2016年度中考反比例函数综合题精彩编辑

1．（2016·黑龙江大庆）如图，P1、P2是反比例函数y=（k＞0）在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为（4，0）．若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶点．

（1）求反比例函数的解析式．

（2）①求P2的坐标．

②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y=的函数值．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形．

【分析】（1）先根据点A1的坐标为（4，0），△P1OA1为等腰直角三角形，求得P1的坐标，再代入反比例函数求解；（2）先根据△P2A1A2为等腰直角三角形，将P2的坐标设为（4+a，a），并代入反比例函数求得a的值，得到P2的坐标；再根据P1的横坐标和P2的横坐标，判断x的取值范围．

【解答】解：（1）过点P1作P1B⊥x轴，垂足为B

∵点A1的坐标为（4，0），△P1OA1为等腰直角三角形

∴OB=2，P1B=OA1=2

∴P1的坐标为（2，2）

将P1的坐标代入反比例函数y=（k＞0），得k=2×2=4

∴反比例函数的解析式为

（2）①过点P2作P2C⊥x轴，垂足为C

∵△P 2A 1A 2为等腰直角三角形 ∴P 2C=A 1C

设P 2C=A 1C=a ，则P 2的坐标为（4+a ，a ） 将P 2的坐标代入反比例函数的解析式为，得 a=

，解得a 1=

，a 2=

（舍去）

∴P 2的坐标为（

，

）

②在第一象限内，当2＜x ＜2+

时，一次函数的函数值大于反比例函数的值．

【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是根据等腰直角三角形的性质求得点P 1和P 2的坐标．等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．

2. （2016·湖北黄冈）（满分8分）如图，已知点A(1, a)是反比例函数y= -x 3的图像上一

点，直线y= -21x+21与反比例函数y= -x 3的图像在第四象限的交点为B.

(1)求直线AB 的解析式；

(2)动点P(x, o)在x 轴的正半轴上运动，当线段PA 与线段PB 之差达到最大时，求点P 的

【考点】反比例函数，一次函数，最值问题.

【分析】（1）因为点A(1, a)是反比例函数y= -x 3的图像上一点，把A(1, a)代入y=－x 3中， 求出a 的值，即得点A 的坐标；又因为直线y= -21x+21与反比例函数y= -x 3的图像在第四象限的交点为B ，可求出点B 的坐标；设直线AB 的解析式为y=kx+b ，将A ，B 的坐标代入即可求出直线AB 的解析式；

(2) 当两点位于直线的同侧时，直接连接两点并延长与直线相交，则两线段的差的

绝对值最大。连接A ，B ，并延长与x 轴交于点P ，即当P 为直线AB 与x 轴的交点时，｜PA －PB ｜最大.

【解答】解：（1）把A(1, a)代入y=－x 3中，得a=－3. ………1分 ∴A(1, －3). ……………………………………….2分

又∵B ，D 是y= －21x+21与y=－x 3的两个交点，…3分

∴B(3, －1). ………………………………….4分 设直线AB 的解析式为y=kx+b,

由A(1, －3)，B(3, －1)，解得 k=1，b=－4.……5分

∴直线AB 的解析式为y=x －4. ……………………6分

（2）当P 为直线AB 与x 轴的交点时，｜PA －PB ｜最大…7 由y=0, 得x=4,

∴P(4, 0). ………….8分

3.（2016·四川成都·9分）如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=m x的图象都经过点A（2，﹣2）．

（1）分别求这两个函数的表达式；

（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）将点A坐标（2，﹣2）分别代入y=kx、y=求得k、m的值即可；

（2）由题意得平移后直线解析式，即可知点B坐标，联立方程组求解可得第四象限内的交点C得坐标，割补法求解可得三角形的面积．

【解答】解：（1）根据题意，将点A（2，﹣2）代入y=kx，得：﹣2=2k，

解得：k=﹣1，

∴正比例函数的解析式为：y=﹣x，

将点A（2，﹣2）代入y=m

x

解得：m=﹣4；

∴反比例函数的解析式为：y=-4

；

x

（2）直线OA：y=﹣x向上平移3个单位后解析式为：y=﹣x+3，

则点B的坐标为（0，3），

联立两函数解析式，解得：或，

∴第四象限内的交点C的坐标为（4，﹣1），

∴S△ABC=×（1+5）×4﹣×5×2﹣×2×1=6．

4.（2016·广东茂名）如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象交于点A（﹣1，4）和点B（a，1）．

（1）求反比例函数的表达式和a、b的值；

（2）若A、O两点关于直线l对称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交点坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式．

【分析】（1）由点A的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，从而得出反比例函数解析式；再将点A、B坐标分别代入一次函数y=x+b中得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；

（2）连接AO，设线段AO与直线l相交于点M．由A、O两点关于直线l对称，可得出点M为线段AO的中点，再结合点A、O的坐标即可得出结论．

【解答】解：（1）∵点A（﹣1，4）在反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象上，∴k=﹣1×4=﹣4，

∴反比例函数解析式为y=﹣．

把点A（﹣1，4）、B（a，1）分别代入y=x+b中，

得：，解得：．

（2）连接AO，设线段AO与直线l相交于点M，如图所示．

∵A、O两点关于直线l对称，

∴点M为线段OA的中点，

∵点A（﹣1，4）、O（0，0），

∴点M的坐标为（﹣，2）．

∴直线l与线段AO的交点坐标为（﹣，2）．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解二元一次方程组以及中点坐标公式，解题的关键是：（1）由点的坐标利用待定系数法求函数系数；（2）得出点M为线段AO的中点．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用了中点坐标公式降低了难度．

5.（2016·江苏泰州）如图，点A（m，4），B（﹣4，n）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，经过点A、B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D．

（1）若m=2，求n的值；

（2）求m+n的值；

（3）连接OA、OB，若tan∠AOD+tan∠BOC=1，求直线AB的函数关系式．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）先把A点坐标代入y=求出k的值得到反比例函数解析式为y=，然后把B（﹣4，n）代入y=可求出n的值；

（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m=k，﹣4n=k，然后把两式相减消去k 即可得到m+n的值；

（3）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图，利用正切的定义得到tan∠AOE==，tan ∠BOF==，则+=1，加上m+n=0，于是可解得m=2，n=﹣2，从而得到A （2，4），B（﹣4，﹣2），然后利用待定系数法求直线AB的解析式．

【解答】解：（1）当m=2，则A（2，4），

把A（2，4）代入y=得k=2×4=8，

所以反比例函数解析式为y=，

把B（﹣4，n）代入y=得﹣4n=8，解得n=﹣2；

（k＞0）的图象上，

（2）因为点A（m，4），B（﹣4，n）在反比例函数y=k

x

所以4m=k，﹣4n=k，

所以4m+4n=0，即m+n=0

（3）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图，

在Rt△AOE中，tan∠AOE==，

在Rt △BOF 中，tan ∠BOF==，

而tan ∠AOD+tan ∠BOC=1， 所以+

=1，

而m+n=0，解得m=2，n=﹣2， 则A （2，4），B （﹣4，﹣2）， 设直线AB 的解析式为y=px+q ， 把A （2，4），B （﹣4，﹣2）代入得，解得

，

所以直线AB 的解析式为y=x+2．

6.(2016兰州，26, 10 分）如图，在平面直角坐标系中， OA ⊥OB ，AB ⊥ x 轴于点 C ，点A(√3,1)在反比例函数y =k

x 的图像上。

（1）求反比例函数的y =k

x

的表达式；

（2）在 x 轴的负半轴上存在一点 P ，使得S ⊿AOP =1

2

S ⊿AOB ，求点 P 的坐标；

（3）若将 △BOA 绕点 B 按逆时针方向旋转 60o 得到 △BDE ，直接写出点 E 的坐标，并判断点E 是否在该反比例函数的图像上，说明理由。

像上。