?+?；

()

4

2

4ππααπ+=--等.

(２）“降幂”与“升幂”(次的变化）

利用二倍角公式2

2

2

2

cos 2cos sin 2cos 12sin 1=-=-=-ααααα和二倍角公式的等价变形

2cos 2sin 12

=-αα，2sin 2cos 12

=+αα,可以进行“升”与“降”的变换，即“二次”与“一次”的

互化.

（3)切割化弦(名的变化）

利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题.经常

用的手段是“切化弦”和“弦化切”.

(４)常值变换

常值12.此外,对常值 “１”可作如下代

换:2222

1sin cos sec tan tan cot 2sin 30tan sin cos 042

x x x x x x ππ=+=-=?=?====等．

（5）引入辅助角

一般的,

sin cos )sin()a b +=

+

=+ααααα?，期中

cos tan b

a ===???.

特别的，sin cos )4

A A A +=

+π

;

sin 2sin()3x x x +=+π,

cos 2sin()6

x x x +=+π

等.

（６）特殊结构的构造

构造对偶式,可以回避复杂三角代换，化繁为简.

举例:2

2

sin 20cos 50sin 20cos50A =?+?+??,2

2

cos 20sin 50cos 20sin50B =?+?+?? 可以通过1

2sin 70,sin 702

A B A B +=+?-=-

-?两式和,作进一步化简. （7)整体代换

举例:sin cos x x m +=2

2sin cos 1x x m ?=-

sin()m +=αβ，sin()n -=αβ,可求出sin cos ,cos sin αβαβ整体值,作为代换之用．

B 3.三角形中的三角变换

三角形中的三角变换,除了应用公式和变换方法外,还要注意三角形自身的特点． (1)角的变换

因为在ABC ?中，A B C π++=（三内角和定理）,所以

任意两角和:与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形:①三内角都是锐角;②三内角的余弦值为正值;

③任两角和都是钝角;④任意两边的平方和大于第三边的平方.

即，sin sin()A B C =+;cos cos()A B C =-+;tan tan()A B C =-+.

2

2

sin cos A B C +=；2

2

cos sin A B C +=；2

2

tan cot A B C +=．

(2）三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理，余弦定理.

面积公式:11

sin 22

a S sh a

b C r p =

==?其中r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半.tan tan tan tan tan tan 1222222

A B B C C A

++=

(3)对任意ABC ?，；

在非直角ABC ?中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=. (4）在ABC ?中，熟记并会证明：

＊1.,,A B C ∠∠∠成等差数列的充分必要条件是60B ∠=?．

＊２．ABC ?是正三角形的充分必要条件是,,A B C ∠∠∠成等差数列且,,,a b c 成等比数列． *3．三边,,a b c 成等差数列?2b a c =+?2sin sin sin A B C =+?1tan tan 223A C =；3

≤B π

. *4.三边,,,a b c 成等比数列?2b ac =?2sin sin sin A B C =,3

≤B π

.

(５)锐角ABC ?中,2

A B π

+>

?sin cos ,sin cos ,sin cos A B B C C A >>> ,222a b c +>;

sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.

【思考】：钝角ABC ?中的类比结论 (6)两内角与其正弦值:

在ABC ?中，sin sin a b A B A B >?>?>?cos2cos2B A >，… （7)若π=++C B A ,则2

2

2

2cos 2cos 2cos x y z yz A xz B xy C ++++≥.

Ｂ 4.三角恒等与不等式 组一

33sin 33sin 4sin ,cos34cos 3cos αααααα=-=- ()()2222sin sin sin sin cos cos αβαβαββα-=+-=-

32

3tan tan tan 3tan tan(

)tan(

)13tan 3

3

θθπ

π

θθθθθ

-=

=-+-

组二

tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=

sin sin sin 4cos cos cos

222A B C

A B C ++= cos cos cos 14sin sin sin 222

A B C

A B C ++=+

222sin sin sin 22cos cos cos A B C A B C ++=+……

组三 常见三角不等式

(1)若(0,

)2

x π

∈,则sin tan x x x <<;

(2） 若(0,

)2

x π

∈,则1sin cos x x <+（3) |sin ||cos |1x x +≥;

(４)x

x

x f sin )(=

在),0(π上是减函数; B5．概率的计算公式： ⑴古典概型：()A P A =

包含的基本事件的个数

基本事件的总数

;

①等可能事件的概率计算公式：()

()()m card A p A n card I ==;

②互斥事件的概率计算公式:Ｐ(A +B )=P （Ａ)+P (B ); ③对立事件的概率计算公式是:P （A ）＝1－P （A );

④独立事件同时发生的概率计算公式是:Ｐ（Ａ?Ｂ)＝P (A )?P （B ); ⑤独立事件重复试验的概率计算公式是:

()(1)k k

n k n n P k C P P -=-(是二项展开式[(1－P )+P ]n 的第（k +1)项)．

⑵几何概型：若记事件A ＝{任取一个样本点，它落在区域g ?Ω},则A 的概率定义为

()g A P A Ω=

=

的测度构成事件的区域长度（面积或体积等）

的测度

试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）

注意：探求一个事件发生的概率,常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理:把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率;利用对立事件的概率,转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n 次实验中恰有ｋ次发生的概率，但要注意公式的使用条件. 事件互斥是事件独立的必要非充分条件,反之,事件对立是事件互斥的充分非必要条件. 【说明】:条件概率：称)

()

()|(A P AB P A B P =

为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率。 注意：①0(|)1P B A ≤≤；②Ｐ(B ∪C|A)=P(B ｜A ）＋P(C|A ）。 Ｂ6． 排列、组合

（1)解决有限制条件的(有序排列，无序组合）问题方法是:

①直接法：位置分析法元素分析法

用加法原理（分类）插入法（不相邻问题）用乘法原理（分步）捆绑法（相邻问题）

???

?

??? ②间接法：即排除不符合要求的情形 ③一般先从特殊元素和特殊位置入手． （２)解排列组合问题的方法有： ①特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素; 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置)。

②间接法(对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。

③相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。

④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排好没有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间)。

⑤多排问题单排法。 ⑥多元问题分类法。 ⑦有序问题组合法。 ⑧选取问题先选后排法。 ⑨至多至少问题间接法。 ⑩相同元素分组可采用隔板法。

?涂色问题先分步考虑至某一步时再分类.

(３)分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成n 组问题别忘除以!n . B7.最值定理

①,0,x y x y >+≥由()xy P =定值,则当x y =时和x y +

有最小值

②,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值,则当x y =是积xy 有最大值2

14

s . 【推广】：已知R y x ∈,,则有xy y x y x 2)()(2

2

+-=+.

（１）若积xy 是定值，则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时，||y x +最小. (2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时,||xy 最小；当||y x -最小时，||xy 最大. ③已知,,,R a x b y +

∈，若1ax by +=，则

有

:

2

11

11()()by ax

ax by a b a b x y x y x y

+=++=+++++=≥

④,,,R a x b y +

∈,若

1a b x

y

+

=则有:(

)2

(

)ay bx x y x y a b x

y

+=++

=++=

Ｂ８.求函数值域的常用方法:

①配方法:转化为二次函数问题

,利用二次函数的特征来求解； 【点拨】:二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动)，对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题,勿忘数形结合,注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系.

②逆求法：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式,得出y 的取值范围,型如