最全面二次函数(最全的中考二次函数知识点总结(精华版)
第一部分 二次函数基础知识
相关概念及定义
2
2
y ax
bx c y ax
bx c
二次函数的概念：一般地，形如
a ，
b ，
c a ，b ，c 是常数， a 0 a 0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强 （ b ，c b ，c 可以为零．二
a 0 a 0 ，而 调：和一元二次方程类似，二次项系数 次函数的定义域是全体实数． 2
2
y ax
bx c y ax
bx c 的结构特征：
二次函数 x x 的二次式， x x 的最高次数是 ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量
2．
⑵ a ，b ，c a ，b ，c 是常数， a a 是二次项系数， b b 是一次项系数，
c 是常数
项．
二次函数各种形式之间的变换
2
2
y ax
bx c 用配方法可化成：
y a x h
k 的形式，其中
二次函数 2
b 2a
4ac 4a
b h
， k .
2 2
y ax y ax
k ；② ；
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① 2 2
2
y ax
bx c .
y
a x h y a x h
k ；⑤ ③ ；④ 二次函数解析式的表示方法 2
y ax
bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）；
一般式： 2
y a(x h) k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；
顶点式： y a(x x 1)( x x 2 ) x 1 ， x 2 是抛物线与 a 0 ， x 轴两交点的横坐标） . （ 两根式： 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函 2
x 轴有交点，即 b
4ac 0 时，抛物线的解
数都可以写成交点式，只有抛物线与
析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 .
2
y ax
bx c 图象的画法
二次函数 2
y ax bx c 五 点 绘 图 法 ： 利 用 配 方 法 将 二 次 函 数 化 为 顶 点 式
2
y a( x h)
k
，
确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， y 左 右 对 称 地 描 点 画 图 . 一 般 我 们 选 取 的 五 点 为 ： 顶 点 、 与 轴 的 交 点 0 ，c
0 ，c
0，c
0 ，c
2h ，c
、与 x 轴的交点
、以及
关于对称轴对称的点
x 1 ，0 x 1 ，0 x 2 ，0 x 2 ，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称
， 的点） .
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 交点 . x 轴的交点，与 y 轴的
y ax 2
的性质
二次函数 a a 的符号
开口方 向
对称 轴 y 顶点坐标 性质
y 轴
a 0 a 0
y y 随 0 ，0 0 ，0
x 0 x 0 时， x x 的增大而增 y y 随 x 0 x 0 时， x x 的增大而
大； 向上
y 0 时， y
有最小值
x 0 x 减小； 0 0 ．
y y 轴
a 0 a 0
y y 随 0 ，0 0 ，0
x 0 x 0 时， x x 的增大而减 y y 随 x 0 x 0 时， x x 的增大而
小； 向下
y 0 时， y 有最大值
x 0 x 增大； 0 0 ．
2
2
y ax c y ax
c 的性质
二次函数 a a 的符号
开口方 向
对称 轴 y 顶点坐标 性质
y 轴
a 0 a 0
y y 随 0 ，c 0 ，c
x 0 x 0 时， x x 的增大而增 y y 随 x 0 x 0 时， x x 的增大而 大； 向上
0 时， y 有最小值
c c ．
y x 0 x 减小； y y 轴
a 0 a 0
y y 随 0 ，c 0 ，c
x 0 x 0 时， x x 的增大而减
y y 随 x 0 x 0 时， x x 的增大而 小； 向下
y y 有最大值
x 0 x 0 时， 增大； c c ．
2
y a x h
的性质： 二次函数 a a 的符号
开口方 向
对称 轴
顶点坐标
性质
a 0 a 0
y y 随 h ，0 h ，0
x h x h 时， x x 的增大而增 y y 随 x h x h 时， x x 的增大而
大； 向上 X=h
y y
有最小值
x h x h 时， 减小； 0 0 ．
a 0 a 0
y y 随 h ，0 h ，0
x h x h 时， x x 的增大而减 y y 随 x h x h 时， x x 的增大而
小； 向下 X=h
y y 有最大值
x h x h 时， 增大； 0 0 ．
2
y a x h
k
的性质
二次函数 a a 的符号
开口方 向
对称 轴
顶点坐标 性质
a 0 a 0
y y 随 h ，k
h ，k
x h x h 时， x x 的增大而增 y y 随 x h x h 时， x x 的增大而
大； 向上 X=h
h 时， y 有最小值
y x h x 减小； k k ．
a 0 a 0
y y 随 h ，k h ，k
x h x h 时， x x 的增大而减 y y 随 x h x h 时， x x 的增大而
小； 向下 X=h
h 时， y
有最大值
y x h x 增大； k k ．
2
2
y ax
bx c y ax
bx c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点
.
抛物线 a 的符号决定抛物线的开口方向：当
a 0 时，开口向上；当 a 0 时，开口向
下；
a
相等，抛物线的开口大小、形状相同 .
b
2 a x
y y 对称轴：平行于 轴（或重合）的直线记作
. 特别地， 轴记作直线
x 0 .
2
b ， a
c 4 b （ ） 2a 4a 顶点坐标：
a 相同，那么抛
顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数，如果二次项系数 物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 .
2
y ax
bx c 中， a,b, c 与函数图像的关系
抛物线 a 二次项系数 2
2
y ax
bx c y ax
bx c 中， a 作为二次项系数，显然
a a 0 a 0 ．
二次函数 当 a 0 a 0 时，抛物线开口向上， a a 越大，开口越小，反之 a a 的值越小，
⑴ 开口越大；
当 a 0 a 0 时，抛物线开口向下， a a 越小，开口越小，反之 a a 的值越大，
⑵ 开口越大．
a a
a a 决定了抛物线开口的大小和方向， a a 的正负决定开口方向，
总结起来， 的大小决定开口的大小．
b b
一次项系数 a a 确定的前提下， b b 决定了抛物线的对称轴． 在二次项系数 a 0 a 0 的前提下，
⑴ 在 b
2a b 2a b
2a b 2a b 2a b 2a
0 0 y y 轴左侧； 当
b 0 b 0 时， ，即抛物线的对称轴在 0 0 y 轴；
y 当
b 0 b 0 时， ，即抛物线的对称轴就是
y y 轴的右侧．
当
b 0 b 0 时， ，即抛物线对称轴在 a 0 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即
⑵ 在 b
2a b 2a
y y 轴右侧；
当
b 0 b 0 时， ，即抛物线的对称轴在
b
2a b
2a b 2a b 2a
0 0 y y 轴；
当
b 0 b 0 时， ，即抛物线的对称轴就是
y y
轴的左侧．
当
b 0 b 0 时， ，即抛物线对称轴在 a a 确定的前提下， b b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结起来，在 总结：
c c
常数项 y y 轴的交点在 y y
轴交点 当 c 0 c 0 时，抛物线与 x x 轴上方，即抛物线与 ⑴ 的纵坐标为正；
y y y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的
当 c 0 c 0 时，抛物线与 ⑵ 0 0 ；
纵坐标为 y y y 轴的交点在 y
轴交点 当 c 0 c 0 时，抛物线与 x x 轴下方，即抛物线与 ⑶ 的纵坐标为负．
总结起来， y y
轴交点的位置．
c c 决定了抛物线与 a ，b ，c
a ，
b ，
c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
总之，只要 求抛物线的顶点、对称轴的方法
2
2
b 2a 4a
c 4a
b 2
y ax
bx c a x
， ∴ 顶 点 是
公 式 法 ：
2
b ， a
c 4 b
b 2a .
（ ） ，对称轴是直线
x 2a 4a 2
y a x h
k 的形式，
配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 h , k x
h .
得到顶点为 ( ) ，对称轴是直线 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴 的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 用待定系数法求二次函数的解析式
.
. 2
y ax
bx c . y 的值，通常选择一般
x 、 已知图像上三点或三对
一般式： 式 .
2
y
a x h
k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式
顶点式： .
x 1 x 2 x 轴 的 交 点 坐 标 、 ， 通 常 选
用 交 点 式 ： 交 点 式 ： 已 知 图 像 与 y a x x 1 x x 2 .
直线与抛物线的交点
2
y ax
bx c 得交点为 y 轴与抛物线 c ).
(0, 2
y ax
bx c y x h 轴 平 行 的 直 线 与 抛 物 线 有 且 只 有 一 个 交 点
与 2
h , ah
bh c ).
( 2
y ax
bx c x 轴的交点 : 二次函数 x 轴的两个交点的横
的图像与 抛物线与 2
ax
x 1 、
x 2 ，是对应一元二次方程
x
bx c 0 的两个实数根 . 抛物线与 坐标 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 抛物线与 x 轴相交；
①有两个交点
EMBED Equation.3
x 轴
上）
x 轴
②有一个交点（顶点在 抛物线与
EMBED Equation.3
相切； 抛物线与
x 轴相离 .
③没有交点
EMBED Equation.3
x 轴的直线与抛物线的交
点 平行于 可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设 ax
2
bx c k 的两个实数根 .
k 纵坐标为 ，则横坐标是
2
y kx n k 0 y ax
bx c a 0 l 的图像 与二次函数 的图
一次函数
y kx n
bx 2
y ax
c 像 G 的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两 l 与 G 有两个交点 ; ②方程组只有一组解
组不同的解时 EMBED Equation.3
l G 时
与 只有一个交点；③方程组无解时
EMBED Equation.3
EMBED
l 与 G 没有交点 .
Equation.3
2
y ax
bx c 与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线
x 轴两交点为
抛物线与
A x 1，0 ，
B x 2，0 2
ax x 1 、 x 2 是方程 bx c 0 的两个根，故
，由于 b
a
c a
x 1 x 2
, x 1 x 2 EMBED Equation.3
2
2
b a
4c a
b
4ac 2
2
AB
x x x x x x 4x x 1 2 1 2 1 2 1 2
a
a
二次函数图象的对称
:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
x 轴对称
关于
22
y ax bx c y ax bx c x x
关于轴对称后，得到的解析式是
22
y ax bx c y ax bx c
；
22
y a x h k y a x h k x x
关于轴对称后，得到的解析式是
22
y a x h k y a x h k
；
y y 轴对称
关于
22y
y ax bx c y ax bx c y
关于轴对称后，得到的解析式是
22
y ax bx c y ax bx c
；
22
y a x h k y a x h k y y
关于轴对称后，得到的解析式是
22
y a x h k y a x h k
；
关于原点对称
22
y ax bx c y ax bx c 关于原点对称后，得到的解析式是
22
y ax bx c y ax bx c
；
22
y a x h k y a x h k 关于原点对称后，得到的解析式是
22
y a x h k y a x h k
；
关于顶点对称
22
y ax bx c y ax bx c 关于顶点对称后，得到的解析式是
22
b b
22
y ax bx c y ax bx c
2 a 2a ；
22
y a x h k y a x h k
关于顶点对称后，得到的解析式是
22
y a x h k y a x h k
．
m，n m，n 对称
关于点
22
y a x h k y a x h k
m ，n m ，n
关于点对称后，得到的解析式是
22
y a x h2m 2n k y a x h2m 2n k
总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生 a a 变化，因此 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意 或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知 的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方 向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
二次函数图象的平移
平移步骤：
2
2
y a x h k y a x h
k ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐
h ，k
h ，k
标
；
2
2
h ，k
h ，k y ax y ax ⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体
平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax 2
y=ax 2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k|个单位
2
y=a(x-h)
2
y=a(x-h) +k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
平移规律
h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．
在原有函数的基础上“
概括成八个字“左加右减，上加下减”． 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 三点式。 3 2 3 2 3 ， 0）， B （ 3 ， 0 ）， C （ 0， -3 ）三
2
1 ，已知抛物线
y=ax +bx+c 经过 A （
点，求抛物线的解析式。 ２
2，已知抛物线 顶点式。
1，已知抛物线 2，已知抛物线 交点式。
1 ，已知抛物线与 式。
+4 ， 经过点 A （ 2， 3），求抛物线的解析式。
y=a(x-1)
2 2
y=x -2ax+a +b 顶点为 A （2， 1），求抛物线的解析式。
2
y=4(x+a) -2a 的顶点为（ 3， 1），求抛物线的解析式。
轴两个交点分别为（
3， 0 ） ,(5,0),
求抛物线 的解析
x y=(x-a)(x-b)
1 1
2 2 2，已知抛物线线与 轴两个交点（ 4， 0），（ 1， 0）求抛物线 的解
x y= a(x-2a)(x-b)
析式。
定点式。
1 ，在直角坐标系中，不论取何值，抛物线
a
1 25a
1 2
5a
22
y x x 2a 2
y x x 2a 2
2
2经过x 轴上一定点Q，直线y (a 2) x 2 y (a 2) x 2 经过点Q,求抛物线的解析式。
2
2，抛物线y= x +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线
式。
y=mx+m+4，求抛物线的解析
3，抛物线y=ax 2+ax-2 过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。
平移式。
2
1，把抛物线y= -2x 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到抛物线2+k, 求此抛物线解析式。
y=a( x-h)
22
y x x 3 y x x 3 向上平移, 使抛物线经过点
2，抛物线C(0,2), 求抛物线的解析式.
距离式。
2
1，抛物线y=ax +4ax+1(a ﹥0) 与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
2
2，已知抛物线y=m x +3mx-4m(m﹥0) 与x 轴交于A、B 两点，与轴交于 C 点，且AB=BC, 求此抛物线的解析式。
对称轴式。
22
1、抛物线y=x -2x+(m -4m+4) 与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的 2 倍，求抛物线的解析式。
2
2、已知抛物线交x 轴于A,B（点A 在点B 左边）两点，交y 轴于点C,且
y=-x +ax+4,
3 3
4
OB-OA=4 OC，求此抛物线的解析式。
对称式。
1，平行四边形ABCD对角线AC在x 轴上，
且A（-10 ，0），AC=16，D（2，6）。AD
交
y 轴
于E，将三角形ABC沿x 轴折叠，点
析式。B 到B1 的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解
2
2，求与抛物线
切点式。
y=x +4x+3 关于y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。
22
1，已知直线y=ax-a (a ≠0) 与抛物线y=mx 有唯一公共点，求抛物线的解析式。
2
2，直线y=x+a 与抛物线y=ax +k 的唯一公共点
判别式式。
A（2，1）, 求抛物线的解析式。
m+1）x 2+2(m+1)x+2=0
1、已知关于X 的一元二次方程（有两个相等的实数根，求抛物线
2
y=-x +(m+1)x+3 解析式。
2
2、已知抛物线
3、已知抛物线的顶点在x 轴上, 求抛物线的解析式。
y=(a+2)x -(a+1)x+2a
2
y=(m+1)x +(m+2)x+1 与x 轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。
中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 ． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ； （3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】 （1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可； （2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可； （3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=，22 y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】
初三.二次函数知识点总结
二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项 系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结：
2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。 总结：
3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k
总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法 如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识 点总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初中数学二次函数知识点总结 原文阅读 I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A（x?，0）和 B（x ?，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P 在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．
初三数学 二次函数的大题
二次函数与四边形 一．二次函数与四边形的形状 例 1.（浙江义乌市）如图，抛物线y = x2-2x-3与 x 轴交A、B两点（A点在 B 点左侧），直线l 与抛物线交于 A、C两点，其中 C 点的横坐标为 2． （1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P 是线段AC上的一个动点，过P点作y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段PE 长度的最大值；A （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 例 1.解：（1）令y=0，解得x =-1或x = 3 ∴A（-1，0）B（3，0）； 将 C 点的横坐标x=2 代入y = x2- 2x - 3得y=-3，∴ C（2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E 的坐标分别为：P（x，-x-1）， E（（x, x -2x -3）∵P 点在E 点的上方，PE= （-x -1）- （x - 2x - 3）= - x + x + 2 19 ∴当x= 1时，PE的最大值= 9 3)存在4 个这样的点 F，分别是F1(1,0),F2(-3,0),F3(4+ 7，0),F4(4- 7,0) 7 练习1.（河南省实验区） 23．如图，对称轴为直线x = 7的抛物线经过点 A（6，0）和B（0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24 时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点E，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E x= A(6,0) x
中考数学复习专题二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．
总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
中考数学二次函数知识点总结
中考数学二次函数知识点总结 I. 定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存有如下关系：y=ax^2+bx+c (a, b, c为常数，a z0,且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，lal还能够决定开口大小，lal越大开口就越小,IaI 越小开口就越大. )则称y 为x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II. 二次函数的三种表达式 一般式：y=ax A2+bx+c (a, b, c 为常数，a z0) 顶点式：y=a(x-hF2+k[抛物线的顶点P (h, k)] 交点式：y=a(x-x)(x-x)[ 仅限于与x 轴有交点A(x, 0)和B( x, 0) 的抛物线] 注：在 3 种形式的互相转化中,有如下关系： h=-b/2a k=(4ac-bA2)/4a x,x=(- b±V bA2-4ac)/2a III. 二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=xA2 的图像,能够看出,二次函数的图像是一条抛物线。 IV. 抛物线的性质 1. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a 。 对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物 线的对称轴是y 轴(即直线x=0)
2. 抛物线有一个顶点P,坐标为：P（-b/2a , （4ac-"2）/4a）当-b/2a=0 时，P在y轴上；当△二b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3. 二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。 当a>0时，抛物线向上开口；当a v0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 4. 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab> 0）,对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab v 0）,对称轴在y轴右。 5. 常数项c 决定抛物线与y 轴交点。 抛物线与y 轴交于（0, c） 6. 抛物线与x 轴交点个数 △=b A2-4ac >0时，抛物线与x轴有2个交点。 △=bA2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 △=bA2-4ac v 0时，抛物线与x轴没有交点。 X的取值是虚数（x=-b±V bA2 —4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a） V. 二次函数与一元二次方程 特别地,二次函数（以下称函数）y=axA2+bx+c, 当y=0 时,二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程）,即 axA2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
二次函数基础典型经典题型(全面超好)
二次函数精讲基础题型 一认识二次函数 1、y=mx m2+3m+2 是二次函数，则m 的值为（ ） A 、0，-3 B 、0，3 C 、0 D 、-3 2、关于二次函数y=ax 2 +b ，命题正确的是（ ） A 、若a>0,则y 随x 增大而增大 B 、x>0时y 随x 增大而增大。 C 、若x>0时，y 随x 增大而增大 D 、若a>0则y 有最大值。 二简单作图 1在一个坐标系内做出2 x y =，12 +=x y ，12 -=x y ，2 )1(-=x y ，2 )1(+=x y 你发现了什么结论 2同样的在同一个坐标系内做出2 x y -=，2 2x y -=，12 --=x y ， 12+-=x y 2)1(--=x y ，2)1(+-=x y 的图像，你又发现了什么结论，并且与上一题的 图像比较的话，你又有什么样新的发现 3 已知抛物线y x x =-+1235 2 2，五点法作图。 2、已知y=ax 2 +bx+c 中a<0，b>0，c<0 ，△<0，画出函数的大致图象。 三，二次函数的三种表达形式，求解析式 1求二次函数解析式： （1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）； （2）顶点M （-1，2），且过N （2，1）； （3）与x 轴交于A （-1，0），B （2，0），并经过点M （1，2）。
2 抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线x +=20，且在x 轴上截取长度为22的线段，求解析式。 3、根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 （1）当x=3时，y 最小值=-1，且图象过（0，7） （2）图象过点（0，-2）（1，2）且对称轴为直线x=2 3 （3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0） （4）当x=1时，y=0;x=0时,y= -2，x=2 时，y=3 （5）抛物线顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10） 三 图像与a,b,c 的符号之间的关系 1、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象是抛物线，其开口方向由_________来确定。 2、 已知y=ax 2 +bx+c 的图象如下，则：a _____0，b _____0，c _____0，a+b+c_______0， a-b+c__________0。2a+b________0， ac b 42 -_________0 3．已知函数c bx ax y ++=2 的图象如图 1－2－11所示，给出下列关于系数a 、b 、 c 的不等式：①a ＜0，②b＜0，③c＞0，④2a ＋b ＜0，⑤a ＋b ＋c ＞0．其中正确的不等式的序号为___________- 4．已知抛物线c bx ax y ++=2 与 x 轴交点的横坐标为－1，则a ＋c=_________.
中考二次函数大题综合训练(附答案)
2 1、如图，抛物线 y x bx c 与x 轴交与A （1,0）,B （- 3 ，0）两点， （1 ）求该抛物线的解析式； （2 ）设（ 1 ）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在 点 Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请 说明理由 . 2、（2009 年兰州） 如图 17 ，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 . （1）直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标； （2）求这条抛物线的解析式； （3）若要搭建一个矩形“支撑架” AD- DC- CB ， 使 C 、D 点在抛物线上， A 、B 点在地面 OM 上， 则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 二次函数综合训练 6 米， 底部宽度 OM 为 12 米. 现以 O 点为原点， OM
y 3 x 6 y 5x 3、如图，直线4分别与 x轴、y轴交于 A、B两点，直线4与AB 交于点 C，与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D．点 E从点 A 出 发，以每秒 向左运动．过点 E 作 x 轴的垂线，分别交直线 AB 、OD 于 P、Q 两点， 形 PQMN ，设正方形 PQMN 与△ACD 重叠部分（阴影部分）的面 积为 运动时间为 t （秒）． 1 ）求点 C 的坐 标．（ 1 分） 2）当 0 二次函数知识点总结及典型题目 一.定义： 一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点. 二.二次函数2ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0 二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：（上加下减） 3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有 2020 年中考二次函数与几何图形 1.中考相似三角形 2.中考线段中的动点问题 目录 中考复习战略汇集 (1) 二次函数与几何图形 (2) 模式1：平行四边 形 (2) 模式2：梯 形 (4) 模式3：直角三角 形 (6) 模式4：等腰三角 形 (8) 模式5：相似三角 形 (10) 模拟题汇编之动点折叠问题 (11) 二次函数与几何图形 模式 1：平行四边形 分类标准：讨论对角线 例如：请在抛物线上找一点 p 使得 A 、B 、C 、P 四点构成平行四边形，则可分成 以下几种情况 （ （ （ 1）当边 AB 是对角线时，那么有 AP // BC 2）当边 AC 是对角线时，那么有 AB //CP 3）当边 BC 是对角线时，那么有 AC // BP 1 、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m ，△AMB 的面积为 S. 求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值； (3)若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=－x 上的动点，判断有几个位置能 使以点 P 、Q 、B 、0 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标. 2 、如图，抛物线 y x 2 2x 3与 x 轴相交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与 y 轴相交于点 C ，顶点为 D ． （ （ 1）直接写出 A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； 2）连结 BC ，与抛物线的对称轴交于点 E ，点 P 为线段 BC 上的一个动点，过 点 P 作 PF//DE 交抛物线于点 F ，设点 P 的横坐标为 m ． ① 用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为 平行四边形？ ② 设△BCF 的面积为 S ，求 S 与 m 的函数关系． 二次函数题 选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） A B C D 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y 初三数学二次函数知识点总结 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小. 当a＞0时,二次函数图像向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口. |a|越大,则二次函数图像的开口越小. 1、决定对称轴位置的因素 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置. 当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜ 0 ）,对称轴在y轴右. 事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到. 2、决定二次函数图像与y轴交点的因素 常数项c决定二次函数图像与y轴交点. 二次函数图像与y轴交于（0，c) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。Array 2. 2 =+的性质：上加下减。 y ax c 1. 二次函数的定义: 2、 二次函数的解析式三种形式 与y 轴交点坐标（0，c ） （1）二次函数y=ax 2 （a z 0）的图象是一条抛物线， 其顶点是原点，对称轴是 y 轴；当a >0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当 a v 0时，抛物线开 口向下，顶点是取咼点； 2 ⑵二次函数?' 1 :二' b_ h_ 当a >0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且 x >-二：，y 随x 的增大而增大，x v -二：， y 随x 的增大而减小；当a v 0时，抛物线开口向下，图象有最高点 Aac-b 1 b — X 二— I ;当a v 0时，当 二时，函数有最大值 4ac-b 2 4盘 4.二次函数 y=ax2+bx+c （a 丰0）的各项系数 a 、b 、c 对其图象的影响 （1） a 决定抛物线的开口方向和开口大小： a >0,开口向上；a v 0，开口向下.|a 的 越大，开口越小. b X ----- （2） a 与 b 决定抛物线对称轴的位置： a 、 b 同号，抛物线的对称轴（即 直线 ）或顶点在y 轴左侧; i x ----- a 、 b 异号，抛物线的对称轴（即直线 一二）或顶点在y 轴右侧；（左同右异）； b=0时，抛物线的对称轴是 y 轴. （3） c 决定抛物线与y 轴交点（0, c ）的位置：c >0,抛物线与y 轴交于正半轴；c v 0,抛物线与y 轴交于负 半轴；c=0,抛物 二次函数 2 形如r ' - ■'0, a, b , c 为常数）的函数为二次函数 般式 y=ax 2 +bx+c( a 丰 0) -------------- 1 2 顶点式| y = a(x - h) + k b 2 4a c — b 2 两根式 y = a(x -x j (x -x 2 ) 3、二次函数 对称轴: b 2a 顶点坐标： (b 4ac-b 2) 2a' 4a 增减性：当a>0时，对称轴左边, 当a<0时，对称轴左边, y 随x 增大而减小；对称轴右边, y 随x 增大而增大；对称轴右边, y 随x 增大而增大 y 随x 增大而减小 b 71 — -- ⑶当a >0时，当 丄；时，函数有最小值 二次函数压轴题精讲 1．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 例1. 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴的交点分 别为A、B，将∠对折，使点O的对应点H落在直线上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线的交点为T，Q为线段上一点，直接写出﹣的取值范围． 2．如图，直线2与抛物线26（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线 段上异于A、B的动点，过点P作⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△为直角三角形时点P的坐标． 二次函数总结及相关典型题目 二次函数知识点总结及相关典型题目 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ， 那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0二次函数知识点总结及典型题目
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