勾股定理及其逆定理(讲义)(含答案)
勾股定理及其逆定理（讲义）
?课前预习
1.请你回顾直角三角形的性质：
边：直角三角形斜边长______任意一条直角边长；
角：直角三角形两锐角_________．
2.请同学们计算并背诵下列数的平方：
112=_______，122=_______，132=_______，142=_______，152=_______，162=_______，172=_______，182=_______，192=_______．
3.想一想：如图是由边长为1的正方形组成的网格，直角三角形的顶点在网格的格
点上．分别以直角三角形的三边为边，向外作正方形，请你分别求出这三个正方形的面积S A，S B，S C，并思考S A，S B，S C之间的数量关系．
C
A
B
? 知识点睛
1. 勾股定理：
如果用a ，b 和c 2. 3. 勾股定理逆定理：
如果__________________________________________________．
如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2
4. 勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有____________；
_____________；_______________；______________；_______________；________________．
? 精讲精练
1. 若一个直角三角形的斜边长为17 cm ，一条直角边长为15 cm ，则另一条直角边的
长为_________．
2. 若一个直角三角形的三边长为6，8，x ，则以x 为边长的正方形的面积为
_________．
3.如图，在Rt△ABC和Rt△ACF中，BC长为3 cm，AB长为
4 cm，AF长为12 cm，则正方形CDEF的面积为_________．A
B
C D
E
F
第3题图第4题图第5题图
4.如图，分别以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，若S1=9
2
，S2=8π，则
S3=_________．
5.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=3，BE=4，则图中阴影部分的
面积是___________．
6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB=13 cm，BD=5 cm，CD=9 cm，求线段
AD，AC的长．
A
B D
7.如图，在△ABC中，AC=BC=5 cm，AB=6 cm，求△ABC的
面积．
B
A
C
8. 等面积法是几何中一种常见的证明方法，可以直观地推导或验证公式，俗称“无
字证明”．例如，著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较长的直角边长都为a ，较短的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为
c 2，也可以表示为21
4()2
ab a b ?+-．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角
形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．
（1）图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
（2）图3是著名的毕达哥拉斯弦图，请你利用图3推导勾股定理．
c
c b
b
a
a b
图3a
图1
图2
9. 下列各组数：
①0.3，0.4，0.5；②6，8，10；③5，12，13；④32，42，52；⑤15，17，8；⑥
54，1，3
4
．其中能作为直角三角形三边长的是___________，是勾股数的是____________．（填序号）
10. 如图，在单位正方形组成的网格图中有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成
一个直角三角形三边的线段是（ ） A ．CD ，EF ，GH
B ．AB ，EF ，GH
C ．AB ，C
D ，GH
D ．AB ，CD ，EF
11. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，
下列图形中正确的是（ ）
A
B
C
D
E F G
H
A ．
B ．
C ． 247
1520
24
25715
20
2425
25
24
20
15725
2420157
A ．
B ．
C ．
D ．
12. 一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师
傅量得这个零件各边长如图2所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．
图1
图2
13. 如图，△ABC 中，D 是BC 上的一点，若AB =10，BD =6，AD =8，AC =17，求△ABC
的面积．
A
B C
D
【参考答案】
?课前预习
1.大于，互余
2.121，144，169，196，225，256，289，324，361
3.S A=16，S B=9，S C=25
S A+S B=S C
?知识点睛
1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
2.略
3.三角形两边的平方和等于第三边的平方，直角三角形．
4.3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41；11，60，61．?精讲精练
1.8 cm
2.100或28
3.169 cm2
4.25 2
5.19
6.线段AD的长为12 cm，线段AC的长为15 cm
7.12 cm2
8.略
9.①②③⑤⑥，②③⑤
10.B
11.C
12.符合要求，理由略
13.84