2016年全国高考新课标1卷文科数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题,本大题共 ?小题,每小题 分,共 ?分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
.设集合?? ????????, ? ? ??????,则?? ?? ?
?. ???? ?. ???? ?. ???? ?. ????
.设???????????的实部与虚部相等,其中?为实数,则??? ?
?. ? ?. ? ?. ?. ?
.为美化环境,从红、黄、白、紫 种颜色的花中任选 种花种在一个花坛中,余下的 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是? ?
?.
13 ?.12 ?.23 ?.56
4.ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .
已知22,cos 3a c A ===, 则b=( )
A
B
C .2
D .3
5.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的
14
,则该椭圆的离心率为( ) A .13 B .12 C .23 D .34
6.若将函数y =2sin (2x +6
π)的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为 ( )
A .y =2sin(2x +4π)
B .y =2sin(2x +3π)
C .y =2sin(2x –4π)
D .y =2sin(2x –3
π) 7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是
283π, 则它的表面积是( )
A .17π
B .18π
C .20π
D .28π
8.若a >b >0,0 A .log a c B .log c a C .a c D .c a >c b 9.函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为( ) 10.执行右面的程序框图,如果输入的x =0,y =1,n =1, 则输出x ,y 的值满足( ) A .y =2x B .y =3x C .y =4x D .y =5x 11.平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A , α//平面CB 1D 1,α∩平面ABCD=m , α∩平面ABB 1A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为( ) A B .2 C D .13 12.若函数1()sin 2sin 3 f x x -x a x =+在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是( ) A .[-1,1] B .[-1,13] C .[-13,13] D .[-1,-13] 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在横线上. 13.设向量a =(x ,x +1),b =(1,2),且a ⊥b ,则x =. 14.已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ-π4 )=. 15.设直线y=x +2a 与圆C :x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若|AB |=C 的面积为. 16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ,乙材料1kg , 用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ,乙材料0.3kg ,用3个工时,生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg ,乙材料90kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.只做6题,共70分. 17.(本题满分12分) 已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2= 3 1,a n b n +1+b n +1=nb n . (Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)求{b n }的前n 项和. B E G P D C A 18.(本题满分12分) 如图,已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,PA =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ,D 在平面PAB 内的正投影为点E , 连接PE 并延长交AB 于点G . (Ⅰ)证明G 是AB 的中点; (Ⅱ)在答题卡第(18)题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F (说明作法及理由),并求四面体PDEF 的体积. 19.(本小题满分12分) 某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n 表示购机的同时购买的易损零件数. (Ⅰ)若n =19,求y 与x 的函数解析式; (Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5,求n 的最小值; (Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件? 20.(本小题满分12分) 在直角坐标系xoy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H. (Ⅰ)求OH ON ;(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?说明理由. 21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=(x -2)e x+a(x -1)2. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若有两个零点,求a的取值范围. 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,ΔOAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,1 2 OA为半径作圆. (Ⅰ)证明:直线AB与⊙O相切; (Ⅱ)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD. 23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为 cos 1sin x a t y a t = ? ? =+ ? (t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴 正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ. (Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a. 24.(本小题满分10分),选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=| x+1| -|2x-3|. (Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y=f(x)的图像; (Ⅱ)求不等式| f(x)|>1的解集. 2016年全国高考新课标1卷文科数学试题参考答案一、选择题,本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1B 2A 3C 4D 5B 6D 7A 8B 9D 10C 11A 12C 【12题解析】 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13. 2 3 - 14. 4 3 - 15.4π 16.216000 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.只做6题,共70分. 17.解:(Ⅰ)依题a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=3 1,解得a 1=2 …2分 通项公式为a n =2+3(n -1)=3n -1 …6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知3nb n +1=nb n ,b n +1=31b n ,所以{b n }是公比为3 1的等比数列.…9分 所以{b n }的前n 项和S n =111()313122313 n n --=-?-…12分 18.(Ⅰ)证明:PD ⊥平面ABC ,∴PD ⊥AB . 又DE ⊥平面PAB ,∴DE ⊥AB .∴AB ⊥平面PDE .…3分 又PG ?平面PDE ,∴AB ⊥PG .依题PA=PB ,∴G 是AB (Ⅱ)解:在平面PAB 内作EF ⊥PA (或EF // PB )垂足为F , 则F 是点E 在平面PAC 内的正投影.…7分 理由如下:∵PC ⊥PA ,PC ⊥PB ,∴ PC ⊥平面PAB .∴EF ⊥PC 作EF ⊥PA ,∴EF ⊥平面PAC .即F 是点E 在平面PAC 内的正投影.…9分 连接CG ,依题D 是正ΔABC 的重心,∴D 在中线CG 上,且 CD =2DG . 易知DE // PC ,PC=PB=PA = 6,∴DE =2,PE =2233 PG =?= 则在等腰直角ΔPEF 中,PF=EF=2,∴ΔPEF 的面积S=2. 所以四面体PDEF 的体积1433 V S DE =?=.…12分 19.解:(Ⅰ)当x ≤19时,y =3800;当x >19时,y =3800+500(x -19)=500x -5700. 所以y 与x 的函数解析式为3800,19(*)5005700,19 x y x N x x ≤?=∈?->?…3分 (Ⅱ)由柱状图知,需更换的易损零件数不大于18为0.46,不大于19为0.7,所以n 的最小值为19.…6分 (Ⅲ)若每台机器都购买19个易损零件,则有70台的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,所以100台机器购买易损零件费用的 平均数为1100 (3800×70+4300×20+4800×10)=4000. …9分 若每台机器都购买20个易损零件,则有90台的费用为4000,10台的费用为4500,所以100台机器购买易损零件费用的 平均数为 1100(4000×90+4500×10)=4050. …11分 比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.…12分 20.解:(Ⅰ)依题M (0, t ),P (22t p , t ). 所以N (2t p , t ),ON 的方程为p y x t =. 联立y 2=2px ,消去x 整理得y 2 =2ty . 解得y 1=0,y 2=2t . …4分 所以H (2 2t p ,2t ). 所以N 是OH 的中点,所以OH ON =2.…6分 (Ⅱ)直线MH 的方程为2p y t x t -=,联立y 2=2px ,消去x 整理得y 2-4ty +4t 2=0. 解得y 1=y 2=2t . 即直线MH 与C 只有一个交点H . 所以除H 以外,直线MH 与C 没有其它公共点.…12分 21.解:(Ⅰ) f'(x )=(x -1)e x +a (2x -2)=(x -1)(e x +2a ).x ∈R …2分 (1)当a ≥0时,在(-∞,1)上,f'(x )<0,f (x )单调递减; 在(1,+∞)上,f'(x )>0,f (x )单调递增.…3分 (2)当a <0时,令f'(x )=0,解得x =1或x =ln(-2a ).