湖南省益阳市2018年中考数学试卷(解析版)

湖南省益阳市2018年中考数学试卷

一、 选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）

1.2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里，居世界第一，将数据135000用科学计数法表示正确的是（ ）

A ．1.35×106

B ．1.35×105

C ．13.5×104

D ．135×103

【专题】常规题

型．

【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n

的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数

【解答】解：135000=1.35×105

故选：B ．

【点评】此题考查科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为a ×10

n

的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值

2.下列运算正确的是（ ）

A ．339x x x =g

B ．842

x x x ÷= C ．(

)

2

3

6ab ab = D ．()3

328x x =

【专题】计算题．

【分析】根据同底数幂的乘除法法则，幂长乘方，积的乘方一一判断即可； 【解答】解：A 、错误．应该是x 3

?x 3

=x 6

； B 、错误．应该是x 8

÷x 4

=x 4

； C 、错误．（ab 3

）2

=a 2

b 6

． D 、正确． 故选：D ．

【点评】本题考查同底数幂的乘除法法则，幂长乘方，积的乘方等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．

3.不等式组213

312

x x ≥-+??

+?＜ 的解集在数轴上表示正确的是（ ）

1

0-110-110-11

0-1

A B C D

专题】常规题型．

【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】

∵解不等式①得：x＜1，

解不等式②得：x≥-1，

∴不等式组的解集为-1≤x＜1，

在数轴上表示为：，

故选：A．

【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．

4.下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（）

A．棱柱 B．圆柱 C．棱锥 D．圆锥

【专题】投影与视图．

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

【解答】解：由俯视图易得几何体的底面为圆，还有表示锥顶的圆心，符合题意的只有圆锥．

故选：D．

【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识．

5.如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是（）

A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°

C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°

E

O

D

C

A

【专题】常规题型；线段、角、相交线与平行线．

【分析】根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得．

【解答】解：A、∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC，此选项正确；B、由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，此选项正确；

C 、∠AOC 与

∠BOD 是对顶角，所以∠AOC=∠BOD ，此选项错误； D 、∠AOD 与∠BOD 是邻补角，所以∠AOD+∠BOD=180°，此选项正确； 故选：C ．

【点评】本题主要考查垂线、对顶角与邻补角，解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义

6.益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工，他们中不同文化程度的人数见下表：

文化程度 高中 大专 本科 硕士 博士 人数

9

17

20

9

5

关于这组文化程度的人数数据，以下说法正确的是：（ ） A ．众数是20 B ．中位数是17 C ．平均数是12 D ．方差是26 【专题】数据的收集与整理．

【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的概念求解．

【解答】解：A 、这组数据中9出现的次数最多，众数为9，故本选项错误； B 、因为共有5组，所以第3组的人数为中位数，即9是中位数，故本选项错误；

故选：C ．

【点评】本题考查了中位数、平均数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．

7.如图，正方形ABCD 内接于圆O ，AB ＝4，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．416π- B ．816π- C ．1632π- D ．3216π-

O

D

C

B

A

【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算．

【分析】连接OA 、OB ，利用正方形的性质得出OA=ABcos45°=2

2 ，根据阴影部分的面积=S ⊙O -S 正方形A B C D

列式计算可得．

【解答】解：连接OA 、OB ，

∵四边形ABCD 是正方形，

∴∠AOB=90°，∠OAB=45°，

故选：B ．

【点评】本题主要考查扇形的面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和圆的面积公式．

8.如图，小刚从山脚A 出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B 点，则小刚上升了（ ）

α

A

300

A ．300sin α米

B ．300cos α米

C ．300tan α米

D ．300

tan α

米 【专题】等腰三角形与直角三角形．

【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度． 【解答】解：在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，AB=300米， BO=AB ?sin α=300sin α米． 故选：A ．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB ，BO 的关系是解题关

9.体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ） A ．4 1.2540800x x ?-= B ．

800800

402.25x x

-= C ．

800800401.25x x -= D ．800800

401.25x x

-= 【专题】常规题型．

【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可． 【解答】解：

故

选：C ．

【点评】本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．

10.已知二次函数2

y ax bx c =++的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A ．ac ＜0 B ．b ＜0 C ．2

4b ac -＜0 D ．a b c ++＜0

x

y

O

1

【专题】推理填空题．

【分析】根据抛物线的开口方向确定a ，根据抛物线与y 轴的交点确定c ，根据对称轴确定b ，根据抛物线与x 轴的交点确定b 2

-4ac ，根据x=1时，y ＞0，确定a+b+c 的符号．

【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a ＞0，

∵抛物线交于y 轴的正半轴， ∴c ＞0，

∴ac ＞0，A 错误；

∴b ＜0，∴B 正确；

∵抛物线与x 轴有两个交点，

∴b 2

-4ac ＞0，C 错误； 当x=1时，y ＞0， ∴a+b+c ＞0，D 错误； 故选：B ．

【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax 2

+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．

二、填空题：（本题共8小题，每小题4分，共32分） 123= 。

【分析】先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算即可．

【解答】

故答案为：6．

【点评】本题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，掌握运算法则是关键．12.因式分解：323

x y x

-=。

【专题】计算题；整式．

【分析】先提取公因式x3，再利用平方差公式分解可得．

【解答】解：原式=x3（y2-1）=x3（y+1）（y-1），

故答案为：x3（y+1）（y-1）．

【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握一般整式的因式分解的步骤--先提取公因式，再利用公式法分解．

13.2018年5月18日，益阳新建西流湾大桥竣工通车。如图，从沅江A地到资阳B地有两条路线可走，从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是。

龙洲大桥

西流湾大桥

会龙山大桥

益阳火车站

资阳B

沅江A

【专题】概率及其应用．

【分析】由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，根据概率公式计算即可；

【解答】解：由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

14.若反比例函数

2k

y

x

-

=的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是。

【分析】根据图象在第二、四象限，利用反比例函数的性质可以确定2-k的符号，即可解答．

【解答】

∴2-k ＜0， ∴k ＞2．

故答案为：k ＞2．

【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练记忆（1）当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键．

15.如图，在圆O 中，AB 为直径，AD 为弦，过点B 的切线与AD 的延长线交于点C ，AD ＝DC ，则∠C ＝ 度。

D O A

【专题】计算题．

【分析】利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据切线的性质得∠ABC=90°，然后根据等腰三角形的判定方法得到△ABC 为等腰直角三角形，从而得到∠C 的度数．

【解答】解：∵AB 为直径， ∴∠ADB=90°， ∵BC 为切线， ∴AB ⊥BC ， ∴∠ABC=90°， ∵AD=CD ，

∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠C=45°． 故答案为45．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．

16.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则下列结论：①△ADF ≌△FEC ；②四边形ADEF 为菱形；③:1:4ADF ABC S S ??=。其中正确的结论是 。（填写所有正确结论的序号）

D

F E

B C

A

【专题】三角形；图形的全等；矩形菱形正方形；图形的相似．

【分析】①根据三角形的中位线定理可得出AD=FE、AF=FC、DF=EC，进而可证出△ADF≌△FEC（SSS），结论①正确；

②根据三角形中位线定理可得出EF∥AB、EF=AD，进而可证出四边形ADEF为平行四边形，由AB=AC结合D、F分别为AB、AC的中点可得出AD=AF，进而可得出四边形ADEF为菱形，结论②正确；

此题得解．

【解答】解：①∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，

∴DE、DF、EF为△ABC的中位线，

∴△ADF≌△FEC（SSS），结论①正确；

②∵E、F分别为BC、AC的中点，

∴EF为△ABC的中位线，

故答案为：①②③．

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，逐一分析三条结论的正误是解题的关键． 17.规定：()a b a b b ?=+，如：()2323315?=+?=，若23x ?=，则x ＝ 。 【专题】新定义．

【分析】根据a ?b=（a+b ）b ，列出关于x 的方程（2+x ）x=3，解方程即可． 【解答】解：依题意得：（2+x ）x=3， 整理，得 x 2

+2x=3， 所以 （x+1）2=4， 所以x+1=±2， 所以x=1或x=-3． 故答案是：1或-3．

【点评】考查了解一元二次方程-配方法． 用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为ax 2

+bx+c=0（a ≠0）的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．

18.如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，BC ＝3，按以下步骤作图：①以A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ；②分别以点M 、N 为圆心，以大于

1

2

MN 的长为半径作弧，两弧相交于点E ；③作射线AE ；④以同样的方法作射线BF ，AE 交BF 于点O ，连接OC ，则OC ＝ 。

【专题】常规题型．

【分析】直接利用勾股定理的逆定理结合三角形内心的性质进而得出答案．

【解答】

解：过点O 作OD ⊥BC ，OG ⊥AC ，垂足分别为：D ，G ， 由题意可得：O 是△ACB 的内心， ∵AB=5，AC=4，BC=3，

∴BC 2+AC 2=AB 2

，

∴△ABC 是直角三角形， ∴∠ACB=90°，

∴四边形OGCD 是正方形，

【点评】此题主要考查了基本作图以及三角形的内心，正确得出OD 的长是解题关键．

三、解答题：（本题共8小题，共78分）

19.（本小题满分8分）计算：()2

32527243??

--+-+÷- ???

【专题】计算题．

【分析】根据绝对值的性质、立方根的性质以及实数的运算法则化简计算即可； 【解答】解：原式=5-3+4-6=0

【点评】本题考查实数的混合运算，解题的关键是：掌握先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．

20.（本小题满分8分）化简：2y x y

x y x y x ??+-+ ?+?

?g

【专题】计算题；分式．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．

【解答】

【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21.（本小题满分8分）如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，求证：AM ∥CN

2

1N M E C

A D

B

【专题】线段、角、相交线与平行线．

【分析】只要证明∠AEM=∠ECN ，根据同位角相等两直线平行即可证明； 【解答】证明：∵AB ∥CD ， ∴∠EAB=∠ECD ， ∵∠1=∠2， ∴∠EAM=∠ECN ， ∴AM ∥CN ．

【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质

和判定

，属于中考基础题．

22.（本小题满分10分）2018年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考，高考方案与高校招生政策都将有重大变化。某部门为了了解政策的宣传情况，对某初级中学学生进行了随机抽样调查，根据学生对政策的了解程度由高到低分为A ，B ，C ，D 四个等级，并对调查结果分析后绘制了如下两幅图不完整的统计图。请你根据图中提供的信息完成下列问题：

（1）求被调查学生的人数，并将条形统计图补充完整； （2）求扇形统计图中的A 等对应的扇形圆心角的度数；

（3）已知该校有1500名学生，估计该校学生对政策内容了解程度达到A 等的学生有多少人？

60

【专题】统计的应用．

【分析】（1）利用被调查学生的人数=了解程度达到B 等的学生数÷所占比例，即可得出被调查学生的人数，由了解程度达到C 等占到的比例可求出了解程度达到C 等的学生数，再利用了解程度达到A 等的学生数=被调查学生的人数-了解程

度达到B等的学生数-了解程度达到C等的学生数-了解程度达到D等的学生数可求出了解程度达到A等的学生数，依此数据即可将条形统计图补充完整；

（2）根据A等对应的扇形圆心角的度数=了解程度达到A等的学生数÷被调查学生的人数×360°，即可求出结论；

（3）利用该校现有学生数×了解程度达到A等的学生所占比例，即可得出结论．

【解答】解：（1）48÷40%=120（人），

120×15%=18（人），

120-48-18-12=42（人）．

将条形统计图补充完整，如图所示．

（2）42÷120×100%×360°=126°．

答：扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角为126°．

答：该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有525人．

【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，观察条形统计图及扇形统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．

23.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中有三点（1，2），（3，1），（-2，-1），其中有两点同时在反比例函数

k

y

x

的图象上，将这两点分别记为A，B，另一点记为C，（1）求出k的值；

（2）求直线AB对应的一次函数的表达式；

（3）设点C关于直线AB的对称点为D，P是x轴上的一个动点，直接写出PC＋PD的最小值（不必说明理由）。

y

x

3,1

()

-2, -1

()

1,2

()

O

【专题】反比例函数及其应用．

【分析】（1）确定A、B、C的坐标即可解决问题；

（2）理由待定系数法即可解决问题；

（3）作D关于x轴的对称点D′（0，-4），连接CD′交x轴于P，此时PC+PD 的值最小，最小值=CD′的长；

【解答】解：

∴A（1，2），B（-2，-1），C（3，1）

∴k=2．（2）设直线AB的解析式为y=mx+n，

∴直线AB的解析式为y=x+1（3）∵C、D关于直线AB对称，

∴D（0，4）

作D关于x轴的对称点D′（0，-4），连接CD′交x轴于P，

【点评】本题考查反比例函数图形上的点的特征，一次函数的性质、反比例函数的性质、轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用轴对称解决最短问题．

24.（本小题满分10分）益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低。马迹塘一农户需要将A，B两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A，B 产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元，A，B两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元∕件）如下表所示：

品种 A B

原来的运费45 25

现在的运费30 20

（1）求每次运输的农产品中A，B产品各有多少件？

（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的总件数增加8件，但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？

【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应

用．

【分析】（1）设每次运输的农产品中A产品有x件，每次运输的农产品中B产品有y件，根据表中的数量关系列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可，（2）设增加m件A产品，则增加了（8-m）件B产品，设增加供货量后得运费为W元，根据（1）的结果结合图表列出W关于m的一次函数，再根据“总件数中B 产品的件数不得超过A产品件数的2倍”，列出关于m的一元一次不等式，求出

m的取值范围，再根据一次函数的增减性即可得到答案．

【解答】解：（1）设每次运输的农产品中A产品有x件，每次运输的农产品中B产品有y件，

答：每次运输的农产品中A产品有10件，每次运输的农产品中B产品有30件，（2）设增加m件A产品，则增加了（8-m）件B产品，设增加供货量后得运费为W元，

增加供货量后A产品的数量为（10+m）件，B产品的数量为30+（8-m）=（38-m）件，

根据题意得：W=30（10+m）+20（38-m）=10m+790，

由题意得：38-m≤2（10+m），

解得：m≥6，

即6≤m≤8，

∵一次函数W随m的增大而增大

∴当m=6时，W最小=850，

答：产品件数增加后，每次运费最少需要850元．

【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用和一元一次不等式得应用，解题的关键：（1）正确根据等量关系列出二元一次方程组，（2）根据数量关系列出一次函数和不等式，再利用一次函数的增减性求最值．

25.（本小题满分12分）如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°。

（1）求证：BE＝CE

（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动。若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N。（如图2）

①求证：△BEM≌△CEN；

②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；

③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值。

图1

G

E D

A

B C

F

图2

N

M

G

E D

A

B C

F

图3

N

G

E D

A(M)

B C

F

【专题】几何综合题．

【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；

（2）①利用①可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；

②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

【解答】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠A=∠D=90°，

∵E是AD中点，

∴AE=DE，

∴△BAE≌△CDE，

∴BE=CE．

【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确

寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

26.（本小题满分12分）如图，已知抛物线213

22

y x x n =--（n ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C 。

（1）如图1，若△ABC 为直角三角形，求n 的值；

（2）如图1，在（1）的条件下，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，若以BC 为边，以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标；

（3）如图2，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于另一点D ，交y 轴交于点E ，若AE:ED ＝1:4，求n 的值。

【专题】二次函数图象及其性质；多边形与平行四边形；图形的相似． 【分析】（1）利用三角形相似可求AO ?OB ，再由一元二次方程根与系数关系求AO ?OB 构造方程求n ；

（2）求出B 、C 坐标，设出点Q 坐标，理由平行四边形对角线互相平分性质，分类讨论点P 坐标，分别代入抛物线解析式，求出Q 点坐标；

（3）设出点D 坐标（a ，b ），利用相似表示OA ，再由一元二次方程根与系数关系表示OB ，得到点B 坐标，进而找到b 与a 关系，代入抛物线求a 、n 即可．

参考答案

1-10、BDADC CBACB

11、6

12、x3（y+1）（y-1）

13、

14、k>2

15、45

16、①②③

17、1或-3

18、解：过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为：D，G，由题意可得：O是△ACB的内心，

∵AB=5，AC=4，BC=3，

∴BC2+AC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ACB=90°，

∴四边形OGCD是正方形，

．

19、0

20、x

21、证明：∵AB∥CD，

∴∠EAB=∠ECD，

∵∠1=∠2，

∴∠EAM=∠ECN，

∴AM∥CN．

22、解：（1）48÷40%=120（人），

120×15%=18（人），

120-48-18-12=42（人）．

将条形统计图补充完整，如图所示．

（2）42÷120×100%×360°=126°．

答：扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角为126°．