中考圆知识点总结复习(教学课件)

圆

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内?d r

2、点在圆上?d r

=?点B在圆上；

3、点在圆外?d r

>?点A在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离?d r

>?无交点；

2、直线与圆相切?d r

=?有一个交点；

3、直线与圆相交?d r

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）?无交点?d R r

>+；

外切（图2）?有一个交点?d R r

=+；

相交（图3）?有两个交点?R r d R r

-<<+；

内切（图4）?有一个交点?d R r

=-；

内含（图5）?无交点?d R r

<-；

A

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD

⊥③CE DE

=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O中，∵AB∥CD

∴弧AC=弧BD

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①AOB DOE

∠=∠；②AB DE

=；

③OC OF

=；④弧BA=弧BD

七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB

∠和ACB

∠是弧AB所对的圆心角和圆周角

∴2

AOB ACB

∠=∠

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙O中，∵C

∠、D

∠都是所对的圆周角

∴C D

∠=∠

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直

角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O中，∵AB是直径或∵90

C

∠=?

∴90

C

∠=?∴AB是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC中，∵OC OA OB

==

B

D

B A

B A

O

∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=?

注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O 中， ∵四边ABCD 是内接四边形

∴180C BAD ∠+∠=? 180B D ∠+∠=?

DAE C ∠=∠

九、切线的性质与判定定理

1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线

2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理

切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长

相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =；PO 平分BPA ∠

十一、圆幂定理

1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ?=? 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径

所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =?

2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段

长的比例中项。

即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线

D

B

A

∴ 2PA PC PB =?

3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）。

即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线

∴PC PB PD PE ?=?

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：12O O 垂直平分AB 。

即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点

∴12O O 垂直平分AB

十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：12Rt O O C ?

中，2

21

AB CO =

（2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和

十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形

在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ?

中进行：::2OD BD OB =；

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在Rt OAE ?

中进行，::OE AE OA =

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在Rt OAB ?

中进行，::2AB OB OA =.

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：（1）弧长公式：180

n R

l π=；

l

O

（2）扇形面积公式： 21

3602

n R S lR π=

= n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积

2、圆柱：

（1）圆柱侧面展开图

2S S S =+侧表底=222rh r ππ+

（2）圆柱的体积：2V r h π=

3、圆锥侧面展开图

（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+

（2）圆锥的体积：21

3

V r h π=

十六、内切圆及有关计算。

（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（2）△ABC 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a ，AB=c ，则内切圆的半径r=2

c

b a -+ 。

（3）S △ABC =)(2

1

c b a r ++，其中a ，b ，c 是边长，r 是内切圆的半径。

（4

如图，BC 切⊙O 于点B ，AB 为弦，∠ABC 叫弦切角，∠ABC=∠D 。 C

C 1

D 1

考点一：与圆相关概念的应用

利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容，在复习中准确理解与圆有关的概念，注意分清它们之间的区别和联系.

1.运用圆与角（圆心角，圆周角），弦，弦心距，弧之间的关系进行解题

【例1】已知：如图所示，在△ABO中，∠AOB=90°，∠B=25°，以O为圆心，OA长为半径的圆交AB于D，求弧AD的度数.

【例2】如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOC=100°，则∠ABC的度数为（）.

Ａ. 30°Ｂ. 45°Ｃ. 50°Ｄ.

60°

2.利用圆的定义判断点与圆，直线与圆、圆与圆的位置关系

【例3】已知⊙O的半径为3cm，A为线段OM的中点，当OA满足：

（1）当OA=1cm时，点M与⊙O的位置关系是 .

（2）当OA=时，点M与⊙O的位置关系是 .

（3）当OA=3cm时，点M与⊙O的位置关系是 .

【例4】⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）.

Ａ. 相交Ｂ. 相切Ｃ. 相离Ｄ. 无法确定

【例5】两圆的半径分别为3cm和4cm，圆心距为2cm，那么两圆的位置关系是______________.

3.正多边形和圆的有关计算

【例6】已知正六边形的周长为72cm，求正六边形的半径，边心距和面积.

4.运用弧长及扇形面积公式进行有关计算

【例7】如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点

E，则阴影部分的面积为（结果保留）.

5.运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算

【例8】已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是 .

考点二：圆中计算与证明的常见类型

1.利用垂径定理解题

垂径定理及其推论中的三要素是：直径、平分、过圆心，它们在圆内常常构成圆周角、等分线段、直角三角形等，从而可以应用相关定理完成其论证或计算.

【例1】在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，夹角为30°，且分直径为1∶5两部分，AB=6，则弦CD 的长为 .

Ａ. 2Ｂ. 4Ｃ. 4Ｄ. 2

2.利用“直径所对的圆周角是直角”解题

“直径所对的圆周角是直角”是非常重要的定理，在解与圆有关的问题时，常常

添加辅助线构成直径所对的圆周角，以便利用上面的定理.

【例2】如图，在⊙O的内接△ABC中，CD是AB边上的高，求证：∠ACD=∠OCB.

3.利用圆内接四边形的对角关系解题

圆内接四边形的对角互补，这是圆内接四边形的重要性质，也揭示了确定四

点共圆的方法.

【例3】如图，四边形ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C＝45°，

AB＝2，则点B到AE的距离为________.

4. 判断圆的切线的方法及应用

判断圆的切线的方法有三种：

（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；

（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；

（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=3

4，D是线段BC的中点.

（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.

（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.

【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.

B

O

A

P

C

【例6】 如图，半圆O 为△ABC 的外接半圆，AC 为直径，D 为劣弧上一动点，P 在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP 是半圆O 的切线.

题库

一. 选择题：

1. ⊙O 的半径为R ，点P 到圆心O 的距离为d ，并且d ≥R ，则P 点 ［ ］ A.在⊙O 内或圆周上 B.在⊙O 外

C.在圆周上

D.在⊙O 外或圆周上

2. 由一已知点P 到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的半径为［ ］ A 、2或3 B 、3 C 、4 D 、2 或4

3.如图，⊙O 中，ABDC 是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC 的度数是［ ］

° ° ° °

4.在⊙O 中，弦AB 垂直并且平分一条半径，则劣弧AB 的度数等于［ ］ ° ° ° °

5.直线ａ上有一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径，则直线ａ与⊙O 的位置关系是［ ］ Ａ、相离 Ｂ、相切 Ｃ、相切或相交 Ｄ、相交 6、如图，ＰＡ切⊙O 于Ａ，ＰＣ交⊙O 于点Ｂ、Ｃ ，若PA ＝5，PB ＝B Ｃ，则ＰＣ的长是［ ］ Ａ、10 Ｂ、5 Ｃ、25 Ｄ、35

7．如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为1m 的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为［ ］ A ．

232+ B.233+ C.2

2

2+ D. 223+

8、已知两圆的圆心距是9，两圆的半径是方程2x 2

－17x+35=0的两根，则两圆有［ ］条切线。

A 、 1条

B 、2条

C 、3条

D 、4条

D E B A C O 9、如果等腰梯形有一个内切圆并且它的中位线等于20cm ，则梯形的腰长为［ ］

Ａ、１０ｃｍ Ｂ、１２ｃｍ Ｃ、１４ｃｍ Ｄ、１６ｃｍ

10、如图，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，且A O 1、A O 2分别是两圆的切线，A 是切点，若⊙O 1的半径r=3，⊙O 2的半径R=4，则公共弦AB 的长为［ ］ A 、2 B 、 C 、3 D 、

11、水平放置的排水管（圆柱体）截面半径是1cm ，水面宽也是1cm ，则截面有水部分（弓形）的面积是［ ］ A 、

B 、

C 、

D 、

或

二. 填空题：

长的一条弦所对的圆周角为90°，则此圆的直径为 。 13.在⊙O 中，AB 是直径，弦CD 与AB 相交于点E ，若 ，则CE=DE （只需填一个适合的条件）。 14.在圆内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C=5∶2∶1，则∠D= 。 15.若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是 。

16.如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于E 点，AB=120°，CD=70°则∠AEB= 。

17．已知两个圆的半径分别为8 cm 和3 cm ，两个圆的圆心距为7 cm ，则这两个圆的外公切线长为 。 18.如图，⊙O 中，弦AB ⊥弦CD 于E ，OF ⊥AB 于F ，OG ⊥CD 于G ，若AE=8cm ，EB=4cm ，则OG= cm 。

19. 已知圆锥的母线长为5厘米，底面半径为3厘米，则它的侧面积为 。 四.解答题

20.如图在△ABC 中，∠C=90°，点O 为AB 上一点，以O 为圆心的半圆切AC 于E ，交AB 于D ，AC=12，BC=9，求AD 的长。

21.如图在⊙O 中，C 为ACB 的中点，CD 为直径，弦AB 交CD 于点P ，又PE ⊥

CB 于E ，若BC=10，且CE ∶EB=3∶2，求AB 的长．

22.已知：如图，A 是以EF 为直径的半圆上的一点，作AG ⊥EF 交EF 于G ，又B 为AG 上一点，EB 的延长线

交半圆于点K ， 求证：EK EB AE ?=2

23.已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AE 是⊙O 的直径，CD 是△ABC 中AB 边上的高， 求证：AC ·BC=AE ·CD