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第六章定积分的应用

习题6-2 (A) 1．求下列函数与x 轴所围部分的面积：

(1) y x 2 6x 8, [0, 3]

( 2) y 2x x2 , [ 0, 3]

2．求下列各图中阴影部分的面积：

1.

图 6-1

3．求由下列各曲线围成的图形的面积：

(1) y e x , y e x与x1;

( 2) y ln x 与 x 0, y ln a, y ln b (b a 0) ;

(3) y 2x x2与 y x , y 0 ;

( 4) y 2 2 x , y 2 (x 1) ;

(5) y 2 4(1 x) 与 y 2 x , y 0 ;

(6) y x2 与 y x , y 2x ;

(7) y 2 sin x , y sin 2x (0 x ) ;

(8) y x 2

,

x 2 y 2 （两部分都要计算）

;

2 8

4．求由曲线y ln x 与直线 y 0, x e 1 , x e 所围成的图形的面积。

5．求抛物线y x 2 4 x 3 及其在点 (0, 3) 和 (3, 0) 处的切线所围成的图形的面积。

6．求抛物线y 2 2 px 及其在点 ( p

, p) 处的法线所围成的图形的面积。

2

7．求曲线x y a 与两坐标轴所围成的图形的面积。

x 2 y 2

1 所围图形的面积。

8．求椭圆

2 b 2

a

9．求由摆线x a(t sin t), y a(1 cost ) 的一拱（0 t 2 ) 与横轴所围图形的面积。

10．求位于曲线y e x下方与由该曲线过原点的切线的左方及x 轴之间的图形的面积。

11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积：

(1) 2a sin (a 0) ;

( 2) 2a (2 cos ) (a 0);

(3) 2 2 cos 2 （双纽线） ;

12. 把抛物线y2 4ax 及直线 x x

( x 0 0) 所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积。

13. 由 y x 3 , x 2 , y 0 所围成的图形，分别绕x 轴及 y 轴旋转，计算所得两个旋转

体的体积。

14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：

(1) y ach x

0, x a , y 0 , 绕 x 轴 ;

与 x

a

( 2) y sin x 与 y 2x , 绕 x 轴 ;

(3) y sin x 与 y cos x (0 x ) , 绕 x 轴 ;

2

( 4) y ln x , 与 x 2 , y 0 绕 y 轴 ;

(5) y 2x x2 与 y x , y 0 绕 y 轴 ;

(6) ( x 5)2 y 2 16 , 绕 y 轴 ;

15. 求由抛物线y 2 4(1 x) 及其在 (0, 2) 处的切线和x 轴所围的图形绕 x 轴旋转

产生的旋转体的体积。

16. 求 x 2 y 2 4, x 3 y 2所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积。

17. 一立体以椭圆x 2 y2

1 为底，垂直于长轴的截面都是等边三角形( 图 6 2)，100 25

求其体积。

18. 求底面是半径为 R 的圆，而垂直于底面上 一条固定直径的所有截 面都是等边三角形的立 体体积。

19. 计算曲线 y ln x 上相应于 3 x 8 的一段弧的长度。 20. 计算曲线 y

x

(3

x) 上相应于 1

x

3 的一段弧 ( 6 3) 的长度。

3

21. 求对数螺线

e a 相应于

0 到 的一段弧长。

22. 求曲线

1 相应于

3 到 4

的一段弧长。

4

3

x arctant

23. 求曲线 1

上自 t

0 到 t

1 的一段弧长。

y ln(1 t 2)

2

24. 求摆线 x 1 cost, y t sin t 上相应于 0 t 2 的一拱的长度。

习题 6-2 (B)

1．求由下列各组曲线围成的图形的公共部分的面积：

(1)

3a 与 2a cos ;

( 2)

3 cos

与

1 cos

;

(3)

2 sin

与 2

cos 2

;

2. 假设曲线 L 1

: y 1 x 2

(0

x 1) 与 x 轴和 y 轴所围区域被曲线

L 2 : y ax 2 分成面积相等

的两部分 ( 图 6 4)，其中 a 是大于零的常数，试确 定 a 的值 。

3. 用积分方法证明 图 6 5 中球缺的体积为

V

H 2 ( R

H

) .

3

2 4. 一铁铸件，其形状为两

抛物线 y

x

, y

1

x 2

1 与直线 y

10 围成的图形绕 y 轴旋转

10

10

而成的旋转体，铁的密 度是 7. 8 ( g / cm 3 ，求铸件的质量。

)

5. 求 y x , y 2 及 x 0 所围成的图形 绕

(1) x 轴； ( 2) y 轴； (3) 直线 y ； ( 4) 直线 x 4

2

旋转而成的旋转体的体 积。

6. 求 x

2

y 2

a 2 , 绕 x

b (b a

0) 旋转所成旋转体的体积 。

7. 求第一象限内由曲线

x

y

y 3 和 y 轴围成的平面图形绕直线

y 1 旋转而成的旋转体

的体积 。

8. 求由摆线 x a (t sin t ), y a(1 cost) 的一拱（0 t 2 ) 与 x 轴所围图形绕直线y 2a 旋转

而成的旋转体的体积。

9. 证明由平面图形0 a x b, 0 y f ( x) 绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积为

b

2x f ( x) dx .

a

10. 在摆线 x a (t sin t), y a (1 cost ) 上求分摆线第一拱的弧段长为 1 : 3 的分点坐标。

11. 求抛物线y 1 2

被圆 x 2 y 2 3 所截下的有限部分的弧长。

x

2

12. 计算半立方抛物线y 2 2 ( x 1) 3被抛物线 y 2 x 截得的一段弧的长度。

3 3

13. 证明曲线y sin x ( 0x 2 ) 的弧长等于椭圆x 2 2y 2 2 的周长。

2 2 2

14 . 求由星形线 x 3 y 3 a 3 (或 x a cos

3 t ，y a sin 3 t , a0)

(1)所围成的图形的面积；

( 2) 所围成的图形的绕x 轴旋转而成的旋转体体积；

( 3) 整个弧长。

15. 利用元素法证明由xoy 平面上一段曲线弧y f (x) , ( f ( x) 0, 0 x b ) 绕 x 轴旋转一周

产生的曲面（称为旋转曲面）的表面积（或称为旋转体的侧面积）为

b

f 2 (x) dx .

2 f (x) 1

a

并利用此公式证明半径为 R 的球体的表面积为 4 R

2 .

习题6-3 (A)

1.由实验知道，弹簧拉伸过程中，需要的力 F（单位： N）与伸长量 s（单位： cm）成正比，

即F ks （ k 是比例系数），计算把弹簧拉伸 6 (cm) 所作的功。

2. 直径为20( cm) ，高为 80 (cm) 的圆柱体内充满压强为10 (N / cm2 ) 的蒸汽，设温度保持不变，

要使蒸汽体积缩小一半，问需作多少功。

3. 一物体按规律x ct 3作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x0

移至x a 时，克服阻力所作的功。

4.用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在

击第一次时，将铁钉击入木板 1 (cm)；如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少？

5. 半径为 R ( m) 的半球形水池，其中充满了水，问把池内的水完全吸尽，至少做多少功？

6 . 设一正圆锥形贮水池，深 15 ( m) ，口径20 ( m)，水面离池口有 1 (m)，若要将水从池口全部

吸尽，需要做多少功？

7 . 设沙的比重为 2 g( kN / m3 )，现要堆成一个半径为R ( m)，高为h (m ) 的圆锥形沙堆，

问至少做多少功？

8. 一底为 8 (cm) ，高为 6 (cm) 的三角形薄片，垂直沉

没在水中，顶在上离水 面 3 (cm)，底在下

且底边与水面 平行，试求它每面所受

水压力的大小。

9. 水坝中有一直立的矩形 闸门，阔 10 (m) ，高 6 (cm) ，闸门上边平行于水面 ；

(1) 求水面在闸门顶上 8 (m) 时，闸门所受的水压力 ； (2) 欲使闸门所受的压力加 倍，水面应升高多少？ 10. 一根长为 l ，线密度为

的均匀细直棒，在棒的 一端垂直距离为 a 单位处有一质量

为 m 的质点 M ，试求这细棒对质点

M 的引力。

习题 6-3 (B)

1. 半径为 R (m)的球沉入水中，球的上部

与水面相切，球的比重 与水相同，现将球从水

中

取出，需做多少功？若 球的比重是水的两倍， 问所做的功是多少？

2. 设有一个由抛物线 y x 2 绕其对称轴旋转而成的 容器，容积为

72 ( cm 3

)，盛满了水，

现在要将水抽出

64 (cm 3

，问需做多少功？

)

3. 等腰三角形薄片垂直沉 没在水中，其底与水面 相齐，薄板的高为 h , 底为 a, 水比重为 1 (1) 计算薄板一侧所受的水 压力；

(2) 若倒转薄板，使顶点与 水面相齐，而底平行于 水面，则水对薄板一侧 的压力增加多少？

4. 有两根匀质细杆，长度

均为 l ，位于同一直线上，相

间距离为 a ， A 杆密度为

， B 杆密度

为 ，求两细杆之间的引力

。

习题 6-4

1. 某产品的边际成本 P 为产量 x 的函数

P( x) 100

0.002 x

求产量从 1000 到 2000 时成本的增加量。

2. 某产品生产

x 个单位时，总收入

R 的变化率（边际收入） 为

R (x)

200

x

， ( x 0)

100

(1) 求生产 50 个单位时的总收入；

( 2) 若已经生产了 100 个单位，则求再生产

100 个单位时的总收入。

3. 已知某产品的边际收益 是

R (x) 25 ，边际成本是

C ( x) ，固定成本是

2 x 1

3 4x

，求当

x 5 时的毛利和净利。

C 0 10

提示：净利

毛利－固定成本

4. 设某种产品每天生产 x 单位的固定成本为 20 元，边际成本函数为

（元 / 单位），求总成本函数

C ( x); C ( x) 0.4 x 2

如果这种产品规定的销 售单价为 18 元，且产品可以全部售 出，求总利润函数 L ( x)， 并问每天生产多少单位 时才能获得最大利润。

5 . 设某产品的边际收益是

（万元 / 百台），边际成本是

x

（万元 / 百台），

R ( x) 8 x

C ( x) 4

4

求 (1) 产量从 1 百台增加到 5 百台的与总收入与总成 本的增量；

(2) 产量为多少时，总利润 最大 ？

(3) 已知不变成本 C (0) （万元），求总成本、 总利润与产量 x 的函数关系式；

1

(4) 利润最大时的总成本与 总收入。

1

6. 已知某石油公司的收入 率（以每年亿元为单位） 为 R (t ) 9 t 3 （时间 t 以年为单位）

1

相应的成本率为 C (t) 1

3 t 3 , 试判断该石油公司应连 续开发多少年？并问在 停止

开发时，该公司所获总 利润为多少？

7. 某商品的需求量 Q 为价格 p 的函数，假设该商品的

最大需求量为 1000，已知需求量的

1 p

变化率（边际需求） 为 Q ( p)

1000 ln 3

，求需求量 Q 与价格 p 的函数关系。

3

8. 已知某商品的需求量 Q 对价格 p 的弹性

p ，而市场对该商品的最 大需求量为

4

p

400，试求需求函数和总收 入函数。

总习题六

一、选择题

1. 曲线 y f (x) 与 x

a, x

b 所围成的图形的面积 A (

) .

( A)

b f (x)dx ; ( B) b

a

f ( x)dx ;

a

(C)

b

f ( x) dx ; (D )

b

f ( x)dx

a f ( x) dx .

a

0 0

2. 连续曲线 y

f 1 ( x) , y

f 2 ( x) 与 x

a, x

b 所围图形绕 x 旋转所得旋转体的体积 V ( ).

b

[ f 22 ( x) f 12 ( x)] dx ;

b

f 22 ( x)] dx

( A) a (B)

[ f 22 ( x)

;

a

b

f 1 ( x)] 2

dx ;

b

f 22 ( x) dx .

(C)

a

[ f 2 ( x) ( D ) a

f 22 (x)

3. 双纽线 ( x 2 y 2 ) 2 x 2 y 2

(

cos 2 ) 所围成的面积 A ( ) . ( A) 2

2

cos2 d ;

(B) 2

4 cos2 d ;

(C) 2

4 cos2 d ;

(D ) 1

4

(cos 2 )2 d .

2 0

4. 横截面为 S，深为H 的水池装满水，把水全部抽到离池口高为 h 的水塔上，

则所作功 W ( ).

H h

( A)

0 S (h H y) dy ; (B )

S( h H y) dy ;

(C ) H

S (h y ) dy ; ( D )

H h

S (h H y) dy .

0 0

5. x 轴上有一线密度为常数长度为 l 的细杆，有质量为 m 的质点位于杆的延长线上

且到右端的距离为a，已知引力系数为k ，则质点和细杆之间的引力大小为 ( ) .

0 km

x) 2 dx ;

l km

( A) l (a ( B )

0 (a x )2 dx ;

0 km l km

(C ) 2 2 dx ; (D ) 2 2 2 dx .

l

( a x) 0 ( a x)

2

二、填空题

1. 曲线 y x

1

2 及 y 2 所围成的平面图形的面积为 _______ .

, x

x

3

2. 曲线 y sin 2 x (0 x) 与 x 轴围成的图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积为 _______ .

3. 质点以速度 t sin t 2 (米 / 秒 ) 作直线运动，则从时刻t1 秒到 t2 秒内质点

2

经过的路程为 _______ 米。

4. 函数 y

x 2 1

,

3

在区间 [ ] 上的平均值为 _______ .

1 x

2 2 2

三、计算题

1. 求曲线y x2x 2与x轴所围部分的面积。

2. 求曲线 y x 的一条切线l , 使该曲线与切线l 及直线 x 0, x 2 所围成图形面积为最小。3．考虑函数y x2 , 0 x 1, 问

(1) t 为何值时，图中( 图 6 7) 中阴影部分的面积S1与 S2之和 S S1 S2最小？

( 2) t 为何值时，面积S S1 S2最大？

4. 求曲线

y x 2 2 x, y 0, x 1, x 3

所围成的平面图形的面积，并求该平面

S

图形绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积 V。

5. 求曲线 y e x 与 x 轴之间位于第二象限的平面图形的面积及此图形绕 y 轴旋转所成的

旋转体的体积。

6. 设抛物线 y

ax 2

bx c 过原点，当

0 x 1, y

，又已知该抛物线与

x 轴及直线

x

1 所围图形的面积为

1

, 试确定 a, b, c, 使此图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的 体积 V

3

为最小。

7. 求心形线 a (1 cos ) (a 0) 的全长。

8. 已知某产品的边际成本

函数和边际收入函数分

别为

C (x) x 2

4 x 5,

R ( x) 20 2 x ， 求

(1) 使总利润最大时的产量

；

(2) 当产量由 4 减到 2 时，总收入和总成本各 减少多少？

高数不定积分例题

不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析：因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案：B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(，则=)(x f （ ） A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析：对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=，所以= )(x f x x cos 答案：C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形 解：1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分

1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=，设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解：1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u ，v '的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dx v '，即dv dx v ='，使积分变为?udv ；②代公式，?udv ?-=vdu uv ，计算出dx u du '=；③计算积分?vdu 解：?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (

完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程

《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1． 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2． 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+，求()01f x x <<。 3． 设 2 ()f x dx x C =+?，则2(1)xf x dx -=? 。 4． 计算 3。 5。 计算。 6． 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8． 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10． 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11． 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12． 设()arcsin xf x dx x C =+? ，则 1 () dx f x =? 。 13． 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-，且(())ln f x x ?=，求()x dx ??。 14． 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15． 计算x 。 16． 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17． 计算ln t tdt α ? 。 18． 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1．设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??，求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2． 设1 ()2()f x x f x dx =+? ，则()f x = 。 3． 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4． 已知()f x 连续，且满足()()1f x f x -=，则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?＝ 。

高等数学不定积分习题

第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二．是非判断题 1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。 （A ）?=dx x F )('f(x)+c; （B ）?dx x f )(=F(x)+c; （C ）? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。 （A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3．下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数，且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=，则f(x)=______.

高等数学定积分应用

第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求： 使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等） 二、本章各节教学内容及学时分配： 第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时 三、本章教学内容的重点难点： 找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形； （2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者扇形； （3）计算出面积元素； （4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 三、作业35 6．2定积分在几何中的应用

一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-，面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=，)(2x y ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ?)(2x ?=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ??≤≤，面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-，面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=，)(2y x ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ?)(2y ?=解出， d y c ≤≤，)()(21y x y ??≤≤，面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 222x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ，于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时 45.02+

(完整版)定积分测试题

题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 （8小题，共26分） 得分 阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（ ）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（ ） （A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ）)(2 122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --?　 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-?　 B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 （2小题，共5分） 得分 阅卷人

高等数学不定积分例题思路和答案超全

高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？

高等数学积分公式大全

常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +? ＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5．d () x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +? ＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2 d ()x x ax b +? ＝ 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10．x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13．x ＝22 (23ax b C a - 14．2x ＝2223 2(34815a x abx b C a -+

15 ． ＝(0) (0) C b C b ?+>< 16 ． 2a b - 17 ．x ＝b +18 ．x ＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23．2 d x x ax b +? ＝2 1ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +? ＝21d a x bx b ax b --+?

定积分及微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

高等数学微积分复习题

第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写

定积分测试题

题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 （8小题，共26分） 得分 阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（ ）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（ ） （A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ） )(2122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、 3 2 3xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 2 3xdx --?　 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-?　 B 、2 sin xdx π? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、 1 2

《高等数学》不定积分课后习题详解Word版

不定积分内容概要

课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解：53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? （ ） ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ??

★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?

思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12) 3x x e dx ?

(完整word版)高等数学第四章不定积分习题,DOC

第四章不定积分 §4–1不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)( '，则F(x)叫做)(x f在该区间上的一个,)(x f的 F= x f )(x A(1,6)和B(2,- .[] 三．单项选择题 1．c为任意常数，且) F=f(x),下式成立的有。 ('x （A）?= =F(x)+c; ('f(x)+c;（B）?dx x F) dx ( f) x （C）?=dx x F)()('x F+c;(D)?dx ('=F(x)+c. x f) 2.F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有。

48 （A ）F(x)=cG(x);（B ）F(x)=G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c;(D))()(x G x F ?=c. 3．下列各式中是||sin )(x x f =的原函数。 (A)||cos x y -=;(B)y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D)y={. 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 dx x -2 x 2sin 9.dx x x 2 )2sin 2(cos -?10.? ++dx x x 2cos 1cos 12 11.?dx x x x 2 2 cos sin 2cos 12.?++-dx x x x 3322332 13.dx x x )12 13( 22?--+14.?-dx x x x )tan (sec sec

15.?- dx x x x )1 1(216.dx x x ? -+11 五．应用题 1．一曲线通过点(2e ,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该 曲线的方程. 2．一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是32t (米/秒),问: ? 15．= -? dx x x 1 12 = -? dx x x 2 2)1 (11=-? 2 )1(11x x d _________ 16.若??≠=++=)0________()(,)()(a dx b ax f c x F dx x f 则 二．是非判断题 1． ??+?=??? ??=c x x d x dx x x 21 2111ln .[]

高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1

1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=？11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

高等数学定积分复习题

1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 ．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。

高等数学第四章不定积分课后习题详解

第4章不定积分 内容概要

课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析： 利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质， 将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将

高等数学 定积分及其应用复习题

第五、六章 定积分及其应用 （１） 一．判断题 （ ）1．函数)(x f 在区间],[b a 上有界，则)(x f 在],[b a 上可积． （ ）2．若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）3．设)(x f 在),(+∞-∞内连续，则? =x a dt t f x G )()(是)(x f 的一个原函数. （ ）4． ? ?=b a b a dx x f k dx x kf )()(,??=dx x f k dx x kf )()(都对. （ ）5．函数)(x f 在],[b a 上有定义，则存在一点],[b a ∈ξ，使 )()()(a b f dx x f b a -=? ξ． ( ). 二．填空题 1．设?= x x tdt x f 2 ln )(，则=')2 1(f . 2．?=x tdt dx d 1sin , dx d ?b a x 2 s i n dx = . 3．若),1(2) (0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 4．1 1xdx -? ＝ . 5． ? +21 42 )1 (dx x x ＝ , ?-10241dx x ＝ . 三．计算题 1． ? -e e dx x 1 ln 2．dx x x ?-π 53sin sin 3．设???? ?>-≤=1 , 11, )(2 x x x x x f ，求 ? 20 )(dx x f ． 4．dt t dx d x x ?+32411 5．20 0arctan lim x tdt x x ?→ 四．对任意x ，试求使 ? -+=x a x x dt t f 352)(2成立的连续函数)(x f 和常数a ． 五．证明题：设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且0)('≤x f ，证明

高等数学不定积分练习题

作业习题 求下列不定积分。 1、dx x ? +sin 11；2、dx e x ?+-23；3、dx x x x ?+--22)83(32；4、dx e e x x )sin(?； 5、dx e x ?-2； 6、dx x a x ?-2 2 1； 7、dx x x x ? -3 ； 8、dx x x x ? +) 1(arctan 2 2；9、dx x e x ?+22)1(tan ；10、dx x x ?++)1ln(2； 11、?-xdx e x cos ；12、dx x x x x x ?+++-232223；13、dx x ?+sin 451 ； 14、dx x x x -+?111；15、dx x x ?+)1(124； 16、dx b x a x ?++) )((1 。

作业习题参考答案： 1、解：dx x ? +sin 11 ?+-=-=C x x dx x x sec tan cos sin 12 。 2、解：dx e x ?+-23C e x d e x x +-=+--=+-+-?23233 1 )23(31。 3、解：dx x x x ?+--2 2)83(32C x x x x x x d ++--=+-+-=?831)83()83(2222。 4、解：dx e e x x )sin(?C e de e x x x +-==?cos sin 。 5、解：dx e x ?-2 C t t t dt dt dt t t t e t x +-=+-=+? -=???2 arctan 24224222222 C e e x x +-- -=2 2arctan 2 422。 6、解：dx x a x ? -2 2 1 C x x a a a C t t a t a dt t a x +--=+-==?2 2ln 1cot csc ln 1sin sin 。 7、解：dx x x x ? -3dt t t t t t t dt t t t t x )11 1(6623452386 -++++++=-=?? C t t t t t t t +-++++++=)1ln 2 3456(62 3456 C x x x x x x x +-++++++=)1ln 2 3456(661613 1 21 32 65 。 8、解：dx x x x ? +) 1(arctan 2222 21sin cos cot )1(csc arctan t dt t t t t dt t t x t -+-=-=?? C t t t t +-+-=22 1 sin ln cot C x x x x x +-++- =22)(arctan 2 1 1ln arctan 。 9、解：dx x e x ?+22)1(tan ??+=xdx e xdx e x x tan 2sec 222