直线与曲线的交点问题

直线与双曲线地相交弦问答

实用标准 文档大全 直线与双曲线的相交弦问题 直线与双曲线相交的弦长公式 ①2 2 1212()()AB x x y y =-+-（两点之间的距离） ②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+= ③221121222 111(1)[()4]AB y y y y y y k k =+-=+?+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长 例1、 过双曲线1322 =-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6 π 的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2?的面积（2F 为双曲线的右焦点）。 1、求直线1y x =+被双曲线2 2 14 y x -=截得的弦长； 2、过双曲线1449162 2=-y x 的右焦点作倾斜角为 3 π 的弦AB ，求弦长AB ；

3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22 154 x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程； 4、过双曲线12 2=-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为 3 π 的直线与双曲线相交于B A ,两点，求： （1）弦长AB （2）△AB F 1?的周长（2F 为双曲线的右焦点）

二、已知弦长求双曲线方程 5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程． 6、已知倾斜角为4 π的直线l 被双曲线6042 2=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程． 例2、 已知双曲线方程为332 2 =-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．

解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为332 2 =-y x . 问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由． 7、已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为 21 3 的双曲线经过点(6,6)P

直线与双曲线的相交弦问题

直线与双曲线的相交弦问题 直线与双曲线相交的弦长公式 ①221212()()AB x x y y = -+- ②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+= ③221121222 111(1)[()4]AB y y y y y y k k =+-=+?+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长 例1、 过双曲线1322 =-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6 π 的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2?的面积（2F 为双曲线的右焦点）。 1、求直线1y x =+被双曲线2 2 14 y x -=截得的弦长； 2、过双曲线1449162 2=-y x 的右焦点作倾斜角为 3 π 的弦AB ，求弦长AB ；

3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22 154 x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程； 4、过双曲线12 2 =-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为3 π 的直线与双曲线相交于B A ,两点，求： （1）弦长AB （2）△AB F 1?的周长（2F 为双曲线的右焦点） 二、已知弦长求双曲线方程 5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程． 6、已知倾斜角为4 π的直线l 被双曲线6042 2=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．

例2、 已知双曲线方程为332 2 =-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程． 解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为3322 =-y x . 问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．

3曲线的交点和函数的零点(理)

曲线的交点和函数的零点 例1.已知函数()2()x f x x bx c e =++在点()()0,0P f 处的切线方程为210x y +-=． （1）求,b c 的值； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）若方程()f x m =恰有两个不等的实根，求m 的取值范围． 演变1.已知3=x 是函数x x x a x f 10)1ln()(2-++=的一个极值点。 （1）求a ； （2）求函数)(x f 的单调区间； （3）若直线b y =与函数)(x f y =的图象有3个交点，求b 的取值范围。 演变2.已知函数x x f ln )(=，x a x g = )(（0

公路路线的交点曲线计算方法_secret

公路路线的交点曲线计算方法 1．前言 传统的公路平面敷设计算方法是以交点（JD）转角（α）为基础，以外距（E）为控制，通过求算切线长（T）来计算平曲线要素及各主点桩号的，与此相应的平面设计表达便是路线“直线、曲线及转角表”。这种表达方式除了具有直观、方便的特点以外，更为重要的是它体现出公路路线设计的两个面，一是与之相适应直线加弯道的设计思路、定线方式、中线敷设和施工放样方法，另一个则是与汽车动力学相关的各项道路几何指标，因而应该说是十分经典并为大家所习惯采用的。现在随着光电测距仪、全站仪、GPS等先进的测量仪器的出现，公路中线敷设及施工放线广泛采用极坐标法，从而摆脱了对特定计算方法的依赖，但对于较长距离的公路主线，传统的交点转角设计定线方法和“直线、曲线及转角表”的表达方式，却仍是其他方法和方式所不能取代的。 然而，当路线因为受到限制而不得不采用，诸如不对称曲线、卵形曲线、复曲线、凸曲线、双卵形曲线等复杂曲线，特别是需要曲线反算的情况下，采用传统的交点转角计算方法是很困难的。对于复杂曲线的计算，一般采用了在传统方法的基础上，按曲线类型分别推导计算公式，并编写功能单一的计算程序进行计算的方法。显然这种方法局限性大、程序功能单一，即使编写了针对不同类型曲线的许多模块，也不能涵盖任意的线形组合和曲线类型等情况。 笔者通过设计实践和纬地道路辅助设计系统的研究开发，在许多技术人员熟知的传统交点转角法布设平曲线的基础上，提出一种利用计算机进行平曲线计算的新交点转角法，该方法适用于任意复杂线形的设计计算。 2．交点曲线计算法 该方法以适用于任意线元组合的复杂线形设计计算为目标，是以三种基本线元的统一参数模型为基础约定，以三线元捆绑式结构为通用的单交点曲线模型的交点可组合的计算方法，有别于传统的交点转角计算方法，暂称之为交点曲线计算法。 2.a 基本线元统一参数模型的建立 我们知道，公路线形的曲线分为直线、圆曲线和缓和曲线（回旋曲线）三种线元，缓和曲线线元则又分为完全缓和曲线（R->∞）、（∞-> R）和部分缓和曲线（R1->R2）。分析五种线元的特性及共性，我们可将圆曲线视为起终点半径相等、回旋曲线参数A为0的回旋曲线，而直线则同样视为半径为无穷大的圆曲线，故我们可以用S（线元长度）、A（线元缓和曲线参数）、RO（线元起点曲率半径）、RD（线元终点曲率半径）等四项参数建立一个统一的参数模型，并根据各项参数的不同定义域来分别描述直线、圆曲线和不同类型的缓和曲线，统一的参数模型见表1-1。

直线与圆锥曲线的交点个数问题

直线与圆锥曲线的交点个数问题 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式?，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便。 一、直线与圆锥曲线的交点个数的探求 设直线:0l Ax By C ++=，圆锥曲线:()0C f x y =，，由0()0A x B y C f x y ++=??=? ，，，，即将直线l 的方程与圆锥曲线C 的方程联立，消去y 便得到关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（当然，也可以消去x 得到关于y 的一元二次方程），通过一元二次方程解的情况判断关系，见下表： 注意：(1)对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切；(2)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法。 例1、讨论直线:1l y kx =+与双曲线22:1C x y -=的公共点的个数． 解：联立方程2211y kx x y =+??-=? ，，整理得22(1)220k x kx ---=， 当1k =±时，1x = ． 当1k ≠±时，22248(1)84k k k ?=+-=-， 若0?> ，则k <0?= ，则k =0?< ，则k < 或k > 综上所述，当k =时，直线与双曲线相切于一点；1k =± 时，直线与双曲线相交

于一 点；k< 或k>时，直线与双曲线没有公共点 ；1k <<或11 k -<< 或1 k<-时，直线与双曲线有两个公共点． 点评：直线与圆锥曲线有无公共点的问题，实际上就是相应的方程组有无实数解的问题．直线与双曲线公共点的个数，特别是只有一个公共点时，除了相切的情况之外，还有直线与双曲线渐近线相平行时的情况．抛物线同样也存在这样的问题，应特别引起注意．二、借助于直线与圆锥曲线的交点个数探求直线方程 例2、已知双曲线C：2x2－y2=2与点Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在. 解：假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2，∴2(x1－x2)=y1－y1，即k AB= 2 1 2 1 x x y y - - =2 但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在. 点评：解答利用了“点差法”，但前提应是直线与曲线有交点，故求出斜率后必须进行验证，本题的验证利用了数形结合法，也可利用判别式法进行验证。 三、借助于直线与圆锥曲线的交点个数探求参数 例3、若直线1 y kx =+与焦点在x轴上的椭圆 22 1 5 x y m +=总有公共点，求m的取值范围．解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知05 m <<． 由22 1 1 5 y kx x y m =+ ? ? ? += ? ? ， ， 得22 (5)105(1)0 m k x kx m +++-=． 又∵直线与椭圆总有公共点，∴上述方程0 ?≥对一切实数k成立， 即22 (10)4(5)5(1)0 k n k m -?+?-=，亦即2 51 k m - ≥对一切实数k成立．10 m - ∴≤，即1 m≥．故m的取值范围为[) 15 m∈，． 解法二：由于直线过定点(01) ，，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(01) ，必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求． 解：由椭圆的方程及椭圆的焦点在x轴上知05 m <<． 又∵直线与椭圆总有公共点．∴直线所经过的定点(01)，必在椭圆内部或边界上．22 01 1 5m + ∴≤，即1 m≥．故m的取值范围为[) 15 m∈，． 点评：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二首先判断直线是否过定点，定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断，思路灵活，且简捷． 总之，讨论直线与圆锥曲线的交点个数实际上就是讨论方程组的解的个数，在讨论方程组的解时需要对二次项系数及一次项系数进行讨论，体现了分类讨论和数形结合的思想方法

缓和曲线交点桩号计算公式

缓和曲线计算方法(ZH～HY)中线 首先计算直线段坐标方位角（即ZH～JD坐标方位角），及ZH点坐标。备用偏角公式：{30*L/（π*RLS）缓和曲线} 计算待求点偏角=（（L/10）2 *（57296/（RLS ））/60。其中L=待求点至ZH距离、R=圆曲线半径、LS =缓和曲线长。 待求点方位角=直线方位角±待求点偏角。（曲线左转-偏角，曲线右转+偏角） 待求点至ZH点弦长=L—L5 /（90*R2 *LS 2），其中L=待求点至ZH距离（里程）、R=圆曲线半径。 待求点坐标： X=ZH点X坐标+COS（待求点方位角）*弦长 Y= ZH点Y坐标+SIN（待求点方位角）*弦长 缓和曲线计算左右边线坐标(ZH～HY) 左侧方位角=（待求点方位角±2倍偏角=直线方位角±3倍偏角）—边线与中线夹角。 右侧方位角=（待求点方位角±2倍偏角=直线方位角±3倍偏角）+边线与中线夹角。 左侧边线坐标： X=该点中线X坐标+COS（左侧方位角）*边线至中线距离 Y=该点中线Y坐标+SIN（左侧方位角）*边线至中线距离 右侧边线坐标： X=该点中线X坐标+COS（右侧方位角）*边线至中线距离 Y=该点中线Y坐标+SIN（右侧方位角）*边线至中线距离 圆曲线计算方法（HY～YH）中线 注：（ZY-YZ）同理，方位角=用直线方位角-待求点偏角 首先计算直线段坐标方位角（即ZH～JD坐标方位角），及HY点坐标。 求出缓圆点（HY）偏角=（LS*90）/（π* R）。 求待求点偏角=（L*90）/（π* R）。 其中： L=待求点至HY距离（里程）、R=圆曲线半径、LS =缓和曲线长。 待求点至HY点弦长=2* R*SIN（待求点偏角）。 待求点方位角=直线方位角±HY点偏角±待求点偏角，（曲线左转-偏角，曲线右转+偏角）。 待求点坐标： X=HY点X坐标+COS（待求点方位角）*弦长 Y=HY点Y坐标+SIN（待求点方位角）*弦长 圆曲线计算左右边线坐标 左侧方位角=（待求点方位角±偏角—边线与中线夹角）。 右侧方位角=（待求点方位角±偏角）+边线与中线夹角)。 左侧边线坐标： X=该点中线X坐标+COS（左侧方位角）*边线至中线距离 Y=该点中线Y坐标+SIN（左侧方位角）*边线至中线距离 右侧边线坐标： X=该点中线X坐标+COS（右侧方位角）*边线至中线距离 Y=该点中线Y坐标+SIN（右侧方位角）*边线至中线距离 缓和曲线计算方法（YH～HZ）中线 首先计算直线段坐标方位角（即ZH-JD坐标方位角），及YH点坐标。备用偏角公式：{30*L/

直线与双曲线位置关系

直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程 知识点1：直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系的判断 设直线y=kx+b ，双曲线x 2a 2－ y 2b 2 ＝1 (a >0，b >0)联立消去y 得Ax 2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B 2 －4AC 。 若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点； 若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点； 若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点； 直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 2.弦长问题 设直线l:y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x 1,y 1)，P2 (x 2,y 2)， 且由，消去y→ax 2+bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。 弦长公式：12||PP =1212x y y -=-（k 为直线斜率） 例题选讲： 例1：直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．求实数k 的取值范围； 解 (1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后，整理得(k 2-2)x 2+2kx+2=0.① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，

故????? k 2－2≠0， Δ＝(2k )2 －8(k 2 －2)>0，－2k k 2－2>0， 2 k 2 －2>0. 解得k 的取值范围是－2

交点法计算曲线

交点法计算曲线 在我们曲线计算种线元法和交点法最为常有，上次我们说到了线元法，今天说说交点法。让各位测量同胞研 究，学习，若有疑问请加QQ：7036384，或是进QQ群: 8465359(作者：像小强一样活着) 老规矩，还是先画个图 a是直线段，A点是直线与弧线的交点（弧线起点），我们还是设a的方位角356°59′15″，A点坐标为 X:3146290.239 Y:37442280.990 B点坐标为X:3146420.519 Y:37442332.702 弧线半径为168，我们可以求出圆心坐标。 X:3146290.239+cos(356°59′15″+90°0′0″)*168=3146299.068 Y:37442280.990+sin(356°59′15″+90°0′0″)*168=37442448.76 现在们以圆心向A点算方位角，得出方位角266°59′15″ 现在我们求第一个5米圆弧。求5米弧长对应的角度：5/168*2*π*360°=1°42′18.83″如图我们设弧AB长5米，我们先求出BB'的长度（过B点作AO的垂线，垂足B'） BB'=4.999259025 ≈4.9993 B'O=167.9256008≈167.926 现在我们可以计算B的坐标 从O往B X:3146299.068+cos(266°59′15″)*167.926+cos(266°59′15″+90°0′0″) *4.9993=3146295.235 Y:37442448.76+sin(266°59′15″)*167.926+sin(266°59′15″+90°0′0″) *4.9993=37442280.8

交点法、线元法坐标计算

3、交点法、线元法坐标计算 坐标计算是根据图纸中“直线及曲线转角一览表”提供的数据计算道路中桩坐标，然后和图纸提供的“逐桩坐标表”比对，如果一样则说明输入平曲线参数输入正确，可以计算边桩坐标和其他结构物坐标了；如果中桩坐标不一样，一般是平曲线参数输入有误，需要重新检查输入，另一种结果是图纸有错，这种情况少见，但不代表没有。“直线及曲线转角一览表”和“逐桩坐标表”见附件1、附件2。 线元法是以路线的起点坐标、方位角、起终点桩号等节点元素来计算出要求的坐标；交点法是以路线的交点要素和路线的主要要素来求得坐标。 ①交点法 交点：路线的转折点，路线改变方向是相邻两直线的延长线相交的点。用JD表示，有些图纸上用IP表示。看下图： 交点是针对曲线的（包含圆曲线和缓和曲线），一段曲线就有一个交点。交点参数有：坐标（X,Y）、交点桩号、转角值、圆曲线半径R、缓和曲线长度。 教学提供软件（轻松测量、双心软件、测量工具）交点法曲线要素输入说明： 1、QD起点坐标： 起点坐标必须在直线段上，或填写前一交点的坐标。 2、JD交点曲线要素： （1）交点桩号 （2）交点坐标（X,Y） （3）曲线半径R （4）第一缓和曲线长度LS1,若为0,输入0,不能为空。 （5）第二缓和曲线长度LS2,若为0,输入0,不能为空。 3、ZD终点坐标： 终点坐标也必须在直线段上，或填写后一交点的坐标。 检核数据是否输入正确的方法： 软件生成的圆曲线要素中切线长、外距、交点里程：注意校正起点里程、等与设计图纸是否一致。如果上述数据和图纸不一样，请认真检查有错误的交点处的数据输入是否正

确，如果输入没有错误，请考虑是否包含不完整缓和曲线，使用公式A2=R*Ls检查是否包含不完整缓和曲线。如果包含不完整缓和曲线，那就需要用线元法也叫积木法计算了。 有的设计院给出的直曲表是整条设计线路的直曲表的一部分，以其中某个交点作为起始点的话，起始里程有时候需要校正，当然，并不是每个图纸给出的起点里程都需要校正，大多数图纸的起点里程已经被设计院校正过，我们输入平曲线的时候需要验证一下。如果我们按照图纸给出的起点里程输入，发现后面的交点里程都和图纸相差一个相同的值，这就表明我们输入的起点里程需要校正。 起始点里程正常输入，第二、三个交点输入完成后，检查第二个交点的切线长和交点里程是否和图纸一样，如果切线长正确，交点里程不正确，说明起点里程需要校正，将第二个交点的里程与正确里程的差值，应用到起点里程中，从而使第二个交点里程和后面交点的里程与图纸吻合。 注意：交点法计算坐标适用的平曲线为对称或不对称缓和曲线、圆曲线。对于非普通的三单元曲线，交点法不适用。非普通的三单曲线例如下页的JD18及JD19处的平曲线，为非普通的三单元曲线，交点法不适用该类曲线的坐标计算，故只能采用线元法进行坐标计算。 备注：具体坐标计算参见P62页第六讲轻松、双心操作方法及教学视频。 ②线元法 线元法特点：线型随意组合、里程可间断。 线元法参数：开始里程、结束里程、起始坐标、起始方位角、半径、转向。 当添加下一个线元的时候，软件会自动将上一线元的结束点作为下一线元的开始点，因此添加下一线元时，软件会自动显示起始里程、起始坐标、起始方位角，当然这些数据你可以自己修改。有时候软件自动生成的起始坐标、起始方位角和图纸上有稍微差别，你可以手动修改成和图纸一样的数据，这样便于减小累计误差，增大计算精度。 数据检验方法：可以根据下一线元自动生成的起始坐标、起始方位角来判断上一线元的输入是否正确，有的图纸给的方位角数据较少，需要每隔几个线元才能检验方位角。 注意：图纸给提供的都是“直线及曲线转角表”，对于新手不容易直接输入软件，建议大家先自己分解，自己画草图，如下图：

圆锥曲线与方程 知识点详细

椭圆 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意：若)(2121 F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的 轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程 1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=； 2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=； 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示： 221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 。 3、椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴 为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对 称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆 122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<>），且已知椭 圆的准线方程为2 a x c =±，试推导出下列式子：（提示：用三角 函数假设P 点的坐标e PM PF PM PF == 2 21 1

公路路线的交点曲线计算法

公路路线的交点曲线计算法 摘要：本文介绍一种以曲线计算为内核的新的交点转角公路平曲线计算方法，适用于目前直曲线 混合法定线时任意复杂线形的计算机辅助设计计算，并以标准的“直线、曲线及转角表”形式输出设计 结果。 关键词：交点线元交点曲线计算法 1．前言 传统的公路平面敷设计算方法是以交点（JD）转角（α）为基础，以外距（E）为控制，通过求算 切线长（T）来计算平曲线要素及各主点桩号的，与此相应的平面设计表达便是路线“直线、曲线及转 角表”。这种表达方式除了具有直观、方便的特点以外，更为重要的是它体现出公路路线设计的两个面， 一是与之相适应直线加弯道的设计思路、定线方式、中线敷设和施工放样方法，另一个则是与汽车动力 学相关的各项道路几何指标，因而应该说是十分经典并为大家所习惯采用的。以后随着光电测距仪、全 站仪等先进的测量仪器的出现，公路中线敷设及施工放线广泛采用极坐标法，从而摆脱了对特定计算方 法的依赖，但对于较长距离的公路主线，传统的交点转角设计定线方法和“直线、曲线及转角表”的表 达方式，却仍是其他方法和方式所不能取代的。 然而，当路线因为受到限制而不得不采用，诸如不对称曲线、卵形曲线、复曲线、凸曲线、双卵形 曲线等复杂曲线，特别是需要曲线反算的情况下，采用传统的交点转角计算方法是很困难的。对于复杂 曲线的计算，大家一般采用了在传统方法的基础上，按曲线类型分别推导计算公式，并编写功能单一的 计算程序进行计算的方法。显然这种方法局限性大、程序功能单一，即使编写了针对不同类型曲线的许 多模块，也不能涵盖任意的线形组合和曲线类型等情况。 笔者通过设计工作实践和纬地道路辅助设计系统的研究开发，在许多技术人员熟知的传统交点转角 法布设平曲线的基础上，提出一种利用计算机进行平曲线计算的新交点转角法，该方法适用于任意复杂 线形的设计计算。 2．交点曲线计算法 该方法以适用于任意线元组合的复杂线形设计计算为目标，是以三种基本线元的统一参数模型为基 础约定，以三线元捆绑式结构为通用的单交点曲线模型的交点可组合的计算方法，有别于传统的交点转 角计算方法，暂称之为交点曲线计算法。

直线与圆锥曲线的交点

主备人： 审核： 包科领导： 使用时间： §4.3直线与圆锥曲线的交点 【学习目标】 解决简单的直线与圆锥曲线相交的问题 【学习重点】 直线与圆锥曲线相交 【学习难点】直线与圆锥曲线的各种位置关系 【使用说明与学法指导】 1.通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的学习目标。 2.用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案。 3.带*号的为选做题。 【自主探究】 直线与圆锥曲线位置关系 设直线方程A x +B y +C=0 , 圆锥曲线方程为F （x ，y ）＝0, A x + B y +C=0 由 ，消去（如消去y ）后得： F （x ，y ）＝0 02=++c bx ax 1. 当0≠a 时，设?ac b 42-= (1) 当?>0时，方程有 2 个解，直线与曲线 相交 ，有 2 个公共点。 （2）当?<0时, 方程有 个解，直线与曲线 ，有 个公共点。 （3）当?=0时, 方程有 个解，直线与曲线 ，有 个公共点。 2.当0=a 时，方程只有一个解. (1) 若圆锥曲线是双曲线，直线与双曲线的 平行（或重合），有一个交点（或 无交点）； （2）若圆锥曲线是抛物线，直线与抛物线的 平行（或重合），有一个交点。 【合作探究】 1、求过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线14 22 =-y x 的弦所在直线方程 2、已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6 （1）求椭圆方程。

（2）设直线2+=x y 交椭圆C 于A B 两点，求线段AB 的中点坐标 （3） 在（2）的条件下求线段AB 的长度。 【巩固提高】 1. 若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是 （ ） （A ）（315,315-） （B ）（315,0） （C ）（0,315-） （D ）（1,3 15--） 2.已知曲线C 上任意一点P 到两个定点()1F 和) 2 F 的距离之和为4． （1）求曲线C 的方程； （2）设过()0,2-的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且0OA OB ?= （O 为坐标原点）， 求直线l 的方程． 【课堂小结】________________________________________________________

精品教案：曲线的交点与轨迹

曲线的交点与轨迹 【知识网络】 1．掌握求曲线的交点的基本方法，进一步提高运算能力． 2．掌握求动点轨迹的基本步骤和常用方法． 3．了解部分曲线系方程的共同特征． 4．进一步体验数形结合等数学思想方法． 【典型例题】 [例1]（1）点M 到定点F （0，－4）的距离比它到直线y=5的距离少1，则点M 的轨迹方程是（ ） A ．y x 162-= B ．y x 162= C ．x y 162-= D ．x y 162 -= （2）曲线442 2=+y x 关于点M （3，5）对称的曲线方程是（ ） A ．()()410462 2 =+++y x B ．()()410462 2 =-+-y x C ．()()410462 2 =-++y x D ．()()410462 2 =++-y x （3）若△ABC 的三个顶点A ，B ，C 所对的三边a,b,c （a ＞b ＞c)成等差数列，A （－1，0），C （1，0），则顶点B 的轨迹方程是（ ） A ．22143x y += B ．22 143x y +=（x≠±2) C ．22143x y +=(x ＞0且x≠2) D ．22 143 x y +=(x ＜0且x≠－2) （4）两圆x 2＋y 2＋2x －3y ＋1=0, 2x 2＋2y 2＋x －4y=0公共点的直线方程是 ． （5）过直线4x －5y ＋1=0与直线x －y ＋2=0的交点，且平行与直线2x －3y=0的直线方程是 ． [例2] 动点A 、B 在直线x=－１上移动，设P(－4,0)，∠APB=60°，求△APB 外心的轨迹方程． [例3] 直线l ：y=kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2=1的右支交于不同的两点A ，B ，求实数k 的取值范围． [例4] 如图，A ，B 是两个定点，且|AB|=2，动点M 到A 的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于

曲线的交点

2．6.3 曲线的交点 [学习目标] 1.掌握求直线与圆锥曲线的交点坐标的方法.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系.3.进一步体会数形结合的思想方法． [知识链接] 1．直线与椭圆有几个交点？ 答：两个交点、一个交点和无交点． 2．直线与双曲线和抛物线何时仅有一个交点？ 答：直线与双曲线和抛物线相切或直线与双曲线渐近线平行以及直线与抛物线对称轴平行时仅有一个交点． [预习导引] 1．两曲线的交点个数与对应的方程组的实数解组数相同． 2．设斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则弦长P 1P 2＝1＋k 2|x 1－x 2|. 要点一 直线与圆锥曲线的交点问题 例1 k 为何值时，直线y ＝kx ＋2和曲线2x 2＋3y 2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？ 解 依题意得方程组????? y ＝kx ＋2， ①2x 2＋3y 2＝6， ② ①代入②整理得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0. ∵Δ＝(12k )2－4×6(2＋3k 2)＝24(3k 2－2)， ∴当3k 2－2>0，即k > 63或k <－6 3 时，直线与曲线有两个公共点； 当3k 2－2＝0，即k ＝±6 3时，直线与曲线仅有一个公共点； 当3k 2－2<0，即－ 63

规律方法 直线与圆锥曲线的公共点问题，往往解由直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组并消去x (或y )后，得到一个形式上为一元二次的方程，这个方程是否为二次方程要看二次项的系数是否为零(有时需讨论)，是二次方程时还要判断“Δ”与“0”的大小关系． 跟踪演练1 直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 分别相切、相交、相离？ 解 将直线l 和抛物线C 的方程联立????? y ＝kx ＋1， y 2＝4x ， ①② ①式代入②式，并整理，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. (1)当k ≠0时，是一元二次方程， ∴Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． 当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 相切． 当Δ>0，即k <1时，l 与C 相交． 当Δ<0，即k >1时，l 与C 相离． (2)当k ＝0时，直线l ：y ＝1与曲线C ：y 2＝4x 相交． 综上所述，当k <1时，l 与C 相交，当k ＝1时，l 与C 相切，当k >1时，l 与C 相离． 要点二 弦长问题 例2 顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线被直线x －2y －1＝0截得的弦长为15，求抛物线方程． 解 设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)， 由方程组????? x 2 ＝ay ， x －2y －1＝0. 消去y 得：2x 2－ax ＋a ＝0，∵直线与抛物线有两个交点， ∴Δ＝(－a )2－4×2×a ＞0，即a ＜0或a ＞8. 设两交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2，y 1－y 2＝1 2(x 1－x 2)， 弦长为AB ＝ (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2

圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系

圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

直线与圆锥曲线位置关系 一、基础知识： （一）直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点） 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定， 下面以直线y kx m =+和椭圆：()22 2210x y a b a b +=>>为例 （1）联立直线与椭圆方程：222222 y kx m b x a y a b =+??+=? （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：()2 22222b x a kx m a b ++=，整理可得： （3）通过计算判别式?的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与椭圆相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与椭圆相切 ③ 0?>为例： （1）联立直线与双曲线方程：222222 y kx m b x a y a b =+??-=? ，消元代入后可得：

（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2220a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为222b a k -，有可能为零。所以要分情况进行讨论 当2220b b a k k a -=?=±且0m ≠时，方程变为一次方程，有一个根。此时直线与双曲 线相交，只有一个公共点 当2220b b b a k k a a ->?-<<时，常数项为()22220a m a b -+<，所以0?>恒成立，此时直线与双曲线相交 当2220b b a k k a - 或b k a <-时，直线与双曲线的公共点个数需要用?判断： ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与双曲线相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与双曲线相切 ③ 0??-<<时，则2222122 22 0a m a b x x b a k +=-<-，所以12,x x 异号，即交点分别位于双曲线的左，右支

《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计

《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计

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《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计 昌黎汇文二中 李小庆 一、教学目的： 1.通过多媒体演示让学生掌握求直线与双曲线的交点个数的方法； 2.使学生认识到数形结合在解决问题中起到的重要作用。 二、教学重点和难点： 1. 直线与双曲线的交点个数的讨论； 2. 数形结合思想方法在解题中的应用 三、教学过程： 1、复习提问：双曲线的方程和性质 双曲线的标准方程 顶点 渐近线 焦点在x 轴上 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 12(,0),(,0)A a A a - b y x a =± 焦点在y 轴上 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 12(,0),(,0)B a B a - a y x b =± 思考问题：求双曲线12 2 =-y x 与下列直线的交点的个数： ①y=x+1 ②y= -x+1 ③12+= x y ④12+-=x y ⑤y=1.2x+1 ⑥y= -1.2x+1 ⑦y=1 ⑧y=2x+1 ⑨y= -2x+1 老师提示：在求双曲线与直线的交点个数时，请说出它们的位置关系。 ① 与②的答案：1 直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）。 ③与④的答案：1 直线与双曲线相切。 ⑤与⑥的答案：2 直线与双曲线相交，交点在一支上。 ⑦的答案：2 直线与双曲线相交，交点在两支上。 ⑧与⑨的答案：0 直线与双曲线相离。 （以上内容都有多媒体演示） 总结：当直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）或直线与双曲线相切时直线与双曲线有一个公共点。 例1：论直线y=kx+1与双曲线C: 122=-y x 公共点的个数。

B 知识讲解 直线与双曲线的位置关系(理)

直线与双曲线的位置关系 编稿：张希勇 审稿：李霞 【学习目标】 1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程； 2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题； 3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】 【要点梳理】 【高清课堂：双曲线的性质 371712一、复习】 要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义 在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 双曲线的标准方程： 焦点在x 轴上的双曲线的标准方程 说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程 双曲线 双曲线的定义与标准方程 双曲线的几何 性质 直线与双曲线的位 置关系 双曲线的综合 问题 双曲线的弦问题 双曲线离心率及渐近线问题 22 221(0,0) x y a b a b -=>>2 2 22 1(0,0)y x a b a b -=>>

说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2 要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值. 要点二、双曲线的几何性质 标准方程 22 2 21x y a b -=(0,0)a b >> 22 2 21y x a b -=(0,0)a b >> 图形 性质 焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c 焦距 2212||2()F F c c a b ==+ 2212||2()F F c c a b ==+ 范围 {}x x a x a ≤-≥或，y R ∈ {}y y a y a ≤-≥或，x R ∈ 对称 性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 轴 实轴长=a 2，虚轴长=2b 离心率 (1)c e e a = > 渐近线方程 x a b y ± = a y x b =± 要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22 221x y a b -=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x