17重点高中自主招生数学试题
E A B C
F
D
第3题图
x
y
P
B
C
A
O
第4题图
D
A B
C
E
G
F
第6题图
数学测试试卷
2017.2
一、选择题（每小题6分，共60分）
1、已知52015-=x
x ，则=-+---21)1()2(2
3
x x x （ ）
A 、2016
B 、2017
C 、2018
D 、2019
2、已知关于x 的不等式组?????>-+>-+x
t x t x 23535
2恰有三个整数根。则t 的取值范围是（ ） A 、7
8712-<≤-t B 、23712-<≤-t C 、3423-<≤-t D 、78
34-<≤-t
3、如图，六边形ABCDEF 由五个单位正方形组成，称能平分此六边形的面积的直线为“好线”。则共存在“好线”（ ）条。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、无数
4、如图，在平面直角坐标系中，R t △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，B
)3 ,3（，C )0 ,2
1（，P 为斜边OB 上的一动点，则PA+PC 的最小值为（ ） A 、313 B 、 231 C 、2
193+ D 、72
5、已知z y x 、、均为非负数，且满足x 2z -y -41-z y ==+。若z y +-=22x w 2
，则w 的最小值为（ ） A 、-1 B 、
923 C 、2
1
- D 、0 6、如图，正△ABC 的边长为6，D 、E 分别为边BC 、AC 上的一点，满足CD=AE 。设
BE 与AD 交于点F ，连结CF ，作EG ∥CF 与AD 交于点G 。若EF=1，则AG 的长为（ ） A 、
61 B 、2
1
C 、1
D 、2 7．如图，△ABC 的外接圆⊙O 的半径长为5，BC=8，点P 为BC 的中点，以点P 为圆心 作⊙P ，若⊙P 与⊙O 相切，则⊙P 的半径长为（ ）
就读学校： 班级： 姓名： 试场号： 座位号：
………………………………………………………装………………………………订………………………………线………………………………………
A ．3
B ． 3.5
C ．2或8
D ．2或4
8．如图，在菱形网格中，每个小菱形的边长都是1，点A ，B ，C 都在格点上，则在网格中与△ABC 面积相等且有一条边重合的格点三角形的个数是（ ）
A ．5
B ．6
C ． 7
D ．8
9．如图，直线l 1：1-=x y 与直线l 2：12-=x y 交于点P ，直线l 1与x 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发，沿平行于y 轴的方向向上运动，到达直线l 2上的点B 1，再沿平行于x 轴的方向向右运动，到达直线l 1上的点A 1；再沿平行于y 轴的方向向上运动，到达直线l 2上的点B 2，再沿平行于x 轴的方向向右运动，到达直线l 1上的点A 2，…依此规律，则动点C 到达点A 10所经过的路径总长为（ ）
A ．1210
- B ．22
10
- C ．1211- D ．2211-
10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，点E ，F 分别在 边AC ，BC 上，ED ⊥DF 于点D ，延长FD 交CA 的延长线于点G ，且EG=EF ．
若AC=2，BC=4，则AE 的长是（ ）
A ．52
B ．54
C ．34
D ．6
5
二、填空题（每小题6分，共36分）
11、已知为p n m 、、实数，若41+-x x 、均为多项式
p nx mx x +++23的因式，则8622+--p n m = ．
12、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，□ABOC 的对角线交于点M ，双曲线)0(<=x x
k
y 经过点B 、M 。若 □ABOC 的面积为24，则k = ．
13、已知△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且CD 2＝AD·BD ，∠B=200， 则∠BAC 的度数为 ．
x
y
O B 3
B 2
A 2
A 1
B 1l 2
l 1
P A
（第9题图）
C
A
B
（第8题图）
（第7题图）
G
F
B
C A
D
E
x
y
M B C
A
O 第12题图
x
y
M
B
C
A
D
O
第15题图
A B
C
D
E
F
G
第16题图
x
y
A
B C
E
D
O
第14题图
14、如图，直线12
1
+-
=x y 与x 轴、y 轴分别交于点B ，A ，点C 与B 关于y 轴对称，以AC 为直角边在第二象限内作等腰Rt △ACD ，过点D 作DE ⊥x 轴于点E 。若直线
k kx y 2-=将四边形OADE 分为面积相等的两部分，则k= ．
15、如图，已知半径为1的圆的圆心为M(0，1)，点B(0，2)，A 是x 轴负半轴上的一点，D 是OA 的中点，AB 交⊙M 于点C 。若四边形BCDM 为平行四边形，则si n ∠ABD= ．
16、如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AD 、AB 的中点，连结CE 、DF 交于点G ，连结BG 。若EG=
5
2010
，则BG=
三．解答题
17.（本题满分12分）现在a 根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成m 个正方形，按如图2摆放时可摆成2n 个小正方形． (1)用含n 的代数式表示m ；
(2)当这a 根火柴棒还能摆成如图3所示 的形状时，求a 的最小值．
18.（本题满分12分）阅读下列材料：我们知道，一次函数y=kx+b 的图象是一条直线，而y=kx+b 经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax+Bx+C=0（A 、B 、C 是常数，且A 、B 不同时为0）．如图1，点P （m ，n ）到直线l ：Ax+By+C=0的距离（d ）计算公
式是：d=22A m B n C
A B
?+?++ ．
例：求点P （1，2）到直线51y x 126=
-的距离d 时，先将51
y x 126=-化为5x －12y －2=0，再由上述距离公式求得d=
()()()
2251122221
=13512?+-?+-+-． 解答下列问题：
如图2，已知直线4
y x 43
=--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线
2y x 4x 5=-+上的一点M （3，2）．
（1）求点M 到直线AB 的距离．
（2）抛物线上是否存在点P ，使得△PAB 的面积最小？若存在，求出点P 的坐标及△PAB 面积的最小值；若不存在，请说明理由．
19.（本题满分14分）如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°，点B是弧MN上一动点，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q
（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（5分）
（2）随着B的运动，OA长也随之发生变化，探索
当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；（5分）
（3）连结PQ，试说明3PQ2+OA2是定值．（4分）
20.（本题满分16分）如图1，二次函数12-2
12
+=
x x y 的图象与一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为（0,1），点B 在第一象限内，点C 是二次函数图象的顶点，点M 是一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象与x 轴的交点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为N ，且S △AMO ：S 四边形AONB=1：48. （1）求直线AB 和直线BC 的解析式；
（2）点P 是线段AB 上一点，点D 是线段BC 上一点，PD//x 轴，射线PD 与抛物线交于点G ，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，PF ⊥BC 于点F ，当PF 与PE 的乘积最大时，在线段AB 上找一点H （不与点A ，点B 重合），使GH+2
2BH 的值最小，求点H 的坐标和GH+2
2BH
的最小值；
（3）如图2，直线AB 上有一点K （3,4），将二次函数
12-2
12
+=
x x y 沿直线BC 平移，平移的距离是t(t ≥0)，平移后抛物线使点A ，点C 的对应点分别为点A ’，点C ’；当△A ’C ’K 是直角三角形时，求t 的值。
数学测试卷答案及评分标准
2017.2
一、选择题（共8小题，每小题6分，满分48分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
D
C
D
B
B
C
C
C
D
B
二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分） 11、 100 12、 8- 13、700或1100 14、14
3
-
15、1010 16、4022
三、解答题（15题10分，16题12分，17题14分，共36分）
17.解：(1)图1中火柴棒的总数是（+1）根，图2中火柴棒的总数是（5n+2）根，（2分） ∵图1和图2的火柴棒的总数相同， ∴+1=5n+2， （1分） ∴m=
3
1
5+n （3分） (2)设图3中有3p 个正方形，那么火柴棒的总数是（7p+3）根，
由题意得：a=3m+1=5n+2=7p+3， （2分）
∴p=7
15723-=-n m ． （2分） ∵m ，n ，p 均是正整数
∴m=17，n=10，p=7时a 的值最小，a=3×17+1=5×10+2=7×7+3=52．（2分）
21．（1）证明：连接OB ，如图①，∵BA ⊥OM ，BC ⊥ON ，∴∠BAO=∠BCO=90°， ∵∠AOC=90°，∴四边形OABC 是矩形． （2分） ∴AB ∥OC ，AB=OC ，∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点，∴AE ∥GC ，AE=GC ， ∴四边形AECG 为平行四边形． ∴CE ∥AG ， （2分） ∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，
∴GF ∥OB ，DE ∥OB ，∴PG ∥EQ ，∴四边形EPGQ 是平行四边形； （1分）
（2）如图②，当∠CED=90°时，平行四边EPGQ 是矩形．此时∠AED+∠CEB=90°． 又∵∠DAE=∠EBC=90°，∴∠AED=∠BCE ． ∴△AED ∽△BCE ， （2分） ∴
BC
AE
BE AD =．设OA=x ，AB=y ，则x y y x :2
2:2=，得y 2=2x 2，（2分） 又 OA 2+AB 2=OB 2，即x 2+y 2=12．∴x 2+2x 2=1，解得：x=3
3．（1分）
当OA 的长为
3
3
时，四边形EPGQ 是矩形；
（3）如图③，连接GE 交PQ 于O′，∵四边形EPGQ 是平行四边形，∴O′P=O′Q ，O′G=O′E ．
过点P 作OC 的平行线分别交BC 、GE 于点B′、A′． 由△PCF ∽△PEG 得，1
2
===FC GE PC PE PF PG ， （1分） ∴AB B A PA 3
1
32///
==
，在Rt △PA′O′中，PO′2=PA′2+A′O′2， （1分） 即 36
94222OA AB PQ +=，则9PQ 2=4AB 2+OA 2，又 AB 2+OA 2=OB 2=1（1分） ∴9PQ 2=3AB 2+1，即9PQ 2=3（1-AO 2）+1，整理得：3PQ 2+OA 2=
34
（1分） 解：（1）C （2，-1）.由S △AMO ：S 四边形AONB=1：48，可得由S △AMO ：S △BMN=1：49，
所有BN=7，带入二次函数解析式可得B （6,7）。所以yAB=x+1，yBC=2x-5.
（2）设点P （x 0,x 0+1），则D （，x 0+1），则PE=x 0+1，PD=3-0.5x 0，
由于△PDF 相似△BGN ，所以PF:PD 的值固定，于是PE.PF 最大时，PE.PD 也最大，
PE.PD=(x 0+1)(3-0.5x 0)=，所以当x 0=2.5时，PE.PD 最大，即PE.PF 最大。
此时G （5,3.5）
可得△MNB 是等腰直角三角形，过B 作x 轴的平行线，则BH=B1H ，
GH+BH 的最小值转化为求GH+HB1的最小值，
所以当GH 和HB1在一条直线上时，GH+HB1的值最小，此时H （5,6），最小值为7-3.5=3.5
（3）令直线BC 与x 轴交于点I ，则I （2.5,0）于是IN=3.5，IN ：BN=1:2， 所以沿直线BC 平移时，横坐标平移m 时，纵坐标则平移2m ，平移后A ’(m,1+2m),C ’
(2+m,-1+2m)，则A ’C ’2=8,A ’K 2=5m 2-18m+18,C ’K 2=5m 2
-22m+26，
当∠A ’KC ’=90°时，A ’K 2+KC ’2=A ’C ’2
，解得m=，此时
t=
;
?当∠KC’A’=90°时，KC’2+A’C’2=A’K2，解得m=4,此时t=; ?当∠KA’C’=90°时，A’C’2+A’K2=KC’2，解得m=0,此时t=0