群论课程教学大纲

群论课程教学大纲

一、课程说明

（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；

所属专业：理论物理

课程性质：专业基础课

学分：3

（二）课程简介、目标与任务；

课程简介：群论作为一种数学工具，已广泛应用于粒子物理、核物理、固体物理等物理分支。群论课程主要介绍群的基本知识、有限期的基本表示理论、点群、李群和李代数的基本知识。通过本课程的学习，使学生掌握群论的基本概念、基本性质和基本方法，理解对称性及其在物理学中的应用，为学生继续深造和从事科学研究工作打下必要的数学基础。本课程是为本科高年级学生所开设的课程，总教学时数为54学时，3学分，开课学期为本科生第七学期。

目标与任务：让大学四年级理论物理专业的研究生掌握《群论》这一门数学工具的基础知识，为研究生阶段的课程(如《量子场论》、《高等量子力学》、《李群和李代数》等)打下坚实的数学基础。

（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；

先修课程：线性代数、微积分

后续相关课程：李群和李代数

关系：《群论》课的基础主要为《线性代数》和《微积分》，《线性代数》的线性空间理论和矩阵理论为《群论》线性表示理论的基础，《微积分》为《群论》中微积分相关内容的基础知识。《群论》课为后续课程《李群和李代数》的基础，《李群和李代数》是《群论》课的关于连续群的进一步深入，两者之间在内容上为承上启下的关系。

（四）教材与主要参考书。

教材：自编讲义

主要参考书：

1. 段一士教授《群论》讲义

2. 韩其志、孙洪洲，《群论》，北京师范大学出版社，1987年

3. 马中骐，《物理学中的群论》

3. 约什，《物理学中的群论基础》［M］

4. 怀邦，《典型群及其在物理中的应用》［M］

5. 徐婉棠、喀兴林，《群论及其在固体物理学中的应用》

6. W. Joshim, 《Elements of Group Theory for Physics》

7. Hamermesh, 《Group Theory and its Application to Physical problems》

二、课程内容与安排

第一章群的基本知识

1.1 群的定义

1.2 子群和陪集

1.3 共轭元素和类

1.4 不变子群和商群

1.5 同态和同构

1.6 直积群

1.7 变换群

（一）教学方法：讲授学时分配：12学时

（二）内容及基本要求

主要内容：本章主要介绍群的基本知识，包括群的定义和举例，群的重排定理，一个群的子群与陪集、不变子群与商群的基本概念，以及相应的拉格朗日定理和商群相关定理，然后介绍两个群之间的关系，即同态关系和同构关系，以及相应的定理，最后介绍由两个群来构造一个比较大的群的基本方法，即直积群。

基本要求：熟悉群的定义和各个定理内容，熟悉常见的群及其子群、类、不变子群、商群，掌握两个群之间同态或同构关系的判断或证明方法。

【重点掌握】：群的重排定理、拉格朗日定理和商群相关定理、同构与同态。

【了解】：变换群的基本性质。

【难点】：商群、同构与同态概念。

第二章群的线性表示理论

2.1 群的线性表示

2.2 表示的构造

2.3 群表示理论的基本定理

2.4 群的正则表示

2.5 特征标相关定理

（一）教学方法：讲授学时分配：12学时

（二）内容及基本要求

主要内容：本章主要介绍抽象群的线性表示理论，给出可约表示和不可约表示的基本概念和判断定理，给出对称群的n维表示的一般构造方法，介绍群表示理论的基本定理以及特征标相关定理，给出某些对称群所有不等价不可约表示的构造方法。

基本要求：熟悉群的可约表示和不可约表示概念和判断方法，掌握有限群的n维表示的构造方法。

【重点掌握】：群的不可约表示，有限群的n维表示的构造方法，特征标相关定理。

【了解】：群表示理论的基本定理。

【难点】：群的不可约表示，有限群表示的构造理论，群表示理论的基本定理。

第三章点群

3.1 三维实正交群

3.2 点群

3.3 第一类点群

3.4晶体点群

（一）教学方法：讲授学时分配：8学时

（二）内容及基本要求

主要内容：本章主要介绍三维实正交群SO(3)的三维表示，用群的基本方法分析点群的基本方程，介绍第一类点群和第二类点群，介绍晶体点群的概念和相应定理。

基本要求：熟悉三维实正交群SO(3)的三维表示，熟悉第一类点群和晶体点群。

【重点掌握】：三维实正交群SO(3)的三维表示，点群的分类。

【了解】：点群的基本方程，晶体点群。

【难点】：点群的基本方程的推导。

第四章李群

4.1 李群的定义

4.2 李群的线性表示

4.3 李群的三个定理

4.4 李群的无穷小算子

4.5 常见的李群

（一）教学方法：讲授学时分配：12学时

（二）内容及基本要求

主要内容：本章主要介绍李群的定义、李群的线性表示和生成元、李群的无穷小算子，给出李群的三个重要定理及其证明，介绍常见的李群如GL(n,C)、GL(n,R)、SO(n)、SU(n)、En等。

基本要求：熟悉李群的三个重要定理，掌握李群的生成元和无穷小算子各自的对易关系以及相互之间的联系，掌握简单的李群的线性表示。

【重点掌握】：李群的三个重要定理，生成元的对易关系，无穷小算子表示。

【了解】：生成元与无穷小算子之间的关系。

【难点】：李群的无穷小算子表示，生成元与无穷小算子之间的关系。

第五章李代数

5.1 李代数的定义

5.2 子李代数和理想

5.3 直和与半直和

5.4 单纯李代数和半单纯李代数

5.5 常见的李代数

（一）教学方法：讲授学时分配：10学时

（二）内容及基本要求

主要内容：本章主要介绍李代数、子代数和理想的定义，介绍李代数是否能分解另外两个李代数之间的直和或半直和的判断方法，给出单纯李代数和半单纯李代数的定义及相应判据。介绍常见的李代数如SO(3)、SO(4)、SO(2,1)、SO(3,1)、En等。

基本要求：熟悉李代数及其子代数和理想的定义，掌握半单纯李代数的判据，熟悉简单的李代数的生成元和无穷小算子的对易关系。

【掌握】：李代数的定义，直和或半直和，半单纯李代数，无穷小算子表示，简单李代数的结构。

【了解】：中心和Casimir算子。

【难点】：李代数的分解，单纯李代数和半单纯李代数的判定。

制定人：刘玉孝

审定人：

批准人：

日期：