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中考数学专题复习--数与式

教学目标

数与式是初中数学的基础知识,且知识点较多,是以大容量、小综合的形式命题,试题的难度为中低档,主要考查灵活运用知识的能力,一般考生都能解答.常见题型有填空题、选择题、计算题以及部分开放性探索型试题,这些题占总题量的4%～6%,分值占总分的4%～8%.

重点、难点

数与式的综合练习。

教学内容

知识梳理：

数与式一．实数和代数式的有关概念 1.实数分类：

实数????

?????????????

????

????????????????????无限不循环小数

负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数

2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。数轴上所有的点与全体实数是一一对应关系，即每个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

3.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两边（0除外），并且与原点的距离相等。

4.倒数：1除以一个数的商，叫做这个数的倒数。一般地，实数a 的倒数为

。0没有倒数。两个互为倒数的数之积为1.反之，若两个数之积为1，则这两个数必互为倒数。

5.绝对值：一个正实数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于零，负实数的绝对值等于它的相反数。

a =()()()??

??<-=>0000a a a a a ，绝对值的几何意义：数轴上表示一个数到原点的距离。

6.实数大小的比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（1）正数大于零，零大于负数。

（2）两正数相比较绝对值大的数大，绝对值小的数小。

（3）两负数相比较绝对值大的数反而小，绝对值大小的数反而大。

（4）对于任意两个实数a 和b ，①a>b,②a=b,③a

8.整式：单项式与多项式统称为整式。

单项式：只含有数与字母乘积形式的代数式叫做单项式。一个数或一个字母也是单项式。单项式中数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

多项式：几个单项式的代数和多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。一个多项式有n 项且次数是m ，我们就称这个多项式为m 次n 项式。

9.分式：一般地，用A,B 表示两个整式，若B 中含有字母，且B ≠0，则式子B

叫做分式。

10.有理式：整式和分式统称为有理式。

11.无理式：根号里含有字母的代数式叫做无理式。 12.

=1（a ≠0），

（a ≠0，p 是正整数）。

13.平方根：若

x 2

=a （a ≥0）

，则x 叫做a 的平方根（或二次方根）。一个整数有两个平方根，它们互为相反数，整数a 的平方根记为+a 和—a ；0的平方根是0；负数没有平方根。若

x 2

=a （a ≥0）

，则x=±a 。

14.算术平方根：整数a 的正的平方根+a 叫做a 的算术平方根，+a 可简记为a 。0的算术平方根仍为0.

15.立方根：若

=a ，则x 叫做a 的立方根（或三次方根），记为3a ，即x=3a 。正数的立方根是正数，0的立方

根是0，负数的立方根是负数。

16.有理数的开方：

()

a 2

=a （a ≥0），a 2

=a =??

???<-=>)0()0(0)0(a a a a a

17.科学记数法：把一个数写成a ×

10n

（1≤a ＜10，n 是整数）

，叫做科学记数法。

18.有效数字：从最左边的不是零的数字算起，到最后一位要保留的数字为止。

19.运算律：

（1）加法交换律：a+b=b+a 。（2）加法结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）。（3）乘法交换律：a*b=b*a 。（4）乘法结合律：（a*b ）*c=a*（b*c ）。（5）乘法分配律：（a+b ）*c=a*c+b*c 。 20.

a m *

a n =

m +，

a n =

m -（a ≠0），

()

m n

=a mn ，

()ab n

=a n *b

。

21.平方差公式：（a+b ）（a-b ）=a 2

完全平方公式：

()

b a +2

+2ab+

，

()

b a -2

-2ab+

22.十字相乘法：

x 2

+bx+c=（x+m ）

（x+n ）其中b=m+n ，c=mn 。 23.最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这种分式叫做最简分式。

24.分式的加减法：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。（2）异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分式，然后相加减。

25.分式的乘除法：（1）分式乘分式，用分子的积作为分子，分母的积作为分母。（2）分式除以分式，等于被除式乘除式的倒数。 26.二次根式：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。

27.二次根式的性质：

(1)

()

a 2

=a(a ≥0);(2)a 2

=a =??

???<-=>)0()0(0)0(a a a a a

(3)ab =a b ? (a ≥0, b ≥0);(4)

b a =b

a ( a ≥0,

b ＞0)。 28.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式。（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式。

29.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

30.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

注意：分母有理化时，分子与分母需要同时乘分母的有理化因式。

经典例题解析：

例1. 在在，，，，，中，无理数的个数为-203130801017

4. .()π

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

数和分数都是有理数，还应当知道，并非含有根号的数就是无理数，如031

4. =24，所以不是无理数，而是有理数，故本题应选正确。()B

例2. 已知下列5个命题（1）零是最小的实数

（2）数轴上所有的点都表示实数（3）两个无理数的和仍然是无理数 ()412713

的立方根是± （5）任何实数都有两个互为相反数的平方根其中正确命题的个数是（） A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

分析：（1）要正确区分实数的最小值和实数绝对值最小值的意义（2）要正确区分平方根和立方根的相同点和不同点

（3）“任何数……”就意味着没有例外，因此若能举出一个反例便可证明原命题是假命题。因此可以得出5个命题中只有（2）是真命题，故选A 。

例3. 已知、、是实数，且满足，求的值。x y z x y z z x yz ()||-+-+-=+42102

解：010|2|0)4(2≥-≥-≥-z z y x ，，

∵ 又()||x y z z -+-+-=42102

∴()||x y z z -=-=-=???

402010

2 即

x y z z -=-=-=???

?402010 ∴，，x y z ===421

当，，时，×x y z x yz ===+=+=4214216

注意：这是一个条件求值问题，利用非负数的性质可以求出x 、y 、z 的值，从而使问题得解。例4. 计算：×

()()()13

2004221161

102--++-+

- 解：原式×=-++

+-+3141

421

21212()()()

=+++24121

=+++2121=+24

归纳：()()111注意负指数的意义：或a a a a

P P P P --== 其中a ≠0，P 是正整数，在本题中， ()13

31-=

= ()()2012004202004210

任何非零实数的次方等于，在本题中，≠，故++=

例5. x px qx x px qx =++=-++1120011133

时，代数式的值为，则当时，代数式的值为（）

解：当时，代数式的值为：x px qx =++113

p q p q ()()++++=++=111120013

故当时，的值为：x px qx =-++113

p q p q ()()()-+-+=-++11113

=-++-[()]p q 12 =--=-()200121999

例6. 计算÷·x x x x x x x x x x x xy y

2222

244234299

22+-+++--++--+ 解：原式÷·=

-+++-+-++--()()()()()()()()()

()()x x x x x x x x x x y x 1222312232322

-+++-+-(+)+--()()()

()()()()()()()x x x x x x x x x x y x 1222223132322

··=+-x x y 3 归纳：对分子、分母都是多项式的分式进行乘除运算时，一定要先将每个多项式分解因式，然后将除法统一成乘法，最后再进行约分化简。

课堂练习：

一、选择题：

1. 下列各组数中，相等的是_________ A. ()-13

和1

B. ()-12

和－1 C. ()-12和－1

D. ---()||11和

2. 设a ，b 为两实数，则下列命题中是假命题的是_________ A. 若a+b=0，则|a|=|b| B. 若|a|+|b|=0，则a=b=0 C. 若a 2

+b 2

=0，则a=b=0 D. 若|a+b|=0，则a=b=0

A. 864104.×秒

B. 864103.×秒

C. 864102

.×秒

D. 864105

.×秒

4. 如果2（x+3）的值与3（1－x ）的值互为相反数，那么x 等于_________ A. 9 B. 2 C. 3 D. 4

5. 已知x

a x

b m

n ==，，（其中x ≠0，m 、n 为正整数），则x m n 32-的值等于______

A. 32a b -

B. a b 3

C. a b 32

D. a b

6. 若a<0，代简||a a -2的结果正确的是_________ A. 0

B. 2a

C. －2a

D. 2a 或－2a

7. 化简()π-+-320

的结果为： A.

B. －2

C. π-1

8. 如果表示a 、b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简||()a b a b -++2的结果等于__________

b a

A. 2a

B. 2b

C. －2a

D. －2b

9. 已知||||x y x y x y ==<+320，，且·，则的值等于_________ A. 5或－5 B. 1或－1

C. 5或1

D. －5或－1

10. 数轴上表示-1

的点到原点的距离是_________ A. -

B. 1

C. －2

D. 2

11. 已知二次三项式22

x bx c ++分解因式为231()()x x -+，则b 、c 的值为________ A. b c ==-31， B. b c =-=62， C. b c =-=-64，

D. b c =-=-46，

12. 已知a+b=3，ab=1，则a b 4

+的值是________ A. 7

B. 47

C. 49

D. 81

13. 将a ab ac bc 2

-+-分解因式，结果正确的是________ A. ()()a b a c +-

B. ()()a b a c --

C. ()()a b a c ++

D. ()()a b a c -+

14. 已知xy<0，则x y 2化简后为_________

二、填空题：

1. 若实数m ，n 满足()m n -++=1302

，则m=_________，n=________

2. 将207670保留三个有效数字，其近似值是_________

3. x 平方的3倍与－5的差，用代数表示为___________

4. 如果a ma 29++是一个完全平方式，则m=________

5. 如果分式

x x +-3

无意义，则x=______ 6. 如果分式x x x 278

1--+的值为0，则x=___________

7. 计算：x x x --=111

÷()________ 8. 若代数式x x -+2

的值等于零，则x=________；

若代数式()()x x -+21的值等于零，则x=________

9. 已知

113x y -=，则分式2322x xy y x xy y

+---的值为__________ 10. 已知a a a a

+=+=131

22，则_________ 三、解答题：

1. 计算：x x x x x x 221121

+-----÷

2. 已知a a a a a a a a =-+---+-1312121

222

，求的值。 3. 若a b a b ab -=+-22

，求的值。 4. 若346942<<-++-a a a a ，化简：||

5. 已知多项式x kx 2

7++能分解成两个一次因式的乘积，求k 的值。 6. 计算：()()()(.)23112231

15222×÷----

- 7. 若x 、y 满足x y x y 2

4250+--+=，则代数式：32

x y x -的值是多少？

8．实数P 在数轴上的位置如图所示：化简

()()=

-2

21p p 。

9．计算：()(

)

-++--

??+--30

8512211。

10．当a= 时，式子

a a

a a 1828++的值为整数（只需填一个符合题目要求的数）。 11．计算：

()

236101

227

230

3--++

?+。

12．若x 2

=25,y 3

=(-5)3

, 求x+y 的值。

13．在数轴上表示下列各数:A:-1.5; B:－4 C:－33

21??

? ??-D:()

23-E: 0 F:???

??--311

14.比较① 26622--与；② 3235+-与；③12131314--和的大小。

课后作业：

例1. 如果收入200元记作+200元，那么支出150元记作（）

A. +150元

B. –150元

C. +50元

D. –50元

例2. 点A 在数轴上表示+2，从点A 沿数轴向左平移3个单位到点B ，则点B 所表示的实数是（） A. 3 B. –1 C. 5 D. –1或3 例3. |-3|的相反数是（） A. –3 B. 3 C. 31

31-

例4. 下列计算正确的是（）

A. 416±=

B. 12223=-

4624=÷

2632

例5. 将302

)3()2()30sin (--?--，，

这三个实数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（）

A. 3

02)3()2()30sin (-<-

03)30sin ()2()3(-?-<-<-

D. 2

30)30sin ()3()2(-?-<-<-

例6. 据2006年5月27日《沈阳日报》报道，“五·一”黄金周期间2006年沈阳“世园会”的游客接待量累计1760000人次，用科学记数法表示为（）

A. 4

10176?人次

B. 3

106.17?人次

C. 61076.1?人次

D. 7

10176.0?人次例7. 下列计算错误的为（）

A. 2

2a 4)a 2(=-

B. 523a )a (=

123=

例8. 有一个数值转换器，原理如下：当输入的x 为64时，输出的y 是（）

A. 8

B. 22

C. 32

D. 23

例9. 如图所示，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律___________。

例10. 计算：0

2)36(|221|8)

3(----+--。

例11. 先化简，再求值：

1x 4

x )1x 151x (--÷

--+，其中425x -=。【典型例题1答案】

1．答案：B 2．答案：B 3．答案：A 4．答案：D 5．答案：C

6。答案：C 7．答案：B 8．答案：B

9．答案：2

2n n 21)1n (21n 2)

1n (n 2)1n (n =++++-+++=++- 或 10．答案：91

11。答案：25

【典型例题2】

例1. 实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点如图所示，则它们从小到大的顺序是____________________。

a b d c +=+=；；

c b a

d -=

；

例2. 把下列各数填到相应的集合里： 751549172

270310153... ，，，

，，，，，--π 整数集合：｛｝分数集合：｛｝有理数集合：｛｝无理数集合：｛｝例3. ()若，求344302

20032004a b a b ++-=. 例4. 已知实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图：

例5. 在张江高科技园区的上海超级计算机中心内，被称为“神威I ”的计算机的运算速度为每秒384000000000次，这个速度用科学记数法表示为每秒_________次。例6. 计算：

（）1121218151

3?? ?

+-?? ??

??---- ()()(

)

（）22245604521

cos sin ?-?+--

--π

例7. ()()[]

()计算：-?+?--?-÷-

-??

???

?323246923

2 例8.

x y 、是实数，，若，则实数的值是3469032

x y y axy x y a ++-+=-=

（） A B C D .

.14

例9．（48－814

）－（3

3－5.02）；例10 解下列方程（每小题8分，共32分）：

1．

132543297=-----x x x x ； 2． x x

x --=

+-21321； 3． 32421132+-=

---x x x x ；【典型例题2答案】 1．答案：c a b d <<<

()a b a b a b +=-+=-- ()d c d c d c +=-+=--

c b b c -=- a

d d a -=-

2．答案：整数集合：｛4273，，……-｝

分数集合：｛752

031015... ，，，，……｝有理数集合：｛7542

270310153... ，，，，，，……-｝

无理数集合：｛159

，

，，……-π｝ 3．答案：3404304334a b a b +=-=????=-=

???

?? ()∴==-a b ab b 200320042003

4．答案：()a b a b a b a b b a a b a -+

+=-++=---=-2

5．答案：3841011.?

6．解：（1）()(

)

原式=+?---21251

=--+=-225115

（2）(

)

原式=-?? ??

?+-

+2232121

+--=--26

12126

7．解：()()[]

()-?+?--?-÷-

-??

???

?32324692

2 ()[]()

()()

=-?+?-+÷-=-÷-=92382491892

8．答案：A 9．答案：33． 10 答案：

1解：132)54()97(=----x x x ， 2解：32121-=--+-x x

x ，

1325497=-+--x

x x ，

3211-=--+x x ，

1321213=-+-x x ， 32

2-=--x x

，

x x 321213-=+-， 632+-=-x x ，

1010=x ， 42=x ， 1=x ． 2=x ．

经检验，x ＝1是原方程的根．经检验，x ＝2是原方程的增根．

3解：去分母，得 )1)(42()1)(32()32)(32(--=-+-+-x x x x x x ，

462)32()94(222+-=-+--x x x x x ，

整理方程，得

462622

2+-=--x x x x ，

105=x ， 2=x ．

经检验，x ＝2是原方程的根．

【提高训练】

1．早春二月的某一天，我省南部地区的平均气温为－3℃，北部地区的平均气温为－6℃，则当天南部地区比北部

地区的平均气温高 ℃．

2．大量事实证明，治理垃圾污染刻不容缓．据统计，全球每分钟约有8500000吨污水排入江河湖海，这个排污量

用科学记数法表示是吨．

3．某下岗职工购进一批苹果，到集贸市场零售．已知卖出的苹果重量x （千克）与售价y （元）的关系如下表：

x 1 2 3 4 5 y 2+0.1 4+0.2 6+0.3 8+0.4 10+0.5

试写出用x 表示y 的关系式．

4．观察下列等式：9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，……．这些等式反映出自然数间的某种规律．设

n 表示自然数，试用关于n 的等式表示出你所发现的规律：．

．写出一个无理数，使它与_ _______．

6．如果每人每天浪费1粒大米，全国13亿人口，每天大约要浪费吨大米（1克大米约52粒）．

7．如图所示，如果横行的两个数字之和相等，竖列上的两个数字之和相

等，那么a ，b ，c ，d 依次可为（只填写一组你认为适合的数字即可）．

8．如图所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，则第(n )

个图形中需用黑色瓷砖块．（用含n 的代数式表示）

…… （1）（

9．多项式142

+x 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是（填

上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）．

10．当x ＝时，分式

23-x x

无意义．

11．若m ，n 满足0)4(22=-++n m ，分解因式

)()(2

2n mxy y x +-+＝． 12．20052005

2)2)＝．

13．我们平常用十进制数，如：2639＝2×103＋6×102＋3×101＋＋9×100，显然十进制的数要用10个数码（又叫

数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1．如二进制中，101＝1×22＋0×21＋1×20等于十进制的数5，那么二进制中的1101等于十进制的数． 14．某种型号的拖拉机，原来平均每小时耗油x 升，经技术改造后，现在平均每小时耗油减少2升，那么容量为m

升的油箱装满油后，比原来多工作小时．二、选择题

1．蜗牛前进的速度每秒只有1.5毫米，恰好是某人步行速度的1000分之一，那么此人步行的速度大约是每小时

（）

A ．9千米

B ．5.4千米

C ．900米

D ．540米

2．如果实数a 与b 互为相反数，则a 、b 一定满足. （）

第7题

第8题

3．一个点从数轴上原点开始，先向右移动2个长度单位，再向左移动3个长度单位，这时它表示的数是

（）

A ．2

B ．－2

C ．1

D ．－1

4．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；

②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是

17的平方根．其中正确的有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

5．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为

（）

A ．312?? ???米

B ．512?? ???米

C ．612?? ???米

D ．12

12?? ???米

6．n 个学生按五人一组，分成若干组，其中有一组少1人，则共有组数为（）

A ．15-n

B ．51-n

C ．51+n

D ．不能确定

7．若0＜a ＜1，则

a a a 1

2、、之间的大小关系为（） A ．21 a a a >> B ．

a a a 12>

> C ．a a a >>21

D ．不能确定

8．如果把y x x

+中的x 和y 都扩大两倍，那么这个代数式的值为（）

A ．扩大两倍

B ．不变

C ．缩小两倍

D ．以上都不对

9．不论x 取什么值时，下列分式一定有意义的是（）

A ．x x 12-

B ．

11+-x x C ．1-x x D ．11+-x x

10．在数轴上，a 位于2的左边，b 位于2的右边，则4ab +与22a b +的大小关系是（）

A ．4ab +>22a b +

B ．4ab +=22a b +

C ．4ab +<22a b +

D ．无法比较大小

三、解答题：

1．比较下列各组算式结果的大小（在横线上选填“＞”、“＜”、“＝”）：

3423422??+ ； 1)2(2 1)2(22?-?+-；

22 )21()2(22??+； 222 222

2??+；……

通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并说明你的理由．

2．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青少年宫在学校东300米处，

商场在学校西200米处，医院在学校东500米处．若将马路近似地看作一条直线，以学校为为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示100米．

（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．

3．某商店积压了100件某种商品，为使这批货物尽快脱手，该商店采取了如下销售方案，将价格提高到原来的2.5

倍，再作三次降价处理：第一次降价30％，标出“亏本价”；第二次降价30％，标出“破产价”；第三次降价30％，标出“跳楼价”．三次降价处理销售结果如下表：

一二三销售件数 10 40 一抢而光

问：（1）跳楼价占原价的百分比是多少？

（2）该商店按新销售方案，相比原价全部售完，哪一种方案更盈利？

4．请你先化简下式，再选取一个使原式有意义，而你又喜爱的数代入求值．

112

23+----x x x

x x x

5．阅读下列题目的计算过程：

）（）（）（）（D 1 C 223 B )1(23 A )1)(1()

1(2)1)(1(312132??????????????????--=???????????????+--=??????????????---=????????-+---+-=+---x x x x x x x x x x x x x x

1．上述计算过程，从哪一步开始出现错误？请你写出该步的代号； 2．错误的原因是； 3．本题目正确的结论是．

6．设正整数N 的位数为n

的整数部分的位数为m ，观察下表中m 和n 之间的关系：

1 1～9 1～3 1 2

10～99 3～9 1 3

100～999 10～31 2 4

1000～9999 31～99 2 5

100～316

100000～999999

316～999

试用式子表示m和n之间的关系．

7．观察点阵图和相应的等式，探究其中的规律：

（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；

……

①2

=②2

132

+=③2

1353

++=④⑤．……

（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式．

8．在公式1

a中，当a分别取1，2，3，…，n时，可得下列n个等式：

1(2

+，1

2(2

+，1

3(2

+，

……，1

n．

将这个n等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式1＋2＋3＋…＋n＝？请你将推导过程写出来．

【提高训练答案】

一、1．3℃；2．8.5×106；3．y＝2.1x；4．)1

n；5

或

等；6．25；

7．答案不唯一，符合,

a d

b c

==即可，如1，2，2，1等；8．84n

+；9．4x（－4x或－4x2或－1）；10．±2；11．（x＋y＋2）（x＋y―2）；12．1；13．13；14．x

2-．

二、1．B；2．C；3．D；4．B；5．C；6．C；7．A；8．B；9．B；10．C．

三、1．＞，＞，＞，＝，结论为ab

2≥

+（当a＝b时，等式成立）．

∵2

()0

a b

-≥，即2220

a b ab

+-≥．

∴ab

2≥

+（当a＝b时，等式成立）．

2．（1）各公共场所的位置如图所示：

（2）∵3－（－2）＝5（单位长度），

∴青少年宫与商场之间的距离为5×100＝500（米）．

3．（1）设原价为x，则跳楼价为：2.5x×0.7×0.7×0.7＝0.8575 x，跳楼价占原价的百分比为85.75％；

（2）原价出售销售金额为100 x，新价出售销售金额为2.5x×0.7×10＋2.5x×0.7×0.7×40+2.5x×0.73×50＝109.375 x，∵109.375 x＞100 x，∴新方案销售更盈利．

4．原式＝2x－1．令x＝2，则原式＝3（说明：代入求值时，x可取除－1，0，1之外的任意一个数）．5．（B）；对分式的运算法则理解错误；x

．

6．当n为奇数时，2

，当n为偶数时，2

．

7．（1）1+3+5+7=24，1+3+5+7+9=25；（2）1+3+5+…+（21

n-）=2n．

第

(商场) (学校) (青少年宫) (医院)

8．

2)1(321+=

+???+++n n n ．

∵222

2(11)(21)(31)(1)n ++++++

22221232(123)n n n =+++

+++++

++．

即22222222234(1)1232(123)n n n n +++

++=+++

+++++

++．

∴22(123)(1)(1)n n n ++++=+-+．故

2)1(321+=

+???+++n n n ．

“数与式”中考数学专题复习

“数与式”中考数学专题复习 ?中考命题形势与趋势翻阅手中近几年全国各地的中考试卷，仔细琢磨“数与式”的试题发现，这部分知识多考查实数、整式、分式以及二次根式的有关概念及其简单运算和求值，另外还有一类新情境下的探索性、开放性问题也是本章的热点考题.由于数与式涉及的知识点比较多，围比较广，而且都是研究数学的基础知识，所以预计2010的中考中的基础知识的考查仍注重这些容，题型除了会加大创新的力度外，还将会沿袭传统的题型. ?数与式试题的特点与数与式有关的试题的题型一般相对来说都比较小，而且大多出现在选择与填空中，即使出现个别的解答题，一般也是靠近较前面的，好让同学们下笔就能得分，个别探索型和开放型的题目也只需同学们略动一下脑筋就能解答，一般没有偏难的题目，更没有同学们没有遇到的问题，至于，试卷中会出现一些新定义，或简单的阅读理解问题，也会让同学们一看即会明了的，总之，数与式部分的试题大多属于送分题，同学们只要注重基础知识的复习，不遗漏任何一个知识即可^ ?典型问题归类例析专题1实数一、知识点 1. 实数的分类：按定义来分类：有理数和无理数；按正、负数来分类：正实数、0、负实数. 2. 实数和数轴上的点是-- 对应的. 3. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数.若a、b互为相反数，贝U a+b = 0,或—=-1（a、b乒0）. a a a 0 , 4. 绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 a = 0 a 0 , a a 0 . 5. 倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，贝U ab= 1;反之，若ab= 1,则a与b 互为倒数.这里应特别注意的是0没有倒数. 6. 科学记数法、近似数和有效数字：把一个数记成 a X10n的形式，这种记法叫科学记数法.注意，科学记数法的实质是有理数的乘方，其中 1 < a v 10, n是比原数的整数位数小1的正整数.近似数是指近似地表示某一个量的数.一个近似数，四舍五入到哪一位，这个近似数就精确到哪一位.由四舍五入得到的近似数精确到某一位，那么从左边第一个不是零的数字起，到最后一位数字止，所以的都叫做这个数的有效数字. 7. 平方根、算术平方根和立方根：若x2= a （a> 0）,则x就叫做a的平方根.一个非负数a的平方根可以符号表示为“土”；正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记为“ *2 ”.如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根. 8. 实数的开方运算：Va = a（a>0）, Va2 = a . 9. 实数的混合运算顺序：和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.有理数的运算律在实数围仍然适用. 10. 实数的大小估算与实数大小的比较：（1）数形结合法；（2）作差法比较；（3）作商法比较；（4）倒数法；（5）平方法.

中考数学专题复习(数与式的计算)

20XX 年中考数学专题复习（数与式的计算）试题特点：通过学习孝感市07年——14年的本类考题，参考湖北省其他地市的命题，作以下预测： 1.继续保持原来的命题模式，一个6分的考题。 2.一个实数计算题，再加一个分式化简求值（或解分式方程）。20XX 年黄石、宜昌、咸宁等市是这样命题的。3.解不等式组及在数轴上表示解集。 1.题型①分式化简求值②将多项式变形为x+y ，xy ，x-y 的形式计算 ③解分式方程④实数计算考查学生的数感、式感、符号感、计算能力，灵活运用知识能力。 .知识点：负指数，平方根，立方根，绝对值，分式四则运算，因式分解，解分式方程。常见错误： ① 00 =a (a ≠0)② p p a a -=- (a ≠0,p 为正整数) ③ 2323-=- ④ () 52522 -=- ⑤漏掉负号 ⑥解分式方程漏乘，移项不变号，无检验。 ⑦解分式方程与分式化简混为一谈。应对措施： 1.牢固记忆及正确使用概念，公式，性质. 幂米的运算法则特殊角的三角函数值. 分式的基本性质，等式性质及其区别。 2.在易错处讲清来龙去脉，说透缘由；作业及时纠错。 3.按法则计算，按步骤计算，不跳步，慎用口算，确保准确无误，立足一次成功。 4.回头看：教师将错题整理，让学生再做一遍。 5.将含计算技巧的题目总结规律，提炼方法。 19．（2010湖北孝感，19，6分）解方程：21 133x x x -+=--． 19、（2011?孝感）解关于的方程：1 2 13-+ =+x x x ． 19．(2012?孝感6分)先化简，再求值：??? ? ? ?--÷-a b ab a a b a 2 2，其中13+=a ，13-=b ．

2019年中考数学一轮复习数与式专题练习卷

数与式专题 1．下列各数：–2，0，1 3 ，0.020020002 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】C 2．下列无理数中，与4最接近的是 A B C D 【答案】C 3．一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.496亿km ，用科学记数法表示1.496亿是 A ．1.496×107 B ．14.96×108 C ．0.1496×108 D ．1.496×108 【答案】D 4．如果2x a +1y 与x 2y b –1是同类项，那么 a b 的值是 A ． 12 B ． 32 C ．1 D ．3 【答案】A 5．下列运算正确的是 A ．2a –a =1 B ．2a +b =2ab C ．（a 4）3=a 7 D ．（–a ）2?（–a ）3=–a 5 【答案】D 6．– 1 3 的倒数是 A ．3 B ．–3 C ． 13 D ．– 13 【答案】B 7．–3的绝对值是 A ．–3 B ．3

C．–1 3 D． 1 3 【答案】B 8．数轴上A，B两点所表示的数分别是3，–2，则表示AB之间距离的算式是A．3–（–2）B．3+（–2） C．–2–3 D．–2–（–3）【答案】A 9．下列计算正确的是 A．22=2 B．22=±2 C．24=2 D．24=±2 【答案】A 10．–64的立方根是 A．–8 B．–4 C．–2 D．不存在【答案】C 11．xx的相反数是 A．–xx B．xx C．– 1 2018 D． 1 2018 【答案】A 12．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是 A．x=3，y=3 B．x=–4，y=–2 C．x=2，y=4 D．x=4，y=2 【答案】C 13．分解因式：x2y–y=__________．

中考数学第一轮复习教案——数与式

第一章数与式第1课时实数的基本概念一、知识要点 1、实数分类 ①0????? 正实数：实数负实数： ②???????? 整数：有理数实数分数：无理数：无限不循环小数： 2、数轴、相反数、绝对值、倒数 ①只有的两个数互为相反数；若a 与b 互为相反数，则 . ②数轴：规定了、、的直线；数轴上的点与一一对应. ③绝对值：（ⅰ）代数意义：(0)(0)(0) a a a a >?? ==? ?，则 x y += . 点评：实数的基本概念要准确理解，其中绝对值属于难点，当重点突破. 例2、把下列各数填到相应的集合中： 13 3827 3.140.1010010001π--、、、、、、 ..22sin 30tan 4530.321 3.27 ??---、、、、、. 整数集合 { }；分数集合 { }；无理数集合{ }. 点评：对于实数的认识主要是理解无理数的意义，即对无限不循环小数的理解. 例3、已知实数a b 、在数轴上对应的点的位置如图所示，化简2 ()a b a b -++. b a 0 点评：数轴作为重要的数学工具，它让数形有机结合，正确认识数轴上的点与实数的一一对应关系. 例4、若2 1(5)0m n -+-=，求m n 、的值. 点评：绝对值、偶次幂以及偶次方根

中考数学专题练习数与式

数与式一、选择题(每小题3分，共24分) 1．3-的相反数是( ) A ．1 3 B ． 1 3- C ． 3 D ．－3 2.下列数022cos 607π，中，无理数的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．下列计算中，结果正确的是( ) Ａ．030= Ｂ．1221 -=?- Ｃ．331-=- Ｄ．527-+=- 4.若式子x 的取值范围是( ) A.1 12x x ≥-≠且 B.1x ≠ C.12x ≥- D.1 12x x >-≠且 5. 下列运算中，结果正确的是( )

A ．235x x x += B ．326x x x ?= C ．55x x x ÷= D ．()2 3539x x x ?= 6．a ，b 是两个连续整数，若a ＜7＜b ，则a ，b 分别是( ) ，3 ，2 ，4 ，8 7．若2(1)20m n -++=，则m n +的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 8．我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[]12.1=， []33=，[]35.2-=-，若5104=?? ????+x ，则x 的取值可以是( ) 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．四个实数2-，0，2-，1中，最小的实数是 . 10．分解因式：22(21)a a --= ．

11.古生物学家发现350 000 000年前，地球上每年大约是400天，用科学记数法表示350 000 000＝_________. 12．如图，一个正方形纸盒的展开图，在其中的四个正方形内标有数字1，2，3和－3，要在其余的正方形内分别填上―1，―2，使得按虚线折成的正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则A 处应填 . 13. 计算：323()a a ?= ． 14．当分式24 2 +-x x 的值为0时，x 的值是 _． 15．已知2x y -＝3，则代数式624x y -+的值为 . 16．观察下列等式： 1 11122=-?，1112323=-?，111 3434=-?，将以上三个等式两边分别相加得： 1 1 1 1 1 1 1 1 13 111223342233444++=-+-+-=-=???．那么，计算1 1 1 1 12233420142015++++????L 的结果是

九年级中考数学高频考点专题突破与提升策略(二次函数五大必考考点专题练习)

中考数学高频考点专题突破与提升策略（二次函数）考点一：二次函数图像信息题一.解决函数图象问题的一般步骤: 1.弄清题意,分析函数自变量的取值范围及分段. 2.分析各段上的函数的变化趋势. 3.确定函数表达式,根据函数的图象与性质作出判断. 二．典型题专练 1. 如图,下列各曲线中能够表示y是x的函数的是( ) 2. 小明从家到学校,先匀速步行到车站,等了几分钟后坐上了公交车,公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校.小明从家到学校行驶路程s(m)与时间 t(min)的大致图象是( ) 3.如图,正方形ABCD的边长为2 cm,动点P,Q同时从点A出发,在正方形的边上,分别按A→D→C,A→B→C的方向,都以1 cm/s的速度运动,到达点C运动终止,连接PQ,设运动时间为x s,△APQ的面积为y cm2,则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是( )

4. 如图,在正方形ABCD中,AB=3 cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm 的速度运动,同时动点N自D点出发沿折线DC-CB以每秒2 cm的速度运动,到达B点时运动同时停止,设△AMN的面积为y(cm2),运动时间为x(秒),则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是 ( ) 考点二：二次函数的图象和性质 =ax2+bx 1.已知a,b是非零实数,|a|>|b|,在同一平面直角坐标系中,二次函数y 1 与一次函数y =ax+b的大致图象不可能是( ) 2 2.抛物线y=x2+6x+7可由抛物线y=x2如何平移得到的( ) A.先向左平移3个单位,再向下平移2个单位 B.先向左平移6个单位,再向上平移7个单位 C.先向上平移2个单位,再向左平移3个单位 D.先向右平移3个单位,再向上平移2个单位

中考数学复习专题1 数与式

中考数学复习专题1《数与式》考点1 有理数、实数的概念【知识要点】 1、实数的分类：有理数，无理数。 2、实数和数轴上的点是___________对应的，每一个实数都可以用数轴上的________来表示，反过来，数轴上的点都表示一个________。 3、______________________叫做无理数。一般说来，凡开方开不尽的数是无理数，但要注意，用根号形式表示的数并不都是无理数（如4），也不是所有的无理数都可以写成根号的形式（如π）。【典型考题】 1、把下列各数填入相应的集合内： 5 1.0,25.0,,8,32,138,4,15,5.73&&π- 有理数集{ }，无理数集{ } 正实数集{ } 2、在实数27 1,27,64,12,0,23, 43--中，共有_______个无理数 3、在4,45sin ,3 2,14.3,3?--中，无理数的个数是_______ 4、写出一个无理数________，使它与2的积是有理数【复习指导】解这类问题的关键是对有理数和无理数意义的理解。无理数与有理数的根本区别在于能否用既约分数来表示。考点2 数轴、倒数、相反数、绝对值【知识要点】 1、若0≠a ，则它的相反数是______，它的倒数是______。0的相反数是________。 2、一个正实数的绝对值是____________；一个负实数的绝对值是____________； 0的绝对值是__________。???<≥=) 0____()0____(||x x x 3、一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与______的距离。【典型考题】 1、___________的倒数是2 11-；0.28的相反数是_________。 2、如图1，数轴上的点M 所表示的数的相反数为_________ M 3 图1

初三数学中考复习-数与式-专题练习题-含答案

天津市和平区普通中学2018届初三数学中考复习数与式专题练习题 1．下列实数中，是有理数的为( ) A. 2 B ．3 4 C ．π D ．0 2．餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为( ) A ．5×109千克 B ．50×109千克 C ．5×1010千克 D ．0.5×1011千克 3．若|a －1|＝a －1，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥1 B ．a ≤1 C ．a ＜1 D ．a ＞1 4．下列计算正确的是( ) A ．4x 3·2x 2＝8x 6 B ．a 4＋a 3＝a 7 C ．(－x 2)5＝－x 10 D ．(a －b)2＝a 2－b 2 5．如果a ＋a 2－4a ＋4＝2，那么a 的取值范围是( ) A ．a ≤0 B ．a ≤2 C ．a ≥－2 D ．a ≥2 6．在代数式2x ，13(x ＋y)，x π－3，5a －x ，x （x －y ）x ，x ＋3（x ＋1）（x －2）中，分式有____个． 7．如图，数轴上点A ，B 所表示的两个数的和的绝对值是____． 8．分解因式：8－2x 2＝____ ． 9．若a ＜6＜b ，且a ，b 是两个连续的整数，则a b ＝____． 10．若分式x 2－2x －3x ＋1 的值为0，则x 的值为____． 11．计算： 8＋|22－3|－( 13 )－1－(2015＋2)0；

12．已知x＋y＝－7，xy＝12，求y x y ＋x y x 的值． 13．先化简，再求值：a2－b2 a ÷(a－ 2ab－b2 a )，其中a＝2＋3，b＝2－3； 14．观察下列等式： 31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…. 解答下列问题： (1)32016的末位数字是多少？ (2)3＋32＋33＋33＋…＋32016的末位数字是多少？

2020年中考数学必考34个考点专题33：最值问题

专题33 最值问题在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种： 1.二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2 （a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有 ①若a >0当x b a =-2时，y 有最小值。y ac b a min =-442； ②若a <0当x b a =-2时，y 有最大值。y ac b a max =-442。 2.一次函数的增减性一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。 3. 判别式法根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得?≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。 4.构造函数法 “最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质在实数范围内，显然有a b k k 2 2 ++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 2 2 ++的最小值为k 。 6. 零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。 8. “夹逼法”求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。专题知识回顾专题典型题考法及解析

中考数学专题复习—数与式

中考数学专题复习专题一数与式 [基础训练] 1.如果a 与2-的和为O ，那么a 是（） A .2 B . 12C .1 2 -D .2- 2.23 4 ()m m 等于（） A.9 m B ．10 m C ．12 m D ．14 m 3.若4x =，则5x -的值是（） A ．1 B ．－1 C ．9 D ．－9 4、5-的相反数是，9的算术平方根是，-3倒数是 . 4.已知(a-b)2 =4,ab=2 1，则(a+b)2 = 5.在函数1-=x y 中，自变量x 的取值范围是. 6.若分式 1 2 --x x 的值为零，则=x . 7.因式分解：=+-2 2 3 2xy y x x __________________. 9.根据如图所示的程序计算，若输入x 的值为1，则输出y 的值为 10.计算或化简：（1）0 3260tan 33 ? ? ? ? ? - +?+ （2） 22-m m 11.已知12+=x ，求代数式x x x x x x x 1 12122÷??? ??+---+的值．（第9题图）

[精选例题] 例题１（１）１：２的倒数是（）Ａ 21 Ｂ－21 Ｃ ±2 1 Ｄ２（２）写出一个比-1大的负有理数是________,写出一个比-1大的负无理数是_________. （３）若()的值为则n m n m 2,0)3(32+=++- A -4 B -1 C 0 D4 说明：本题考查对数与式基本概念的理解（1）倒数的概念（2）有理数与无理数的概念和大小比较（3）绝对值和完全平方的非负性例题2（1）如图，在数轴上表示15的点可能是（ A 点P B 点Q C 点M D 点N （2）当x=_____时，分式 3 3--x x 无意义. (3)已知 a a a a -=-112 ，则a 的取值范围是（） A a 0≤ B a<0 C 00 说明：本题考查对数与式有关性质的掌握（1）实数的大小和数轴上的表示（2）分式在什么时候无意义和绝对值的意义（3）平方根的意义和性质例题3（1）下列运算正确的是（） A 2 2 a a a =? B 2 a a a =+ C 2 36a a a =÷ D () 62 3 a a = (2)化简a+b+(a-b)的最后结果正确的是（） A 2a+2b B 2b C 2a D0 （3）下列计算错误的是（） A -（-2）=2 B 228= C 2 22532x x x =+ D () 53 2 a a = (4)先化简4 1 )231(2 -+÷-+a a a , 然后请你给a 选取一个合适的值, 再求此时原式的值．