微积分课后题答案第二章习题详解

第二章

习题2-1

1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞

x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞

x n +k =a .

证：由lim n n x a →∞

=，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有

n x a ε-<

取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有

n k x a ε+-<

由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞

=.

2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞

x n =a ,则lim n →∞

∣x n ∣=|a|.考察数列

x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.

证：

lim 0,,.

使当时，有n x n x a

N n N x a εε→∞

=∴?>?>-

而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?>

n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<

由数列极限的定义得 lim n n x a →∞

=

考察数列 (1)n

n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞

=，

所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：

(1) lim n →∞2221

11(1)(2)n n n ??+++ ?+??

L =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为

222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n

++≤+++≤≤=+L 而且 21lim

0n n →∞=，

2lim 0n n

→∞=， 所以由夹逼定理，得

222111lim 0(1)(2)n n n n →∞??+++= ?+?

?L . （2）因为22222240!1231n n n n n

<

=<-g g g L g g ，而且4lim 0n n →∞=， 所以，由夹逼定理得

2lim 0!

n

n n →∞= 4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =

1

1

n

e +，n =1,2,…；

(2) x 1,x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。

（2）因为12x =<，不妨设2k x <，则

12k x +=<=

故有对于任意正整数n ，有2n x <，即数列{}n x 有上界，

又 1n n x x +-=

，而0n x >,2n x <，

所以 10n n x x +-> 即 1n n x x +>， 即数列是单调递增数列。

综上所述，数列{}n x 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。

习题2-2

1※

. 证明：0

lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .

证：先证充分性：即证若0

lim ()lim ()x x x x f x f x a -+

→→==，则0

lim ()x x f x a →=. 由0

lim ()x x f x a -→=及0

lim ()x x f x a +

→=知： 10,0εδ?>?>,当010x x δ<-<时，有()f x a ε-<，

20δ?>当020x x δ<-<时，有()f x a ε-<。

取{}12min ,δδδ=，则当00x x δ<-<或00x x δ<-<时，有()f x a ε-<， 而00x x δ<-<或00x x δ<-<就是00x x δ<-<，

于是0,0εδ?>?>，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<， 所以 0

lim ()x x f x a →=.

再证必要性：即若0

lim ()x x f x a →=，则0

lim ()lim ()x x x x f x f x a -+

→→==, 由0

lim ()x x f x a →=知，0,0εδ?>?>，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<，

由00x x δ<-<就是 00x x δ<-<或00x x δ<-<，于是0,0εδ?>?>，当

00x x δ<-<或00x x δ<-<时，有()f x a ε-<.

所以 0

lim ()lim ()x x x x f x f x a -+

→→== 综上所述，0

lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .

2. (1) 利用极限的几何意义确定0lim x → (x 2

+a ),和0

lim x -

→1

e x

； (2) 设f (x )= 12

e ,0,,0,x

x x a x ??

，问常数a 为何值时，0lim x →f (x )存在.

解：（1）因为x 无限接近于0时，2x a +的值无限接近于a ，故2

0lim()x x a a →+=.

当x 从小于0的方向无限接近于0时，1

e x

的值无限接近于0，故1

lim e 0x

x -

→=. （2）若0

lim ()x f x →存在，则0

0lim ()lim ()x x f x f x +-

→→=， 由（1）知 2

2

lim ()lim()lim()x x x f x x a x a a +--

→→→=+=+=， 1

lim ()lim e 0x

x x f x --

→→== 所以，当0a =时，0

lim ()x f x →存在。

3. 利用极限的几何意义说明lim x →+∞

sin x 不存在.

解：因为当x →+∞时，sin x 的值在-1与1之间来回振摆动，即sin x 不无限接近某一定直线y A =，亦即()y f x =不以直线y A =为渐近线，所以lim sin x x →+∞

不存在。

习题2-3

1. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.

解：例1：当0x →时，tan ,sin x x 都是无穷小量，但由

sin cos tan x

x x

=（当0x →时，

cos 1x →）不是无穷大量，也不是无穷小量。

例2：当x →∞时，2x 与x 都是无穷大量，但22x

x

=不是无穷大量，也不是无穷小量。

例3：当0x +

→时，tan x 是无穷小量，而cot x 是无穷大量，但tan cot 1x x =g 不是无穷大量，也不是无穷小量。 2. 判断下列命题是否正确：

(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量； (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量； (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量； (4) 有限个无穷小量之和为无穷小量； (5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；

(6) y =x sin x 在(-∞，+∞)内无界，但lim x →∞

x sin x ≠∞；

(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量； (8) 无穷小量的倒数都是无穷大量. 解：（1）错误，如第1题例1； （2）正确，见教材§定理3； （3）错误，例当0x →时，cot x 为无穷大量，sin x 是有界函数，cot sin cos x x x =g 不是无穷大量；

（4）正确，见教材§定理2；

（5）错误，例如当0x →时，1

x 与1x -都是无穷大量，但它们之和11()0x x

+-=不是无穷大量；

（6）正确，因为0M ?>，?正整数k ，使π

2π+

2

k M >，从而ππππ

(2π+)(2π+)sin(2π+)2π+2222

f k k k k M ==>，即sin y x x =在(,)-∞+∞内无界，

又0M ?>，无论X 多么大，总存在正整数k ，使π>k X ，使(2π)πsin(π)0f k k k M ==<，即x →+∞时，sin x x 不无限增大，即lim sin x x x →+∞

≠∞；

（7）正确，见教材§定理5；

（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。

3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.

(1) f (x )=

2

34

x -,x →2; (2) f (x )=ln x ，x →0+

，x →1,x →+∞； (3) f (x )= 1e x

,x →0+

，x →0-

； (4) f (x )=

2

π

-arctan x ,x →+∞;

(5) f (x )=

1x sin x ,x →∞; (6) f (x )= 21x

x →∞.

解：（1）22

lim(4)0x x →-=因为，即2x →时，2

4x -是无穷小量，所以

21

4

x -是无穷小量，因而

2

3

4

x -也是无穷大量。 （2）从()ln f x x =的图像可以看出，1

lim ln ,limln 0,lim ln x x x x x x +

→→+∞

→=-∞==+∞，所以，当0x +

→时，x →+∞时，()ln f x x =是无穷大量；

当1x →时，()ln f x x =是无穷小量。

（3）从1

()e x

f x =的图可以看出，110

lim e ,lim e 0x x

x x +-

→→=+∞=， 所以，当0x +

→时，1()e x

f x =是无穷大量； 当0x -

→时，1()e x

f x =是无穷小量。 （4）πlim (arctan )02

x x →+∞

-=Q ，

∴当x →+∞时，π

()arctan 2

f x x =

-是无穷小量。

（5）Q 当x →∞时，

1

x

是无穷小量，sin x 是有界函数， ∴ 1

sin x x

是无穷小量。

（6）Q 当x →∞时，

2

1

x

∴

习题2-4

1.若0

lim x x →f (x )存在，0

lim x x →g (x )不存在，问0

lim x x →［f (x )±g (x )］, 0

lim x x →［f (x )·g (x )］是

否存在，为什么?

解：若0

lim x x →f (x )存在，0

lim x x →g (x )不存在，则

（1）0

lim x x →［f (x )±g (x )］不存在。因为若0

lim x x →［f (x )±g (x )］存在，则由

()()[()()]g x f x f x g x =--或()[()()]()g x f x g x f x =+-以及极限的运算法则可得

lim x x →g (x )，与题设矛盾。

（2）0

lim x x →［f (x )·g (x )］可能存在，也可能不存在，如：()sin f x x =，1()g x x

=

，则0

limsin 0x x →=，01lim

x x →不存在，但0

lim x x →［f (x )·g (x )］=01

lim sin 0x x x →=存在。 又如：()sin f x x =，1()cos g x x =

，则π2

limsin 1x x →=，π2

1

lim cos x x →

不存在，而

lim x x →［f (x )·g (x )］π

2

lim tan x x →

=不存在。

2. 若0

lim x x →f (x )和0

lim x x →g (x )均存在，且f (x )≥g (x )，证明0

lim x x →f (x )≥0

lim x x →g (x ).

证：设0

lim x x →f (x )=A ，0

lim x x →g (x )=B ，则0ε?>，分别存在10δ>，20δ>，使得当

010x x δ<-<时，有()A f x ε-<，当020x x δ<-<时，有()g x B ε<+

令{}12min ,δδδ=，则当00x x δ<-<时，有

()()A f x g x B εε-<≤<+

从而2A B ε<+，由ε的任意性推出A B ≤即

lim ()lim ()x x x x f x g x →→≤.

3. 利用夹逼定理证明：若a 1,a 2，…，a m 为m 个正常数，则

lim

n

→∞

A ,

其中A =max{a 1,a 2,…，a m }.

≤≤，即

1n

A m A ≤g

而lim n A A →∞

=，1lim n

n m A A →∞

=g ，由夹逼定理得

n A =. 4※

. 利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若x 1

,x 2

x n +1

n =1,2,…），则lim n →∞

x n 存在，并求该极限.

证：因为12x x ==有21x x >

今设1k k x x ->

，则1k k x x ->=，由数学归纳法知，对于任意

正整数n 有1n n x x +>，即数列{}n x 单调递增。

又因为12x =，今设2k x <，

则12k x -=<

=，由数学归纳法

知，对于任意的正整数 n 有2n x <，即数列{}n x 有上界，由极限收敛准则知lim n n x →∞

存在。

设lim n n x b →∞

=

，对等式1n x +=

两边取极限得b =

，即22b b =+，

解得2b =，1b =-（由极限的保号性，舍去），所以lim 2n n x →∞

=.

5. 求下列极限：

(1) lim n →∞332324

51n n n n n +++-+； (2) lim

n

→∞

1cos n ????? ???

；

(3) lim n →∞

lim n →∞11

(2)3(2)3n n

n n ++-+-+；

(5) lim n →∞11

12211

133

n

n

++++++L L . 解：（1）原式=23

232433lim 111

55n n n n n n

→∞++=+-+；

（2

）因为lim(10n →∞

=，即当n →∞

时，1-是无穷小量，而cos n 是有界变

量，由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得：lim (10n n →∞

??

-

=????

； （3

）2n n →∞

=Q

而2lim

lim 0n n n →∞→∞==，

2n n →∞

∴==∞；

（4）11

11121(1)()(2)3

1333lim

lim

2

(2)33

(1)()13

n n n n

n n n n n n ++→∞→∞++-+

-+==-+-+g g g ；

（5）1

1111

1()21111114[1()]

42222lim lim lim 11

11

3

11()3[1()]33

33113

n n n

n n n n n n

++→∞→∞→∞++-+++--===+++---L L .

6. 求下列极限： (1) 3

lim

x →239x x --； (2) 1lim x →223

54

x x x --+； (3) lim x →∞3426423x x x ++; (4) 2

lim

x π→

sin cos cos 2x x

x -; (5) 0lim h →33

()x h x h

+-; (6) 3lim

x

→

(7) 1lim x →21n x x x n x +++--L ; (8) lim x →∞sin sin x x

x x

+-；

(9) lim x

→+∞ (10) 1lim x →3

13

(

)11x x ---； (11) 0lim x →2

1(sin )x x

.

解：23

333311

(1)lim

lim lim 9(3)(3)36

x x x x x x x x x →→→--===--++ （2）2

1

1

lim(54)0,lim(23)1x x x x x →→-+=-=-Q

22115423lim 0,lim 23

54x x x x x x x x →→-+-∴==∞--+即 （3）3

4

422

64

64

lim lim 03

232x x x x x x x x

→∞→∞++==++； （4）π2

ππ

sin

cos sin cos 22lim

1cos 2cos π

x x x

x →

--=

=-； （5）[]22

3300()()()()lim lim

h h x h x x h x h x x x h x h h

→→??+-+++++-??=

222

lim ()()3h x h x h x x x →??=++++=??； （6

）

3

(23)92)x x x →→+-

=

34

3

x x →→===；

（7）2211(1)(1)(1)

lim lim 11

n n x x x x x n x x x x x →→+++--+-++-=--L L

212

1

lim 1(1)(1)(1)n n x x x x x x x --→??=+++++++++++??L L 1

123(1)2

n n n =++++=

+L ； （8）sin lim

0x x x →∞=Q （无穷小量1

x

与有界函数sin x 之积为无穷小量）

sin 1sin lim lim 1sin sin 1x x x x x x x

x x x

→∞→∞+

+

∴==--

； （9

）22lim lim

x x →+∞

=

lim

lim

1x x ===；

（10）1lim x →3

13

()11x x ---231(1)3lim

1x x x x →++-=- 23

2112(2)(1)lim lim 1(1)(1)x x x x x x x x x x →→+-+-==--++ 2

1(2)

lim

11x x x x →-+==-++

（11）Q 当0x →时，2

x 是无穷小量，1sin x

是有界函数，

∴它们之积2

1sin x x 是无穷小量，即2

01lim sin 0x x x →??= ??

?。

习题2-5

求下列极限(其中a ＞0,a ≠1为常数）：

1. 0

lim

x →sin 53x x

; 2. 0lim x →tan 2sin 5x

x ; 3. 0lim x →x cot x ;

4. 0lim x

→; 5. 0lim x →2cos5cos 2x x x -; 6. lim x →∞1x

x x ??

?+??

; 7. 0

lim x →()

cot 13sin x

x +; 8. 0lim x →1

x a x

-; 9. 0lim x →x x a a x --;

10. lim x →+∞ln(1)ln x x x +-; 11. lim x →∞3222x

x x -?? ?-??; 12.lim x →∞211x

x ?

?+ ???

; 13. 0lim

x →arcsin x x ; 14. 0lim x →arctan x

x

; .

解：1. 000sin 55sin 55sin 55

lim lim lim 335353x x x x x x x x x →→→===g ；

2. 000tan 2sin 221sin 25lim lim lim sin 5cos 2sin 55cos 22sin 5x x x x x x x

x x x x x x

→→→==g g g

0205021sin 252lim lim lim 5cos 22sin 55

x x x x x x x x →→→==g g ； 3. 0000

lim cot lim cos lim limcos 1cos01sin sin x x x x x x

x x x x x x →→→→=?==?=g ；

4. 0

000sin

2lim

lim 22

x x x x x x x

→→→→===g

0sin

2122

2

x

x →===g ； 5. 2200073732sin sin sin sin cos5cos 2732222lim lim lim (2)732222x x x x x x x x x x x x x →→→??-??-==-????????

??

0073sin sin 212122lim

lim 7322

22

x x x x x x →→=-?=-； 6. 111lim lim lim 111e (1)x

x

x x x x

x x x x x →∞→∞→∞

?? ???=== ? ?++?? ?+??

；

7. 3cos cos 1

cot sin 3sin 0

lim(13sin )

lim(13sin )

lim (13sin )x

x x

x

x x x x x x x →→→??+=+=+????

1

3sin 0

lim(13sin )

e,lim3cos 3x

x x x x →→+==Q

cot 30

lim(13sin )e x x x →∴+=

8.令1x

u a =-，则log (1)a x u =+，当0x →时，0u →，

00011lim lim lim 1log (1)log (1)

x x u u a a a u x u u u

→→→-==++ 10

11

ln log e

limlog (1)

a u

a u a u →=

=

=+. 9. 000(1)(1)

11lim lim lim x x x x x x x x x a a a a a a x x x

x ---→→→??------==+ ?-?? 0011

lim lim ln ln 2ln x x x x a a a a a x x

-→→--=+=+=- （利用了第8题结论01

lim ln x x a a x

→-=）；

10. ln(1)ln 11lim

lim ln

x x x x x

x x x

→+∞→+∞+-+=? 1111

lim ln(1)lim lim ln(1)0x x x x x x x

→+∞→+∞→+∞=+=+=； 11. 22223211lim lim 1lim 1222222x x

x

x

x

x x x x x x x --→∞→∞→∞??

-??????=+=+??

? ? ?---??????????

2211

lim 1e, lim

22222

x

x x x x x -→∞

→∞?

?+==- ?--??

Q

1

232lim e 22x

x x x -→∞-??

∴= ?-??

； 12. 1

22

1222

1

11ln (1)lim ln(1)2211lim(1)lim (1)lim e

e x x x

x

x x

x x x x

x x x x x →∞?

?++

??

??

→∞→∞→∞?

?+=+==????

2

12

1lim lim ln(1)0lne 0e e e 1x

x x x x

→∞→∞

+

?====；

13.令arcsin x u =，则sin x u =，当0x →，0u →，

000arcsin 1

lim

lim 1sin sin lim

x u u x u u x u u

→→→===；

14.令arctan x u =，则tan x u =，当0x →，0u →，

00000arctan 1lim lim lim cos lim limcos 1sin tan sin x u u u u x u u u u u x u u

u

→→→→→====g g .

习题2-6

1. 证明： 若当x →x 0时，α(x )→0,β(x )→0,且α(x )≠0，则当x →x ０时，α(x )～

β(x )的充要条件是0

lim

x x →()()

()

x x x αβα-＝０.

证：先证充分性. 若0

lim

x x →()()()x x x αβα-＝０，则0lim x x →()

(1)()

x x βα-

＝0, 即0

()1lim

0()

x x x x βα→-=，即0

()

lim 1()x x x x βα→=.

也即0

()

lim

1()

x x x x αβ→=，所以当0x x →时，()()x x αβ:. 再证必要性：

若当0x x →时，()()x x αβ:，则0

()

lim

1()

x x x x αβ→=， 所以0

lim

x x →()()()x x x αβα-＝0lim x x →()(1)()x x βα-

＝0

()1lim ()x x x x βα→-=0

1

1110()lim

()

x x x x αβ→-=-=. 综上所述，当x →x 0时，α(x )～β(x )的充要条件是

lim

x x →()()

()

x x x αβα-＝０.

2. 若β(x )≠0，0

lim x x →β(x )=0且0

lim

x x →()

()

x x αβ存在，证明0lim x x →α(x )=0.

证：0

()()lim ()lim

()lim lim ()()()x x x x x x x x x x x x x x x αααββββ→→→→==g g 0

()

lim 00()

x x x x αβ→==g

即 0

lim ()0x x x α→=.

3. 证明： 若当x →0时，f (x )=o (x a )，g (x )=o (x b )，则f (x )·g (x )＝o (a b

x

+)，其中

a ,

b 都大于0，并由此判断当x →0时，tan x －sin x 是x 的几阶无穷小量.

证: ∵当x →0时, f (x )=o (x a )，g (x )=o (x b

)

∴00()()

lim

(0),lim (0)a b

x x f x g x A A B B x x →→=≠=≠

于是: 0000()()()()()()

lim lim lim lim 0a b a b

a b x x x x f x g x f x g x f x g x AB x x x x x +→→→→?=?=?=≠

∴当x →0时, ()()()a b

f x

g x O x

+?=,

∵tan sin tan (1cos )x x x x -=-

而当x →0时, 2

tan (),1cos ()x O x x O x =-=, 由前面所证的结论知, 3tan (1cos )()x x O x -=, 所以,当x →0时,tan sin x x -是x 的3阶无穷小量.

4. 利用等价无穷小量求下列极限： (1) 0

lim

x →sin tan ax bx (b ≠0)； (2) 0lim x →21cos kx

x

-； (3) 0

lim

x

→； (4) 0lim

x

→；

(5) 0lim x →arctan arcsin x

x ； (6) 0lim x →sin sin e e ax bx ax bx

-- (a ≠b )；

(7) 0lim

x →ln cos 2ln cos3x x ； (8) 设0lim x →2()3

f x x -＝100,求0lim x →f (x ).

解 00sin (1)lim lim .tan x x ax ax a

bx bx b

→→==

)

2

22200002

0001

()1cos 12(2)lim lim .2

(3)lim 2.2

11(4)x x x x x x x kx kx k x x x

x

x →→→→→→→-======

4

x →==

00arctan (5)lim

lim 1.arcsin x x x x

x x

→→==

000000001)(1)(6)lim lim sin sin 2cos sin 2211

lim lim 2cos sin 2cos sin 2222lim lim

2cos 2cos 2222lim lim ()cos 2e e (e e e e ax bx ax bx x x ax bx x x x x x x a b a b

ax bx x x

a b a b a b a b x x x x

ax bx

a b a b a b a b x x x x

a b

a b a b x →→→→→→→→---=+----=-+-+-=-+-+-??=-+-()cos 2

1.a b a b x

a b a b a b a b a b

+--=-==--- [][]00022

20002

ln 1(cos 21)ln cos 2cos 21(7)lim

lim lim

ln cos3ln cos31

1(cos31)1(2)1cos 2442lim lim lim .11cos399(3)2

x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→+--==-+--====- (8)由20

()3lim

100x f x x

→-=,及2

0lim 0x x →=知必有0lim[()3]0x f x →-=, 即 0

lim[()3]lim ()30x x f x f x →→-=-=, 所以 0

lim ()3x f x →=.

习题2-7

１.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：

(1) f (x )= 31,01,3,12;x x x x ?+≤

1,1 1.x x x x -≤

解: (1) 3

lim ()lim(1)1(0)x x f x x f ++

→→=+==Q ∴ f (x )在x =0处右连续, 又1

1

lim ()lim(3)2x x f x x ++

→→=-=Q 3

1

1

11

lim ()lim(1)2lim ()lim ()2(1)x x x x f x x f x f x f --

+

-

→→→→=+====

∴ f (x )在x =1处连续.

又 2

2

lim ()lim(3)1(2)x x f x x f --

→→=-== ∴ f (x )在x =2处连续.

又f (x )在(0,1),(1,2)显然连续,综上所述, f (x )在[0,2]上连续.图形如下:

图2-1 (2) 1

1

lim ()lim 1x x f x x --

→→==Q 1111

lim ()lim11lim ()lim ()1(1)x x x x f x f x f x f ++

+

-

→→→→=====

∴ f (x )在x =1处连续. 又1

1

lim ()lim 11x x f x -+→-→-==

11lim ()lim 1x x f x x +

+→-→-==-

故1

1

lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-≠

∴ f (x )在x =-1处间断, x =-1是跳跃间断点. 又f (x )在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞显然连续.

综上所述函数f (x )在x =-1处间断,在(,1),(1,)-∞--+∞上连续.图形如下:

图2-2

2. 说明函数f (x )在点x 0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同?又有什么联系?

略.

3.函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在?试举例说明. 解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在.

例如0(),01

x x f x x x x

≤??

==?>??是其的一个第二类间断点,但0

lim ()lim 0x x f x x --

→→==即在0x =处左极限存在,而0

1

lim ()lim x x f x x

++

→→==+∞,即在0x =处右极限不存在. 4.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型：

(1) f (x )= 22132x x x -++； (2) f (x )＝sin sin x x

x

+；

(3) f (x )= ()

1

1x

x

+； (4) f (x )=

22

4

x x +-；

(5) f (x )= 1sin

x x

. 解: (1)由2

320x x ++=得x =-1, x =-2

2211112

1(1)(1)1

lim ()lim lim lim 232(1)(2)2lim ()x x x x x x x x x f x x x x x x f x →-→-→-→-→---+-====-+++++=∞

∴ x =-1是可去间断点,x =-2是无穷间断点. (2)由sin x =0得πx k =,k 为整数.

000(0)

sin lim ()lim

lim(1)2

sin sin lim (),

x x x x k k x x x

f x x x f x π

→→→→≠+==+==∞ 1

1

10

1

1

1

1

(1)0(3)()(1)0

lim ()lim(1)lim ()lim(1)lim[(1())] e, e x

x x

x x x

x x x x x x f x x x f x x f x x x ++

---

→→---→→→?

+>?=??-

=+==-=+-=Q

∴ x =0是跳跃间断点.

(4)由x 2

-4=0得x =2,x =-2.

222221

lim ()lim

lim 42

,x x x x f x x x →→→+===∞--

2211

lim ()lim ,24

x x f x x →-→-==-- ∴ x =2是无穷间断点,x =-2是可去间断点. (5) 0

1

lim ()lim sin

0,()x x f x x f x x

→→==Q 在x =0无定义 故x =0是f (x )的可去间断点.

5.适当选择a 值，使函数f (x )= ,0,

,0x e x a x x ?

在点x =0处连续.

解: ∵f (0)=a ,

00

00

lim ()lim(),lim ()lim 1,e x x x

x x f x a x a f x ++

-

-

→→→→=+===

要f (x )在x =0处连续,必须0

lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-

→→==. 即a =1.

6※

.设f (x )= lim x →+∞x x

x x

a a a a ---+，讨论f (x )的连续性.

解: 2210

1()lim

lim sgn()10100

x x

x

x x

x a a x a a a f x x x a a a x --→+∞→+∞-?++?

=? 所以, f (x )在(,0)(0,)-∞+∞U 上连续,x =0为跳跃间断点. 7. 求下列极限： (1) 2

lim

x →222

x

x x +-； (2) 0lim x

→ (3) 2

lim x →ln(x -1); (4) 1

2

lim x →

(5) lim x e

→(ln x )x

.

解: 222

222

(1)lim

1;2222

x x x x →?==+-+-

2

12

(3)lim ln(1)ln(21)ln10;

(4)lim arcsin arcsin ;

3(5)lim(ln )(ln )1 1.

e e e

πe x x x x x x x →→→

→==-=-========

习题2-8

1. 证明方程x 5-x 4-x 2

-3x =1至少有一个介于1和2之间的根. 证: 令542

()31f x x x x x =----,则()f x 在[1,2]上连续, 且 (1)50f =-<, (2)50f =>

由零点存在定理知至少存在一点0(1,2),x ∈使得0()0f x =.

即 542

000031x x x x ---=,

即方程542

31x x x x ---=至少有一个介于1和2之间的根. 2. 证明方程ln （１＋e x

）-2x =0至少有一个小于1的正根.

证: 令()ln(1)2e x

f x x =+-,则()f x 在(,)-∞+∞上连续,因而在[0,1]上连续, 且 0

(0)ln(1)20ln 20e f =+-?=>

(1)ln(1)20e f =+-<

由零点存在定理知至少存在一点0(0,1)x ∈使得0()0f x =. 即方程ln(1)20e x

x +-=至少有一个小于1的正根.

3※

. 设f (x )∈C （-∞，+∞），且lim x →-∞

f (x )=A , lim x →+∞

f (x )=B , A ·B ＜0，试由极限及零

点存在定理的几何意义说明至少存在一点x 0∈（－∞,＋∞），使得f (x 0)＝０. 证: 由A ·B <0知A 与B 异号,不防设A >0,B <0

由lim ()0,lim ()0x x f x A f x B →-∞

→+∞

=>=<,及函数极限的保号性知,10X ?>,使当

1x X <-,有()0,f x >

20X ?<,使当2x X >时,有()0f x <.

现取1x a X =<-,则()0f a >,

2x b X =>,则()0f b <,且a b <,

由题设知()f x 在[,]a b 上连续,由零点存在定理,至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x =, 即至少存在一点0(,)x ∈-∞+∞使0()0f x =.

4.设多项式P n (x )＝x n

+a 11

n x -+…+a n .，利用第3题证明： 当n 为奇数时，方程P n (x )=0

至少有一实根.

证: 12

2()1n

n n n a a a P x x x x x ??

=+

+++ ???

Q L ()

lim

10n n

x P x x →∞∴=>,由极限的保号性知.

0X ?>,使当X x >时有()

0n n P x x

>,此时()n P x 与n x 同号,因为n 为奇数,所以(2X )n

与(-2X )n

异号,于是(2)n P X -与(2)n P X 异号,以()n P x 在[2,2]X X -上连续,由零点存在定理,至少存在一点0(2,2)X X X ∈-,使0()0n P x =,即()0n P x =至少有一实根.

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（　） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限

大学微积分复习题

0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题(10道题，每题２分或者3分）。 填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。 计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。 证明题(2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 １．考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求 （１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 （2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 １．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念 （2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 （5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 １．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 （1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。

大一微积分期末试题附答案

微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3

三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

大一上微积分试题(山东大学)

数学试题 热工二班 温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种 似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。祝你成功！ 一、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 1、 求极限2 2lim (1)(1)......(1)n n x x x →∞ +++= (1x <) 2、 曲线y=（2x-1）e x 1 的斜渐近线方程是（ ） 3、 计算I=dx e x e x x ? -+2 2 41sin π π =（ ） 4、 设y=x e x 1si n 1t an ，则'y =（ ） 5、 已知()()() 100 2 1000 ln 1212x y x t t t ??=++-+? ?? ? ?dt ，求( ) ()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分） ６、设()0 ()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →? ?+ ? ? ?=>≠-求20 ()lim x f x x →＝（ ） Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ ７、函数 1.01 ().12 x x x f x e e x -≤

（ ） Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数 Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数 Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数 ９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） Ａ．2 0()x f t dt ? Ｂ．2 0()x f t dt ? Ｃ[]0 ()()x t f t f t - -?dt Ｄ．[]0 ()()x t f t f t + -?dt １０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且 () f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分 别为()f x 在点0 x 处的增量与微分，若x ＞０，则（ ） Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dy Ｃ．y ＜dy ＜０ Ｄ．dy ＜ y ＜０ 三、计算，证明题（共６０分） １１、求下列极限和积分 （１）222 22 sin cos (1)ln(1tan ) lim x x x x x x e x →--+（５分） （２）3 5 sin sin x xdx π -? （５分） （３）lim (cos 1cos x x x →∞ +-）（５分） １２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且 " (0)f （二阶）存在，(0) f

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

最新大学微积分复习题

0201《微积分（上）》2015年06月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题（10道题，每题2分或者3分）。 填空题（5-10道题，每题2分或者3分）。 计算题（一般5-7道题，共40分或者50分）。 证明题（2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 1．考试内容 集合的定义，集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法，分段函数，反函数，复合函数，隐函数，函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2．考试要求 (1)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 (2)理解函数的概念。掌握函数的表示法，会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 1．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质，函数的左极限与右极限，无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限。 2．考试要求 (1)理解数列及函数极限的概念 (2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 (3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性)。掌握极限的四则运算法则。 (4)理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 (5)掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 1．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点，连续函数的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 (1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。

近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)

浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷 一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b += . 3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y = ≤≤≤≤,则 ()() ()() D af x bf y d f x f y σ++?? = . 5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序 2220 (,)x x dx f x y dy -=? ? . 二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内） 6.直线l 1: 155 121x y z --+==-与直线l 2:623 x y y z -=??+=?的夹角为 （A ） 2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6 π . [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分 cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθ? ? 可以写成直角坐标中的二次积分为 （A ）100(,)dy f x y dx ?? （B ）1 00(,)dy f x y dx ?? （C ） 10 (,)dx f x y dy ? ? （D ）10 (,)dx f x y dy ?? [ ] 8.设1, 02 ()122, 12 x x f x x x ? ≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -= （A ） 12. （B ）12-. （C ）34. （D ）3 4 -. [ ] ＜

安徽大学高等数学期末试卷和答案

安徽大学2011—2012 学年第一学期 《高等数学A（三）》考试试卷（A 卷） （闭卷时间120 分钟） 考场登记表序号 题号一二三四五总分 得分 阅卷人 一、选择题（每小题2 分，共10 分）得分 1.设A为n阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（）。 （A）(2A)?1 =2A?1 ；（B）(2A?1)T=(2A T)?1 ；（C） ((A?1)?1)T=((A T)?1)?1 ；（D）((A T)T)?1 =((A?1)?1)T。 2.若向量组1, 2 , , r ααα可由另一向量组 （）。 βββ线性表示，则下列说法正确的 是 1, 2 , , sβββ线性表示，则下列说法 正确的是 （A）r≤s；（B）r≥s； （C）秩( 1, 2 , , r1, 2 , , s1, 2 , , r ααα)≤秩(βββ)；（D）秩(ααα)≥ 秩( ββ β)。 1, 2 , , sββ β)。 3.设A, B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则下列说法正确的是（）。 （A）λE?A=λE?B； （B）A与B有相同的特征值和特征向量； （C）A与B都相似于一个对角矩阵； （D）对任意常数k，kE?A与kE?B相似。 4.设1, 2 , 3 ααα为R3 的一组基，则下列向量组中，（）可作为R3 的另一组基。 （A）1, 1 2 ,3 1 2 1, 2 ,2 1 2 α+αα+αα+α。 αα?αα?α；（B）ααα+α； （C） 1 2 , 2 3, 1 3 α+αα+αα?α；（D） 1 2 , 2 3, 1 3 5.设P(A) =0.8 ，P(B) =0.7 ，P(A| B) =0.8 ，则下列结论正确的是（）。

大一微积分练习题及答案

《微积分（1）》练习题 一．单项选择题 1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（ ） A ． ()()()0000 lim x f x x f x x f x '=?-?-→? B ．()()()0000lim x f x x f x x f x '-=?-?-→? C ．()()()0000 2lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()00002 1 2lim x f h x f h x f h '=-+→ 2．下列极限不存在的有（ ） A ．201 sin lim x x x → B ．12lim 2+-+∞→x x x x C ． x x e 1 lim → D ．() x x x x +-∞ →63 2 21 3lim 3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22-- 4．函数?? ? ??>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（ ）间断点。 A ．跳跃间断点； B ．无穷间断点； C ．可去间断点； D ．振荡间断点 5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ） A ． 当()()0

电子科技大学微积分试题及答案

电子科技大学期末微积分 一、选择题(每题2分) 1、设x ?()定义域为（1,2），则lg x ?()的定义域为（） A 、（0,lg2） B 、（0，lg2] C 、（10,100） D 、（1,2） 2、x=-1是函数x ?()=() 22 1x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点 3、试求02lim x x →等于（） A 、-1 4 B 、0 C 、1 D 、∞ 4、若 1y x x y +=，求y '等于（） A 、 22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y -- D 、22x y x y +- 5、曲线2 21x y x =-的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（） A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、 __________ 2、、2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________

5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 2 1x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim β βαα =∞若，就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分） 1、1sin x y x =求函数 的导数 2、21 ()arctan ln(12 f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、 计算 6、2 1 lim(cos )x x x + →计算 五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润 最大的情况下，总税额最大（8分） 2、描绘函数21 y x x =+ 的图形（12分） 六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01 lim (),lim ()x x f x A f A x +→+∞→==则

电子科技大学微积分试题及答案

电子科技大学微积分试题及答案

电子科技大学期末微积分 一、选择题(每题2分) 1、设x ?()定义域为（1,2），则lg x ?()的定义域为（） A 、（0,lg2） B 、（0，lg2] C 、（10,100） D 、（1,2） 2、x=-1是函数x ?()=() 22 1x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点 3、试求024 lim x x x →+等于（） A 、-1 4 B 、0 C 、1 D 、∞ 4、若 1y x x y +=，求y '等于（） A 、 22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y -- D 、22x y x y +- 5、曲线2 21x y x = -的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（） A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、2 1x +__________ 2、、2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________ 5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）

大一微积分练习题及答案

大一微积分练习题及答案

《微积分（1）》练习题 一． 单项选择题 1．设()0 x f '存在，则下列等式成立的有（ ） A ． ()() () 0000 lim x f x x f x x f x '=?-?-→? B ．()() () 0000 lim x f x x f x x f x '-=?-?-→? C ． ()() () 0000 2lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()() 0000 2 1 2lim x f h x f h x f h '=-+→ 2．下列极限不存在的有（ ） A ． 201 sin lim x x x → B ．1 2lim 2+-+∞ →x x x x C ． x x e 1 lim → D ．()x x x x +-∞ →63 2 213lim 3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22-- 4．函数 ?? ???>+=<≤=1,11 ,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为 （ ）间断点。 A ．跳跃间断点； B ．无穷间断点； C ．可去间断点； D ．振

荡间断点 5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ） A ． 当()()0+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为( )间断点。 A.跳跃间断点; B.无穷间断点; C.可去间断点; D.振荡间断点 5. 设函数()x f 在[]b a ,上有定义,在()b a ,内可导,则下列结论成立的有( ) A ． 当()()0

大学一级高等数学试题及答案

期 末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+（0≥y ），则曲线积分221 L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：?? --01 2 1),(y dx y x f dy ＝ dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ? ? 6．级数∑ ∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++?? （ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6 、 微 分 方 程 222()()0 y y y '''+-=的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为

清华大学微积分题库

(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 2 1arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=2123。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为 04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ? --L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶 连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。