正弦型函数的图像及应用教案

龙文教育数学学科导学案（第15 次课）

教师:郑俊朝学生: 年级:高一日期: 12月16日星期: 时段:

课题正弦函数的图像及应用

学情分析学生已经学习了三角函数的图像和性质，三角函数图象的平移变换是一个难点，学生刚刚学习，需要及时加强巩固。

教学目标与

考点分析

1．掌握正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象变换；

2．结合平移变换理解y＝A sin(ωx＋φ)的性质及简单应用；

3．掌握y＝sin x到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种变换途径．

教学重点图象的三种变换方法是本节课的重点

教学方法导入法、讲授法、归纳总结法

学习内容与过程

基础梳理

1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示

x

0－φ

ω

π

2－φ

ω

π－φ

ω

3π

2－φ

ω

2π－φ

ω

ωx＋φ0

π

2

π

3π

2

2πy＝A sin(ωx＋φ)0A0－A0

2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤

3．当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝

2π

ω叫做

周期，f ＝1

T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相． 4．图象的对称性

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π

2，k ∈Z )成轴对称图形． (2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形． 一种方法

在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m

2，ω由周期T 确定，即由2π

ω＝T 求出，φ由特殊点确定． 一个区别

由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|

ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意

作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；

(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．

双基自测

1．y ＝2sin )42(π

-x 的振幅、频率和初相分别为( )．

A ．2，1π，－π4

B ．2，12π，－π4

C ．2，1π，－π

8 D ．2，12π，－π

8

2．已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ))2

|(|π

?<的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T

和初相φ分别为( )．

A ．T ＝6π，φ＝π

6 B ．T ＝6π，φ＝π

3 C ．T ＝6，φ＝π

6

D ．T ＝6，φ＝π

3

3．函数y ＝cos x (R x ∈)的图象向左平移π

2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．

A ．－sin x

B ．sin x

C ．－cos x

D ．cos x

4．设ω＞0，函数y ＝sin )3(π

ω+x ＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是

( )．

A ．23

B ．43

C ．3

2 D ．3

5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.

考向一 作函数)sin(φω+=x A y 的图象

【例1】设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ))02

,0(<<->?π

ω的最小正周期为π，且23

)4(=πf .

(1)求ω和φ的值；

(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．

【训练1】 已知函数f (x )＝3sin )4

21(π

-x ，x ∈R .

(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象

考向二求函数y＝A sin(ωx＋φ)的解析式

解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．

【例2】(2011·江苏)函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．

【训练2】已知函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜π

2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．

(1)求f(x)的表达式；

(2)试写出f(x)的对称轴方程．

考向三函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用

利用三角函数图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的1

2个最小正周期，去求解参数ω

的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx＋φ的范围，即把ωx＋φ看作一个整体．

【例3】已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜π

2)的图象与x轴的交点中，相

学生对本次课的小结及评价

1、本次课你学到了什么知识

2、你对老师下次上课的建议

⊙特别满意⊙满意⊙一般⊙差学生签字：课后练习：（具体见附件）

课后小结

教师签字：

审阅签字: 时间:

教务主任签字: 时间:

龙文教育教务处

正弦函数的图像教学设计

正弦函数的图像教学设计 同济二附中 钱嵘 一、教材分析 《正弦函数的图象》是高中《数学》第四章第八节的内容，其主要内容是正弦函数、余弦函数的图象与性质。过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学习过三角函数线，在此基础上学习过正弦函数、余弦函数的图象与性质，为今后对正切函数的图象、sin()y A x ω?=+函数图象的研究打好基础。因此，本节的学习有着极其重要的地位。 二、教学目标 （1）利用正弦线探究正弦函数的图象； （2）学习使用“五点作图法”画正弦函数、余弦函数的简图； （3）在教师引导下，学生在探究活动中培养观察能力、分析能力、归纳能力、表达能力;培养数形结合和化归转化的数学思想方法； 三、教学重点难点 教学重点：画正弦函数、余弦函数的图象 教学难点： (1)、利用单位圆画正弦函数图象； (2)、利用正弦函数图象和诱导公式画出余弦函数图象。 四、教学方法 1．教学方法 教学形式是为教学内容服务的，不同的教学形式会产生不同的效果.以“开放、多样、互动”为主旨的教学形式必然使教学过程丰富多彩.以学生为中心，在整个教学过程中由教师起组织者，指导者的作用，在教师的引导下,创设情景，通过开放性问题的启发学生思考,在思考中发挥学生的主动性、创造性，最终达到使学生有效的对所学知识自主建构.本节采用建构主义学习环境下的启发式教学模式. 2．学习方法 建构主义认为，学习并非学生对于教师所授予知识的被动接受，而是以其自身己有的知识和经验为基础的主动建构.教学过程的实质是学生主动探索、主动建构的过程.本节课引导学生采用以下两种学习方式： (1)．交流合作的学习方式： 学生与学生之间交流、合作、探究,实践学习任务. (2)．归纳总结的学习方式： 学生由具体的演示过程，分析归纳，并从中抽象出数学方法与结论. 3．教学过程： 1. 课堂教学中，积极运用现代化教学手段，充分地发挥多媒体的形象性，直观性，同时也充分利用传统教学手段，在教学中体现教学手段的多样式，为学生的发展提供科学地、有效地保障.图文并茂的表现形式使学生更易理解.本节课利用多媒体演示“正弦函数的几何作图法”以及图象变换. 设计意图: 通过课件演示突破利用单位圆画正弦函数图象这一难点.培养学生观察能力、分析能力. 2. 五点法作正弦函数的图像，提问学生怎么作正弦函数的图像，取几个点描点，为什么取5个点，取那5个点等等。 设计意图: 注意渗透由抽象到具体的思想，促进学生数学思想方法的形成，引导学生确

正弦函数的图像(导学案)

§5正弦函数y＝sinx的图像导学案 班级：__________ 小组：___________姓名：_____________ 学习目标: 一．【三维目标】 1.知识与技能 （1）了解正弦线； （2）了解并理解利用单位圆画正弦函数的图像； （3）掌握正弦函数图像的“五点作图法”。 2.过程与方法 体会周期性在画函数y＝sinx图像过程中的应用，从图像中进一步分析验证诱导公式的正确性。 2、情感态度与价值观 通过从单位圆和图像两个不同角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。 二.【学习重点、难点】 重点:“五点作图法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图像；难点: 利用单位圆画正弦函数图像。 预习案【课前预习，成竹在胸】 1.复习：正弦函数是一个周期函数，最小正周期是____，所以，关键就在于画出________上的正弦函数的图像。 2.预习： （1）正弦函数x x∈的图像叫做正弦曲线。 =，R y sin

（2）正弦线：①MP 是带有方向的线段，这样的线段叫有向线段．MP 是从M →P 。②不论哪种情况，都有MP ＝y ．③依正弦定义，有sin α ＝MP ＝y ，我们把MP 叫做α的正弦线．（如图1） (3)几何法的作图步骤。 ①建立直角坐标系，在y 轴左侧作单位圆,并把⊙O 十二等分 ②过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0、6π、3π、 2π 、……、π2角的正弦线 ③将x 轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6.28) ○4取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合 ○5描点连线得y=sinx x ∈[0,2π]的图像 ○ 6利用周期性画出y=sinx （x ∈R ）的图像（如图2） （图1） （图2） （4）五点作图法： 在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑 曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图。 我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法”，这五个关键点是： ___________________________，描出这五个点后，函数y=sinx ， α的终边 P M O x y

正弦函数的图像和性质教案

第11课时 【教学题目】§5.6.1正弦函数的图像和性质2——正弦函数的性质 【教学目标】 1.掌握正弦函数的性质； 2.会利用正弦函数的性质解答相关问题. 【教学内容】 1.正弦函数的性质； 2.利用正弦函数的性质解答相关问题. 【教学重点】 正弦函数的性质. 【教学难点】 利用正弦函数的性质解答相关问题. 【教学过程】 一、导课 回顾利用“五点法”作正弦函数的图像： 要求学生用“五点法”作函数x x f sin )(=在[0,2]π上的简图. 二、新授 正弦函数的性质 根据函数x x f sin )(=的图像，总结它的性质 ()0,0，,12π?? ???，(),0π，3,12π??- ??? ，()2,0π

三、例题讲解 例1、已知sin 4x a =-求a 的取值范围. 解：因为sin 1x ≤ 所以41a -≤ 即：141a -≤-≤ 解得：35a ≤≤ 故：a 的取值范围是[]3,5. 例2、求使得函数()sin 2f x x =取得最大值x 的集合，并指出最大值是多少？ 解：设2u x =，则使函数sin y u =取得最大值1的集合是 2,2u u k k Z ππ??=+∈???? ， 由 222x u k ππ== +， 得 4x k ππ= +. 故所求集合为,4x x k k Z ππ? ?=+∈???? ，函数()sin 2f x x =的最大值是1. 四、课堂练习 已知sin 3x a =-，求a 的取值范围． 五、课堂小结 （一）正弦函数的性质； （二）利用正弦函数的性质解答相关问题. 六、布置作业 （一）课本P128练习5.6.1第3题、第4题 ； （二）课本P130习题5.6 A 组第2题（1）、第4题（1）. 七、教学反思 本节课从知识上讲授了正弦函数的性质，即正弦函数的有界性、周期性、奇偶性、单调性.难点在于使学生学会应用正弦函数的性质解答相关问题.从上课和作业反映的情况来看，学生对正弦函数的有界性掌握较好，但对于奇偶性、单调性、周期性掌握的情况不太好，需要在以后的教学中继续加强指导和训练.

正弦函数的图像学案

1.4.1正弦函数、余弦函数的图像学案 学习目标 1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 30~ P 33，找出疑惑之处） 1.请在右图中分别作出角 3 611π π，的三角函数线。 2.遇到一个新的函数，画出它的图象，通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法，那么，面对一个新函数，一般采用什么方法画图象？ 3.如何在直角坐标系下描出点)3 sin ,3( π π ？ ①代数法：73.1314.3≈≈，π ②几何法：利用弧度与弧长的关系以及三角函数线 二、新课导学 ※ 预习探究 探究任务一：如何画正弦函数的图像？ 步骤一：如何画出正弦函数x y sin =在[]π2,0∈x 上的图像？ 1.在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线.； 2.在相应坐标系内，在x 轴上将区间[]π2,0分成12等份； 3.在相应坐标系内，将单位圆中12个角的正弦线进行右移到相应角的位置得到点列 ())12....3,2,1(sin ,=i x x i i 。. 4.通过刚才描点（x 0,sinx 0）,把一系列点用光滑曲线连结起来，你能得到什么？

步骤二：如何画出正弦函数x y sin =在R x∈上的图像？ 探究任务二：余弦函数的图像 x0ππx y cos = （2）方法2：用以前学过的诱导公式 cosx=________（用正弦式表示），你能根据这一关系利用x y sin =的图像画出y=cosx的图象吗？ 探究任务三：（1）观察所得正弦函数与余弦函数的图象，有五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？完成x x y sin = x y cos = （2）你能在同一个直角坐标系中画出x y x y cos , sin= =的图像吗？ 2 3π 2 π

教案正弦型函数的图像和性质

教案 正弦型函数的图像和性质 1．,,A ω?的物理意义 当sin()y A x ω?=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T π ω = 称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ω π = = ，称为振动的频率。x ω?+称为相位，0x =时的相位?称为初相。 2．图象的变换 例 ： 画出函数3sin(2)3 y x π =+的简图。 解：函数的周期为22 T π π= =，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再 函数3sin(2)3 y x π =+ 的图象可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所有点向左平移 3 π 个单位，得到sin()3y x π=+的图象上；②再把 图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到sin(2)3 y x π =+的图象；③再把图象上所有点 的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3 y x π =+的图象。 x y O π 3 π- 6 π- 53 π 2π sin(3 y x π =+ sin(2)3 y x π =+ sin y x = 3sin(23 y x π =+

一般地，函数sin()y A x ω?=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到： ①把正弦曲线上所有点向左（当0?>时）或向右（当0?<时）平行移动||?个单位长度； ②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。 即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。 问题：以上步骤能否变换次序？ ∵3sin(2)3sin 2()36y x x π π=+ =+，所以，函数3sin(2)3 y x π =+的图象还可看作 由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，得到函数sin 2y x =的图象； ②再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移6 π 个单位，得到函数sin 2()6y x π=+的 图象； ③再把函数sin2()6y x π =+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin 2() 6 y x π=+的图象。 3.实际应用 例1：已知函数sin()y A x ω?=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 所示，求函数的一个解析式。 又∵0A > ，∴A = 由图知 52632 T πππ=-= ∴2T π πω ==，∴2ω=， 又∵157()23612 πππ+=， ∴图象上最高点为7( 12 π ， ∴7)12π?=?+，即7sin()16π?+=，可取23 π?=-， 所以，函数的一个解析式为2)3 y x π =-． 2．由已知条件求解析式 例2： 已知函数cos()y A x ω?=+（0A >，0ω>，0?π<<） 的最小值是5-， 图x 3 3 π 56 π 3 O

人教版高中数学必修四《1.4.2正弦函数、余弦函数的性质》导学案

§1.4.2 正弦函数、余弦函数的 周期性 1.了解周期函数及最小正周期的概念. 2.会求一些简单三角函数的周期 . 一、课前准备 （预习教材P 34~ P 36，找出疑惑之处） 自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函数，余弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，引入一个新的数学概念——函数周期性. 二、新课导学 ※ 探索新知 问题1：观察下列图表从中发现什么规律？是否具有周期性？ 问题1：.如何给周期函数下定义？ 问题2：判断下列问题： （1）对于函数y=sinx x ∈R 有4sin )24sin( πππ=+成立，能说2 π是正弦函数y=sinx 的周期？

（2）2 )(x x f =是周期函数吗？为什么？ （3）若T 为)(x f 的周期，则对于非零整数)(,Z k kT k ∈也是 )(x f 的周期吗？ 问题3：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？ 问题4：最小正周期的含义；求,sin )(x x f =x x f cos )(=的最小正周期？ ※ 典型例题 例1: 求下列函数的周期： （1）x x f 2cos )(=； （2）)62sin( 2)(π-=x x g 变式训练:1. ⑴求)2cos()(x x f -= ⑵)62sin(2)(π-- =x x g 的周期 2.已知10 cos )(kx x f =，其中0≠k ，当自变量x 在任何两个整数间（包括整数本身）变化时，至少含有一个周期，求最小正整数k 的值.

正弦函数余弦函数的图象学案(人教A版必修4)

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 自主学习 知识梳理 1．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫做__________曲线和________曲线． (2)图象：如图所示． 2．“五点法”画图 步骤： (1)列表： x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 cos x 1 －1 1 (2)描点： 画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是________________________；画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________________． (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图． 3．正、余弦曲线的联系 依据诱导公式cos x ＝sin ????x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象， 只需把y ＝sin x 的图象向______平移π 2 个单位长度即可． 自主探究 已知0≤x ≤2π，结合正、余弦曲线试探究sin x 与cos x 的大小关系． 对点讲练 知识点一 利用“五点法”作正、余弦函数的图象 例1 利用“五点法”画函数y ＝－sin x ＋1(0≤x ≤2π)的简图．

回顾归纳作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法． 变式训练1利用“五点法”画函数y＝－1－cos x，x∈[0,2π]的简图． 知识点二利用三角函数图象求定义域 例2求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域． 回顾归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍． 变式训练2求函数f(x)＝cos x＋lg(8x－x2)的定义域． 知识点三利用三角函数的图象判断方程解的个数 例3在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x的解的个数． 回顾归纳三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用． 变式训练3求方程x2＝cos x的实数解的个数．

1.4《正弦函数、余弦函数的图象》导学案

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象 【学习目标】 1、通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法. 2、通过三角函数图象的三种画法：描点法、几何法、五点法,体会用“五点法” 作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象. 【学习重点】正弦函数、余弦函数的图象. 【学习难点】将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系. 【学习过程】 一、预习提案 1、借助单位圆中的正弦线在下图中画出正弦函数y=sinx, x∈[0,2π]的图象。 说明：使用三角函数线作图象时，将单位圆分的份数越多，图象越准确。在作函数图象时，自变量要采用弧度制，确保图象规范。

3、观察图象（正弦曲线），说明正弦函数图象的特点： ①由于正弦函数y=sinx 中的x 可以取一切实数，所以正弦函数图象向两侧 。 ②正弦函数y=sinx 图象总在直线 和 之间运动。 4、观察正弦函数y=sinx, x ∈[0,2π]的图象，找到起关键作用的五个点： ， ， ， ， 6、①函数?（x+1）的图象相对于函数?（x ）的图象是如何变化的？ ②函数y=sin （x+ 2π）的图象相对于正弦函数y=sinx 的图象是如何变化的？ ③由诱导公式知：sin （x+2π）= ，所以函数y=sin （x+2 π）= ④请画出y=cosx 的图象（余弦曲线）

7、观察余弦函数y=cosx, x ∈[0,2π]的图象，找到起关键作用的五个点： ， ， ， ， 8、用“五点作图法”画出y=cosx, x ∈[-π,π]的图象。 二、新课讲解 例1、用“五点作图法”作出y=x sin , x ∈[0,2π]的图象；并通过猜想画出y=x sin 在整个定义域内的图象。 练习：用“五点作图法”作出y=x cos , x ∈[0,2π]的图象；并通过猜想画出y=x cos 在整个定义域内的图象。

1.4.1正弦,余弦函数的图像(教、学案)

1. 4.1 正弦函数、余弦函数的图象 班级 姓名 【教学目标】 1、通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法. 2、通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象. 【教学重点】正弦函数、余弦函数的图象. 【教学难点】将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余 弦函数图象间的关系. 【教学过程】 一、预习提案 （阅读教材第30—33页内容，完成以下问题：） 1、借助单位圆中的正弦线在下图中画出正弦函数y=sinx, x ∈[0,2π]的图象。 说明：使用三角函数线作图象时，将单位圆分的份数越多，图象越准确。在作函数图象时， 自变量要采用弧度制，确保图象规范。 3、 观察图象（正弦曲线），说明正弦函数图象的特点： ①由于正弦函数y=sinx 中的x 可以取一切实数，所以正弦函数图象向两侧 。 ②正弦函数y=sinx 图象总在直线 和 之间运动。

4、观察正弦函数y=sinx, x ∈[0,2π]的图象，找到起关键作用的五个点： ， ， ， ， ②函数y=sin （x+ 2π）的图象相对于正弦函数y=sinx 的图象是如何变化的？ ③由诱导公式知：sin （x+2π）= ，所以函数y=sin （x+2 π）= ④请画出y=cosx 的图象（余弦曲线） ， ， ， ，

二、新课讲解 例1、用“五点作图法”作出y=x sin , x ∈[0,2π]的图象；并通过猜想画出y=x sin 在整个定义域内的图象。 练习：用“五点作图法”作出y=x cos , x ∈[0,2π]的图象；并通过猜想画出y=x cos 在整个定义域内的图象。

正弦函数与余弦函数的图像教案

1.4.1正弦函数与余弦函数的图像 一、教学目标 （1）利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的形状； （2）根据关系)2 sin(cos π+=x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象； （3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题； 二、课时 1课时 三、教学重点 正弦函数和余弦函数的图象； 四、教学难点 将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系. 五、教具 多媒体、实物投影仪 六、教学过程 思路1.(复习导入)遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx 与y=cosx 的图象是怎样的呢?回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么?是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)?进而引导学生通过取值,画出当x ∈［0,2π］时,y=sinx 的图象. 思路2.(情境导入)请学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验.教师指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况. 有了上述实验,你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象?画函数的图象,最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象. 推进新课 新知探究 提出问题 问题①:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x 角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x ∈［0,2π］的精确图象呢? 问题②:如何得到y=sinx,x ∈R 时的图象? 活动:教师先让学生阅读教材、思考讨论,对于程度较弱的学生,教师指导他们查阅课本上的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象,怎样在x 轴上标横坐标?为什么将单位圆分成12份?学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解决了y=sinx,x ∈［0,2π］的图象,就很容易得到y=sinx,x ∈R 时的图象了. 对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分,再把x 轴上从0到2π这一段分

《正弦函数的图像》教学案

《正弦函数的图像》教学案 一、教学目标： 1、知识与技能 (1)进一步熟悉单位圆中的正弦线； (2)理解正弦诱导公式的推导过程； (3)掌握正弦诱导公式的运用； (4)能了解诱导公式之间的关系，能相互推导； (5)理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大(小)值、单调性、奇偶性； (6)能熟练运用正弦函数的性质解题。 2、过程与方法 通过正弦线表示α，－α，π－α，π＋α，2π－α，从而体会各正弦线之间的关系；或从正弦函数的图像中找出α，－α，π－α，π＋α，2π－α，让学生从中发现正弦函数的诱导公式；通过正弦函数在R上的图像，让学生探索出正弦函数的性质；讲解例题，总结方法，巩固练习。 3、情感态度与价值观 通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 二、教学重、难点 重点: 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。 难点: 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。 三、学法与教学用具 在上一节课的基础上，运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系，引发学生探索出正弦函数的诱导公式；通过例题和练习掌握诱导公式在解题中的作用；在正弦函数的图像中，直观判断出正弦函数的性质，并能上升到理性认识；理解掌握正弦函数的性质；以学生的自主学习和合作探究式学习为主。 教学用具:投影机、三角板 第一课时正弦函数诱导公式

一、教学思路 【创设情境，揭示课题】 在上一节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即sin(2kπ＋α)＝sinα (k ∈Z)，这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的正弦函数值。如果还能把0°～360°间的角转化为锐角的正弦函数，那么任意角的正弦函数就可以查表求出。这就是我们这一节课要解决的问题。 【探究新知】 1． 复习：(公式1)sin(360?k +α) = sin α 2． 对于任一0?到360?的角，有四种可能(其中α为不大于90?的非负角) (以下设α为任意角) 3.公式2： 设α的终边与单位圆交于点P(x ，y )，则180?+α终边 与单位圆交于点P’(-x ，-y )，由正弦线可知： sin(180?+α) = -sin α 4．公式3： 如图：在单位圆中作出α与－α角的终边， 同样可得： sin(-α) = -sin α， 5． 公式4：由公式2和公式3可得： sin(180?-α) = sin[180? +(-α)] = -sin(-α) = sin α， 同理可得： sin(180?-α) = sin α， 6．公式5：sin(360?-α) = -sin α 【巩固深化，发展思维】 x y o P’(x ,-y ) P M x y o P (x ,y ) P (--y ) [ [[[ ??? ????β∈βα-β∈βα+β∈βα-β∈βα=β为第四象限角 ），当为第三象限角）， 当为第二象限角）， 当为第一象限角，当 36027036027018018018090180) 900

人教a版必修4学案：1.4.1正弦函数、余弦函数的图象(含答案)

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 自主学习 知识梳理 1．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫做__________曲线和________曲线． (2)图象：如图所示． 2．“五点法”画图 步骤： (1)列表： x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 cos x 1 －1 1 (2)描点： 画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是________________________；画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________________． (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图． 3．正、余弦曲线的联系 依据诱导公式cos x ＝sin ????x ＋π 2，要得到y ＝cos x 的图象， 只需把y ＝sin x 的图象向______ 平移π 2 个单位长度即可． 自主探究 已知0≤x ≤2π，结合正、余弦曲线试探究sin x 与cos x 的大小关系． 对点讲练 知识点一 利用“五点法”作正、余弦函数的图象 例1 利用“五点法”画函数y ＝－sin x ＋1(0≤x ≤2π)的简图．

回顾归纳作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法． 变式训练1利用“五点法”画函数y＝－1－cos x，x∈[0,2π]的简图． 知识点二利用三角函数图象求定义域 例2求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域． 回顾归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍． 变式训练2求函数f(x)＝cos x＋lg(8x－x2)的定义域． 知识点三利用三角函数的图象判断方程解的个数 例3在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x的解的个数． 回顾归纳三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用． 变式训练3求方程x2＝cos x的实数解的个数．

正弦函数的图像与性质教案

《正弦函数的图像与性质》（第一课时）（教案） 神木职教中心 数学组 刘伟 教学目标：1、理解正弦函数的周期性； 2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图； 3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质； 4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间； 5、初步理解“数形结合”的思想； 6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等 教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像； 2、利用函数图像观察正弦函数的性质； 3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想 教学难点：正弦函数性质的理解和应用 教学方法：多媒体辅助教学、讨论式教学、讲议结合教学、分层教学 教学过程： Ⅰ 知识回顾 终边相同角的诱导公式： )(sin )2sin(Z ∈=+k k απα 所以正弦函数是周期函数，即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期，其中π2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为π2 Ⅱ 新知识 1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象 x y sin =，[]π2,0∈x （1）、列表

（2）、描点 （3）、连线 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…， [][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ，…与x y sin =，[]π2,0∈x 的图像相 同 2、正弦函数的奇偶性 由诱导公式x x sin )sin(-=-，R x ∈得： ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=- 所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称） 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得： 正弦函数在??????++- ππ ππ k k 22, 22 是增函数，在?? ? ???++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为[]1,1-

2019-2020学年高一数学 正弦函数图像1导学案.doc

2019-2020学年高一数学 正弦函数图像1导学案 学会用参数思想讨论()sin y A x ω?=+函数的图象变换过程，掌握图象变换与函数解析式的内在联系的认识，会用五点法作图。 二、文本研读 阅读教材P49——P50探究（一）回答下列问题 1、你能说出sin 3y x π??=+ ??? 和y=sinx 的关系？请把研究办法写出 2、请大家协同完成函数sin 4y x π??=- ?? ?的图象，并与y=sinx 的图象比较并与上面的到的结论的共同点写出 阅读教材P50——P51探究（二）回答下列问题 1、sin 2sin y x y x ==与图象的关系你知道吗？作图试验一下。

2、sin 2sin 33y x y x ππ? ???=+=+ ? ???? ?与的关系与上面一样吗？比较后写出结论 三、知识应用 1、完成下列各题 (1)y ＝s in(x ＋ 4 π)是由y ＝sin x 向_______平移_____-个单位得到的 (2)y ＝sin(x －4 π)是由y ＝sin x 向______平移________个单位得到的 (3)y ＝sin(x －4π)是由y ＝sin(x ＋4π)向______平移______个单位得到的 2、下列变换中，正确的是（ ）

A 将y ＝sin2x 图象上的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)即可得到 y ＝sin x 的图象 B 将y ＝s in2x 图象上的横坐标变为原来的2 1倍(纵坐标不变)即可得到 y ＝sin x 的图象 C 将y ＝－sin2x 图象上的横坐标变为原来的2 1倍,纵坐标变为原来的相反 数,即得到y ＝sin x 的图象 D 将y ＝－3sin2x 图象上的横坐标缩小一倍，纵坐标扩大到原来的 31倍， 且变为相反数，即得到y ＝sin x 的图象 4、把函数y ＝cos(3x ＋ 4π)的图象适当变动就可以得到y ＝cos(3x )的图象，这种变动可以是( ) A 向右平移4π B 向左平移4 π C 向右平移12π D 向左平移12π 四、实战演练 2．为了得到sin(3)4y x π=- 的图象，只要将sin 3y x =的图象（ ） A ．向左平移4π个单位 B 向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D 向右平移12π个单位 5、用图象变换的方法写出在同一坐标系内由y ＝sin x 的图象画出函数y ＝sin(2x+5 π)的图象的方法。 1.3sin().5y x C π=+已知函数的图象为()(1)3sin(),5(). ().5522(). (). 55y x C A B C D πππππ=-为了得到函数的图象只要把上所有的点向右平行移动个单位长度向左平行移动个单位长度向右平行移动 个单位长度向左平行移动个单位长度()3sin(2),51()2, (),21()2, (),2y x C A B C D π=+3.为了得到函数的图象只要把上所有的点横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变纵坐标伸长到原来的倍横坐标不变纵坐标缩短到原来的倍横坐标不变

正弦函数余弦函数图像教案及反思

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 教材分析 三角函数是基本初等函数之一，是描述周期现象的重要数学模型，是函数大家庭的一员。除了基本初等函数的共性外，三角函数也有其个性的特征，如图像、周期性、单调性等，所以本节内容有着承上启下的作用；另外，学习完三角函数的定义之后，必然要研究其性质，而研究函数的性质最常用、最形象直观的方法就是作出其图像，再通过图像研究其性质。 由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数,因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法.当然,我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图. 教学目标 1.通过简谐振动实验演示,让学生对函数图像有一些直观的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力. 2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象. 3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系,树立科学的辩证唯物主义观. 重点难点 教学重点:正弦函数、余弦函数的图象. 教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系. 教学用具：多媒体教学、几何画板软件、ppt控件 教学过程 导入新课 1.(复习导入)首先复习相关准备知识：三角函数、三角函数线。遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx与y=cosx的图象是怎样的呢?回忆我们是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)? 2.(物理实验导入)视频观看“简谐运动”实验.得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.有了上述实验,你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象?画函数的图象,最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象. 推进新课 新知探究 提出问题 问题①:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x∈［0,2π］的精确图象呢? 问题②:如何得到y=sinx,x∈R时的图象? 对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分,再把x轴上从0到2π这一段分

(公开课导学案)正弦函数余弦函数的图象学教案

§1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 时间_________ 班级__________组别__________姓名___________ 【预习案】 【学习目标及学法指导】 1．知识目标：（1）理解并掌握用正弦线作正弦函数图象的方法； （2）理解并熟练掌握用五点法作正弦函数简图的方法。 2．能力目标：培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力； 培养数形结合和化归转化的数学思想方法。 3．情感目标：发展学生的数形结合思想，使学生感受动与静的辩证关系； 培养学生合作学习和数学交流的能力；勇于探索、勤于思考的科学素养。4．教学方法：借助较先进的教学手段引导学生理解利用单位圆中的有向线段表示三角函数值的办法，画出正弦曲线，学生合作探究五点法，以学生自主学习合作探究为主。【学习重难点】 重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象以及五点法画正弦函数的图象。 难点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象； 【复习与预习】 1．正、余弦函数定义：_____________________________ 2．作出图中 的正弦线、余弦线，分别是：__________________ 3. 正弦函数y = sin x,x∈[0, 2π]的图象中，五个关键点是： 、、、、。 【我的困惑】___________________________________________教师备课栏或学生笔记 栏 【自学案】 【课前自学】 1.创设情境： 问题1：遇到一个新函数，我们自然要研究其性质，如：值域、单调性、奇偶性、最值等，而最直观的方法是什么？ 问题2：根据以往学习函数的经验，你准备采取什么方法作出正弦函数的图象？作图过程中有什么困难？ 2.大胆尝试：利用正弦线作出比较精确的正弦函数图象（其中x∈[0, 2π]）教师点拨或学生学习体 会

高中数学人教版必修4教案 1.4.2正弦函数余弦函数的性质(教、学案)

§1.4.2正弦函数余弦函数的性质 【教材分析】 《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。 【教学目标】 1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数 c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域 2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯． 3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦． 【教学重点难点】 教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。 教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有x x cos ,sin 的函数的值域 【学情分析】 知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。 心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。 【教学方法】 1．学案导学：见后面的学案。 2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 【课前准备】 1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。 2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 【课时安排】1课时 【教学过程】 一、预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 二、复 习导入、展示目标。 （一）问题情境 复习：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？ 生：描点法（几何法、五点法），图象变换法。并要求学生回忆哪五个关键点 引入：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？ 生：定义域、值域、单调性、周期性、对称性等 提出本节课学习目标——定义域与值域

【新教材】 新人教A版必修一 正弦函数,余弦函数的图象 教案

《正弦函数，余弦函数的图象》导学案 【学习目标】 （1）利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的形状；（2）根据关系)2sin(cos π+=x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象;（3)用“五点法"作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题； 【重点难点】 重点：：“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象； 难点：运用几何法画正弦函数图象。 【学法指导】 理解并掌握作正弦函数图象的方法,会用五点法作正余弦函数简图． 【知识链接】 1．正、余弦函数定义:____________________ 2．正弦线、余弦线：______________________________ 3。 10。正弦函数y=sinx ，x ∈［0，2π］的图象中,五个关键点是：、 、、、. 20。作cos y x =在[0,2]π上的图象时，五个关键点是、 、、、. 步骤:_____________，_______________，____________________. 三、提出疑惑 疑惑点 疑惑内容 【学习过程】 1.创设情境： 问题1：三角函数的定义及实质？三角函数线的作法和作用？ 问题2：根据以往学习函数的经验,你准备采取什么方法作出正弦函数的图象？作图过程中有什么困难? 2.探究新知:问题一:如何 作出 的图像呢?

问题二：如何得到的图象？ 问题三：这个方法作图象,虽然比较精确，但不太实用，如何快捷地画出正弦函数的图象呢？ 组织学生描出这五个点，并用光滑的曲线连接起来,很自然得到函数的简图，称为“五点法”作图。“五点法”作图可由师生共同完成 小结作图步骤： 思考：如何快速做出余弦函数图像？ 例1、画出下列函数的简图：y＝1＋sinx ，ｘ∈〔0，２π〕 解析：利用五点作图法按照如下步骤处理1、列表2、描点3、连线 变式训练：ｙ＝－cosx ,ｘ∈〔0，２π〕 【学习反思】 1、数学知识： 2、数学思想方法： 【基础达标】 画出下列函数的简图：(1） y=｜sinx｜，（2）y=sin|x| 思考:可用什么方法得到的图像? 【拓展提升】 1。用五点法作] yπ ∈ =的图象。 sinx, 2 2,0[ x 2.结合图象，判断方程x sinx=的实数解的个数.