函数起始课(GKB)

八一中学2012-2013学年度教学公开课教案

反思：

这节课的主要意图就是通过让学生经历一次函数概念的生成过程，体会到函数定义中的关键要素：定义域和对应法则。再通过例题，具体的了解如何确定函数和求定义域。

从教学设计的提问设计上来看，整体思路是比较清晰的，但是在具体细节的设问上，有个别提问不够明确，学生不知道该如何回答，或者回答的方向不正确。从教学环节上来看，对于初中知识的复习，是有助于学生理解新学知识的，但利用的还不够充分，还可在对比书上定义之后，与初中的定义在进行一次比较，让学生体会初高中知识的不同之处。

从教学时的应变处理上，也有可改进之处，比如，学生提出函数的定义与相同，值域相同，则为同一函数。可以抓住这一错误，举出反例，再一次巩固函数中的两要素是定义域和法则。

专题十五 导数与函数的最值及在实际生活中的应用

专题导数与函数的最值及在实际生活中的应用【高频考点解读】 1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 2.会利用导数解决某些实际问题． 【热点题型】 题型一函数的最值与导数 例1、已知a∈R，函数f(x)＝a x＋ln x－1. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求f(x)在区间(0，e]上的最小值． 【提分秘籍】

1.极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 2. 求给定区间上的函数的最值关键是判断函数在此区间上的单调性，但要注意极值点不一定是最值点，还要与端点值比较，对于含参数的函数最值，要注意分类讨论． 【举一反三】 已知函数f (x )＝ax －2 x －3ln x ，其中a 为常数． (1)当函数f (x )的图象在点??? ?23，f ????23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在??? ?32，3上的最小值； (2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围； 【热点题型】 题型二 生活中的优化问题 例2、某商场根据调查，估计家电商品从年初(1月)开始的x 个月内累计的需求量p (x )(单位：百件)满足p (x )＝x 2 (39x －2x 2＋41)(1≤x ≤12且x ∈N *)． (1)求第x 个月的需求量f (x )的表达式；

(2)若第x 个月的销售量满足g (x )＝???? ? f x －21x 1≤x <7，x ∈N * x 2e x ????13x 2 －10x ＋967≤x ≤12，x ∈N * (单位：百 件)，每件利润q (x )＝100e x －6 元，求该商场销售该商品，第几个月的月利润达到最大值，最大 是多少？(e 6取值为403) 【提分秘籍】 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )，根据实际意义确定定义域； (2)求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0得出定义域内的实根，确定极值点； (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值； (4)还原到原实际问题中作答． 【举一反三】 某玩具厂生产一种儿童智力玩具，每个玩具的材料成本为20元，加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，出厂价为x 元(25≤x ≤40)．根据市场调查知，日销售量q (单位：个)与e x 成反比，且当每个玩具的出厂价为30元时，日销售量为100个． (1)求该玩具厂的日利润y 元与每个玩具的出厂价x 元之间的函数关系式； (2)若t ＝5，则每个玩具的出厂价x 为多少元时，该工厂的日利润y 最大？并求最大值．

高一数学《函数的概念(微课)》教学设计.

高一数学《函数的概念（微课）》教学设计 高一数学《函数的概念（微课）》教学设计 课题函数的概念 时间7分至8分 教学目标 1.知识目标: 正确理解现阶段函数的概念,理解定义域的概念 2.能力目标:使学生具有使用函数模型研究生活中简单的事物变化规律的能力。 3.情感目标: 渗透数学来源于生活，运用于生活的思想。 重点让学生理解现阶段函数的概念，定义域的概念。 难点用函数模型去研究生活中简单的事物变化规律时，如何确定定义域. 学情 分析授课班级为高一年级的学生，有朝气，有活力，爱实践，爱生活。本课之前，学生已经学习了初中函数概念，为本课的学习打下基础。 教法与学法教法：微课视频中包含情境教学法、多媒体辅助教学法的使用。 信息化教学资源 1.动画设计《世界在不断的变化》 2.专业录频软件； 3.视频后期处理软件； 4.QQ； 5.其它图片、背景音乐。 课前准备

复习初中数学函数概念 教学过程 环节设计：教师活动、学生活动、设计意图 环节一创设情境 兴趣导入首先让学生观看视频《世界在不断的变化》 老师解说：这个世界在不断的变化，有一句很有哲理的话“这个世界唯一没有变化的就是这个世界一直在改变”。聪明的人类为了在这个不断变化的世界中生存，想出了很多记录世界变化规律的办法。今天我们就来学习一个好办法，它就是数学函数，函数是研究事物变化规律的数学模型之一。 1看视频。2听老师解说，函数是研究世界变化规律的数学模型之一。3了解函数的作用，对函数产生兴趣。 通过让学生观看视频，并对学生讲解，让学生了解函数是用来研究事物变化规律的数学模型之一，这样学生能更深刻的理解函数的功能，即激发了学生学习热情，又回顾初中学习的数学函数的定义。 在某一个变化过程中有两个变更x和y,在某一法则的作用下,如果对于x的每一个值,y 都有唯一的值与其相对应,就称y是x的函数,这时x是自变量,y是因变量. 用一个生活实例加深对知识的理解。 实例：到学校商店购买某种果汁饮料，每瓶售价2.5元，那么购买瓶数x,与应付款y 之间存在一种对应关系y=2.5x.瓶数x在自然数集中每取定一个值，应付款y就有唯一一个值与其对应，我们可以运用对应关系y=2.5x进行方便的运算。 在这个例子中,我们发现自变更x只有在自然数集中取值才有意义,其实如果我们细心研究所有已知函数,就会发现确定自变量x的取值范围,是使用函数模型描述世界变化规律的前提. 所以我们重新定义函数,将自变量x的取值范围用集合D来表示. 函数的定义: 在某一个变化的过程中有两个变量x和y,设变量x的取值范围为数集D,如果对于D内的每一个x值,按照某个对应法则f,y都有唯一确定的值与它对应环节三

实验七EXCEL 公式与函数

实验七EXCEL公式与函数 一﹑实验目的 1熟练掌握Excel中公式的应用。 2熟练掌握Excel中函数的应用。 二﹑基本知识 Excel具有强大的计算和处理数据功能。在工作表中无论输入简单的公式还是复杂的公式，应用内部函数，在瞬间得到计算结果，为用户估算和分析数据提供结果和解决方案。 三﹑实验内容 1打开工作簿文件table.xls，将下列要求处理数据表格。 表7.1 职工号姓名入公司时间基本工资补贴 200201宋大纲1991-3-440050 200202黄惠惠1983-6-760030 200203翁光明1986-7-770060 200204钱宝方1999-12-154093 200207周甲红1994-7-570056 200208叶秋阳1997-4-468954 200209方昌霞1988-12-422925 200210张之刚1989-9-555998 200211王胜平1987-7-755455 200212傅海英1989-9-845650 200213骆程琳1986-10-378960 2在工作表中添加一列“工龄”，工龄计算公式：2012-year(入公司时间）。 3在工作表中添加一列“奖励后工资”，奖励办法：基本工资>500者，加200，否则加150。提示：利用IF函数。 4在工作表中添加一列“实发工资”，实发工资=奖励后工资+补贴。 5在D15单元格计算出最低工资值。 6在Sheet3中根据下列已知数据建立表。 表7.2 元亨简单科技产业有限公司2007年销售统计表（万元） 公司名称第一季度第二季度第三季度第四季度 北京分公司256.56240.56195.83310.5 上海分公司185.45205.45172.85250.68 天津分公司150.46180.62140.87215.52 深渊分公司225.55255.45197.68265.56

函数最值和极值的解法及其在生活当中的应用

编号: 本科学生毕业设计（论文） 题 目: 函数最值和极值的解法及其在生活当中的应用 系部名称: 数学系 专业名称: 数学与应用数学 年 级: 2009级本科2班 学生姓名: xxx 学 号: xxx 指导教师: xxx 职称/学历: 副教授 ●评定等级标准:”优”（90分以上）; “良”（80～89）; “中”（70～79）; “及格”（60～69）; “不及格”（60以下）. 年 月 日 数 学 系

四川民族学院本科学生毕业设计（论文） 摘要 数学应用是数学教学中的一个重要任务.本论文将通过函数最值和极值的相关定义、联系、区别以及最值与极值的求解方法,并系统的阐述函数最值和极值,这是及其重要而且基础的函数性质,使其让大家意识到函数最值和极值问题是与实际问题有着密切关系的.最后可以运用出函数最值和极值的知识,解决实际生活中的相关的问题. 首先提出函数最值和函数最值相关理论的定义.又给出了函数极值的三个充分条件(即第一充分条件、第二充分条件、第三充分条件)和函数最值与上（下）确界的关系;其次给出了函数极值和函数最值的一些求解方法(如极值的一般求法、利用极值的第一、第二、第三的充分条件求极值和最值的导数一般求法、转换法、几何法、参数法、以及不等式的证明等);然后利用这些方法对一些实际生活中的一些问题加以解决(如路程于经费的问题、用固定的材料制作体积最大的容积、在物理学中变阻器消耗最大电功率、凸函数的极小值等的一些问题),还有生活中的一些关于最值和极值的一些现象;最后是总结了函数最值和极值对实际生活中起到了一定的影响,并对以后函数最值和极值的进一步发展和研究积极的重要作用. 该论文中涉及到的实际应用主要可以分为有以下几点: 1.最值在实际生活路程与经费、一定材料制作出最大体积的容器; 2.极值在生活现象中(变阻器消耗最大电功率等); 3.最值与极值联系于区别. 关键词:最值;极值;应用.

函数-函数概念,对应是本质

本源探究微课程—函数概念，对应是本质 南昌本源探究微课组 随着数学的不断发展，函数概念历史演变经历了四个主要阶段： （1）函数概念萌芽：变量作为数学名词是约翰 贝努力首先应用的，函数这一名词是德国哲学家兼数学家莱布尼兹首先采用的； （2）函数概念-变量依赖说：1748年，欧拉在约翰 贝努力的基础上首次用“解析式”来定义函数，欧拉二次定义函数，第二个定义与现代函数定义很接近，在函数的表达上不拘于用解析式来表达，破除了用公式表达函数的局限性，他认为函数不一定用公式来表达，他曾把画在坐标系上的曲线也叫函数． （3）函数概念-变量对应说：1823年，柯西的函数定义把函数概念与、连续、解析式等纠缠不清的关系给予澄清，也避免了“变化”一词，但是对于函数概念的本质—对应思想强调不够；此后黎曼和狄里克雷认识到这一点，给出了较精确的定义，彻底抛弃了解析式的束缚，特别强调和突出对应思想，使之具有更加丰富的内涵，被公认为函数的现代定义． （4）函数概念-集合对应说：20世纪初，德国数学家康托提出的集合论被世人广泛接受后，用集合对应关系来表示函数概念渐渐地占据了数学家的思维，通过集合论的概念把函数的对应关系、定义域、值域进一步具体化，函数便明确地定义为集合的对应关系，再进一步发展为现代函数定义的集合关系说． 【例１】观察以下各小问中的两组数据，选用代数式、图表或图象描述两组变量的关系． （1）设弹簧伸长量为x ,作用于弹簧上拉力为y ，某弹簧的伸长量为1、1.5、2、2.5、3、3.5所对应的拉力分别为2、3、4、5、6、7； （2）设年份为x ,平均身高为y ，小明同学从2015年至2020年这六年的平均身高分别是161、 163、168、171、172、173. （3）设学号为x ,分数为y ，学号为1-6 的学生在某次测验的成绩分别是82、85、75、66、85、94； 仔细观察可以看出，每一小问中两组数据有一种对应关系，把两组数据分别看成两个集合，也即是两个集合的元素之间有一种对应关系． 【解析】（1）弹簧伸长量x 构成集合{1,1.5,2,2.5,3,3.5}A ，弹簧拉力y 的构成集合{2,3,4,5,6,7}B ，两组数据中每一个伸长量x 唯一对应一个拉力y ，对应关系为2y x ，从图象分析，是一条直线，是一一对应； （2）设年份为x 构成集合{2015,2016,2017,2018,2019,2020}A ,小明同学这六年的平均身高y 的构成集合{161,163,168,171,172,173}B ，对应关系是找每一年份的身高，无法用代数式表示对应关系，可以用表格来表示这种对应关系： ，也可以用图象表示其中对应关系，从图象分析，是一系列离散的点集，仍是一一对应关系；（3）设学号x 构成集合{1,2,3,4,5,6}A ,某测验的成绩分数y 的构成集合{82,85,75,66,85,94}B ，对应关系是找学号对应学生的分数，用不同学号的学生有考分一样的，无

公式与函数应用

“学程导航”课时教学计划

学程预设导学策略调整与反思 学生讨论交流，回答解决问题方法(口算，笔算……) 师生活动：共同探讨，形成共识。口算笔算等方法易出错，而且速度慢！ 学生活动：自主实践，学生自评，同桌互评，组长检查并组织本组讨论交流！ 师生活动：学生展示，解决共性问题或预设问题(比如在“F3”单元格录入错误的公式，如何修改呢？)！ 学生活动：自主实践，学生自评，同桌互评，组长检查并组织本组讨论交流！一、创设情境，问题导入 请学生观察“七年级兴趣小组报名统计表”，如何准确、快速计算每个班级的报名总人数和各个兴趣小组的报名总人数呢？ 同学们知道Excel软件是一个强大的数据统计和分析工具，具有很强的计算功能，那今天我们就一起来探讨Excel软件的强大计算功能——公式和函数，运用公式和函数实现数据的准确快速计算。 二、探索发现，学以致用 ⑴任务1：引导学生自主实践以下任务。 在“H3”单元格中输入“8+4+12+7”,按回车键 确认后显示什么？ 在“I3”单元格中输入“=8+4+12+7”,按回车 键确认后显示什么？ 在“J3”单元格中输入“=B3+C3+D3+E3”,按 回车键确认后显示什么？ ⑵思考：现四班有一同学要增报羽毛球，即“E3”单元格数据“7”增加为“8”，按回车键确认后“H3”“I3”“J3”单元格会有变化吗？为什么？如果要在公式中引用某单元格数据时，你认为是直接引用数值还是引数据的地址更好呢？ ⑶什么样的式子称为“公式”？公式中可以包含哪些形式的内容? 以等号开始的代数式称为“公式”，公式中一般包括常数、运算符号、引用地址和函数等。 ⑷用公式在“F3”单元格计算“学生期末考试成绩”的平均得分。 过渡：同学们！用公式计算10位学生的平均分，是否需要输入10个公式呢？下面请各位同学阅读课本P63的图表，体验鼠标在各种不同状态下的功能，找出解决的方法，实现快速计算。 在“学生期末考试成绩”表中，运用“填充句柄”填充1~10的学生编号。（教师演示） 引导学生自主实践以下任务： 任务2：在“学生期末考试成绩”表中，使用公式法结合填充句柄实现快速计算每个学生的平均分。

导数在函数求最大值和最小值中的应用解读

导数在函数求最大值和最小值中的应用 例1．求函数f (x )＝5x ＋ . 解析：由3040x x +??-? ≥≥得f (x )的定义域为－3≤x ≤4，原问题转化为求f (x )在区间[－3, 4]上的最值问题。 ∵ y ’＝f ’(x ) ＝5 在[－3，4]上f ’(x )＞0恒成立, ∴ f (x )在[－3，4]上单调递增． ∴ 当x ＝－3时y min ＝－15－7， 当x =4时y max =20＋27， ∴ 函数的值域为[－15－7，20＋27]. 例2．设32f (a )，f (－1)0，∴ f (x )的最大值为f (0)＝b －1， 又f (－1)－f (a )=21(a 3－3a －2)=21(a +1)2(a －)<0， ∴ f (x )|min =f (－1)，∴ －23a －1+b =－23a = ∴ a b =1. 例3．若函数f (x )在[0，a ]上单调递增且可导，f (x )<0，f (x )是严格单调递增的，求 ()f x x 在(0，a ]上的最大值。 解析：2()'()()[]'f x f x x f x x x ?-=，∵ f (x )是严格单调递增的， ∴ f ’(x )>0，∵ f (x )<0，x >0，∴f ’(x )·x －f (x )>0， ∴ 2()'()()[ ]'f x f x x f x x x ?-=>0，∴ ()f x x 在(0，a ]上是增函数。 ∴ ()f x x 在(0，a ]上最大值为()f a a ． 例4．设g (y )＝1－x 2＋4 xy 3－y 4在y ∈[－1，0]上最大值为f (x )，x ∈R ， ① 求f (x )表达式；② 求f (x )最大值。 解析：g ’(y )=－4y 2(y －3x ), y ∈[－1, 0]， 当x ≥0时，g ’(y )≥0，∴ g (y )在[－1, 0]上递增, ∴ f (x )=g (0)=1－x 2. 当－3 10，在[－1，3x ]上恒成立，在(3x ，0)上恒成立， ∴ f (x )=g (3x )=1－x 2+27x 4 .

公式与函数的应用

公式与函数的应用 (总分：100.00，做题时间：90分钟) 一、 (总题数：1，分数：100.00) 1.说明：对于以下测试题，可以打开“销售统计表.xls”、“销量核实表.xls”和“水果销售表.xls”(光盘：/素材/第3章)作为练习环境，或通过光盘中的模拟练习(光盘：/模拟练习/第3章/第1～21题)板块进行测试，并通过光盘中的试题精解(光盘：/试题精解/第3章/第1～21题)模块观看答题演示。 第1题用编辑栏计算“销售统计表”中李建国6月份的剩余任务。 第2题利用复制数据的方法，将“6月统计”工作表中E5单元格的公式相对引用到E8单元格中。 第3题将“6月份统计”工作表中E5单元格的公式绝对引用到E6单元格中。(列标不变，符号自动变化。) 第4题将“6月份统计”工作表中E5单元格的公式混合引用到E6单元格中。 第5题在当前工作表的G5单元格中利用直接输入法计算“6月统计”工作表中的E5单元格和“5月剩余”工作表中B5单元格的和。 第6题利用鼠标单击法在H5单元格中求出引用“Book2”工作簿中“Sheet1”工作表中的A1单元格的值与“6月统计”工作表中G5单元格的值之和。 第7题利用自动求和按钮求出“08年度”工作表中“内存”的总和。 第8题利用自动计算功能求出“08年度”工作表中主板的最小值。 第9题在G16单元格中，利用“插入函数”对话框求G3:G14单元格区域的平均值。 第10题通过函数计算E3:E14单元格区域的总和，并将计算结果显示在E15单元格中。 第11题在F16单元格中利用函数计算出F3:F14单元格区域的平均值。 第12题利用函数计算“6月统计”工作表中A3:D23单元格区域中内容为数字的单元格个数，并将结果显示在C25单元格中。 第13题通过菜单命令插入函数，计算“6月统计”工作表中B3:B23单元格区域中的最大值，结果显示在B24单元格中。 第14题在“6月统计”工作表中，插入函数并计算C3:C23单元格区域中的最小值，填充在C24单元格中。第15题在当前工作表的A19单元格中计算22:00到08:00期间相差的时间。 第16题用函数统计“销量核实表”的B2:G14这一区域中值大于30的单元格个数，并将结果显示在115单元格中。 第17题利用菜单命令插入函数，对“08年度”工作表中“18.80”数字取整并将结果显示在114单元格中。第18题在“08年度”工作表的13单元格中，利用手工输入函数将G3单元格的数值四舍五入后保留一位小数。 第19题在“销量核实表”的B15:G15单元格区域中通过嵌套函数判断，当总和大于320时显示总和值，否则显示“差”，利用“插入函数”对话框实现计算。 第20题利用工具按钮插入函数，在I3:I14单元格区域中添加本月总和评价，要求本月总和低于或等于180为“良”，高于180为“优”，拖动鼠标填充其他月份的总和。 第21题利用函数查找单价为4.5的水果，结果填充在C4单元格中。 （分数：100.00） __________________________________________________________________________________________ 解析：

2函数的极值和最值及其应用

函数的极值和最值及其应用 函数极值的定义 ??????是函，则设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有xxxf?ff xx)(xf0000??????????的一，则的一个极大值。如果附近所有的点，都有 是函数数xxfxffxfx?f00个极小值，极大值与极小值统称为极值。 极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。 ???.的极值点，则这就是说可导函数在点取极若函数在点处可导，且为 0fx?xxff000????0xf. 值的必要条件是0函数最值的定义 ????xffx Xx?不小于其他所有的区间上有定义，如果存在一点，使得在设函数X00??????,xff?xxfxX?，，亦即0????????xfmaxxxff?是在上的最大值，又可记为；则称X00????????,x?f?xffxXfxx同样使得，亦即，不大于其他所有的o0????????xxfxf?fmin . 是在则称上的最小值，又可记为X00??xf在注意上未必一定有最大（小）值。：函数X最值和极值的联系与区别 （1）极值一定是函数在某个区间内的最值； （2）极值未必是最值； （3）如果函数的最值在某个区间内取得，那么该点一定是极值点。 函数极值、最值的求解方法 1、降元法 求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二元函数求解。 1 22，求函数的极值。例1：已知x?z?y22y?x?22，代人得解：由题设得xy2?x?y?2 22????282?z??2?x?x??2x 2??22?2?22?x???2?0???x?28??即函数的定义域为：2?2?22,?2?2??

函数的概念微课教学设计

课题：函数的概念 教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修1（人教版）第一章第二节 1.2.1函数的概念

教学目标： （1）了解构成函数的概念及其要素，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）从大量的实际例子出发抽象概括出函数的概念，在过程中设法给学生创造运动、自然界、经济生活中的情境，启发引导，充分发挥学生的主体作用； （3）利用函数解决实际问题，渗透数学来源于生活，服务于生活的思想． 教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数． 教学难点：函数概念及符号“y=f(x)”的含义． 教学手段：多媒体课件辅助教学. 教学过程： （一）创设情景，揭示课题 1、初中阶段我们都学过哪些函数呢？ 一次函数()0y ax b a =+≠ 二次函数()20y ax bx c a =++≠ 反比例函数()0k y k x =≠ 2、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想. 函数的概念：（初中）一般地，如果变量y 随着变量x 而变化，并且对于x 取的每一个值，y 都有唯一的值与对应，那么称y 是x 的函数，记作()y f x =.其中x 叫作自变量，y 叫作因变量. 两个关键点：①有两个变量x 、y ，②当x 取一个确定的值时，y 都有唯一确定的值. 初中概念从运动变化的角度刻画了变量之间的依赖关系.那么本节课将从一个新的角度：即用集合和对应的语言来进一步学习函数的概念. 【设计意图】通过回忆初中函数的定义，为探究新课做好铺垫. （二）抽象概括，形成概念 1、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： 课本的三个实例：①炮弹的射高与时间的变化关系问题；②南极臭氧层空洞面积与

高等数学(上册)教案15 函数的极值与最值

第3章 导数的应用 函数的极值与最值 【教学目的】： 1. 理解函数的极值的概念； 2. 掌握求函数的极值的方法； 3. 了解最大值和最小值的定义； 4. 掌握求函数的最值的方法； 5. 会求简单实际问题中的最值。 【教学重点】： 1. 函数极值的第一充分条件，第二充分条件； 2. 导数不存在情况下极值的判定； 3. 函数最值的求解方法； 4. 函数的最值的应用。 【教学难点】： 1. 导数不存在情况下极值的判定； 2. 区分函数的驻点、拐点、极值点以及最值点； 3. 区分极值点与极值，最值点与最值； 4. 函数的最值的应用。 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 3.3.1函数的极值 从图3-7可以看出，函数)(x f y =在点2x 、5x 处的函数值2y 、5y 比它们近旁各点的函数值都大；在点1x 、4x 、6x 处的函数值1y 、4y 、6y 比它们近旁各点的函数值都小，因此，给出函数极值的如下定义： 一般地， 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若对 于0x 邻域内不同于0x 的所有x ，均有)()(0x f x f <，则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极大值，0x 称为极大值点；若对于0x 邻域内不同于0x 的所有x ，均有 )()(0x f x f >，则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极小值，0x 称为极小值点. 函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点. 注意 可导函数的极值点必是它的驻点，但反过来是不成立的，即可导函数的驻点不一定是它的极值点. 极值的第一充分条件 设函数)(x f y =在点0x 的邻域内可导且0)(0='x f ，则 （1）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，0)(0>'x f ；当x 取0x 右侧邻近的值时， 图3-7 y O x a 1 x 2 x 3x 4x 5 x b

教案浙江版新课程信息技术七上第15课公式与函数

第十五课公式与函数 一、教学目标 知识与技能目标：1、掌握Excel中单元格数据格式的设置 2、掌握Excel中常用公式和函数的使用方法 3、了解公式和函数使用的区别 过程与方法目标：1、通过任务驱动的方法让学生熟悉公式和函数计算的方法 2、通过小组讨论和提问的方法，掌握函数和公式的区别 情感、态度与价值观目标：1、培养学生正确的消费意识 2、培养学生的小组合作能力 二、教学重难点： 教学重点：Excel中公式和函数的应用 教学难点：Excel中公式和函数的使用场合 三、学情分析 本课是浙江省义务教科书《信息技术》2012版第三单元数据处理与应用的第三课内容，公式与函数。学生通过前面课程的学习，对Excel表格有了较好的认识，能够熟练地掌握数据的输入、自动填充以及单元格的数据格式设置。但是仍然有部分学生操作起来还是比较困难，因此在课堂教学中采用小组合作的形式，相互帮助学习。 四、教材分析 本课的主要任务是单元格数据格式的设置和常用公式函数的使用。上节课，学习了设置单元格的边框与背景。相对来说对单元格数据格式的设置这款内容比较容易接受，所以把这块内容放到课堂任务中，以学生要计算“零食所占比例”这一任务，引出对单元格数据的格式设置。对公式和函数的计算这块重点，要反复处理，加深学生的印象。 五、教法分析 坚持以“任务驱动为主线，学生探讨实践为主，教师讲解为辅”的教学思路，让学生在教师的引导下通过组内探讨、实践操作，并结合书本，掌握相关知识；同时，教师对有困难的学生及时加以帮助，并对某些难点操作可通过电子教室进行强化，加深学生理解。 六、教学内容 教学环节教师活动学生活动 课堂导入播放小视频《富二代的天价零花钱》 教师设问： 1、同学们觉得中国富二代和外国富二代哪种方式更健康？ 2、我们同学有自己的零花钱吗？ 3、你们是怎么安排的？ 观看视频，较感兴趣 用公式计算 老师这边有我们七年级同学做的《七年级某班一星期 零花钱使用情况调查表》，让我们来看看他们的零花钱是怎 么使用的？他们的零花钱使用合理吗？ 观察调查表，跟自己使用的零花钱对比一下有哪些区 别？ 下面，我们来做一个更深层次的分析 问题： 任务一：1、该班级这个月一共花了多少钱买零食？ 2、该班同学这个月一共买了多少钱的书？ 3、买零食的钱比买书的钱多花了多少？ 学生操作，小组互助 同学上台演示操作 复习上节课学习的

多元函数的极值及其应用

多元函数的极值及其应用 作者：程俊 指导老师：黄璇 学校：井冈山大学 专业：数学与应用数学

【摘要】 多元函数的极值是函数微分学中的重要组成部分，本文对几种特殊的多元函数进行了简单的介绍，对多元函数的极值常见的求法进行了研究，并引入其在生活中、生产中解决实际问题的广泛应用，突显这一学术课题在生活中的重大意义。如今构建经济型节约社会慢慢成为我们共同努力的方向，而最优化问题是达到这一目标的有效途径，其常常有与多元函数的极值息息相关。对函数极值的研究不仅把理论数学推上一个高度，给经济方面，生活方面带来的益处不容小觑，本人浅谈极值问题，为了抛砖引玉，希望这一课题能有更广大额发展空间 【关键词】：多元函数；极值；生活中的应用

目录 Ⅰ引言 (1) Ⅱ多元函数极值的介绍………………………………………… 2.1什么是多元函数………………………………………… 2.2函数的极值理论………………………………………… Ⅲ几种函数的极值的常见求法……………………………… 3.1高中极值求法的弊端………………………………… 3.2拉格朗日乘数法……………………………………… 3.3消元法…………………………………………………… 3.4均值不等式法…………………………………………… Ⅳ多元函数在生活中的应用……………………………………

引言 历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它有助于我们提高对函数的认识。而函数的极值的作用已经蔓延到经济领域，在各种解决最优化中应用广泛，从而引发了本人对该课题的研究兴趣。 编者 2014年2月

微课《幂函数的概念》教学设计

微课教学设计 微课名称：幂函数的概念 教学目标： 通过实例，理解幂函数的概念；能区分指数函数与幂函数；会用待定系数法求幂函数的解析式。 教学重难点： 重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些特征． 难点 指数函数与幂函数的区别和幂函数解析式的求解. 教学方法与手段： 1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性. 2．利用投影仪及计算机辅助教学. 教学过程： 函数的完美追求：对于式子b a N =， 1. 如果a 一定，N 随b 的变化而变化，我们建立了指数函数x a y =； 2. 如果a 一定， b 随N 的变化而变化，我们建立了对数函数x y a log =. 设想：如果b 一定，N 随a 的变化而变化，是不是也应该确定一个函数呢？ 创设情境 请大家看以下问题： 思考：以上问题中的函数1 2 3 2,,,,-=====x y x y x y x y x y 有什么共同特征？ 引导学生分析归纳概括得出：（1）都是以自变量 x 为底数；（2）指数为常数；（3）自变量x 前的系数为1;（4）只有一项.上述问题中涉及的函数，都是形如α x y =的函数. 探究新知 一、幂函数的定义 一般地，形如)(R x y ∈=αα 的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数. αx y =中αx 前面的系数是1,后面没有其它项. 小试牛刀 判断下列函数是否为幂函数：

(1) 4 x y =，.2)6(,)2()5(,)4(,)3(,1)2(3 221 22+=-==-==x y x y x y x y x y 思考：幂函数αx y =与指数函数x a y =有什么区别？ 二、幂函数与指数函数的对比 结论：判断一个函数是幂函数还是指数函数的关键点是看自变量x 是指数还是底数，如自变量x 是指数，就是指数函数；如自变量x 是底数，就是幂函数函数. 快速反应 下列函数中哪些是指数函数，哪些是幂函数： .)4(,3)3(,)2(,2.0)1(55 1x y y x y y x x ====- （1）指数函数，（2）幂函数，（3）指数函数，（4）幂函数. 随堂练习 已知幂函数)(x f y =的图像经过点)2,2(,试求这个函数的解析式 . 分析：因为所求的函数为幂函数，所以可用待定系数法，先设α x x f y ==)(，再由已知条件解出α即可. 解：设所求的幂函数为α x y =， 函数的图像经过点)2,2(， ,22α =∴即,222 1α= 2 1= ∴α ∴所求的幂函数为2 1x y =. 课堂小结 一、幂函数的定义；二、幂函数与指数函数的区别；三、待定系数法. 布置作业 随堂检测

Excel中公式与函数的应用教学设计

Excel中公式与函数的应用教学设计Application teaching design of formula and fu nction in Excel

Excel中公式与函数的应用教学设计 前言：小泰温馨提醒，信息技术是主要用于管理和处理信息所采用的各种技术的总称，主要是应用计算机科学和通信技术来设计、开发、安装和实施信息系统及应用软件。本教案根据信息技术课程标准的要求和针对教学对象是初中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 一、教学目标： 1、知识目标：掌握excel的公式组成格式。理解函数的概念，掌握常见函数如（sum,average）的使用。 2、能力目标：掌握使用函数（sum,average）计算所给数据的求和，求平均值，并且能够根据工作需要修改函数参数，最后达到能够利用所学知识与技能来解决现实生活中所遇到的问题。 3、情感目标：故事情境的导入，激发了学生学习excel电子表格的强烈欲望，在逐一问题得到解决中，感受学习excel电子表格必要性和重要性。在任务的驱动下，激活学生自主学习意识，在任务的完成过程中体会成功的喜悦，并在具体的任务中感受助人为乐的快乐与充实。 二、教学重点、难点： 1、重点：公式格式的输入，sum、average函数的插入和使用。 2、难点：公式格式的修改，函数参数的正确使用以及修改。 三、教学方法：

引导操作，自主探究，任务驱动，互助学习 四、教学素材准备： excel电子表格版的学生成绩单。 五、教学过程 1、情境引入： （1）、刘老师是位有着28年教学经验的老教师，在这28年当中，都担任班主任，工作尽心尽责，深受学生、校领导、家长的好评！然而，随着科学技术的发展，学校从今年起开始步入无纸化办公，面对计算机的使用操作，刘老师感觉心有余而力不足，毕竟老了.如今刘老师要分析学生第一次月考成绩，面对excel电子表格，她向以往填纸制表格一样，用计算器逐个计算，然后再填入表格中，用时大概两个小时。对于这项工作，如果你会操作电子表格，只需两分钟左右就可以解决。同学们，你们想拥有这种能力吗？愿意帮刘老师的大忙吗？ （2）、刘老师要处理的excel电子表格。 （3）、通过观察刘老师要处理的excel电子表格，让学生明确要学习的内容与目的，——引出本节课的学习目标。 2、明确学习目标 （1）、了解公式的概念，掌握公式格式，并使用公式对数据进行处理。 （2）、了解函数的概念，掌握常用函数的使用如：求和函数 sum，求平均值函数 average。

函数的基本性质之最值以及应用

函数的基本性质之最值 题型一 利用函数的图象求最值 例1：已知函数f (x )＝??? x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1. 求f (x )的最大值、最小值. 变式练习1. 画出函数x y 1=的图像，并求函数在以下区间上的最值： （1）]7,1[ （2）)0,5[- ]5,0(

2.已知函数?????≤<≤≤-=21,11 21,)(2x x x x x f ，求f(x)的最大值、最小值 3. (1)函数f (x )的部分图象如图所示，则该函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别是( ) A.f (－2)，f (3) B.0,2 C.f (－2)，2 D.f (2)，2 (2)画出函数(][)?????+∞∈-+∞-∈-=,0,120,,2)(2x x x x x x f 的图象，并写出函数的单调区间及函数 的最小值.

题型二利用单调性求函数的最值 例2：求函数f(x)＝x x－1 在区间[2,5]上的最大值与最小值. 变式练习已知函数y =(x [2，6])，求函数的最大值和最小值。题型三闭区间上二次函数的最值问题 例3.已知函数f(x)＝x2－2x＋2,求f(x)在区间[1 2 ，3]上的最大值和最小值 例4.已知函数f(x)＝x2＋ax＋3，x∈[－1,1]. (1)若a＝1，求函数f(x)的最值； (2)若a∈R，求函数f(x)的最小值.

变式练习1. 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]. (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值； (2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数. 题型四：利用函数最值或分离参数求解恒成立问题 例5 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，x ∈[1，＋∞). (1)当a ＝12 时，求函数f (x )的最小值； (2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.

七上第课公式与函数教学设计完整版

七上第课公式与函数教 学设计 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

第十五课《公式与函数》教学设计； 【教材分析】 《公式与函数》是浙江教育出版社《中学信息技术》七年级上册第三单元中的第3课。本单元主要是学习利用数据处理软件来创建表格、统计数据、制作图表，进而分析数据得出结论，提高数据处理与分析能力。前两课的内容包括初步了解excel的基本功能、在Excel中创建数据表、编辑美化数据表，以及对单元格的基本操作。 从本课开始，将陆续学习Excel的数据计算和统计的方法与技能，而公式与函数恰好是数据统计的基础，恰当合理地使用公式与函数进行计算不仅能够提高工作效率，还能为后面学习排序与筛选、制作数据图表等奠定基础，为数据分析提供依据，可见，《公式与函数》一课在《数据处理与应用》单元中的地位至关重要，学生只有熟练掌握公式与函数的操作方法，理解公式与函数的作用，才能在实际工作中根据需要合理地选用，因此，在教学中要创设问题情境产生数据计算的需要，通过任务驱动让学生掌握基本的操作技能，在体验和讨论中初步理解公式与函数的作用。 【学情分析】 七年级的学生经过小学四年的信息技术学习，学过了word、PowerPoint等常用软件，已经具备了一定的计算机操作基础。通过前两课的学习，学生掌握了在工作表中输入数据、编辑修改数据、对单元格的基本操作，初步了解了Excel的主要功能。Excel的公式与函数对于学生来说是一个全新的内容，在以往的教学中发现，公式与函数的操作看似简单，其实知识点落实起来比较难，学生在使用公式与函数进行计算时经常会出现错误，要么机械地套用公式或函数而没有真正理解，要么就是直接使用单元格的数字进行计算。所以教学过程中采用“先学后讲”的策略，在自主学习尝试——交流反馈——再尝试——总结归纳中突破这一教学难点。 另外，无论是对操作技能的熟练度还是对数学问题的敏感度，不同学生之间存在着差异，所以在教学过程中选择的数据由稍简单的到稍复杂的，在一个循序渐进的过程中学得技能，在具体的问题解决中应用技能。另外在知识的巩固环节也特意设置了拓展任务，给那些程度好学习能力强的学生一个更广的发挥空间和展示平台，挑战自我、提升自我，为后面的数据分析奠定基础。 【教学目标】 1．通过“知识竞答得分表”的准确快速计算，初步理解公式与函数的作用，并能利用公式和函数进行计算，能合理设置数字格式。 2．通过对“网络应用用户规模”数据的处理，能合理使用公式或函数进行计算，提高实际应用能力。

高等数学函数的最值及应用

课题3函数的最大值、最小值 在工农业生产和科学技术研究中，常常要考虑在一定条件下，怎样才能使效率最高，成本最低，用料最省等问题。这些问题反映在数学上就是函数的最大值和最小值问题。 案例 [易拉罐的设计] 如果把易拉罐视为圆柱体，你是否注意到可口可乐、雪碧、健力宝等大饮料公司出售的易拉罐的半径与高之比是多少？请你不妨去测量一下，为什么其半径与高之比约为1：2？ 一、函数的最值 若函数)(x f y =在[b a ,]上连续，则函数)(x f 在[b a ,]上一定有最大值和最小值。它们可能在该区间的内部取得，也可能在该区间的端点处取得．在前一种情况下，函数的最大(小)值必然是函数的极大(小)值．因此，在闭区间上的连续函数的最大(小)值只能在区间端点或区间内极值点处取得，而极值点又只能在驻点或导数不存在点处，所以，求最大值和最小值的步骤： (1)求驻点和不可导点; (2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大哪个大哪个就是最大值, 哪个小哪个就是最小值。 例 求函数52)(24+-=x x x f 在区间[2,2]-上的最大值与最小值。 解 )1)(1(4)(-+='x x x x f 令 0)(='x f ，解得驻点为1,1-==x x ，0=x 4)1()1(==-f f ， 5)0(=f ，13)2(=f ， (2)13f -= 所以 函数)(x f 的最大值是13)2(=f ，最小值为4)1()1(==-f f 说明 (1) 若函数)(x f 是],[b a 上的连续单调增加(减少)函数，则)(a f 必为)(x f 在] ,[b a 上的最小(大)值,)(b f 必为)(x f 在],[b a 上的最大(小)值． (2) 若0x 是)(x f 在一个区间(有限或无限, 开或闭)内唯一的极值点，则当0x 为极大(小)点 (小)值。

函数极值的求法及其应用

目录 摘要 (2) ABSTRACT (2) 第一章引言 (4) 第二章一元函数的极值 (5) 2.1极值的充分条件 (5) 2.2几种特殊函数的极值 (8) 第三章多元函数的极值 (12) 3.1无条件极值 (13) 3.2条件极值 (15) 第四章函数极值的应用 (19) 参考文献 (24) 致谢 (25)

函数极值的求法及其应用 曾浪 数学与信息学院数学与应用数学专业 2013级指导教师:罗家贵 摘要：函数极值问题是我们在中学数学和高等数学中都能常常遇见的问题，自然学科、工程技术及生产活动、生活实践中很多需要解决的问题，都与求函数极值有关，而导数和微积分的重要应用之一，就是求函数极值。本文从参考书中的例子和生活中的实际问题入手，分别对一元函数和多元函数的极值的求法及其应用进行总结和分析。 关键词：函数；极值；应用 The extreme of function of religion and its application Zeng Lang Mathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo Jiagui Abstract:Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions. Key word: function; the extreme; application