2017年高考真题分类汇编
2017年高考真题分类汇编(理数)：专题3 三角与向量
一、单选题(共8题；共16分)
1、( 2017?)在ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, 6若厶ABC为锐角三角形，
且满足sinB (1+2cosC =2sinAcosC+cosAsinC则下列等式成立的是( )
A、a=2b
B、b=2a
C、A=2B
D、B=2A
2、 (2017 ?设函数f (x) =2sin (3 x+$ , x€ R,其中0, | ?匕x.若f ( ) =2, f ( ) =0,且f (x)的最小正周期大于2冗，贝U( )
A、3= ，$=
B、3= , $=-
C、3= , $=—
D、3= ，$=
3、 ( 2017?卷)设,为非零向量，则存在负数入使得=入是？V0”的( )
A、充分而不必要条件
B、必要而不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件
4、( 2017?新课标I卷)已知曲线C1：y=cosx, C2: y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是( )
A、把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B、把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C、把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D、把G上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
5、( 2017?新课标川)在矩形ABCD中, AB=1, AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD 相切的圆上?若=入+ ?则入+的最大值为()
A、3
B、2
C、
D、2
6( 2017?新课标川)设函数f (x) =cos (x+ )，则下列结论错误的是( )
A、f (x)的一个周期为-2 n
B、y=f (x)的图象关于直线x=对称
c、f (x+ n的一个零点为x=
D、f( 乂)在(,n单调递减
7、(2017?)如图，已知平面四边形ABCD AB丄BC, AB=BC=AD=2 CD=3, AC与BD 交于点0,记I l= ? , I2= ? , I3= ?，贝U()
A、I I< I2V I3
B、I I< |3< I2
C、I3 D、I2 8、 (2017?新课标U)已知△ ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC一点，贝U ? ( + )的最小值是( ) A、- 2 B、- C、- D、- 1 二、填空题(共9题；共1 0分) 9、 ( 2017 ?)我国古代数学家徽创立的割圆术”可以估算圆周率n理论上能把n 的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了割圆术”将n勺值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆接正六边形的面积S6 ，S6= ． 10、 (2017?)若上&门(a-)=.则tan a = ____________ 11、 (2017?)已知,是互相垂直的单位向量，若- 与+入的夹角为60°,则 实数/的值是________ . 12、 ( 2017)在厶ABC中, Z A=60°, AB=3, AC=2 若=2 ,二入-(众R), 且=-4,贝U 的值为 __________ . 13、 ( 2017?)已知△ ABC, AB=AC=4 BC=2,点D为AB延长线上一点，BD=2,连结CD,则厶BDC勺面积是_____________ , Z BDC= __________ 14、 (2017?卷)在平面直角坐标系xOy中,角a与角供匀以Ox为始边,它们的终边关于y 轴对称，若sin a =则cos ( a- ? = ___________ . 15、 (2017?)如图，在同一个平面，向量，，的模分别为1，1，，与的夹 角为a,且tan a =7 与的夹角为45° .若=m +n (m, n€R),则m+n= ______________ . 16、 ( 2017?新课标I卷)已知向量,的夹角为60°,| |=2 ,||=1 ,则| +2 |= _______ . 17、 (2017?新课标U)函数f (x) =sin F x+ cosx- (x€ [0,])的最大值是__________ . 三、解答题(共10题；共57分) 18、 (2017?)设函数f( x) =si n(3x- ) +si n(?x-)，其中0< ?< 3,已知f() =0.(12分) (I)求 3； (U)将函数y=f (x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g (x)的图象，求g (x)在[-,]上的最小值. 19、 (2017)在厶ABC中,角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知a>b, a=5, c=6, sinB= ． (I)求b和si nA的值； (U)求sin (2A+ )的值. 20、 ( 2017?)已知函数f (x) =sin2x - coSx—2 sinx cosx (x€ R). (I)求f ()的值. (U)求f (x)的最小正周期及单调递增区间. 21、 (2017?)已知向量、满足| |=1 , | |=2 ,则| + |+| - |的最小值是_______ , 最大值是________ . 22、 (2017?卷)在厶ABC中, Z A=60°, c= a.( 13分) ⑴求sinC勺值；⑵若a=7,求厶ABC勺面积. 23、 (2017?)已知向量=(cosx, sinx), = (3,- ), x€ [0, n . (I)若//，求x的值； (U)记f (x)=，求f (x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 24、 (2017?新课标I卷)△ ABC勺角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知△ ABC勺面积为 .( 12分) ⑴求sinBsinC (2)若6cosBcosC=1 a=3,求厶ABC勺周长. 26、 ( 2017?新课标")△ ABC勺角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知sin (A+Q =8sin2. (I)求cosB (U)若a+c=6,A ABC面积为2,求b. 27、 (2017?新课标川)△ ABC勺角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知sinA+ cosA=0 a=2 , b=2. (I)求c； (U)设D为BO i上一点，且AD丄人。，求厶ABD勺面积. 答案解析部分 、单选题 1、【答案】 A 【考点】两角和与差的正弦函数，正弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【解答】解：在ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,满足sinB (1+2cosC) =2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+si(n A+C)=sinAcosC+sinB， 可得：2si nBcosC=si nAcosC因为△ ABC为锐角三角形，所以 2si nB=s in A, 由正弦定理可得：2b=a． 故选： A．【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧,然后化简通过正弦定理推出结果即可．2、【答案】 A 【考点】三角函数的周期性及其求法，由y=Asin ( wx+ ^)的部分图象确定其解析式 【解析】【解答】解：由f (x)的最小正周期大于2n,得， 又f ( ) =2, f ( ) =0,得， ??? T=3n,则，即. /? f (x) =2sin ( wx+ ^) =2sin ( x+ ^), 由 f ()=，得 sin ( 0+ ) =1. ? 0 + = , k € Z. 取 k=0,得 0 = V n ?,0= . 故选： A． 【分析】由题意求得，再由周期公式求得 3,最后由若f ( ) =2求得0值. 3、【答案】 A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断,向量数乘的运算及其几何意义,平面向量数 量积的性质及其运算律 【解析】【解答】解：，为非零向量，存在负数入使得=入，则向量，共线且方向相反，可得 ? V0. 反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足？ V 0，而=入不成立. ?,为非零向量，则存在负数入使得=入是？ V 0”的充分不必要条件. 故选： A. 【分析】，为非零向量，存在负数人使得=入，则向量，共线且方向相反，可得？ V 0?反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足？ V 0，而=入不成立?即可判断出结论. 4、【答案】 D 【考点】函数y=Asin(3x+ 0的图象变换 【解析】【解答】解：把G上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数 y=cos2x 图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到函数y=cos2 (x- ) =cos (2x- ) =sin (2x+ ) 的图象,即曲线 C2 , 故选： D. 【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可. 5、【答案】 A 【考点】向量在几何中的应用 【解析】【解答】解：如图：以 A为原点，以AB, AD所在的直线为x, y轴建立如图所示的坐标 系，则 A (0, 0), B ( 1, 0), D (0 , 2), C (1 , 2), ???动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上， 设圆的半径为 r, ?/ BC=2, CD=1, ??? BD== ??? BC?CD= BD?r, ?r= , ?圆的方程为(X- 1 ) 2+ ( y- 2) 2=, 设点P的坐标为(cos 0 +1 sin 0 +2 , =入 + ??( cos 0 +1 sin — 2)=入(1, 0) + (0, 2)=(人 2 卩), ?cos 0 +1=入 sin 0 +2=2妙 ?入 + = cos 0 + sin 0 +(=si+Q +2,其中 tan $ =2 '/- K sin (0 +$ < 1, ? 1 w入+隹3, 故入+的最大值为3, 故选： A 【分析】如图：以A为原点，以AB, AD所在的直线为x, y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点 P的坐标为(cos 0 +1 sin 0 +)，根据=入+ &求出人卩，根据三角函数的性质即可求出最值． 6、【答案】 D 【考点】三角函数的周期性及其求法,余弦函数的图象,余弦函数的单调性,余弦函数的对称 性 【解析】【解答】解：A.函数的周期为2k n,当k= - 1时，周期T=- 2n,故A正确， B.当x=时，cos (x+ ) =cos ( + ) =cos =cos3 = - 1为最小值，此时y=f (x)的图象关于直线 x=对称，故B正确， C当 x=时，f ( + n) =cos ( + n +) =cos =0,则 f (x+ n)的一个零点为 x=，故 C正确， D.当 V XV n寸，V x+ V ,此时余弦函数不是单调函数，故D错误， 故选： D 【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可. 7、【答案】 C 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解：I AB丄BC, AB=BC=AD=2 CD=3, ?AC=2 , ?/ AOB=Z COD> 90°, 由图象知 OAVOC,OBVOD, ?0> ? > ? , ? >0, 即 I3 V |1V |2 , 故选： C. 【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可. 8、【答案】 B 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点， 则A (0, ), B (- 1, 0), C (1 , 0), 设 P (x, y),贝V = (-x, - y), = (- 1 - x,- y), = (1 - x,- y), 则 ?( + )=2x2-2 y+2y2=2[x2+(y- ) 2- ] ???当x=0, y=时，取得最小值2 x(-)=-, 故选： B 【分析】根据条件建立坐标系,求出点的坐标,利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 二、填空题 9、【答案】 【考点】模拟方法估计概率【解析】【解答】解：如图所示, 单位圆的半径为1，则其接正六边形ABCDEF中, △ AOB是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF勺面积为 S=6 x x 1 x 1 x=sin60 ° 故答案为：． 【分析】根据题意画出图形,结合图形求出单位圆的接正六边形的面积． 1 0、【答案】【考点】两角和与差的正切函数 【解析】【解答】解：T tan ( a-)=== ? 6tan a- 6=tan a +1 解得tan a =, 故答案为：． 【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可 11、【答案】 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解：，是互相垂直的单位向量， ?| |=| |=1 ，且 ? =0； 又-与+入的夹角为60°, ???(- ) ? ( + 入)=| - | x | + 入 I x cos60° 即 + ( -1) ?-入=x,x 化简得-入=x ,x 即-入=, 解得入=. 故答案为：． 【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出泊勺值. 12、【答案】 【考点】向量的加法及其几何意义,向量的减法及其几何意义, 向量数乘的运算及其几何意义, 数量积的坐标表达式,平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解：如图所示, △ ABC中，/ A=60°, AB=3, AC=2, =2 ， =+ = + =+ (-) = + ， 又=入-(入€ R), ???= ( + ) ?(入-) =(X-) ? - + 入 =(X- )X 3X 2X cos60°- x3+ 入也—4, ?X=1， 解得X = 故答案为：． 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出再根据平面向量的数量积列出方程求出入的值. 13、【答案】；【考点】二倍角的余弦，三角形中的几何计算 【解析】【解答】解：如图，取 BC得中点E, ?/ AB=AC=4, BC=2, ?BE= BC=1, AE± BC, ?AE= = ， ?? S A ABC= BC?AE= X 2 X = ?/ BD=2, ?S A BDC= S ABC=, ?/ BC=BD=2, ?/ BDC=Z BCD, ?/ ABE=2/ BDC 在 RtA ABE中, ■/ cos/ ABE==, ?cos/ ABE=2cos2/ BDC- 1=, ?cos/ BDC= 故答案为： 【分析】如图，取BC得中点E ,根据勾股定理求出 AE ,再求出S A ABC ,再根据S A BD C= S A ABC即可求出根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出 14、【答案】- 【考点】同角三角函数基本关系的运用运用诱导公式化简求值两角和与差的余弦函数 【解析】【解答】解：方法一：???角a与角供匀以Ox为始边，它们的终边关于 y轴对称， ?sin a =sin 3 = cos a=- cos 3 ?cos (a- 3) =cosa COS 3 +Si n a sin- (cos2 a-si n2a =2siiha- 1= — 1=- 方法二：??? si n a =, 当a在第一象限时，cos a =, ??? a , 3角的终边关于y轴对称， ?3在第二象限时 sin3=sina= cos3=-cosa=- ?cos(a-3)=cosacos3+sinasin-3X= + X-= :T sin a =, 当a在第二象限时，COS a=~ , I a, 3角的终边关于y轴对称， ??? 3在第一象限时，s in3 =sin a 亍cos3= cos a =, ??? cos ( a- 3) =cosa cos 3 +sin a sin- 3 M + >e = 综上所述cos ( a- 3)=-, 故答案为:- 【分析】方法一:根据教的对称得到 sina =sin 3，= cosa=- co s 3，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分a在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出15、【答案】 3 【考点】平面向量的基本定理及其意义，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数，两角和与差的正弦函数 【解析】【解答】解：如图所示，建立直角坐标系． A( 1， 0)． 由与的夹角为a,且tan a =7 ?cosa= ， sina= ． ?C ． cos( a+45°) = ( cosa- sina) = ． sin ( a+45°) = ( sina+cosa) = ． ?B ． ■/ =m +n (m , n € R), ?=m- n, =0+ n, 解得 n= , m= ． 则 m+n=3 . 故答案为： 3．