数据结构-kruskal算法求最小生成树_实验报告
一、问题简述
题目：图的操作。
要求：用kruskal算法求最小生成树。
最短路径：①输入任意源点，求到其余顶点的最短路径。
②输入任意对顶点，求这两点之间的最短路径和所有路径。
二、程序设计思想
首先要确定图的存储形式。经过的题目要求的初步分析，发现该题的主要操作是路径的输出，因此采用边集数组（每个元素是一个结构体，包括起点、终点和权值）和邻接矩阵比较方便以后的编程。
其次是kruskal算法。该算法的主要步骤是：
GENERNIC-MIT(G,W)
1. A←
2. while A没有形成一棵生成树
3 do 找出A的一条安全边(u,v);
4.A←A∪{(u,v)};
5.return A
算法设置了集合A，该集合一直是某最小生成树的子集。在每步决定是否把边(u,v)添加到集合A中，其添加条件是A∪{(u,v)}仍然是最小生成树的子集。我们称这样的边为A 的安全边，因为可以安全地把它添加到A中而不会破坏上述条件。
然后就是Dijkstra算法。Dijkstra算法基本思路是：
假设每个点都有一对标号 (d j, p j)，其中d j是从起源点s到点j的最短路径的长度 (从顶点到其本身的最短路径是零路(没有弧的路)，其长度等于零)；p j则是从s到j的最短路径中j点的前一点。求解从起源点s到点j的最短路径算法的基本过程如下：
1) 初始化。起源点设置为：① d s=0, p s为空;②所有其他点: d i=∞, p i=?;③标记起源点s，记k=s,其他所有点设为未标记的。
2) 检验从所有已标记的点k到其直接连接的未标记的点j的距离，并设置：
d j=min［d j, d k+l kj］
式中，l kj是从点k到j的直接连接距离。
3) 选取下一个点。从所有未标记的结点中，选取d j中最小的一个i：
d i=min［d j, 所有未标记的点j］
点i就被选为最短路径中的一点，并设为已标记的。
4) 找到点i的前一点。从已标记的点中找到直接连接到点i的点j*，作为前一点,设置：
i=j*
5) 标记点i。如果所有点已标记，则算法完全推出，否则，记k=i，转到2) 再继续。
而程序中求两点间最短路径算法。其主要步骤是：
①调用dijkstra算法。
②将path中的第“终点”元素向上回溯至起点，并显示出来。
程序结构框图为：
三、程序具体实现
1、kruskal函数：
因为kruskal需要一个有序的边集数组，所以要先对边集数组排序。其次，在执
行中需要判断是否构成回路，因此还另有一个判断函数seeks，在kruskal中调用
seeks。
2、dijkstra函数：
因为从一源到其余各点的最短路径共有n-1条，因此可以设一变量vnum作为计数
器控制循环。该函数的关键在于dist数组的重新置数。该置数条件是：该顶点示
被访问过，并且新起点到该点的权值加上新起点到源点的权值小于该点原权值。
因此第一次将其设为：if（s[w]==0&&cost[u][w]+dist[u] 际运行中，发现有些路径的权值为负。经过分析发现，因为在程序中∞由32767 代替。若cost[u][w]==32767，那么cost[u][w]+dist[u]肯定溢出主负值，因此 造成权值出现负值。但是如果cost[u][w]==32767，那么dist[w]肯定不需重新置 数。所以将条件改为：if （s[w]==0&&cost[u][w]+dist[u] 修改之后，问题果然解决。 3、printpath1函数： 该函数主要用来输出源点到其余各点的最短路径。因为在主函数调用该函数前， 已经调用了dijkstra函数，所以所需的dist、path、s数组已经由dijkstra函 数生成，因此在该函数中，只需用一变量控制循环，一一将path数组中的每一元 素回溯至起点即可。其关键在于不同情况下输出形式的不同。 4、printpath2函数： 该函数主要用来输出两点间的最短路径。其主要部份与printpath1函数相同，只 是无需由循环将所有顶点一一输出，只需将path数组中下标为v1的元素回溯至起 点并显示出来。 四、源程序 #define MAXE 100 struct edges {int bv; int tv; int w; }; typedef struct edges edgeset; int seeks(int set[],int v) {int i; i=v; while(set[i]>0) i=set[i]; return i; } kruskal(edgeset ge[],int n,int e) {int set[MAXE],v1,v2,i,j; for(i=1;i i=1; j=1; while(j<=e&&i<=n-1) {v1=seeks(set,ge[j].bv); v2=seeks(set,ge[j].tv); if(v1!=v2) {printf("(%d,%d):%d\n",ge[j].bv,ge[j].tv,ge[j].w); set[v1]=v2; i++; } j++; } } void insertsort(edgeset ge[],int e) {int i,j; for(i=2;i<=e;i++) if(ge[i].w {ge[0]=ge[i]; j=i-1; while(ge[0].w {ge[j+1]=ge[j]; j--; } ge[j+1]=ge[0]; } } void dijkstra(int cost[MAXE][MAXE],int dist[MAXE],int path[MAXE],int s[MAXE],int n,int v0) {int u,vnum,w,wm; for(w=1;w<=n;w++) {dist[w]=cost[v0][w]; if(cost[v0][w]<32767) path[w]=v0; } vnum=1; while(vnum<=n-1) {wm=32767; u=v0; for(w=1;w<=n;w++) if(s[w]==0&&dist[w] {u=w; wm=dist[w]; } s[u]=1; vnum++; for(w=1;w<=n;w++) if(s[w]==0&&dist[u]+cost[u][w] {dist[w]=dist[u]+cost[u][w]; path[w]=u; } } } void printpath1(int dist[],int path[],int s[],int n,int v0) {int i,k; for(i=1;i<=n;i++) if(s[i]==1) {k=i; while(k!=v0) {printf("%d<-",k); k=path[k]; } printf("%d:%d\n",k,dist[i]); } else printf("%d<-%d:32767\n",i,v0); } void printpath2(int dist[],int path[],int v0,int v1) {int k; k=v1; while(k!=v0) {printf("%d<-",k); k=path[k]; } printf("%d:%d\n",k,dist[v1]); } main() {edgeset ge[MAXE]; int cost[MAXE][MAXE],dist[MAXE],path[MAXE],s[MAXE],a,n,e,i,j,k,v0,v1; printf("input the number of point:"); scanf("%d",&n); printf("input the number of edges:"); scanf("%d",&e); printf("input the edges:\n"); for(i=1;i<=e;i++) scanf("%d,%d,%d",&ge[i].bv,&ge[i].tv,&ge[i].w); printf("please choise\n"); printf("1.kruskal\n "); printf(“2.shortpath\n”); printf(“3.shortpath between two point\n”); printf(“4.exit\n”); scanf("%d",&a); while(a!=4) {switch(a) {case 1:insertsort(ge,e); kruskal(ge,n,e); break; case 2:printf("input the start point:"); scanf("%d",&v0); for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) cost[i][j]=32767; for(k=1;k<=e;k++) {i=ge[k].bv; j=ge[k].tv; cost[i][j]=ge[k].w; } for(i=1;i<=n;i++) s[i]=0; s[v0]=1; dijkstra(cost,dist,path,s,n,v0); printpath1(dist,path,s,n,v0); break; case 3:printf("input the start point:"); scanf("%d",&v0); printf("input the end point:"); scanf("%d",&v1); for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) cost[i][j]=32767; for(k=1;k<=e;k++) {i=ge[k].bv; j=ge[k].tv; cost[i][j]=ge[k].w; } for(i=1;i<=n;i++) s[i]=0; s[v0]=1; dijkstra(cost,dist,path,s,n,v0); printpath2(dist,path,v0,v1); break; } printf("please choise\n"); printf("1.kruskal\n "); printf(“2.shortpath\n”); printf(“3.shortpath between two point\n”); printf(“4.exit\n”); scanf("%d",&a); } } 五、程序调试 将如下图输入： ① 6 5 ② 1 ④ 5 5 ③ 3 6 4 2 ⑤ 6 ⑥ 依次输入：6 （六个顶点） 10 （十条边） 1，2，6 1，3，1 1，4，5 2，3，5 2，5，3 3，4，5 3，5，6 3，6，4 4，6，2 5，6，6 显示菜单。 选择1 输出：（1，3）：1 （4，6）：2 （2，5）：3 （3，6）：4 （2，3）：5 选择2 输入1 （起点） 输出：1：32767 2<-1:6 3<-1:1 4<-1:5 5<-3<-1:7 6<-3<-1:5 选择3 输入1 (起点) 5(终点) 输出:5<-3<-1:7 选择4 退出。 六、附录 将序列3，7，2，1，4，6，8，9，10，5插入到初始为空的平衡树和3阶B_树中，画 出插入过程，然后依次删除每个元素，画出删除过程。 平衡树插入过程如下所示： 3 3 3 3 7 2 7 2 7 1 3 3 3 2 7 2 7 LR 2 6 1 4 1 4 1 4 7 6 3 3 3 2 6 2 6 RR 2 6 1 4 7 1 4 7 1 4 8 8 8 7 9 9 3 3 3 2 6 RR 2 8 2 8 1 4 8 1 6 9 1 6 9 7 9 4 7 10 4 7 10 10 5 6 RL 3 8 2 4 7 9 1 5 10 平衡树删除过程如下所示： 6 删3 6 删 7 6 3 8 2 8 2 8 2 4 7 9 1 47 9 1 4 9 1 5 10 5 10 5 10 6 删2 6 6 RR 2 9 1 9 LR 4 9 1 48 10 48 10 1 58 10 5 5 删1 6 删4 6 删6 5 4 9 5 9 9 58 10 8 10 8 10 8 删8 5 9 RL 5 9 9 RR 5 10 10 10 删9 5 删10 5 删5 10 B-树的插入过程如下所示： 插入3 3 插入7 3 7 插入2 3 插入1 3 2 7 1 2 7 插入4 3 插入6 3 6 插入8 3 6 1 2 4 7 1 2 4 7 1 2 4 7 8 插入9 6 插入10 6 3 8 3 8 1 2 4 7 9 1 2 4 7 9 10 插入5 6 3 8 1 2 4 5 7 9 10