高一数学必修一集合与函数的概念单元测试题附答案解析
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝( ) A ．{0} B ．{0,2} C ．{－2,0} D ．{－2,0,2}
2．设f ：x →|x |是集合A 到集合B 的映射，若A ＝{－2,0,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{2} C ．{0,2} D ．{－2,0}
3．f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点在函数f (x )图象上的是( ) A ．(3，－2) B ．(3,2) C ．(－3，－2) D ．(2，－3)
4．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9
5．若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( )
A ．f (x )＝9x ＋8
B ．f (x )＝3x ＋2
C ．f (x )＝－3x －4
D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4 6．设f (x )＝??
?
x ＋3
x >10，f x ＋5 x ≤10，
则f (5)的值为( ) A ．16 B ．18 C ．21 D ．24
7．设T ＝{(x ，y )|ax ＋y －3＝0}，S ＝{(x ，y )|x －y －b ＝0}，若S ∩T ＝{(2,1)}，则a ，b 的值为( )
A ．a ＝1，b ＝－1
B ．a ＝－1，b ＝1
C ．a ＝1，b ＝1
D ．a ＝－1，b ＝－1
8．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) C ．(－1,0)
9．已知A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f 是从A 到B 映射的对应关系，则满足f (0)>f (1)的映射有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个
D ．6个
10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0，
则当n ∈N *时，有( )
A ．f (－n ) B ．f (n －1) C ．f (n ＋1) D ．f (n ＋1) ①f (0)＝0； ②若f (x )在[0，＋∞)上有最小值为－1，则f (x )在(－∞，0]上有最大值为1；③若f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则f (x )在(－∞，－1]上为减函数；④若x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时，f (x )＝－x 2－2x .其中正确说法的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12．f (x )满足对任意的实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝2，则f 2f 1＋f 4f 3＋f 6 f 5＋… ＋f 2014 f 2013＝( ) A ．1006 B ．2014 C ．2012 D ．1007 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数y ＝ x ＋1 x 的定义域为________． 14．f (x )＝?? ? x 2＋1 x ≤0，－2x x >0 ， 若f (x )＝10，则x ＝________. 15．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 16．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨为700元，那么客户购买400吨，单价应该是________元． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1 (2)若A ∩C ≠?，求a 的取值范围． 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1＋x 2 1－x 2. (1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性； (3)求证：f ? ?? ?? 1x ＋f (x )＝0. 19．(本小题满分12分)已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x . (1)求当x <0时，f (x )的解析式； (2)作出函数f (x )的图象，并指出其单调区间． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x ＋1 x ＋1 ， (1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )为增函数，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )． (1)求证：f ? ?? ?? x y ＝f (x )－f (y )； (2)若f (3)＝1，且f (a )>f (a －1)＋2，求a 的取值范围． 22．(本小题满分12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系： x30404550 y6030150 (1)(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式． (2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润 1.解析 M ＝{x |x (x ＋2)＝0.，x ∈R }＝{0，－2}，N ＝{x |x (x －2)＝0，x ∈R }＝{0,2}，所以M ∪N ＝{－2,0,2}．答案 D 2. 解析 依题意，得B ＝{0,2}，∴A ∩B ＝{0,2}．答案 C 3. 解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－3)＝－f (3)． 又f (－3)＝2，∴f (3)＝－2，∴点(3，－2)在函数f (x )的图象上．答案 A 4. 解析 逐个列举可得．x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y ＝0，－1，－2；x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y ＝1,0，－ 1；x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y ＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B 的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．答案 C 5. 解析 ∵f (3x ＋2)＝9x ＋8＝3(3x ＋2)＋2，∴f (x )＝3x ＋2.答案 B 6. 解析 f (5)＝f (5＋5)＝f (10)＝f (15)＝15＋3＝18.答案 B 7. 解析 依题意可得方程组??? 2a ＋1－3＝0，2－1－b ＝0，???? a ＝1， b ＝1. 答案 C 8. 解析 由－1<2x ＋1<0，解得－1 ? ??－1，－12.答案 B 9. 解析 当f (0)＝1时，f (1)的值为0或－1都能满足f (0)>f (1)；当f (0)＝0时，只有f (1)＝－1满足f (0)>f (1)； 当f (0)＝－1时，没有f (1)的值满足f (0)>f (1)，故有3个．答案 A 10.解析 由题设知，f (x )在(－∞，0]上是增函数，又f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上为减函数． ∴f (n ＋1) ∴f (n ＋1) 11. 解析 ①f (0)＝0正确；②也正确；③不正确，奇函数在对称区间上具有相同的单调性；④正确． 答 案 C 12. 解析 因为对任意的实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝2，由f (2)＝f (1)·f (1)，得 f (2) f (1)＝f (1)＝2， 由f (4)＝f (3)·f (1)，得f (4) f (3)＝f (1)＝2， …… 由f (2014)＝f (2013)·f (1)， 得f (2014) f (2013)＝f (1)＝2， ∴f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2014) f (2013)＝1007×2＝2014. 答案 B 13. 解析 由??? x ＋1≥1， x ≠0 得函数的定义域为{x |x ≥－1，且x ≠0}． 答案 {x |x ≥－1，且x ≠0} 14. 解析 当x ≤0时，x 2＋1＝10，∴x 2＝9，∴x ＝－3. 当x >0时，－2x ＝10，x ＝－5(不合题意，舍去)． ∴x ＝－3. 答案 －3 15. 解析 f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2为偶函数，则2a ＋ab ＝0，∴a ＝0，或b ＝－2. 又f (x )的值域为(－∞，4]，∴a ≠0，b ＝－2，∴2a 2＝4. ∴f (x )＝－2x 2＋4. 答案 －2x 2＋4 16. 解析 设一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)，把??? x ＝800， y ＝1000， 和??? x ＝700，y ＝2000，代入求得? ?? a ＝－10， b ＝9000. ∴y ＝－10x ＋9000，于是当y ＝400时，x ＝860. 答案 860 17. 解 (1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1 ＝{x |1 18. 解 (1)由解析式知，函数应满足1－x 2≠0，即x ≠±1. ∴函数f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠±1}． (2)由(1)知定义域关于原点对称， f (－x )＝1＋(－x )21－(－x )2＝1＋x 21－x 2＝f (x )． ∴f (x )为偶函数． (3)证明：∵f ? ???? 1x ＝1＋? ??? ?1x 21－? ??? ?1x 2＝x 2＋1x 2－1 ， f (x )＝1＋x 2 1－x 2 ， ∴f ? ?? ?? 1x ＋f (x )＝x 2＋1x 2－1＋1＋x 21－x 2 ＝ x 2＋1x 2－1 －x 2＋1 x 2－1 ＝0. 19. 解 (1)当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x . 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )． ∴当x <0时，f (x )＝x 2＋2x . (2)由(1)知，f (x )＝??? x 2－2x (x ≥0)， x 2＋2x (x <0). 作出f (x )的图象如图所示： 由图得函数f (x )的递减区间是(－∞，－1]，[0,1]． f (x )的递增区间是[－1,0]，[1，＋∞)． 20. 解 (1)函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．证明如下： 任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1 2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2 (x 1＋1)(x 2＋1) ， ∵x 1－x 2<0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1) (2)由(1)知函数f (x )在[1,4]上是增函数，最大值f (4)＝95，最小值f (1)＝3 2. 21. 解 (1)证明：∵f (x )＝f ? ???? x y · y ＝f ? ?? ??x y ＋f (y )，(y ≠0) ∴f ? ?? ?? x y ＝f (x )－f (y )． (2)∵f (3)＝1，∴f (9)＝f (3·3)＝f (3)＋f (3)＝2. ∴f (a )>f (a －1)＋2＝f (a －1)＋f (9)＝f [9(a －1)]． 又f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数， ∴??? a >0，a －1>0，a >9(a －1)，