《高等数学》各章知识点总结——第9章

第9章多元函数微分学及其应用总结

一、多元函数的极限与连续

1、n维空间

R2为二元数组(x, y)的全体，称为二维空间。R3为三元数组(x,y,z)的全体，称为三

维空间。R n为n元数组(x「X2, ,X n)的全体，称为n维空间。

n维空间中两点卩任％丄X),Q(y i, 丫2丄，y n)间的距离：

|PQ| . (y i X i)2 (y2 X2)2 L (% X n)2

邻域：设F0是R n的一个点，是某一正数，与点F0距离小于的点P的全体称为点P o的

空心邻域：P o的邻域去掉中心点P o就成为P o的空心邻域，记为

o

U(P o, )={P o |PP o| }。

内点与边界点：设E为n维空间中的点集，P R n是一个点。如果存在点P的某个邻域U(P,)，使得U(P, ) E ,则称点P为集合E的内点。如果点P的任何邻域内都既有属于E的点又有不属于E的点，则称P为集合E的边界点，E的边界点的全体称为E的边界.

聚点：设E为n维空间中的点集，P R n是一个点。如果点P的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P为集合E的聚点。

开集与闭集：若点集E的点都是内点，则称E是开集。设点集E R n,如果E的补集

R n E是开集，则称E为闭集。

区域与闭区域：设D为开集，如果对于D内任意两点，都可以用D内的折线(其上的点都属于D )连接起来，则称开集D是连通的?连通的开集称为区域或开区域?开区域与其边界的并集称为闭区域?

有界集与无界集：对于点集E,若存在M 0，使得E U(O,M)，即E中所有点到原点的距离都不超过M，则称点集E为有界集，否则称为无界集.

如果D是区域而且有界，则称D为有界区域.

有界闭区域的直径：设D是R n中的有界闭区域，则称d(D) max{| PP21}为D的直径。

二、多元函数

n元函数就是R n的一个子集D到R的一个函数，即对任意的P D，都存在唯一的y R，使得y f(P)。习惯上，我们用y f (x)表示一元函数，用z f (x, y)表示二兀函数，用w f (x, y, z)表示一兀函数? 一; 般用y f(P), P R n或y f(X i,X2,L ,X n)表示n兀函数.

三、多元函数的极限

设多元函数z f(P)在D有定义，P o是D的一个聚点，A为常数。如果对任意给定

的0,都存在

o

o，当P D U (P o,)时，有f(P)

A

则称A为P趋于P o时函数z f (P)在D上的极限，记为P im P f(P) A 或

f(P) A,(P P o)。

四、多元函数的连续性

设多元函数z f (P)在D有定义，P o是D的一个聚点。如果lim f(P) f (P o)，

P E

则称z f (P)在P o点连续。如果z f (P)在区域D上各点都连续，就称z f (P)在D上

连续?如果函数z f (P)在点P o处不连续，则称函数z f(P)在点P o处间断，也称P o是

函数z f (x,y)的间断点。

五、偏导数

z f(x, y) , P o(X o，y o)为平面上一点。如果z f (x, y o)在x°的某一邻设二元函数

域内有定义且在

存在,则称z f (x, y)在点P o(x o，y o)处对X可偏导，称此极限值为函数z f (x, y)在点

X o点可导，即极限

P o (x °,y °)处对x 的偏导数，记为—

x (x o ，y o )或仁(心 ％)

2

z

2

f

f

xx

f

2

z

2

f

「

f

2

2

1 xy

X X

X X x y x y

y X

六、高阶偏导数

(X o ，y °) '

x

(x%, J

2

z

2

f f

f 2

z

2

f f

f ]yx

5

2

2

f yy

y x y x

x y y y

y y

如果函数Z f (x, y)的两个二阶混合偏导数 f xy , f yx 都在平面区域D 内连续，那么这两

个二阶混合偏导数在 D 内相等。 七、全微分

设函数z f (x, y)在点P 0(x o , y o )的某一邻域内有定义， 代B 为常数。如果

z A x B y o()，其中 ?.( x)2 ( y)2，则称函数 z f (x, y)在点

P 0(X o ,y o )可微分(简称可微)，称A x B y 为函数z f (x, y)在点P o (x °, y °)的全微分, 记作dz ，即dz A x B y

可微的必要条件：函数z f(x, y)在点P o (x o ,y 。)可微，则(1) f (x,y)在点P o (x °,y 。) 处连续。(2) f(x, y)在点 F o (x o ,y 。)处偏导数存在,且 dz

f x (x °,y °)dx

f y (x ), y o )dy 。

可微的充分条件： 函数z f(x,y)在点P o (x o , y o )的某个邻域内可偏导，且偏导数 f x (x, y), f y (x, y)在点 R(X o ,y o )连续，则 z f (x, y)在点 P o (x °,y o )可微。 八、多元复合函数的求导法则 链式法则：z f (u, v)， u u(x, y),v

z f u f v y

u y v y

阶全微分的形式不变性:

dz — dx — dy, dz ― du — dv x y u v

九、隐函数及其求导法

F (x, y)在(x o , y o )某邻域内可偏导,且F x (x, y), F y (x, y)连续,

⑵F(x o , y o ) o ，(3) F y (X o ,y °) o 。则⑴存在x °的某个邻域，在此邻域内存在唯一确

定的一元函数 y f (x)满足称函数y f(x)称为由方程F(x,y) o 所确定的隐函数，且

v(x, y)，

f(u,v)，u u(x, y),v v(x, y)

若 F(x,y)满足：(1)

y f (x)具有连续导数，

dy f”)；：(:,；)-

若 F(X I ,X 2丄，X n ,y)满足:(1) F(X I ,X 2, ,X n ,y)在点(x °，x 0, ,x 0,y °)的某个(n+1) 维邻域内可偏导,且 F X 1(X I ,X 2,L ,X n ,y),L ,F X /X I ,X 2,L ,X n ,y), F y (X i ,X 2丄 x,y)连续。

0 0 . 0 0.

⑵ F(X 1 ,X 2 丄,X n , y ) 0 0 0 0

0 ,⑶ F y 。，X 2丄，X n , y ) 0 则(1)存在点(x 0,x 0

, ,x°)的某个n 维邻域，在此邻域内存在唯一的 n 元函数，且函数

⑴ 当AC B 2 0

时，f (X o , y o )是函数z f (x, y)的极值，其中当A 0时

y f (X i ,X 2, ,X n )在该邻域内具有连续偏导数 ，矢

F x

i

F y

i 1,2,L ,n 。

十、空间曲线的切线与法平面

空间曲线

的参数方程为

x x(t)

y y(t)， M 0(x(t 0), y(t 0), z(t 0))为曲线上一点。如果 z z(t)

x(t 。), y (t o ),z(t 。)不全为0,则在点M o 处的切线的方程为:

x X o y y o z z o x(t o ) y (t o ) z(t o )

在点M o 处的法平面方程为: (X x o )x'(t o ) (y y o )y'(t o ) (z z °)z'(t o ) o 。

I ^一、空间曲面的切平面与法线

曲面：F(x,y,z) o 在点处M o 的法线方程为:

x X o

y y o z Z o F x (M o )

F y (M o )

F z (M o )

X X o y y o z z o F x (M o ) F y (M o )

F z (M o )

十二、无条件极值

极值存在的必要条件：函数z f(x ,y)在点P o (x o ，y o )处取得极值,且在该点处函数 的偏导数都存在，则z

f (x , y)在P o (x o ，y 。)点处的一阶偏导数为零，即

f x (X o ,y 。)o, f y (x o ,y 。) o

极值存在的充分条件： 函数z f (x, y)在点P o (x o , y o )的某邻域内有一阶及二阶连续

f yy (X o ,y o ) C ，则

在点处M °的法线方程为:

偏导数，且 f x (x °,y 。) f y (x o ,y o ) o 。令 匚他」。)A ，

f xy (x °,y 。) B ，

f(x o,y°)为极大值，当A 0时f(x o,y°)为极小值。

(2)当AC B20时，f(x°,y°)不是极值。

十三、条件极值

函数z f (x, y)(称为目标函数)在条件i(x, y) o,i 1,2,L ,k下极值问题转化为

k

求辅助函数L(x, y, i丄，Q f (x, y) i i(x, y)的无条件极值的问题。

i 1

毛概各章节考试重点

毛概各章节考试重点 第一章 1、马克思主义中国化的科学内涵？P4 马克思主义的中国化，就是将马克思主义基本原理同中国具体实际相结合。 （1）就是运用马克思主义解决中国革命、建设和改革的实际问题。 （2）就是把革命、建设和改革的实践经验和历史经验提升为理论。 （3）就是把马克思主义植根于中国的优秀文化之中。 2、科学发展观的主要内容？P36 科学发展，第一要义是发展，核心以人为本，基本要求是全面协调可持续，根本方法是统筹兼顾。 第二章 1、实事求是是思想路线的基本内容？P48 党的十二大通过的《中国共产党党章》明确指出：党的思想路线是一切从实际出发，理论联系实际，实事求是，在实践中检验真理和发展真理。 （1）根本前提：一切从实际出发（2）根本途径：理论联系实际（3）实质和核心：实事求是（4）根本目的和验证条件：在实践中检验真理和发展真理。 2、实事求是思想路线的重要意义？P52 （1）它是马克思主义认识论在马克思主义中国化实践过程中的运用、发展和丰富。 （2）它是制定并贯彻执行正确的政治路线的思想基础。 （3）它是加强党的思想作风建设和提高领导能力的重要内容。 3、如何理解党的思想路线的实质和核心是实事求是？ 以理论形态表现出来的党的思想路线，是由实事求是、一切从实际出发、理论联系实际和坚持实践是检验真理的标准这四个基本要素构成的。从理论结构上看，这四个基本要素是互相联系、互相贯通、互相补充的统一整体，但它又不是不分主次的并列关系。“实事求是”是唯物论、辩证法、认识论三者相统一的概括，它体现了主观和客观、理论和实践的具体的历史的统一，包含了一切从实际出发、坚持理论与实际相统一的原则，正确地把握事物发展规律等内容，因而是其它三个基本点的核心，但它并不能代替其他三个基本点。 4、在发展中国特色社会主义事业进程中，为什么要继续解放思想？怎样科学地理解理论创新？ 坚持实事求是的思想路线，就要大力弘扬与时俱进精神，推进理论创新，不断开拓马克思主义新境界； （1）与时俱进，就是党的全部理论和工作要体现时代性，把握规律性，富于创造性。（2）实践基础上的理论创新是社会发展和变革的先导。 （3）理论创新必须坚持正确的方向和思想方法。 （4）理论创新必须服务于、落脚于实践创新。 （5）创新必须建立在求真务实的基础上。 第三章 1、如何理解中国革命实践与新民主主义革命理论之间的关系？ 毛泽东提出中国革命是“新民主主义革命”。这揭示了中国革命实践与新民主主义革命理论之间的关系： A、新民主主义革命的领导阶级是无产阶级。 B、新民主主义革命属于世界无产阶级革命的范畴。 C、新民主主义革命的指导思想是马克思主义。 D、新民主主义革命的前途是经过新民主主义逐渐过渡到社会主义。总之，新民主主义革

(完整)马原前三章知识点,推荐文档

1，马克思主义： 生命力的根源：以实践为基础的科学性与革命性的统一； 最鲜明的政治立场：马克思主义政党的一切理论和奋斗都应该致力于实现以 劳动人民为主体的最广大人民的根本利益； 最重要的理论品质：坚持一切从实际出发，理论联系实际，实事求是，在实 践中检验真理和发展真理； 最崇高的社会理想：实现物质财富极大丰富，人们精神境界极大提高，每个 人自由而全面发展的共产主义社会； 2，物质与意识谁是本源——唯物主义与唯心主义 思维与存在有无同一性——可知论（有）与不可知论（无） 社会存在与社会意识的关系——唯物史观与唯心史观 回答世界是怎样存在的问题——辩证法（联系的发展的观点）与形而上学 （孤立的静止的观点） 是否承认对立统一学说——唯物辩证法（承认）与形而上学 唯物辩证法——是认识世界和改造世界的根本方法；（矛盾分析法是其根 本方法） 唯心主义宿命论——只强调必然性而否定偶然性； 唯心主义非宿命论——只强调偶然性而否定必然性； 辩证决定论——坚持必然性与偶然性的辩证统一； 主观唯心主义——认为人的认识是主观自生的； 客观唯心主义——人的认识是上帝的启示或绝对精神的产物； 3，运动 世界是物质的，物质是运动的，运动是物质的普遍状态； 运动是物质的根本属性与存在方式；时间和空间是物质运动的存在形式； 不运动的物质导致形而上学；无物质的运动导致唯心主义； 无条件的绝对运动和有条件的相对静止构成了事物的矛盾运动； 4，意识 意识是物质世界长期发展的产物； 是人脑的技能和属性（人脑是意识产生的物质基础）； 意识的源泉是客观世界； 社会实践（劳动）在意识的产生和发展中起决定性作用； 5，量变质变规律——揭示了事物发展形式和状态（量变与质变的依次更替）；

数据库技术与应用教程各章节知识点汇总

数据库技术及应用教材（第 2 版）各章节知识点 第1 章数据库系统概述 1.1 数据库管理技术的产生和发展 1.1.1 人工管理阶段（20 世纪50 年代之前） 特点：①数据不保存 ②数据不具独立性 ③数据不共享 1.1.2 文件管理／系统阶段（20 世纪50 年代-60 年代中期）特点: ①数据可以保存 ②独立性依然差 ③冗余量大 1.1.3 数据库管理阶段20 世纪60 年代以后 1.2.1 基本概念 1. 数据Data 2. 数据库Database, DB 3. 数据库管理系统Database Management System, DBMS 功能:数据定义、数据操纵、数据控制、数据通信 4. 数据库系统Database System, DBS 包括数据库、数据库管理系统、应用系统、数据库管理员（Database Administrator, DBA）和用户 1.2.2 数据库系统的特点 1. 数据共享性好 2. 数据独立性强 3. 数据结构化

4. 统一的数据控制功能123数据库系统的组成（同上） 124数据库系统的抽象级别 DBMS中的数据被描述为逻辑模式、物理模式和外模式三级抽象1.3数据模型（概念模型、逻辑模型和物理模型） 1.3.1基本组成 1. 数据结构 2. 数据操作 3. 数据约束 1.3.2层次模型 1.3.3网状模型 1.3.4关系模型（应用最广泛） 1.3.5面向对象模型 1.3.6对象关系模型 第2章关系数据库 2.1关系数据模型的基本概念 关系数据库系统是支持关系模型的数据库系统 关系模型由数据结构、关系操作和完整性约束3部分组成 1. 数据结构（二维表） （1关系 （2元组 （3属性 （4键 （（1）超键：能唯一标识元组的属性过属性集

高一必修五数学数列全章知识点(完整版)

高一数学数列知识总结 知识网络

二、知识梳理 ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) 三、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足???≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对值

的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法： （1）利用观察法求数列的通项. （2）利用公式法求数列的通项：①???≥-==-) 2()111n S S n S a n n n （；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式. （3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项： ①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+ （4）造等差、等比数列求通项： ① q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ?+?=++12. 第一节通项公式常用方法 题型1 利用公式法求通项 例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ 1322-+=n n S n ； ⑵12+=n n S . 总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：???≥-==-) 2() 1(11n S S n S a n n n 若1a 适 合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项 例2：⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ?=2 ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”； 迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ?=+“；⑵迭加法、迭乘法公式： ① 11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=----- ② 11 22332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ??????= ----- . 题型3 构造等比数列求通项 例3已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法：

(完整word版)新版毛概前六章知识点整理(背诵版)

第一章毛泽东思想及其历史地位 第一节毛泽东思想的形成和发展 形成发展的历史条件 ●时代条件 俄国十月革命开辟了世界无产阶级社会主义革命的新时代，是毛泽东思想产生的时代条件和国际背景。 ●社会条件 近代中国半殖民地半封建社会的基本国情和中国革命的特殊性，是毛泽东思想产生的社会条件。 ●物质基础 新的社会生产力的增长和工人运动的发展为毛泽东思想的产生和形成提供了物质基础。 近代中国新的社会生产力主要指近代工业和代表先进生产力的工人阶级。 ●理论条件 新文化运动的兴起和马克思主义的传入与传播，为毛泽东思想的产生和形成准备了思想理论条件。 ●实践基础 中国共产党领导的人民革命是毛泽东思想产生和形成的实践基础。 形成发展的过程（※选择题） 初步形成：提出并阐述农村包围城市武装夺取政权的思想 《中国社会各阶段的分析》、《湖南农民运动考察报告》《中国的红色政权为什么能够存在？》、《井冈山的斗争》、《星星之火可以燎原》、《反对本本主义》 成熟：系统阐述新民主主义革命理论；1945年七大写入党章 《中国革命和中国共产党》、《新民主主义论》、《论联合政府》 继续发展：人民民主专政理论、社会主义改造理论、正确处理人民内部矛盾的理论 《论人民民主专政》《论十大关系》《关于正确处理人民内部矛盾的问题》 第二节毛泽东思想的主要内容和活的灵魂 主要内容：新民主主义革命理论、社会主义革命和社会主义建设理论、革命军队建设和军事战略的理论、政策和策略的理论、思想政治工作和文化工作的理论、党的建设理论 活的灵魂：贯穿于毛泽东思想各个组成部分的立场、观点和方法，是毛泽东思想的活的灵魂，他们有三个基本方面，即实事求是，群众路线，独立自主 实事求是，就是一切从实际出发，理论联系实际，坚持在实践中检验真理和发展真；深入实际了解事物的本来面目，把握事物内的必然联系，按客观规律办事；清醒认识和准确把握我国基本国情 群众路线，就是一切为了群众，一切依靠群众，从群众中来到群众中去；人民群众是历史的创造者；人民是推动历史发展的根本力量；坚持全心全意为人民服务的根本宗旨；保持党同人民群众的血肉联系 独立自主，就是坚持独立思考，坚定不移维护民族独立，捍卫国家主权；坚持中国的事情必须由中国人民自己处理；坚持独立自主的和平外交政策，坚定不移走和平发展道路

马原知识点整理

1、什么是马克思主义？（P2-P3) （1）马克思主义是由马克思、恩格斯创立的，为他们的后继者所发展的，以批判资本主义、建设社会主义和实现共产主义为目标的科学理论体系，是关于无产阶级和人类解放的科学。它包括马克思主义哲学、马克思主义政治经济学和科学社会主义三个有机统一基本组成部分。 （2）①从创造者、继承者的认识成果讲，马克思主义是由马克思、恩格斯创立，由其后各个时代、各个民族的马克思主义者不断丰富和发展的观点和学说的体系；它既包括有马克思、恩格斯创立和列宁等发展了的马克思主义，也包括中国共产党人将其与中国具体实际相结合，不断推进马克思主义中国化的理论成果。 ②从阶级属性讲，马克思主义是无产阶级争取自身解放和整个人类解放的科学理论，是关于无产阶级斗争的性质、目的和解放条件的学说； ③从研究对象和主要内容讲，马克思主义是无产阶级的科学世界观和方法论，是关于自然、社会和人类思维发展一般规律的学说，是关于资本主义发展及其转变为社会主义以及社会主义和共产主义发展规律的学说。 2、思考并归纳意识能动作用及其表现、主观能动性与客观规律性的辩证关系。（P29-P33) （1）意识的能动作用及其表现：①辩证唯物主义在坚持物质决定意识，意识依赖于物质的同时，又承认意识对物质有能动作用。②意识的能动作用是人的意识所特有的积极反映世界和改造世界的能力和活动。表现为如下四个方面：第一，意识具有目的性和计划性。人反映世界时会表现出主体选择性。第二，意识活动具有非凡创造性。人能在思维中建构一个现实中没有的理想世界。第三，意识具有指导实践改造客观世界的作用，可变客观为现实。第四，意识具有指导、控制人的行为和生理活动的作用。 （2）主观能动性与客观规律性的辩证关系：首先，发挥人的主观能动性必须以承认规律的客观性为前提。必须尊重客观规律，认识和改造自然界，要尊重自然界的规律；认识和改造社会，要尊重社会规律。其次，只有正确发挥主观能动性，才能正确认识和利用客观规律。在尊重客观规律的基础上，要充分发挥主观能动性。否认人的主观能动性，必然导致对人的价值性的否定，导致对历史发展动力的否定。 3、当前中国一再强调走中国特色社会主义道路，试结合有关矛盾原理谈谈看法。（P42-P43) （1）矛盾的普遍性与矛盾的特殊性是辩证统一的关系的基本原理。矛盾的普遍性即矛盾的共性，矛盾的特殊性即矛盾的个性。矛盾的共性是无条件的、绝对的，矛盾的个性是有条件的、相对的。任何现实存在的事物的矛盾都是共性和个性的有机统一，共性寓于个性之中，没有离开个性的共性，也没有离开共性的个性。矛盾的共性和个性、绝对和相对的道理，是关于事物矛盾问题的精髓，是正确理解矛盾学说的关键。 （2）矛盾的普遍性和特殊性辩证关系的原理是马克思主义的普遍真理同各国的具体实际相结合的哲学基础，也是建设中国特色社会主义的哲学基础。21世纪，掌握矛盾普遍性和特殊性辩证关系的原理，把马克思主义同我国的实际和时代特征结合起来，努力推进中国特色社会主义的实践创新、理论创新和制度创新，是我们面临的重大课题。 （3）中国特色社会主义，既坚持了科学社会主义基本原则，又根据时代条

数据库知识点重点章节总结学习资料

1. 基本概念 (1) 数据库(DB):是一个以一定的组织形式长期存储在计算机内的，有组织的可共享的相关数据概念(2) 数据库管理系统(DBMS)；是位于用户与操作系统之间的一层数据管理软件，是数据库系统的核心(3) 数据库系统(DBS)；计算机系统中引入数据库后的系统构成(4) 实体；凡是现实世界中存在的可以相互区别开，并可以被我们所识别的事物.概念等对象均可认为是实体(5) 属性；是实体所具有的某些特征,通过属性对实体进行刻画.实体由属性组成(6) 码；唯一标识实体的属性集称为码(7) 域；属性的取值范围称为该属性的域 (8) 实体型；具有相同属性的实体必然具有共同的特征和性质。用实体名和属性名集合来抽象和刻画同类实体，称为实体型。(9) 实体集；同一类型实体的集合。(10) 1 :1联系：如果实体集E1中每个实体至多和实体集E2中的一个实体有联系，反之亦然，那么E1和E2的联系称为“1:1联系”。1:N联系：如果实体集E1中每个实体可以与实体集E2中任意个（零个或多个）实体有联系，而E2中每个实体至多和E1中一个实体有联系，那么E1和E2的联系是“1:N联系”。M:N联系：如果实体集E1中每个实体可以与实体集E2中任意个（零个或多个）实体有联系，反之亦然，那么E1和E2的联系称为“M:N联系”。（11）现实世界(现实世界是指我们要管理的客户存在的各种事物.事物之间的发生.变化过程)、观念世界（信息世界）、数据世界 2.数据管理技术的发展阶段 人工管理阶段(数据不保存,系统没有专用的软件对数据进行管理,数据不共享,数据不具有独立性)、文件系统阶段(数据以文件形式可长期保存下来,文件系统可对数据的存取进行管理,文件组织多样化,程序与数据之间有一定独立性)、数据库系统阶段(数据结构化,数据共享性高,冗余少于且易扩充,数据独立性高,有统一的数据控制功能) 3. 数据库系统的特点 (1) 数据结构化 (2) 共享性高，冗余度低，易扩充 (3) 独立性高 (4) 由DBMS统一管理和控制 4. DBMS的数据控制功能 (1) 数据的安全性保护 (2) 数据的完整性检查 (3) 并发控制 (4) 数据库恢复 5. 数据模型的组成要素 数据结构数据结构是所研究的对象类型的集合，是刻画一个数据模型性质最重要的方 面，是对系统静态特性的描述。 数据操作数据操作是指对数据库中各种对象（型）的实例（值）允许执行的操作的集 合，包括操作及有关的操作规则。是对系统动态特性的描述。 数据的约束条件数据的约束条件是一组完整性规则的集合。完整性规则是给定的数据 模型中数据及其联系所具有的制约和依存规则，以保证数据的正确、有效、相容。 6. 最常用的数据模型 层次、网状、关系、面向对象模型 7. 关系模型 ?关系: 一张表 ?元组: 表中的一行 ?属性: 表中的一列 ?主码: 表中的某个属性组，它可以唯一确定一个元组 ?域: 属性的取值范围 ?分量: 元组中的一个属性值 ?关系模式: 对关系的描述。 表示为：关系名（属性1，属性2,…属性n)

数列全章知识点总结

数列知识点题型方法总复习 一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函 数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如 （1）已知* 2 () 156 n n a n N n = ∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（125）； （2）数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中 b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（n a <1+n a ）； （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（3λ>-）；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数 列}{n a 满足)(* 1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（A ） A B C D 二．等差数列的有关概念： 1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。如设{}n a 是等差数列，求证：以b n = n a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。 2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = 210n +；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ 8 33 d <≤ 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S += ，1(1) 2n n n S na d -=+。如（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2 n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和15 2n S =-，则13a =-，10n =； （2）已知数列 {}n a 的前n 项和2 12n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：2* 2* 12(6,) 1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2 a b A +=。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、 d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 三．等差数列的性质： 1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率 为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数 列。

【免费下载】毛概第三章知识点总结

第三章新民主主义革命理论 第一节新民主主义革命理论的形成 一、近代中国的国情和中国革命的时代特征 1.近代中国的国情 认清国情，是认清和解决革命问题的基本依据。近代中国，已经沦为一个 半殖民地半封建性质的社会，这是最基本的国情。 近代中国半殖民地半封建的社会性质，决定了社会主要矛盾是帝国主义和 中华民族的矛盾、封建主义和人民大众的矛盾。而帝国主义和中华民族的矛盾，又是各种矛盾中最主要的矛盾。 近代中国社会的性质和主要矛盾，决定了近代中国革命的根本任务是推翻 帝国主义、封建主义和官僚资本主义的统治，从根本上推翻反动腐朽的政治上 层建筑，变革阻碍生产力发展的生产关系，为建设富强民主的国家、改善人民 的生活、确立人民当家作主的政治地位扫清障碍，创造必要的前提。 2.中国革命的时代特征 近代中国的社会性质和主要矛盾，决定了中国革命是资产阶级民主革命。 第一次世界大战和俄国十月革命以后，中国的资产阶级民主主义革命从原 来的旧的世界资产阶级民主主义革命，转变为新的资产阶级民主主义革命，属 于世界无产阶级社会主义革命的一部分。 1914年五四运动之后，中国资产阶级开始以独立的政治力量登上历史舞台，由自在阶级转变为自为的阶级。近代中国革命以五四运动为开端，进入新民主 主义革命阶段。 二、中国革命经验的概括和总结 中国共产党早期的主要观点。 1.1921年7月中国共产党成立后，开始把马克思主义与中国革命具体实际相结合。 2.1922年党的二大明确提出了党在民主革命时期的纲领是反帝，反封建。 3.1923年党的三大提出了建立国共合作统—战线的思想。 4.1925年党的四大，第一次明确提出了坚持无产阶级领导权和农民同盟军的思想。

《数据库原理》知识点总结

《数据库原理》知识点总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

目录未找到目录项。 一数据库基础知识（第1、2章） 一、有关概念 1．数据 2．数据库（DB） 3．数据库管理系统（DBMS） Access 桌面DBMS VFP SQL Server Oracle 客户机/服务器型DBMS MySQL DB2 4．数据库系统（DBS） 数据库（DB） 数据库管理系统（DBMS） 开发工具 应用系统 二、数据管理技术的发展 1．数据管理的三个阶段 概念模型 一、模型的三个世界 1．现实世界

2．信息世界：即根据需求分析画概念模型（即E-R图），E-R图与DBMS 无关。 3．机器世界：将E-R图转换为某一种数据模型，数据模型与DBMS相关。 注意：信息世界又称概念模型，机器世界又称数据模型 二、实体及属性 1．实体：客观存在并可相互区别的事物。 2．属性： 3．关键词（码、key）：能唯一标识每个实体又不含多余属性的属性组合。 一个表的码可以有多个，但主码只能有一个。 例：借书表（学号，姓名，书号，书名，作者，定价，借期，还期） 规定：学生一次可以借多本书，同一种书只能借一本，但可以多次续借。 4．实体型：即二维表的结构 例 student(no，name，sex，age，dept) 5．实体集：即整个二维表 三、实体间的联系： 1．两实体集间实体之间的联系 1：1联系 1：n联系 m：n联系 2．同一实体集内实体之间的联系 1：1联系 1：n联系 m：n联系 四、概念模型（常用E-R图表示） 属性： 联系： 说明：① E-R图作为用户与开发人员的中间语言。 ② E-R图可以等价转换为层次、网状、关系模型。 举例： 学校有若干个系，每个系有若干班级和教研室，每个教研室有若干教员，其中有的教授 和副教授每人各带若干研究生。每个班有若干学生，每个学生选修若干课程，每门课程有若干学生选修。用E-R图画出概念模型。

毛概各个章节的重点

第一章 马克思主义中国化的科学内涵？P4 马克思主义的中国化，就是将马克思主义基本原理同中国具体实际相结合。 （1）就是运用马克思主义解决中国革命、建设和改革的实际问题。 （2）就是把革命、建设和改革的实践经验和历史经验提升为理论。 （3）就是把马克思主义植根于中国的优秀文化之中。 2、马克思主义中国化的重要意义： （1）马克思主义中国化的理论成果指引着党和人民伟大事业不断取得胜利。 （2）马克思主义中国化的理论成果提供了凝聚全党和全国各族人民的强大精神支柱。（3）马克思主义中国化倡导和体现了对待马克思主义的科学态度和优良作风。 3、毛泽东思想活的灵魂：实事求是、独立自主、群众路线 4、毛泽东思想的历史地位和指导意义： （1）马克思主义中国化第一次历史性飞跃（2）中国革命和建设的科学指南（3）中国共产党和中国人民宝贵的精神财富 5、邓小平理论的历史地位和指导意义： （1）中国社会主义建设规律的科学认识（2）改革开放和社会主义现代化建设的科学指南（3）党和国家必须长期坚持的指导思想 6、“三个代表”重要思想的历史地位和指导意义： （1）指导思想的又一次与时俱进（2）全面建设小康社会的根本指针（3）加强和改进党的建设、推进我国社会主义自我完善和发展的强大理论武器 7、科学发展观的主要内容？P36 科学发展，第一要义是发展，核心以人为本，基本要求是全面协调可持续，根本方法是统筹兼顾。 8、科学发展观的指导意义： （1）同XXX一脉相承又与时俱进的科学理论（2）是马克思主义关于发展的世界观和方法论的集中体现。（3）是我国经济社会发展的重要指导方针和发展中国特色社会主义必须坚持和贯彻的重大战略思想 第二章 1、实事求是是思想路线的基本内容？P48 党的十二大通过的《中国共产党党章》明确指出：党的思想路线是一切从实际出发，理论联系实际，实事求是，在实践中检验真理和发展真理。 （1）根本前提：一切从实际出发（2）根本途径：理论联系实际（3）实质和核心：实事求是（4）根本目的和验证条件：在实践中检验真理和发展真理。 2、实事求是思想路线的重要意义？P52 （1）它是马克思主义认识论在马克思主义中国化实践过程中的运用、发展和丰富。（2）它是制定并贯彻执行正确的政治路线的思想基础。 （3）它是加强党的思想作风建设和提高领导能力的重要内容。 3、如何理解党的思想路线的实质和核心是实事求是？ 以理论形态表现出来的党的思想路线，是由实事求是、一切从实际出发、理论联系实际和坚持实践是检验真理的标准这四个基本要素构成的。从理论结构上看，这四个基本要素是互相联系、互相贯通、互相补充的统一整体，但它又不是不分主次的并列关系。“实事求是”是唯物论、辩证法、认识论三者相统一的概括，它体现了主观和客观、理论和实践的具体的历史的统一，包含了一切从实际出发、坚持理论与实际相统一的原则，正确地把握事物发展规律等内容，因而是其它三个基本点的核心，但它并不能代替其他三个基本点。

《马原》各章核心知识点归纳

绪论、主干知识点 1.马克思主义的根本特征？马克思主义的精髓？ 实践基础上的科学性的革命性的统一，是马克思主义的根本特征。 马克思主义的立场，观点和方法，是马克思主义的精髓。 2、马克思主义的三大组成部分及其直接理论来源？ 组成部分：1.马克思主义哲学；2.马克思政治经济学；3.科学社会主义。来源：1德国古典哲学；2.英国古典政治经济学；3.法国，英国空想社会主义哲学。 3、马克思一生的两大发现？ 唯物史观；剩余价值论 第一章、主干知识点 1.什么是哲学？哲学的基本问题及其内容？ 哲学是系统化，理论化的世界观，又是方法论。 哲学的基本问题是思维和存在的关系问题。 内容：其一，意识和物质、思维和存在，究竟谁是世界的本源；根据对该基本问题的不同回答，哲学可划分为唯物主义和唯心主义两个对立的派系；其二思维能否认识或正确认识存在的问题；根据对该基本问题的不同回答，哲学又分为可知论和不可知论。

2.唯物主义的三种历史形态和唯心主义的两种形式？ 唯物主义的三种历史形态：古代朴素唯物主义、近代形而上学唯物主义、现代唯物主义即辩证唯物主义和历史唯物主义。唯心主义两种基本形态：客观唯心主义和主观唯心主义。 3、马克思主义物质观、运动观、时空观？实事求是、解放思想、与时俱进的哲学理论依据？唯物主义运动观和唯心主义运动的区别？ （1）物质的唯一特性是客观实在性，它存在于人的意识之外，所以我们必须从存在客观事实出发，也可以为人的意识所反映。世界是物质的。 （3）唯物主义运动观和唯心主义运动共同点是多层运用发展都是运动观；区别：A运动变化主题不同，唯物主义运动观主体是物质，唯心主义运动主体是精神与意识；B运动变化根源不同：唯物主义运动观在于物质，唯心主义运动根源在于观念，意识。 4.运动和静止的关系？为什么人不能两次踏入同一条河流？A运动是绝对的，静止是相对的；运动和静止相互依赖，相互渗透，相互包含，“动中有静，静中有动”。 B物质运动时间和空间的客观实在性是绝对的，物质运动时间和空间的具体特性是相对的。 5.实践及其特点、形式？A实践是人类能动地改造客观世界的物质活动B实践具有物质性、自觉能动性和社会历史性等

数据库知识点整理(全)

UNIT 1 四个基本概念 1.数据(Data):数据库中存储的基本对象 2.数据库的定义 :数据库(Database,简称DB)是长期储存在计算机内、有组织的、可共享的大量数据集合 3.数据库管理系统（简称DBMS）：位于用户与操作系统之间的一层数据管理软件（系统软件）。 用途:科学地组织和存储数据;高效地获取和维护数据 主要功能: 数据定义功能; 数据操纵功能; 数据库的运行管理; 数据库的建立和维护功能(实用程序) 4.数据库系统（Database System，简称DBS）：指在计算机系统中引入数据库后的系统 数据库系统的构成 数据库 数据库管理系统（及其开发工具） 应用系统 数据库管理员（DBA)和用户 数据管理技术的发展过程 人工管理阶段 文件系统阶段 数据库系统阶段 数据库系统管理数据的特点如下 (1) 数据共享性高、冗余少；(2) 数据结构化；(3) 数据独立性高；(4) 由DBMS进行统一的数据控制功能 数据模型 用来抽象、表示和处理现实世界中的数据和信息的工具。通俗地讲数据模型就是现实世界数据的模拟。 数据模型三要素。

数据结构：是所研究的对象类型的集合，它是刻画一个数据模型性质最重要的方面;数据结构是对系统静态特性的描述 数据操作:对数据库中数据允许执行的操作及有关的操作规则;对数据库中数据的操作主要有查询和更改（包括插入、修改、删除）;数据操作是对系统动态特性的描述 数据的约束条件:数据及其联系应该满足的条件限制 E-R图 实体：矩形框表示 属性：椭圆形(或圆角矩形)表示 联系：菱形表示 组织层数据模型 层次模型 网状模型 关系模型(用“二维表”来表示数据之间的联系) 基本概念: 关系（Relation） :一个关系对应通常说的一张表 元组（记录）: 表中的一行 属性（字段）：表中的一列，给每一个属性名称即属性名 分量：元组中的一个属性值，分量为最小单位，不可分 主码（Key）：表中的某个属性组，它可以唯一确定一个元组。 域（Domain）：属性的取值范围。

高一单招数学数列全章知识点(完整版)

数列知识梳理 一、看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) 三、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题： (1)当1a >0,d<0时，满足?? ?≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足???≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意 转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法：

（1）利用观察法求数列的通项. （2）利用公式法求数列的通项：① ? ? ? ≥ - = = - )2 ( )1 1 1 n S S n S a n n n （；②{} n a等差、等比数列{}n a公式. 1、已知{a n}满足a n+1=a n+2，而且a1=1。求a n。 例1已知 n S为数列{}n a的前n项和，求下列数列{}n a的通项公式： ⑴1 3 22- + =n n S n ；⑵1 2+ =n n S. （3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项： ①) ( 1 n f a a n n + = + ；②). ( 1 n f a a n n = + 数列求和的常用方法 一公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n2 )1 ( 2 ) ( 1 1 - + = + = 2、等比数列求和公式： ?? ? ? ? ≠ - - = - - = = )1 ( 1 1 ) 1( )1 ( 1 1 1 q q q a a q q a q na S n n n 二.裂项相消法:适用于 ? ? ? ? ? ? +1 n n a a c 其中{ n a}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。 例2 求数列 )1 (n 1 + n 的前n项和 ***这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1） 1 1 1 )1 ( 1 + - = + = n n n n a n

【VIP专享】毛概各章节考试知识点总结(期末复习专用)

Unit 1 ●第一次定义毛泽东思想是中共七大 ●形成的时代背景主题是帝国主义战争和无产阶级革命 ●邓小平理论，十五大 ●三个代表重要思想核心，坚持党的先进性 ●第一次提出科学发展观，2003年10月党的十六届三中全会 ●科学发展观的第一要义是发展 Unit 2 ●中共七大确立实事求是的思想路线 ●邓小平1978年12月十一届三中全会重新确立实事求是的思想路线 ●马克思主义最重要的理论品质是与时俱进 ●解放思想是发展中国特色社会主义的一大法宝 ●党的全部工作的出发点和归宿是必须尊重群众的利益和愿望 ●实事求是的基本涵义是从客观存在的一切事物中，去研究事物的发展规律●实事求是思想路线的前提和基础是一切从实际出发 ●实事求是思想路线的根本途径和方法是理论联系实际 ●实事求是思想路线的验证条件和目的是在实际中检验真理和发展真理 ●党的思想路线的实质和核心是实事求是 ●马克思主义中国化的各个理论成果的精髓是实事求是 Unit 3 ●新民主主义革命理论达到成熟是在抗日战争时期 ●中国革命的主要经验和主要纲领是人民民主专政 ●中国革命的对象：帝国主义，封建主义，官僚资本主义 ●新民主主义革命的主力军是农民阶级 ●新民主主义国家的政体是民主集中制的人民代表大会制度 ●中国革命的主要斗争形式是武装斗争 ●党在创建初期，革命的中心是在城市 Unit 4 ●过渡时期总路线中的一化指的是工业化

●过渡时期总路线中的主体是社会主义工业化 ●国民经济恢复时在1949-1952 ●土地改革后，国内的主要矛盾是资产阶级和工人阶级的矛盾 ●具有社会主义萌芽性质的农业合作化形式是农业互助组 ●具有半社会主义性质的合作社是农业初级社 ●1956年三大社会主义改造的基本完成，标志着我国社会主义制度的基本确 立 Unit 5 ●左偏差开始于57年下半年 ●20世纪50年代，八大，陈云提出三个主体，三个补充 ●邓小平对社会主义本质的新的理论概括：解放生产力，发展生产力，消灭 剥削，消除两极分化，最终达到共同富裕 ●社会主义原则是第一发展生产，第二共同富裕 ●社会主义最大的优越性是共同富裕 ●社会主义的根本任务是解放和发展生产力 ●马克思主义认为，共产主义最终目的是实现人的自由而全面的发展 ●邓小平提出科学技术是第一生产力 Unit 6 ●认清一切革命的基本根据，是认清中国的国情，重要的是认清中国社会的 性质个所处的发展阶段 ●马克思主义创始人认为，未来社会要经历从资本主义社会到共产主义社会 的革命转变时期 ●最早提到社会主义发展阶段问题的是列宁 ●社会主义初级阶段完整理论是1987年党的十三大 ●我国的社会主义初级阶段时指，从社会主义改造基本完成到21世纪中叶社 会主义实现现代化的基本实现 ●我国社会主义初级阶段的主要矛盾是：人民日益增长的物质文化需要和落 后的社会生产之间的矛盾 ●社会主义初级阶段的基本路线：领导和团结全国各族人民，以经济建设为

(完整版)马原重点(必背)按章节整理

马原重点（必背）按章节整理 绪论 1.科学性与革命性的统一： 第一、辩证唯物主义与历史唯物主义是马克思主义最根本的世界观和方法论 第二、马克思主义政党的一切理论和奋斗都应致力于实现以劳动人民为主体的广大人民的根本利益，是鲜明的政治立场 第三、坚持一切从实际出发，理论联系实际，实事求是，在实践中检验真理和发展真理，是最重要的理论品质 第四、实现物质财富的极大丰富、人民精神境界的极大提高，每个人的自由而全面发展的共产主义社会，是最崇高的社会理想。 2．科学态度对待马克思主义 第一、学习理论武装头脑努力掌握理论的科学体系基本原理及基精神实质 第二、理论联系实际 第三、坚持与发展马克思主义 第一章 1.马克思主义物质观及其现代意义 马克思主义物质观，在批判继承旧唯物主义物质观的合理因素并对现代科学成果进行科学总结基础上形成的的科学理论成果，它的科学性和真理性不但为以往的实践检验所证实，且随着未来的社会进步和科学发展而深化。 第一，物质概念是唯物主义世界观理论体系的逻辑起点。列宁的物质概念及其意义。 第二，马克思主义物质观的现代意义。它被现代自然科学社会科学和思维科学的发展所证实和丰富，并提供了理论思维的方向原则和基本方法。 2.社会生活在本质上是实践的 从实践出发去理解社会生活的本质。 实践是人类社会的基础，一切社会现象只有在社会实践中才能找到最后的根源，才能得到最终的科学说明。 第一、实践是社会关系形成的基础。第二、实践形成了社会生活的基本领域。第三、实践构成了社会发展的动力。 3.主观能动性与客观规律性的关系 主观能动性又称自觉能动性，是指认识世界和改造世界中有目的、有计划、积极主动的活动能力。 客观规律性是指物质运动过程中所固有的本质的，必然的，稳定的联系。 尊重客观规律是发挥主观能动性的前提， 认识和利用规律又必须发挥人的主观能动性 4.唯物辩证法的基本观点

数列全章知识点总结

数列知识点题型法总复习 一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如 （1）已知* 2 () 156 n n a n N n =∈ + ，则在数列{}n a的最大项为__（ 1 25 ）； （2）数列} { n a的通项为 1 + = bn an a n ，其中b a,均为正数，则 n a与 1+ n a的大小关系为___（ n a< 1+ n a）； （3）已知数列{} n a中，2 n a n n λ =+，且{} n a是递增数列，数λ的取值围（3 λ>-）；（4）一给定函数) (x f y=的图象在下列图中，并且对任意)1,0( 1 ∈ a，由关系式) ( 1n n a f a= + 得到的数列} { n a满足) (* 1 N n a a n n ∈ > + ，则该函数的图象是（A） A B C D 二．等差数列的有关概念： 1．等差数列的判断法：定义法 1 ( n n a a d d + -=为常数）或 11 (2) n n n n a a a a n +- -=-≥。如设{} n a是等差 数列，求证：以b n= n a a a n + + +Λ 2 1* n N ∈为通项公式的数列{} n b为等差数列。 2．等差数列的通项： 1 (1) n a a n d =+-或() n m a a n m d =+-。如(1)等差数列{} n a中， 10 30 a=， 20 50 a=， 则通项 n a=210 n+；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取 值围是______ 8 3 3 d <≤ 3．等差数列的前n和：1 () 2 n n n a a S + =， 1 (1) 2 n n n S na d - =+。如（1）数列{} n a中， * 1 1 (2,) 2 n n a a n n N - =+≥∈， 3 2 n a=，前n项和 15 2 n S=-，则 1 3 a=-，10 n=； （2）已知数列{} n a的前n项和2 12 n S n n =-，求数列{||} n a的前n项和 n T （答： 2* 2* 12(6,) 1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈ ? =? -+>∈ ?? ）. 4．等差中项：若,, a A b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且 2 a b A + =。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、n a及n S，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2 a d a d a a d a d --++…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3 a d a d a d a d --++,…（公差为2d） 三．等差数列的性质： 1．当公差0 d≠时，等差数列的通项公式 11 (1) n a a n d dn a d =+-=+-是关于n的一次函数，且斜率 为公差d；前n和2 11 (1) () 222 n n n d d S na d n a n - =+=+-是关于n的二次函数且常数项为0. 2．若公差0 d>，则为递增等差数列，若公差0 d<，则为递减等差数列，若公差0 d=，则为常数