高中数学必修4-三角函数的图像与性质
三角函数的图像和性质
课 题 三角函数的图像和性质
学情分析
三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，学生刚刚刚学到,对好多概念还 不很清楚,理解也不够透彻，需要及时加强巩固。
教学目标与 考点分析 1．掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用;
2．掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用．
教学重点 三角函数图象与性质的应用是本节课的重点。
教学方法
导入法、讲授法、归纳总结法
１．“五点法”描图
(１)y ＝si ｎ x 的图象在[0,２π]上的五个关键点的坐标为
（0,0),)1,2
(π
,(π，0),)
1,23(
-π，(２π，０).
(2)ｙ＝c ｏs x 的图象在[0，2π]上的五个关键点的坐标为
(０,1),)0,2(π,(π，－１)，)0,23(π
,(２π,１)．
２.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y =ｃos x y =tan x
定义域 R R {x |x ≠k π+错误!,ｋ∈Z }
图象
值域
[－1,1]
[-1,1]
R
（1）周期性
函数y＝A sin（ωｘ+φ)和ｙ＝A cｏs（ωx＋φ）的最小正周期为错误!，ｙ=tan(ωx+φ）的最小正周期为错误!.
(2)奇偶性
三角函数中奇函数一般可化为y＝Ａsin ωx或y=A tan ωx,而偶函数一般可化为y=Ａcos ωx+b的形式.
三种方法
求三角函数值域(最值)的方法：
(1）利用ｓiｎx、coｓx的有界性;
(2)形式复杂的函数应化为y=A siｎ(ωx＋φ)+ｋ的形式逐步分析ωｘ＋φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
双基自测
1．函数)3cos(π
+=x y ，x ∈R ( ).
A ．是奇函数 B.是偶函数
Ｃ．既不是奇函数也不是偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数
2.函数)4
tan(x y -=π
的定义域为( )． A ．
}
,4
|{Z k k x x ∈-
≠π
π B ．},4
2|{Z k k x x ∈-≠π
π Ｃ．},4
|{Z k k x x ∈+
≠π
π
D ．},4
2|{Z k k x x ∈+
≠π
π
３.)4sin(π
-=x y 的图象的一个对称中心是( )．
A ．(－π，0)
B ．)0,4
3(π-
C.)0,2
3(
π
?D.)0,2(π
4．函数ｆ(ｘ）＝co ｓ)6
2(π
+x 的最小正周期为__＿____＿．
考向一 三角函数的周期
【例1】?求下列函数的周期:? (1))
23sin(x y π
π-=；
（２))6
3tan(π-=x y
考向二 三角函数的定义域与值域
(1）求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
(２)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目:
①形如ｙ＝a ｓi ｎ2x ＋b sin x +c 的三角函数，可先设ｓｉｎ x =t ,化为关于ｔ的二次函数
求值域（最值);
②形如y =a s ｉn x ｃos x ＋ｂ（si ｎ ｘ±cos x ）+ｃ的三角函数,可先设t =sin x ±ｃos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).
【例２】?（1)求函数y ＝ｌｇ sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数ｙ=ｃo ｓ2x +sin ｘ)4
|(|π
≤x 的最大值与最小值.
【训练2】 （1)求函数ｙ=ｓｉn ｘ-co ｓ x 的定义域;
(2))1cos 2lg(sin )4tan(--=
x x
x y π
的定义域
(3)已知)(x f 的定义域为]1,0[,求)(cos x f 的定义域.
考向三 三角函数的单调性
求形如y ＝A sin （ωx +φ)+k 的单调区间时,只需把ωｘ+φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数． 【例3】?求下列函数的单调递增区间．
（１))23cos(x y -=π,(２))324sin(21x y -=π，(3))3
3tan(π
-=x y .?
【训练３】 函数ｆ(x )=sin )3
2(π
+
-x 的单调减区间为______.
考向四 三角函数的对称性
正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用． 【例4】?(1）函数y =ｃos )32(π
+x 图象的对称轴方程可能是（ )．
A ．x ＝-＼f （π,6)
B ．x =-π１２
Ｃ.x ＝π
6 Ｄ．x =错误! (2)若０＜α<错误!，)4
2sin()(απ
++=x x g 是偶函数,则α的值为___＿_＿__.
【训练4】 (1）函数y =２sin （３ｘ+φ))2
|(|π
?<的一条对称轴为ｘ＝＼f(π,12）,则φ=___
＿＿_＿_.
（2)函数y ＝ｃos(３x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ=_＿____＿_．
难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题
含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题,难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题,是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的,解答时通常
将方程的思想与待定系数法相结合．
【示例】? 已知函数f (ｘ)＝si ｎ)3(πω+x （ω＞0)的单调递增区间为]12
,125[π
πππ+-k k (k
∈Ｚ)，单调递减区间为]12
7,12[π
πππ++k k (k ∈Ｚ),则ω的值为________．
练一练:
1、已知函数)3
3sin()(π
+=x x f
（1）判断函数的奇偶性；(２)判断函数的对称性．
2、设函数)0)(2sin()(<<-+=?π?x x f 的图象的一条对称轴是直线8
π
=x ，则=?____
＿_．
课后练习：
三角函数的图象与性质·练习题
一、选择题
（1)下列各命题中正确的
是 [ ]
（2)下列四个命题中，正确的
是［] Ａ.函数y=ctgx在整个定义域内是减函数
B．y=sinx和y=ｃosｘ在第二象限都是增函数
Ｃ.函数y=cos(-x)的单调递减区间是(2kπ－π，２ｋπ）(k∈Z）
(3)下列命题中，不正确的
是 [
]
D.函数y=sin|ｘ｜是周期函数
(4)下列函数中，非奇非偶的函数
是［］
(5）给出下列命题：
①函数y＝-1-4ｓｉnx-sｉn2x的最大值是2
②函数f(ｘ）=a+bcosｘ(a∈Ｒ且b∈R-）的最大值是a-b
以上命题中正确命题的个数
是 [ ]
Ａ．1
B.2
Ｃ.3
D．4
［ ]
A.siｎα B.cosα>tgα>sinα C.ｓinα＞tgα>cｏｓα D．tgα>ｓinα>coｓα （7)设x为第二象限角,则必 有 [ ］ ［ ］ 二、填空题 (9）函数y＝siｎx+sin|x｜的值域是____＿_． 的值是＿_____． （11)设函数f(x)＝aｒctgx的图象沿x轴正方向平移２个单位,所得到的图象为Ｃ，又设图象C1与C关于原点对称,那么C1所对应的函数是＿_____. （12)给出下列命题: ①存在实数α，使ｓiｎαcosα＝1 ⑤若α,β是第一象限角,α>β则tgα>tgβ 其中正确命题的序号是_＿____. 三、解答题 (１4)已知函数y=cos2ｘ+asinx－ａ2+２a＋5有最大值2,试求实数a的值． 答案与提示 一、 (2)Ｄ（3)D (4）B (５)Ｄ (6）D (７)A (8)D (１) B 提示 (２)y＝ctgx在（kπ,kπ+π）(k∈Z)内是单调递减函数. ｙ＝cos(-x)=cosｘ在[2kπ-π，2kπ](ｋ∈Z）上是增函数，而在[２ｋπ，２ｋπ＋π]上是减函数． (3）可画出y＝sin |x|图象验证它不是周期函数或利用定义证之． (5)①＝-ｙ(sinｘ+2)２+3 sｉｎx＝－1时,yｍaｘ=２ ②当ｃｏｓx＝-１时,ｆ(ｘ）max＝ａ-b ∴cosα＜ｓiｎα＜ｔｇα 二、（9)［-2,２] （10)2或3 (11）y=arｃtg(x+2) (12)③④ 提示 (11)Ｃ:y＝arｃtg(x-2)，C１：-y=arctg(-ｘ-２)，∴y＝ａrctｇ（x+2） 由39０°＞4５°，但tg３９０°=tg３０° 综上,③④正确. 三、