(精)人教版九年级数学上册《二次函数》全章导学案

22.1.1 二次函数及其图像

22.1.1 二次函数

【学习目标】

1. 了解二次函数的有关概念．

2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。

3. 确定实际问题中二次函数的关系式。

学习重难点：

重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；

难点：理解二次函数的概念。

【学法指导】

类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。导学流程：

【学习过程】 一、知识链接：

1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。

2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数；形如

0)k ≠（的函数是反比例函数。

二、自主学习：

1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。

分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = .

2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．

3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。

4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？

。 5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________．

三、合作交流：

（1）二次项系数a 为什么不等于0？

答： 。 （2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？

答： .

四、跟踪练习

1．观察：①2

6y x =；②2

35y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④3

2y x x =-；⑤2

1

3y x x

=-

+；⑥()2

2

1y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。（只填序号）

2.2

(1)31m

m

y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________．

3.若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为2

52s t t =+，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。

4.二次函数2

3y x bx =-++．当x ＝2时，y ＝3，则这个二次函数解析式为 ． 5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

22.1.2二次函数2y ax =的图象

【学习目标】

1．知道二次函数的图象是一条抛物线； 2．会画二次函数y ＝ax 2的图象；

3．掌握二次函数y ＝ax 2的性质，并会灵活应用．（重点） 学习重难点：

重点: 抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象 难点: 画出二次函数y=ax 2的图象以及探索二次函数性质

【学法指导】

数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数. 【学习过程】 一、知识链接：

1.画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。

2.一次函数图象的形状是 ； 二、自主学习

（一）画二次函数y ＝x 2的图象．

1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？ 答：

2.归纳：

① 由图象可知二次函数2

x y =的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线； ②抛物线2

x y =是轴对称图形，对称轴是 ；

③2

x y =的图象开口_______；

④ 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线2

x y =的顶点坐标是 ；

它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y 有最 值等于0.

⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即x <0时，y 随x 的增大而 ，x >0时，y 随x 的增大而 。 （二）例1在图（4）中，画出函数2

2

1x y =

，2x y =，22x y =的图象． 解：列表：

三、合作交流： 归纳：

抛物线2

ax y =的性质

y=ax 2(a≠0)

a>0

a<0图象

开口方向顶点坐标对称轴增减性

极值

x

y

O

y

x

O

向上向下(0 ,0)(0 ,0)y 轴y 轴

当x<0即对称轴左边时y 随着x 的增大而减小。当x>0时，y 随着x 的增大而增大。当x<0即对称轴右边时,y 随着x 的增大而增大。

当x>0时，

y 随着x 的增大而减小。x=0时,y 最小=0x=0时,y 最大=0抛物线y=ax 2(a≠0)的形状是由a 决定，开口大小由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.

2.当a ＞0时，在对称轴的左侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 0时y 随x 的增大而 。

3．在前面图（4）中，关于x 轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？

答： 。由此可知和抛物线2

ax y =关于

x 轴对称的抛物线是 。

4．当

a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________；当a ＜0时，a 越大，抛物线的开口越

_________；因此，a 越大，抛物线的开口越________。

四、课堂训练 1．函数2

7

3x y =

的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x ＝___________时，有最_________值是_________．

2. 函数2

6x y -=的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x ＝___________时，有最_________值是_________．

3. 二次函数()2

3x m y -=的图象开口向下，则m___________．

4. 二次函数y ＝mx

2

2-m 有最高点，则m ＝___________．

5. 二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值范围为___________． 6．若二次函数2

ax y =的图象过点（1，－2），则a 的值是___________．

7．如图，抛物线①2

5x y -=②2

2x y -= ③2

5x y =④2

7x y = 开口从小到大排列是

___________________________________；（只填序号）其中关于x 轴对称的两条抛物线是 和 。

8．点A （2

1，b ）是抛物线2

x y =上的一点，则b= ；过点A 作x 轴的

平行线交抛物线另一点B 的坐标是 。

9．如图，A 、B 分别为2

ax y =上两点，且线段AB ⊥y 轴于点（0,6），若AB=6，则该抛物线的表达式为 。 10. 当m= 时，抛物线m

m

x m y --=2

)1(开口向下．

11.二次函数2

ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．

（1）求a 、b 的值；

（2） 写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小．

22.1.3二次函数k ax y +=2的图象（一）

【学习目标】

1．知道二次函数k ax y +=2

与2

ax y =的联系． 2.掌握二次函数k ax y +=2的性质，并会应用；

学习重难点：

重点: y ＝ax 2＋k 与函数y ＝ax 2的相互关系

难点: 理解二次函数y ＝ax 2＋k 的性质，理解抛物线y ＝ax 2＋k 与抛物线y ＝ax 2的关系

【学法指导】

类比一次函数的平移和二次函数2

ax y =的性质学习，要构建一个知识体系。 【学习过程】

一、知识链接：直线12+=x y 可以看做是由直线x y 2= 得到的。

练：若一个一次函数的图象是由x y 2-=平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。 解：

由此你能推测二次函数2

x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系吗？ 猜想： 。 二、自主学习

（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数2

x y =，12

+=x y ，12

-=x y 的图象．

2．可以发现，把抛物线2x y =向______平移______个单位，就得到抛物线12+=x y ；把抛物线2

x y =向_______平移______个单位，就得到抛物线12

-=x y .

3．抛物线2x y =，12+=x y ，12

-=x y 的形状_____________．开口大小相同。 三、知识梳理：（一）抛物线k ax y +=2

特点：

1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；

2. 顶点坐标是 ；

3. 对称轴是 。

（二）抛物线k ax y +=2

与2

y ax =形状相同，位置不同，k ax y +=2是由2

y ax = 平移得到的。（填上下或左右） 二次函数图象的平移规律：上 下 。

（三）a 的正负决定开口的 ；a 决定开口的 ，即a 不变，则抛物线的形状 。

因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 。抛物线

k ax y +=2性质

y ＝ax 2+k a>0a<0

图象

开口方向向上向下顶点坐标对称轴增减性极值

(0 ,k)(0 ,k)y 轴y 轴

当x<0时，

y 随着x 的增大而减小。当x>0时，

y 随着x 的增大而增大。

当x<0时,y 随着x 的增大而增大。

当x>0时，y 随着x 的增大而减小。

x=0时,y 最小=k x=0时,y 最大=k 抛物线y=ax 2+k (a≠0)的图象是由抛物线y=ax2上下平移得来的

三、跟踪练习：

1.抛物线2

2x y =向上平移3个单位，就得到抛物线__________________； 抛物线22x y =向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．

2．抛物线232

+-=x y 向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状__________，当x = 时，y 有最 值是 。

3．由抛物线352

-=x y 平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是 ，是把原抛物线向 平移 个单位得到的。

4. 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线2

x y -=的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．

5. 抛物线142

+=x y 关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________． 6.二次函数k ax y +=2()0≠a 的经过点A （1，-1）、B （2，5）.

⑴求该函数的表达式；

⑵ 若点C(-2，m ),D （n ，7）也在函数的上，求m 、n 的值。

22.1.3二次函数2)(h x a y -=的图象（二）

【学习目标】

1．会画二次函数2

)(h x a y -=的图象；

2.知道二次函数2

)(h x a y -=与2

ax y =的联系． 3.掌握二次函数2)(h x a y -=的性质，并会应用；

学习重难点：

重点：会用描点法画出二次函数y ＝a(x －h)2的图象，理解二次函数y ＝a(x －h)2的性质， 难点：理解二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2的图象的相互关系 【学习过程】 一、知识链接：

1.将二次函数2

2x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。 2.将抛物线142+-=x y 的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。 二、自主学习

画出二次函数2

)1(+=x y ，2

)1(-=x y 的图象；先列表：

归纳：（1）2

)1(+=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。

图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ；

在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时

y 随x 的增大而 。

2

)1(+=x y 可以看作由2

x y =向 平移 个单位形成的。

（2）2

)1(-=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点，

即x = 时，y 有最 值是 ； 在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时y 随x 的增大而 。

2)1(+=x y 可以看作由2x y =向 平移 个单位形成的。

三、知识梳理

（一）抛物线2

)(h x a y -=特点：

1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；

2. 顶点坐标是 ；

3. 对称轴是直线 。

（二）抛物线2

)(h x a y -=与2

y ax =形状相同，位置不同，2)(h x a y -=是由2

y ax = 平移得到的。（填上下或左右）

结合学案和课本第34页可知二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。

（三）a 的正负决定开口的 ；a 决定开口的 ，即a 不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 。）抛物线

2)(h x a y -=性质

y=a(x-h)2(a≠0)

a>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值

向上向下(h ,0)(h ,0)x =h

x =h

当x

y 随着x 的增大而减小。当x>h 时，

y 随着x 的增大而增大。

当x

y 随着x 的增大而增大。当x>h 时，

y 随着x 的增大而减小。

x=h 时,y 最小值=0x=h 时,y 最大值=0

抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的图象可由y=ax 2的图象通过左右平移得到.

四、课堂训练

1．抛物线()2

23y x =+的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，

y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。

2. 抛物线2

2(1)y x =--的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x

时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。

3. 抛物线2

21y x =-的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______； 4.抛物线25y x =向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________． 5. 抛物线24y x =-向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________． 6．将抛物线()2

123

y x =-

-向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________． 7．抛物线()2

42y x =-与y 轴的交点坐标是_______，与x 轴的交点坐标为________．

8. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线2

2y x =-都相同的二次函数解析式_______________．

22.1.3二次函数()k h x a y +-=2的图象（三）

【学习目标】

1．会画二次函数的顶点式()k h x a y +-=2

的图象；

2．掌握二次函数()k h x a y +-=2

的性质；

学习重难点：

重点：确定函数y=a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x －h)2＋k 的性质

难点：正确理解函数y=a(x －h)2＋k 的图象与函数y=ax 2

的图象之间的关系

【学习过程】 一、知识链接：

1.将二次函数2

-5y x =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。

2.将抛物线2

y x =-的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为 。

二、自主学习

在右图中做出ｙ＝-?(x ＋1)2-1的图象： 观察：1. 抛物线ｙ=-?(x ＋1)2-1开口向 ； 顶点坐标是 ；对称轴是直线 。

2. 抛物线ｙ=-?(x ＋1)2-1和2

y x =的形状 ，位

置 。（填“相同”或“不同”）

3. 抛物线ｙ=-?(x ＋1)2-1是由2

y x =如何平移得到的？

答： 。

三、合作交流

平移前后的两条抛物线a 值变化吗？为什么？

答： 。

四、知识梳理

结合上图和课本第35页例3归纳： （一）抛物线2

()+y a x h k =-的特点：

1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；

2. 顶点坐标是 ；

3. 对称轴是直线 。

（二）抛物线2

()+y a x h k =-与2

y ax =形状 ，位置不同，2

()+y a x h k =-是由2

y ax =平移得到的。

二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。

（三）平移前后的两条抛物线a 值 。二次函数()k h x a y +-=2

的性质；

五、跟踪训练 1.二次函数2)1(212+-=

x y 的图象可由22

1

x y =的图象（ ） A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到

C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到

D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到

2.抛物线()2

1653

y x =-

-+开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x ＝ 时，y 有最 值为 。 3.填表：

4.函数()2

231y x =--的图象可由函数2

2y x =的图象沿x 轴向 平移 个单位，再沿y 轴

向 平移 个单位得到。

5.若把函数()2

523y x =-+的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。

6. 顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线2

12

y x =相同的解析式为（ ） A ．()2

1232

y x =

-+ B ．()2

1232

y x =

+-

C ．()2

1232

y x =

++

D ．()2

1232

y x =-

++ 7.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线22y x =相同，对称轴和抛物线()22y x =-相同，且顶点

纵坐标为0，求此抛物线的解析式.

22.1.3二次函数()k h x a y +-=2的图象（四）

【学习目标】

会用二次函数()k h x a y +-=2

的性质解决问题；

学习重难点：

1．会确定函数y=a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

2．让学生经历函数y=a(x －h)2＋k 性质的探索过程，理解函数y=a(x －h)2＋k 的性质。

【学习过程】 一、知识链接：

1.抛物线2

2(+1)3y x =--开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x ＝ 时，y 有最 值为 。当x 时，y 随x 的增大而增大. 2. 抛物线2

2(+1)3y x =--是由2

2y x =-如何平移得到的？

答： 。 二、自主学习

1.抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？ 分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。

2.仔细阅读课本第36页例4：

分析：由题意可知：池中心是 ，水管是 ，点 是喷

头，线段 的长度是1米，线段 的长度是3米。 由已知条件可设抛物线的解析式为 。抛物线的解

析式中有一个待定系数，所以只需再确定 个点的坐标即可，这个点是 。 求水管的长就是通过求点 的 坐标。

二、跟踪练习：1、已知y ＝2x 2的图象是抛物线,若抛物线不动,把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个

单位，那么在新坐标系下抛物线的关系式是（ ）

A 、y ＝2 (x －2)2＋2

B 、y ＝2(x +2)2—2

C 、y ＝a2(x －2)2—2

D 、y ＝2 (x +2)2-2

2、将抛物线y ＝2x 2向左平移4个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为________________________．

3．y ＝6x 2＋3与y ＝6 (x －1)2＋10_____________相同，而____________不同． 4．二次函数y ＝(x －1)2＋2的最小值为__________________．

5．将抛物线y ＝5(x －1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．

6．若抛物线y ＝ax 2＋k 的顶点在直线y ＝－2上，且x ＝1时，y ＝－3，求a 、k 的值． 7．若抛物线y ＝a (x －1)2＋k 上有一点A （3，5），则点A 关于对称轴对称点A ’的坐标为 __________________．

三、能力拓展 1.知识准备

如图抛物线()2

14y x =--与x 轴交于A,B 两点，交y 轴于点D ，抛物线的顶点为点C （1） 求△ABD 的面积。 （2） 求△ABC 的面积。

（3） 点P 是抛物线上一动点，当△ABP 的面积为4时，求所有符合条件的点P 的坐标。 （4） 点P 是抛物线上一动点，当△ABP 的面积为8时，求所有符合条件的点P 的坐标。 （5） 点P 是抛物线上一动点，当△ABP 的面积为10时，求所有符合条件的点P 的坐标。

22.1.4二次函数2y ax bx c =++的图象

【学习目标】

1.能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2

化成2

()+y a x h k =-的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。

2．熟记二次函数c bx ax y ++=2

的顶点坐标公式； 3．会画二次函数一般式c bx ax y ++=2

的图象．

学习重难点：

重点: 用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 难点: 理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴 【学习过程】 一、知识链接：

1.抛物线()2

231y x =+-的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当x = 时y 有最 值是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小。 2. 二次函数解析式2

()+y a x h k =-中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。 二、自主学习：

（一）、问题：（1）你能直接说出函数ｙ＝?X 2-6X ＋21的图像的对称轴和顶点坐标吗？ （2）你有办法解决问题（1）吗？

解：ｙ＝?X 2-6X ＋21

的顶点坐标是 ，对称轴是 .

（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.( 二）、用描点法画出的图像. ｙ＝?X 2-6X ＋21 （1）顶点坐标为 ；

（2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）

（3）描点，并连线：

（4）观察：①图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ；

②x 时，y 随x 的增大而增大；x 时y 随x 的增大而减小。

③该抛物线与y 轴交于点 。 ④该抛物线与x 轴有 个交点.

（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：

①222+-=x x y ③

c bx ax y ++=2

（5）归纳：二次函数的一般形式c bx ax y ++=2

可以用配方法转化成顶点式： ，因此抛物线c bx ax y ++=2

的顶点坐标是 ；对称轴是 ，

（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。 用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。

① 4322

+-=x x y ②222

++-=x x y ③x x y 42

--=

三、合作交流

求ｙ＝

?X 2-6X ＋21顶点的横坐标x=6后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比较。

四、知识梳理

结合上图和课本第

38

页归纳：二次函数2

y ax bx c =++的性质；

四、跟踪练习：

1．填空：(1)抛物线y ＝x 2－2x ＋2的顶点坐标是_____；(2)抛物线y ＝2x 2

－2x －52

的开口_____，对称

轴是_____；(3)抛物线y ＝－2x 2

－4x ＋8的开口_____，顶点坐标是____；(4)抛物线y ＝－12

x 2＋2x ＋4

的对称轴是_____；(5)二次函数y ＝ax 2

＋4x ＋a 的最大值是3，则a ＝_____．

2．画出函数y ＝2x 2

－3x 的图象，说明这个函数具有哪些性质。 3．用配方法求二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1的顶点坐标． 4．用两种方法求二次函数y ＝3x 2＋2x 的顶点坐标．

5．二次函数y ＝2x 2＋bx ＋c 的顶点坐标是（1，－2），则b ＝______，c ＝_______．

6．已知二次函数y ＝－2x 2－8x －6，当___________时，y 随x 的增大而增大；当x ＝________时，y 有_________值是___________．

7．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y ＝1

2

x 2－2－1的顶点坐标．

22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式

【学习目标】

1．若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式y ax bx c =++2

（a ≠0）求解析式。 2．若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式

，其中（h ，k ）为顶点坐标。

3．若已知二次函数图象与x 轴的两交点坐标，则应用交点式

北师大版九年级数学下第二章《二次函数》单元测试题(含答案).doc

第二章二次函数单元测试 一、选择题 (本大题共7 小题，共 28 分 ) 1．已知抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c 的开口向下，顶点坐标为 (2，－ 3)，那么该抛物线有 () A．最小值－ 3 B．最大值－ 3 C．最小值 2 D ．最大值 2 2．已知二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c 的 x 与 y 的部分对应值如下表： x －1 0 1 2 3 y 5 1 － 1 － 1 1 则该二次函数图象的对称轴为( ) 5 3 A ． y 轴B．直线 x＝2 C．直线 x＝2 D．直线 x＝2 3．若二次函数 y＝ (m－ 1)x2－ mx－ m2＋1 的图象过原点，则 m 的值为 () A．±1 B． 0 C． 1 D．－1 图 8－Z－1 c 4．一次函数 y＝ ax＋ b 和反比例函数y＝x在同一平面直角坐标系中的图象如图8－ Z－ 1 所示，则二次函数y＝ax2＋ bx＋ c 的图象大致为 () 图 8－Z－2 为 5．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为 18 元，降价后的价格为y 元，则 y 与 x 之间的函数关系式为() x，该药品原价A ． y＝ 36(1－ x) B． y＝ 36(1＋ x) C．y＝ 18(1 － x)2 D． y＝ 18(1＋ x2)

图 8－Z －3 6．如图 8－ Z － 3 是二次函数 y ＝ax 2＋ bx ＋ c 图象的一部分 ，图象过点 (－ 3，0)，对称轴 ① b 2 ＞ 4ac ；② 2a ＋ b ＝0；③ a ＋ b ＋ c>0；④若点 B － 5 为直线 x ＝－ 1，给出四个结论： 2， y 1 ， C － 1 ，y 2 为函数图象上的两点 ，则 y 1＜ y 2.其中正确的是 ( ) 2 A ．②④ B ．①④ C ．①③ D ．②③ 图 8－Z －4 7．如图 8－ Z －4， Rt △ OAB 的顶点 A(－ 2，4)在抛物线 y ＝ax 2 上，将 Rt △OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°， 得到 △OCD ，边 CD 与该抛物线交于点 P ，则点 P 的坐标为 ( ) A ．( 2， 2) B ．(2，2) C ．( 2，2) D ．(2， 2) 二、填空题 (本大题共 5 小题，共 25 分 ) 8． 函数 y ＝ (x － 2)(3－ x)取得最大值时 ， x ＝ ________． 9． 将抛物线 y ＝ 2(x － 1)2＋ 2 向左平移 3 个单位 ，再向下平移 4 个单位长度 ，那么得到 的抛物线的表达式为 ____________ ． 10．如图 8－ Z － 5，某公路隧道横截面为抛物线 ，其最大高度为 8 m ，以隧道底部宽 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 垂直平分线为 y 轴建立如图 2－ Z － 7 所示的平面直角坐标系 ，若抛 物线的表达式为 y ＝－ 1 2 2 x ＋ b ，则隧道底部宽 AB 为 ________m.

湘教版九年级数学下第2章二次函数检测题及答案

第2章 二次函数检测题 （本检测题满分：120分，时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.抛物线向右平移3个单位得到的抛物线对应的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 2.已知二次函数的图象如图所示，则对应a ,k 的符号正确的是（ ） A. B. C. D. 3.把二次函数2 1 3212--- =x x y 的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的图象的解析式是（ ） A.x y (21- = B.x y (21- = C.x y (2 1- = D.x y (2 1- = 4.一次函数 与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） 5.在平面直角坐标系中，抛物线 与x 轴的交点的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 6.抛物线 轴的交点的纵坐标为（ ） x y O 第2题图

A.-3 B.-4 C.-5 Ｄ.-1 7.对于任意实数，抛物线 总经过一个固定的点，这个点是（ ） A.（1，0） B.（，0） C.（ ，3） D.（1，3） 8.已知抛物线经过原点和第一、二、三象限，那么（ ） A. B. C. D. 9.若（2， 5），（4， 5）是抛物线 上的两点，则它的对称轴是（ ） A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 10.已知二次函数的图象如图所示,其 对称轴为直线，给出下列结论: (1)；(2) ＞0；(3) ； (4) ；(5) . 期中正确的结论是（ ） A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(4)(5) C.(2)(3)(4) D.(1)(4)(5) 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.若抛物线 经过原点，则= . 12.如果二次函数1 6 图象顶点的横坐标为1，则的值为 . 13.对于二次函数 ， 已知当由1增加到2时，函数值减小3，则常数的值是 . 14.将抛物线3)3(22 +-=x y 向右平移2个单位后，再向下平移5个单位，所得抛物线的顶点坐标为_______. 15.抛物线在轴上截得的线段长度是 . 16.二次函数 的图象是由函数 的图象先 向 （左、右）平移 个单位，再向 （上、 下）平移 个单位得到的. 17.如图，已知抛物线 经过点（0,－3）, 请你确定一个的值使该抛物线与轴的一个交点在(1,0) 和(3,0)之间,你所确定的的值是 ． 第10题图 第17题图

最新人教版初中九年级数学上册《一元二次方程》导学案

第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 ——一元二次方程的相关概念 一、新课导入 1.导入课题： 情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高? 问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系） 问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题） 问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系式 BC2=2AC） 问题4：设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？ 这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题） 2.学习目标： （1）会设未知数，列一元二次方程. (2)了解一元二次方程及其根的概念. （3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数. 3.学习重、难点： 重点：一元二次方程的一般形式及相关概念. 难点：寻找等量关系. 二、分层学习 1.自学指导： （1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2. （2）自学时间：5分钟. （3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.

（4）自学参考提纲： ①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50-2x) cm，盒底的长为(100-2x) cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到. 先去括号5000-100x-200x+4x2=3600 移项合并同类项4x2-300x+1400=0 系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0 ②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场. 设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场. 整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？ 本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28. 你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到. 去括号x2-12x=28 系数化为1(两边同乘以2) x2-x=56 2.自学：学生可参考自学指导进行自学. 3.助学： （1）师助生： ①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程. ②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求. （2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨. 4.强化： （1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据. （2）练习：根据下列问题列方程 ①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π ②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长. 1 x(x-3)=9 2

九年级数学上册第二章单元练习卷

. 九年级数学上册第二章单元练习卷 一、选择题(每小题3分，共24分) 1.下列方程是一元二次方程的是（ ） A 、02=++c bx ax B 、012 =+-y x C 、02 =x D 、 21 2=+x x 2.把方程)2(5)2(-=+x x x 化成一般式，则a 、b 、c 的值分别是（ ） A 、1,-3,10 B 、1,7,-10 C 、1,-5,12 D 、1,3,2 3.若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC

最新人教版2018年九年级数学上册全册导学案(含答案)

第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题． 2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)及有关概念． 3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念． 重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索． 难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项． 一、自学指导．(10分钟) 问题1： 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为__(100－2x)cm __，宽为__(50－2x)cm __．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x 2－75x ＋350＝0__．① 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__． 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x （x －1）2__场．列方程__x （x －1） 2 ＝28__，化简整理，得__x 2－x －56＝0__．② 探究： (1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__． (2)它们最高次数分别是几次？__2次__．

北师大版数学九年级上册第二章各节练习题含答案

第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 同步练习题 1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ．x 2＋1 x ＝0 B ．(x －1)2＝(x ＋3)(x －2)＋1 C ．x ＝x 2 D ．ax 2＋bx ＋c ＝0 2．方程(m －1)x 2＋mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( ) A ．任何实数 B ．m≠0 C ．m≠1 D．m≠－1 3．方程2(x ＋2)＋8＝3x(x －1)的一般形式为________________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________． 4．把下列关于x 的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)3x 2＝5x －3； (2)(x ＋2)(x －2)＋3x ＝4. 5．设一个奇数为x ，与相邻奇数的积为323，所列方程正确的是( ) A ．x(x ＋2)＝323 B ．x(x －2)＝323 C ．x(x ＋1)＝323 D ．x(x －2)＝323或x(x ＋2)＝323 6．(1)一块长方形菜地的面积是150 m 2，如果它的长减少5 m ，那么菜地就变成正方形，若设原菜地的长为x m ，则可列方程为________________________________________________； (2)已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列方程为__________________. 7．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一般形式． (1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x ； (2)在新春佳节到来之际，九(6)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，求九(6)班的同学人数x. 8．已知长方形宽为x cm ，长为2x cm ，面积为24 cm 2，则x 最大不超过( )

北师大版九年级数学-第二章-一元二次方程知识点

北师大版九年级数学-第二章-一元二次方程知识点 知识点一：认识一元一次方程 （一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元）并且未知数的次数是2（二次）的整式方程；这样的方程叫一元二次方程. （注意：一元二次方程必须满足以下三个条件：是整式方程；一元；二次） （二） 一元二次方程的一般形式：把20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数；a ≠0）称为一元二次方程的一般形式.其中a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项. 【例题】 1、一元二次方程3x 2＝5x －1的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 . 2、一元二次方程（x+1）(3x －2)=10的一般形式是 . 3、当m= 时；关于x 的方程5)3(7 2 =---x x m m 是一元二次方程. 4、下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 23 2057 x +-= 知识点二：求解一元一次方程 （一）一元二次方程的根定义：使得方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 【例题】 例1、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0；则a 值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、1 2 （二）解一元二次方程的方法： 1.配方法 <即将其变为2()0x m +=的形式> 配方法解一元二次方程的基本步骤： ①把方程化成一元二次方程的一般形式； ②将二次项系数化成1； ③把常数项移到方程的右边； ④两边加上一次项系数的一半的平方； ⑤把方程转化成2()0x m +=的形式； ⑥两边开方求其根. 【例题】 例2 一元二次方程x 2-8x-1=0配方后可变形为（ ） A ．（x+4）2=17 B ．（x+4）2=15 C ．（x-4）2=17 D ．（x-4）2=15 例3 用配方法解一元二次方程x 2-6x-4=0；下列变形正确的是（ ） A ．（x-6）2=-4+36 B ．（x-6）2=4+36 C ．（x-3）2=-4+9 D ．（x-3）2=4+9 例4 x 2-6x-4=0； x 2-4x=1； x 2-2x-2=0 2. 公式法x = （注意在找abc 时须先把方程化为一般形式） 【例题】 例5若一元二次方程x 2+2x+a=0的有实数解；则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1 B ．a≤4 C ．a≤1 D ．a≥1 例6 已知一元二次方程2x 2-5x+3=0；则该方程根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．两个根都是自然数 D ．无实数根 例7 已知关于x 的方程x 2+2x+a-2=0． （1）若该方程有两个不相等的实数根；求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时；求a 的值及方程的另一根． 3.分解因式法 把方程的一边变成0；另一边变成两个一次因式的乘积来求解.（主要包括“提公因式”和“十字相乘”） 【例题】 例8 一元二次方程x 2-2x=0的解是（ ） A ．0 B ．2 C ．0；-2 D ．0；2 例9 方程3（x-5）2=2（x-5）的根是 例10 x 2-3x+2=0； x 2+2x=3； （x-1）2+2x （x-1）=0 知识点三：一元二次方程的根与系数的关系 1.根与系数的关系：如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为x1、x2；则有：1212,b c x x x x a a +=-?= . 2.一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根；求另一根； （2）不解方程；求二次方程的根x1、x2的对称式的值. （3）对比记忆以下公式：

九年级数学下册 第二章 圆复习教案 (新版)湘教版

圆 教学目标： 【知识与技能】 掌握本章重要知识.能灵活运用有关定理,公式解决具体问题. 【过程与方法】 通过梳理本章知识,回顾解决问题中所涉及的数形结合思想,分类讨论思想的过程,加深对本章知识的理解. 【情感态度】 在运用本章知识解决具体问题过程中,进一步体会数学与生活的密切联系,增强数学应用意识,感受数学的应用价值,激发学生兴趣. 【教学重点】 回顾本章知识点,构建知识体系. 【教学难点】 利用圆的相关知识解决具体问题. 教学过程： 一、知识框图，整体把握 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构框图，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回顾边建立结构框图. 二、释疑解惑，加深理解 1.垂径定理及推论的应用 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 拓展:①弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 说明:由垂径定理及其推论,可知对于一个圆和一条直线.如果具备下列五个性质中的两个,那么就具备其余三个性质.这五个性质分别为:①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧. 特别注意:此处被平分的弦不能是直径,因为在圆中,任意两条直径总是互相平分的. 2.三角形内切圆的半径r,周长l与面积S之间的关系.与三角形各边都相切的圆叫做三角形内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.所以,三角形的内心到三角形三边的距离相等,并且一定在三角形内,三角形有唯一的一个内切圆,而圆有无数

九年级上数学第二章知识点讲解

第二章一元二次方程知识点 1.一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数 的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方 程。 2．一元二次方程的一般形式： )0(02≠=++a c bx ax ，其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 3.一元二次方程的解法 （1） 直接开平方法 直接开平方法适用于解形如 b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=， 当b<0时，方程没有实数根。 （2） 配方法 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并 用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 （3） 公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x （4） 因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 4.一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 中，ac b 42 -叫做一元二次 方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示， 即ac b 42 -=? 5. 一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是 21x x ，，那么a b x x -=+21，a c x x =21。

北师大版九年级数学下册第二章 二次函数单元测试(2)

第二章二次函数 单元测试（2） 一、选择题 1.抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（） A. 直线x=1 B. 直线x=﹣1 C. 直线x=﹣2 D. 直线x=2 2.若所求的二次函数图象与抛物线2 =--有相同的顶点，并且在对称轴 y2x4x1 的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（） A．224 =---（＞） y ax ax a y x x =-++ B．2230 C．2 y ax ax a a =-+-（＜） =--- D．2230 y x x 245 3.如图所示，抛物线的对称轴是直线，且图像经过点P（3，0），则的值为（） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 4.如果抛物线 y ＝－ x 2 +2( m －1) x + m +1与 x 轴交于 A 、 B 两点，且 A 点在 x 轴正半轴上， B 点在 x 轴的负半轴上，则 m 的取值范围应是（）A． m ＞1 B． m ＞－1 C． m ＜－1 D． m ＜1 5.已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为( ) A．3 B．－1 C．4 D．4或－1 6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则( ) A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0 7.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，给出下列结论： ①b2＝4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a－2b＋c＞0，其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8.已知二次函数y＝－2x2－4x＋1，当－5≤x≤0时，它的最大值与最小值分别是( ) A．1，－29 B．3，－29 C．3，1 D．1，－3 9.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝a x 与正比例函数y＝bx 在同一坐标系内的大致图象是( ) 10.北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米,(即AB ＝90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则次抛物线型钢拱的函数表达式为( ) A.y＝26 675x2 B.y＝ 26 675 -x2 C.y＝ 13 1350 x2 D.y＝ 13 1350 -x2 二、填空题 11.如图，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4，0)，Q两点关于它的对称轴直线x＝1对称，则点Q的坐标为________．

九年级数学第二章单元备课

第二章一元二次方程 教材分析 学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次的分式方程等知识，感受了方程模型的作用和价值，积累了一些利用方程解决问题的经验。但方程模型是丰富多彩的，一元二次方程是以前学过的方程知识的延续和深化，它在数学中同样有着广泛的应用，它也是以后学习其他数学知识的基础。 本章总体设计思路，遵循了“问题情境——建立模型——拓展、应用”的模式，课本在内容上安排三部分： 1．从问题到方程：紧密联系实际，创设具有时代气息以及学生感兴趣的问题情境，通过丰富的实例，引出一元二次方程，展现一元二次方程是刻画现实世界的有效模型，让学生体会一元二次方程与现实世界的密切联系。 2．解方程：解决数学内部问题——解方程，主要让学生探索一元二次方程的解法，使学生在尝试、比较、探索等活动中，发现解一元二次方程的基本方法——直接开方法、配方法、公式法、因式分解法，体会一元二次方程与一元一次方程知识的联系与转化，体会几种解法之间的相互联系。 3．用方程解决问题：设置了一些有一定挑战性和思考性的现实问题情境，通过解决这些丰富多彩的、贴近学生生活的实际问题，强化方程的模型思想，而且通过学生的自主探索研究，培养学生的分析问题、解决问题的能力，获得更多的解决问题的方法和经验，更好地体会数学的价值，同时也进一步使学生掌握好解方程的技能。 教学目标 1．知识与技能 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 2．过程与方法 （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．?根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念． （2）结合整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．

北师大版九年级数学下册第二章 二次函数单元测试

第二章 二次函数单元测试 一、选择题 1.抛物线的顶点坐标是( ) A. （2，1） B. （-2，-1） C. （-2，1） D. （2，-1） 2.如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于（ ） A ．8 B ．14 C ．8或14 D ．-8或-14 3.如图，抛物线与x 轴交于点（﹣1，0）和（3，0），与y 轴交于点（0，﹣3）则此抛物线对此函数的表达式为（ ） A. y=x 2+2x+3 B. y=x 2﹣2x ﹣3 C. y=x 2﹣2x+3 D. y=x 2+2x ﹣3 4.函数 的图像如图所示，那么关于x 的方程 的 根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个异号实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．无实数根 5.若一元二次方程 02=+-n mx x 无实根，则抛物线n mx x y +-=2 的图象位于（ ） A.x 轴上方 B.第一、二、三象限 C.x 轴下方 D.第二、三、四象限 6.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y 与月份n 之间的函数关系式是y=-n2+15n-36，那么该企业一年中应停产的月份是（ ） A ．1月，2月 B ．1月，2月，3月

C ．3月，12月 D ．1月，2月，3月，12月 7.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，以下四个结论：①a ＞0； ②c ＞0；③b 2 －4ac ＞0；④－b 2a ＜0，正确的是( ) A ．①② B ．②④ C ．①③ D ．③④ 8.如果二次函数y ＝x 2－6x ＋8在x 的一定取值范围内有最大值(或最小值)3，则满足条件的x 的取值范围可以是( ) A ．－1≤x ≤5 B ．1≤x ≤6 C ．－2≤x ≤4 D ．－1≤x ≤1 9.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1的大致位置如图所示，那么直线y ＝ax ＋b 的图象可能是( ) 10.如图，抛物线44 12-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ .则线段OQ 的最大值是（ ） A ．3 B ．241 C ．2 7 D ．4 二、填空题 11.如图是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)， 与x 轴的一个交点是B(4，0)，直线y 2＝mx ＋n(m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下 列结论：①abc ＞0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x ＜4时，有y 2＞y 1；⑤x(ax ＋b)≤a ＋b ，其中 正确的结论是________．(只填序号)

【人教版】九年级数学上册全册导学案

第二十一章一元二次方程 21．1一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题． 2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念． 3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念． 重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索． 难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．

一、自学指导．(10分钟) 问题1： 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为__(100－2x)cm __，宽为__(50－2x)cm __．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x 2－75x ＋350＝0__．① 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__． 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x （x －1）2__场．列方程__x （x －1）2 ＝28__，化简整理，得__x 2－x －56＝0__．② 探究： (1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__． (2)它们最高次数分别是几次？__2次__．

北师大版九年级数学上册导学案

北师大版九年级数学上册课程纲要 平陌镇初级中学 ?课程类型：国家课程，必修课 ?设计教师：九年级数学组 ?适用年级：九年级 ?授课时间：48—53课时 【课程目标】 第一章证明（二） 1.了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式； 2.结合实例体会反证法的含义； 3.能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论； 4.能够用综合法证明等腰三角形的判定定理； 5.会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明问题； 6.掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理； 7.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立； 8.能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理既解决实际问题； 9.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论； 10.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形； 11.能够证明角平分线的性质定理、判定定理及相关结论； 12.能够利用尺规作已知角的平分线； 13.根据中垂线判定定理证明三角形三边中垂线共一点；根据角平分线判定定理证明三角形三内角角平分线共一点； 第二章一元二次方程 14.会用开平方法解形如(x+m)2=n (n≥0)的方程； 15.理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程； 16.体会转化的数学思想，用配方法解一元二次方程的过程； 17.利用配方法解数字系数的一般一元二次方程；

18.经历到方程解决实际，问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，培养学生数学应用的意识和能力； 19.进一步掌握用配方法解题的技能； 20.通过推导求根公式，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力； 21.会用公式法解一元二次方程； 22.会用分解因式法解系数简单的一元二次方程； 23.掌握黄金分割中黄金比的来历； 24.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力； 第三章证明（三） 25.体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法； 26.能运用综合法证明平行四边形的性质定理，及其它相关结论； 27.能运用综合法证明平行四边形的判定定理； 28.能运用综合法证明矩形性质定理和判定定理； 29.能运用综合法证明菱形的性质定理和判定定理； 30.能运用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论； 第四章视图与投影 31.通过具体活动，积累数学活动经验，进一步增强学生的动手实践能力和数学思维能力，发展学生的空间观念； 32.通过学习和实践活动，激发学生对视图与投影学习的好奇心，体会数学与生活的联系； 33.通过实例能够判断简单物体的三视图，能根据三种视图描述基本几何体或实物原型，实现简单物体与其三种视图之间的相互转化； 34.会画圆柱、三棱柱、四棱柱、圆锥、球的三视图； 35.通过实例了解中心投影和平行投影的含义及其简单应用，初步进行物体与其投影之间的相互转化； 36.通过实例了解视点、视线、盲区的含义及其在生活中的应用； 第五章反比例函数 37.经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，抽象出反比例函数的概念，并结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型的意义； 38.能画出反比例函数的图象，根据图像和解析表达式探索并理解反比例函数的主要性质； 39.逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合的数学思想方法；

北师大版数学九年级上册 第二章 一元二次方程 单元试题及答案

北师大版数学九上册 第二章 一元二次方程 单元试题及答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），此方程可变形为（ ） A.（x+b 2a ）2= b 2?4a c 4a 2 B. （x+b 2a ）2=4ac?b 24a 2 C. （x- b 2a ）2=b 2?4ac 4a 2 D. （x- b 2a ）2=b 2?4ac 4a 2 2. 对于任意实数k ，关于x 的方程x 2-2（k+1）x-k 2+2k-1=0的根的情况为（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．无法确定 3. 已知a ，b 是方程x 2+x-3=0的两个实数根，则a 2-b+2019的值是 A ．2023 B ．2021 C ．2020 D ．2019 4. 关于x 的一元二次方程x 2+2mx+m 2+m=0的两个实数根的平方和为12，则m 的值为（ ） A ．m=－2 B ．m=3 C ．m=3或m=－2 D ．m=－3或m=2 5. 已知一元二次方程x 2-x-3=0的较小根为x 1，则下面对x 1的估计正确的是（ ） A ．-2＜x1＜-1 B ．-3＜x1＜-2 C ．2＜x1＜3 D ．-1＜x1＜0 6. 某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x ，那么可列出的方程是（ ） A. 1000（1+x ）2＝3990 B. 1000+1000（1+x ）+1000（1+x ）2＝3990 C. 1000（1+2x ）＝3990 D. 1000+1000（1+x ）+1000（1+2x ）＝3990 7. 对于实数a ，b ，定义运算“﹡”：a ﹡b=22()() a a b a b ab a a b ?-≥??-

最新人教版九年级数学上册《一元二次方程》导学案

22．1 一元二次方程 一、学习目标 1、正确理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程； 2、知道一元二次方程的一般形式是2 0(ax bx c a b c ++=、、是常数，0a ≠） ，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项； 3、理解并会用一元二次方程一般形式中a ≠0这一条件； 4、通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣。 重难点关键 1．?重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 二、知识准备 1、只含有_____个未知数，且未知数的最高次数是_______的整式方程叫一元一次方程 2、方程2（x+1）=3的解是____________ 3、方程3x+2x=0.44含有____个未知数，含有未知数项的最高次数是_____，它____ （填“是”或“不是”）一元一次方程。 三、学习过程 1、 根据题意列方程： ⑴正方形桌面的面积是2㎡，求它的边长。 设正方形桌面的边长是x m ，根据题意,得方程_______________，这个方程含有_____个未知 数，未知数的最高次数是_____。 ⑵如图4-1，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m ，如果花园的面积是24㎡， 求花园的长和宽。 设花园的宽是x m,则花园的长是（19－2x ）m,根据题意，得：x (19－2x )=24，去括号， 得:______________这个方程含有____________个未知数，含有未知数项的最高次数是 ________。

最新九年级上数学第二章知识点

第二章一元二次方程 1.一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数 的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方 程。 2．一元二次方程的一般形式： )0(02≠=++a c bx ax ，其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做 一次项系数；c 叫做常数项。 3.一元二次方程的解法 （1） 直接开平方法 直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方 程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=， 当b<0时，方程没有实数根。 （2） 配方法 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并 用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 （3） 公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：

)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x （4） 因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 4.一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 中，ac b 42 -叫做一元二次 方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示， 即ac b 42 -=? 5. 一元二次方程根与系数的关系 如果方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a c x x =21。

九年级数学 第二章 二次函数

第二章 二次函数 A 卷 一、选择题（共25分） 1．二次函数y=x 2+4x+c 的对称轴方程是 （ ） A.x = -2 B.x=1 C.x=2 D.由c 的值确定 2．已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过原点和第一、二、三象限，那么 ( ) A.a>0,b>0,c>0 B.a<0,b<0,c=0 C.a<0,b<0,c>0 D.a>0,b>0,c=0 3．若（2, 5）、（4, 5）是抛物线y = ax 2+bx+c 上的两点，则它的对称轴方程是 ( ) A.x = -1 B.x = 1 C.x = 2 D.x = 3 4．若直线y=x-n 与抛物线y = x 2-x-n 的交点在x 轴上，则n 的取值一定为 （ ） A.0 B.2 C.0或2 D.任意实数 5．二次函数y = ax 2+bx+c 的图像如图所示，则点（,a b c c ） 在直角坐标系中的 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可 近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生 拿绳的手间距为4m ，手距地面均为lm ，学生丙、丁分别站 在距甲拿绳的手水平距离lm 、2.5m 处．绳子在甩到最高处 时刚好通过丙、丁的头顶．已知学生丙的身高是1.5m ，则学 生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）( ) A.1.5m B.1.625m C.1.66m D.1.67m 7．已知抛物线y=21(4)33x --的部分图像(如图)图像再次与x 轴 相交时的坐标是 ( ) A.(5,0) B.(6,0 ) C.(7,0) D.(8,0 ) 8．如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是①y = ax 2；②y = ax 2； ③y = cx 2； ④y = cx 2．则a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ） A.a>b>c>d B. a>b>d> c C.b > a >c>d D.b>a>d> c 9．(05绍兴）小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数 h=3.5t-4.9t 2（t 的单位：s ， h 的单位：m ）可以描述他跳跃时重心高度 的变化．则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ） A.0.71s B.0.70s C.0.63s D.0.36s 二、填空题（共25分） 10.抛物线y = ax 2+bx+c 如图所示，则它关于x 轴对称的抛物线的 解析式是 . 11.若抛物线y = x 2+(k-1)x+(k+3)经过原点，则k= . 12.如果函数y = ax 2+4x-16 的图像的顶点的横坐标为l ，则a 的值为 .