概率论第一章习题解答(胡庆军)[1]

习题1 参考解答 ( P 25 )

1. 写出下列随机试验的样本空间及事件中的样本点: 1) 将一枚均匀硬币连续掷两次,记事件

=A {第一次出现正面}, =B {两次出现同一面}, =C {至少有一次正面出现}. 2) 一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取3只球. 记事件 =A {球的最小号码为1}.

3) 10件产品中有一件废品,从中任取两件,记事件=A {得一件废品}.

4) 两个口袋各装一个白球与一个黑球,从第一袋中任取一球记下其颜色后放入第二袋,搅均后再 从第二袋中任取一球.记事件=A {两次取出的球有相同颜色}. 5) 掷两颗骰子,记事件

=A {出现点数之和为奇数,且其中恰好有一个1点}, =B {出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点}.

答案:1) }),(),,(),,(),,({T T H T T H H H =Ω, 其中 :H 正面出现; :T 反面出现.

}),(),,({T H H H A =; }),(),,({T T H H B =;

}),(),,(),,({H T T H H H C =.

2) 由题意,可只考虑组合,则

?

?????=)5,4,3(),5,4,2(),5,3,2(),4,3,2(),5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(Ω;

{})5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(=A .

3) 用9,,2,1 号表示正品,10号表示废品.则

??????????????????=)10,9()10,8()10,2(,),4,2(),3,2()10,1(,),4,1(),3,1(),2,1( Ω;

{})10,9(,),10,2(),10,1( =A .

4) 记第一袋中的球为),(11b w ,第二袋中的球为),(22b w ,则

{}),(),,(),,(),,(),,(),,(112121112121b b b b w b w w b w w w =Ω; {}),(),,(),,(),,(11211121b b b b w w w w A =.

5) ???

?

??????????=)6,6(,),2,6(),1,6()6,2(,),2,2(),1,2()6,1(,),2,1(),1,1(

Ω;

{})1,6(),1,4(),1,2(),6,1(),4,1(),2,1(=A ;

?

?????=)6,6(),4,6(),2,6(),5,5(),3,5(),6,4(),4,4(),2,4(),5,3(),3,3(),6,2(),4,2(),2,2(B .

注: 也可如下表示:

???

??????

?????=)6,6()6,2(,),2,2()6,1(,),2,1(),1,1( Ω;

{})6,1(),4,1(),2,1(=A ;

{})6,6(),5,5(),6,4(),4,4(),5,3(),3,3(),6,2(),4,2(),2,2(=B .

2. 一个工人生产了n 个零件,以事件i A 表示“他生产的第i 个零件是正品”)1(n i ≤≤.试用n A A A ,,,21 表示下列事件:

1) 没有一个零件是次品； 2) 至少有一个零件是次品； 3) 只有一个零件是次品； 4) 至少有两个零件不是次品.

答案: 1) n i i A 1

=; 2) n

i i A 1

=; (亦即:全部为正品的对立事件)

3))]([1

1 n i n i

j j j i A A =≠=?; 4) )])(([)(1

11 n i n

i

j j j i n i i A A A =≠==??.

3.设A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: 1）A 发生;

2）只有A 发生;

3）A 与B 发生而C 不发生; 4）三个事件都发生;

5) 三个事件中至少有一个发生; 6) 三个事件中至少有两个发生; 7) 三个事件中恰好发生一个; 8) 三个事件中恰好发生两个; 9) 三个事件都不发生;

10) 三个事件中不多于两个发生; 11) 三个事件中不多于一个发生.

解:1) A ; 2) C B A ; 3) C AB ; 4) ABC ; 5) C B A ??; 6) BC A C B A C AB ABC ???

(AC BC AB ??= B A C A C B ??=) (等价说法:至少有两个不发生的对立事件);

7) C B A C B A C B A ??; 8) BC A C B A C AB ??; 9) C B A (=C B A ??);

10）ABC (=C B A ??)(等价说法:至少有一个不发生.);

11) C B A C B A C B A C B A ??? (=B A C A C B ??)(即:至少有两个不发生). 4. 试把事件n A A A ??? 21表示成n 个两两互不相容事件之并.

答案: n n A A A A A A A A A 11321211-???? .

5. 甲从2,4,6,8,10中,乙从1,3,5,7,9中各任取一数,求甲的数大于乙的数的概率. 解: 所有可能情况有2555=?种,所涉事件共有15种可能,则所求概率为 5

32515==

p . 6. 一批灯泡40只,其中3只是坏的,从中任取5只检查.试求: 1) 5只都是好的概率为多少? 2) 有2只坏的概率为多少?

解: 所有可能情况有???

??540种 (注:组合数 5

40

540C =??

? ??)!540(!5!40-?=,下同.),则所求概率为 1) ??? ????? ??=5405371p ; 2) ??

? ????? ?????? ??=540233372p . 7. 一栋10层楼中的一架电梯在底层上了7位乘客,电梯在每层都停,乘客从第二层起离开电梯,

设每位乘客在每层离开是等可能的.求没有2位乘客在同一层离开的概率.

解: 所有可能情况为7

9种,则所求概率为 77

99

A p =.

8.某城市的自行车都有牌照,其编号从00001到10000.偶然遇到一辆自行车,求其牌照中含有数字 8的概率.

解: 利用对立事件求概率的公式,所求概率为 44

10

91-=p .

9. 设甲袋中有a 只白球b 只黑球,乙袋中有c 只白球d 只黑球.在两袋中各任取一只球,求所得两

球颜色不同的概率.

解: 所有可能情况有))((d c b a ++种,则所求概率为 )

)((d c b a bc

ad p +++=

.

10. 设一个人的生日在星期几是等可能的.求6个人的生日都集中在一星期中的某两天但不在同一天的概率.

解: 所有可能情况为67种,则所求概率为 667

)

22(27-????

??=p .

11. 从n 双尺码不同的鞋子中任取r 2(n r <2)只,求下列事件的概率: 1) 所取r 2只鞋子中没有两只成对; 2) 所取r 2只鞋子中只有两只成对; 3) 所取r 2只鞋子恰好配成r 对.

解: 样本空间可考虑有??

?

??r n 22种可能结果,古典概型,则所求概率分别为

1) ?

?

?

????? ?????? ??=r n r n p r 22]12[221??? ?????? ??=r n r n r 22222;

2) ?

?

?

????? ?????? ??--???? ?????? ??=-r n r n n p r 22]12[221221222??? ??????? ??--=-r n n r n r 222

2212

2;

3) ?

?

?

????? ?????? ??=r n r n p r 22]

22[3??? ?????

??=r n r n 22.

12. 设有n 个人,每人都被等可能地分配到)(n N N ≥个房间中的任一间.求下列事件的概率: 1) 指定的n 间房里各住一人; 2) 恰有n 间房,其中各住一人.

解: 所有可能情况为n N 种,则所求概率分别为

1) n N

n p !

1=; 2) n N n n N p !

2???? ??=.

13. 甲乙两人从装有a 个白球与b 个黑球的口袋中轮流摸取一球,甲先摸,不放回,直至有一人取到

白球为止.求甲先摸到白球的概率.

解: 甲先摸到白球,则可能结果如下(注: 至多有限次摸球): W 甲,

W B B 甲乙甲,

W B B B B 甲乙甲乙甲,

W B B B B B B 甲乙甲乙甲乙甲,

① 当b 为偶数时,则所求概率为

211-+?

-+-?+++=b a a

b a b b a b b a a p 甲 4

332211-+?

-+-?-+-?-+-?++b a a

b a b b a b b a b b a b a a

a a

b a b b a b ?+?+-+-?+++112211

)2()1()1(1[-+?-+-++=b a b a b b b a a ])1()2()1(!a

a b a b a b ?+-+?-+++ . ② 当b 为奇数时,则所求概率为

甲p )2()1()1(1[-+?-+-++=b a b a b b b a a ])

1()2()1(!+-+?-+++a b a b a b .

14.从装有a 个白球,b 个黑球的袋中一次次地有放回摸球,直至摸到白球为止.求在偶数次摸到白

球的概率.

解: 记事件i B :表示第i 次摸到黑球; i W :表示第i 次摸到白球.则

事件{偶数次摸到白球}?=21W B ?4321W B B B ?654321W B B B B B . 故所求概率为

P {偶数次摸到白球}?=21(W B P ?4321W B B B )654321 ?W B B B B B

+=)(21W B P +)(4321W B B B P +)(654321W B B B B B P

b a a b a b +?+=

b a a b a b +?++3)( ++?++b a a b a b 5)( +?+?=1[)(2b a b a ])()(42 ++++b a b b a b b

a b 2+=. 15. 已知一个家庭有三个孩子,且其中一个是女孩,求至少有一个男孩的概率.(假设生男生女是等可能的.)

解: 在三个孩子的家庭中,样本点总数为823=种,记事件

=A {三个孩子的家庭中有女孩}, =B {三个孩子的家庭中至少有一个男孩}.

要求 =)|(A B P ? 由 )()()|(A P AB P A B P =

, 又 87)(=A P , 86

)(=AB P , 则 7

6

)|(=A B P .

16. 掷三颗骰子,已知所得的点数都不一样,求含有1点的概率.

解: A ?{掷三颗骰子,点数都不一样}, ?B {掷三颗骰子,有1点}. 要求 =)|(A B P ? 由 )()

()|(A P AB P A B P =

, 且 36456)(??=A P , 3

6

4

53)(??=AB P .

则 2

1

6/4566/453)|(33=????=A B P .

17.口袋中有12-n 只白球,n 2只黑球,一次取出n 只球,发现都是同色球,问这种颜色是黑色的概

率为多少?

解: 记事件}{个球为同一种颜色所取n A =, }{个球全为黑球所取n B =,

要求 =)|(A B P ?

则 )()()|(A P AB P A B P =??? ??-??? ??+??? ??-?

?? ??-??? ??=

n n n n n n n n n n 14]212[142 ??

? ??+??? ??-?

?? ??=n n n n n n 2122!!)!2()!1(!)!12(!!)!2(n n n n n n n n n ?+-?-?=

32=. 18. 设M 件产品中有m 件废品,从中任取两件.

1) 在这两件中有一件是废品的条件下,求另一件也是废品的概率; 2) 在这两件中有一件是正品的条件下,求另一件是废品的概率.

解: 1) 记事件},{有废品任取两件=A , },{均为废品任取两件=B ,则所求概率为

)

()()|(1A P AB P A B P p =

=)()

(A P B P = ??? ????? ??--??? ????? ??=22122M m M M m ??

? ??--??? ???

?? ??=222m M M m 121---=

m M m . 2) 记事件},{有正品任取两件=C ,},{有一正品一件废品任取两件=D ,则所求概率为

)()()|(2C P CD P C D P p ==)()(C P D P =??

?

????? ??-?

?

? ????? ?????? ??-=221211M m M m m M

??

? ??-??? ??-?=22)(m M m M m 12-+=

m M m . 19. 袋中有黑、白球各一个,一次次从中摸球,如果摸到白球,则放回白球,且再加入一个白球,直至摸到黑球为止.求摸了n 次都没有摸到黑球的概率.

解: 记事件i A :第i 次摸到白球, n i ,,2,1 =, 要求: =)(21n A A A P ? 由计算概率的乘法定理,则所求概率为

=)(21n A A A P )(1A P )|(12A A P ?)|(213A A A P ?)|(11-n n A A A P

1433221+????=

n n 1

1+=n .

20.n 个人依次摸彩(n 张票中有一张彩票),

1) 已知前1-k 个人)(n k ≤都没摸到,求第k 个人摸到彩票的概率; 2) 求第k 个人摸到彩票的概率.

解: 记事件=k A {第k 个人摸到彩票}, n k ,,2,1 =,

1) 所求概率为 =-)|(11k k A A A P 1

1

+-k n .

2) 由k k k A A A A A 121-= ,则

)()(121k k k A A A A P A P -=

)(1A P =)|(12A A P ?)|(211--k k A A A P )|(121-?k k A A A A P 1121121+-?+-+-??--?-=k n k n k n n n n n n

1=.

21.某射击小组有20名射手,其中一级射手4人,二级8人,三级7人,四级1人,各级射手能通过选

拔进入比赛的概率依次为0.9,0.7,0.5,0.2.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率. 解: 记事件=B {所选射手能进入比赛}, =i A {所选射手为第i 级}, 4,3,2,1=i . 已知 204)(1=

A P , 208)(2=A P , 207)(3=A P , 20

1)(4=A P , 9.0)|(1=A B P , 7.0)|(2=A B P , 5.0)|(3=A B P , 2.0)|(4=A B P .

用全概率公式,则所求概率为 ∑=?=4

1

)|()()(i i i A B P A P B P

2.020

1

5.02077.02089.0204?+?+?+?=

645.0=. 22. 有N 个口袋,每袋中有m 个黑球n 个白球,从第一袋中任取一球放入第二袋, 再从第二袋中任取一球放入第三袋,这样一直做下去,直至从第N 袋中取出一球.求:

1) 最后取出白球的概率;

2) 从第一袋中取出是白球的条件下,求最后取出白球的概率. 解: 记事件=i A {从第i 袋中取出白球}, N i ,,2,1 =.

1) n

m n

A P +=

)(1, )|()()(1212A A P A P A P ?=)|()(121A A P A P ?+

111++?

+++++?+=n m n

n m m n m n n m n n

m n +=, 归纳假设: n

m n

A P k +=)(, 则

)|()()(11k k k k A A P A P A P ++?=)|()(1k k k A A P A P +?+

111++?

+++++?+=n m n

n m m n m n n m n n m n +=. 所以 n

m n

A P N +=)(.

2) 要求:=)|(1A A P N ?

=)|(1A A P N )

()(11A P A A P N )()

()(11111A P A A A P A A A P N N N N --+=

)|()|()|()|(11111111A A P A A A P A A P A A A P N N N N N N ----?+?=

)|()|()|()|(111111A A P A A P A A P A A P N N N N N N ----?+?=

)]|(1[1)|(111111A A P n m n A A P n m n N N ---?+++?+++= )|(1

1111A A P n m n m n N -?+++++=, ,3,2=N

记1

1

++=

n m t ,则

)|(1A A P N )]|([11A A P n t N -+?=)]]|([[12A A P n t n t N -+?+?=

)|(1222A A P t t n t n N -?+?+?=

)|(11112A A P t t n t n t n N N ?+?++?+?=-- 112--+?++?+?=N N t t n t n t n ]1[21--+++?+=N N t t t n t

t

t nt t N N --+

=--1)1(11

. 23.甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉,它们的产量各占25%,35%,40%,并且在各自的产品中,废品各占5%,4%,2%.从它们的产品中任取一个恰好是废品,问此废品是甲、乙、丙生产的概率各为多少? 解: 记事件321,,A A A 表示所取产品分别是甲、乙、丙机器所生产;

事件=B {所取产品是废品}. 要求:=)|(B A P i ? (3,2,1=i ) 已知 25.0)(1=A P , 35.0)(2=A P , 40.0)(3=A P ,

05.0)|(1=A B P , 04.0)|(2=A B P , 02.0)|(3=A B P .

则 ∑=?=3

1)|()()(i i i A B P A P B P

02.04.004.035.005.025.0?+?+?=0345.0=.

由贝叶斯公式,则所求概率分别为

)|(1B A P )()(1B P B A P =

)()|()(11B P A B P A P ?=0345.005.025.0?=3623.06925

≈=,

)|(2B A P )()|()(22B P A B P A P ?=4058.06928

≈=,

)|(3B A P )()|()(33B P A B P A P ?=2319.069

16

≈=.

24.有朋友自远方来,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.如果他乘火

车、轮船、汽车,则迟到的概率分别是1/4,1/3,1/12;而乘飞机不会迟到.可他迟到了,问他是乘火车来的概率为多少?

解: 记事件4321,,,A A A A 分别表示朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来.

事件=B {朋友迟到}. 要求:=)|(1B A P ?

已知 3.0)(1=A P , 2.0)(2=A P , 1.0)(3=A P , 4.0)(4=A P ,

41)|(1=

A B P , 31)|(2=A B P , 12

1)|(3=A B P , 0)|(4=A B P . 则 ∑=?=4

1

)|()()(i i i A B P A P B P

04.012

1

1.031

2.041

3.0?+?+?+?

=15.0=. 由贝叶斯公式,则所求概率为

)|(1B A P )()|()(11B P A B P A P ?=5.015

.0413.0=?

=

. 25. 装有)3(≥m m 个白球和n 个黑球的罐子中丢失一球,但不知其颜色.现随机地从罐中摸取两

个球,结果都是白球,求丢失的是白球的概率.

解: 记事件=A {丢失白球},=B {任取两个球都是白球}.要求:=)|(B A P ?

由 )|()()|()()

|()()()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P ?+??==,

已知n m m A P +=)(, n

m n

A P +=)(,

)|(A B P ??? ??-+?

?? ??-=2121n m m )2)(1()2)(1(-+-+--=n m n m m m ,

)|(A B P ??

? ??-+?

?? ??=212n m m )2)(1()1(-+-+-=n m n m m m .

则所求概率为

=)|(B A P )2)(1()

1()2)(1()2)(1()

2)(1()

2)(1(-+-+-?

++-+-+--?+-+-+--?

+n m n m m m n m n n m n m m m n m m n m n m m m n m m

2

2

-+-=

n m m . 26.设n 个事件n A A A ,,,21 相互独立,且k k p A P =)(,n k ,,2,1 =,求下列事件的概率: 1) n 个事件全不发生; 2) n 个事件至少发生一个; 3) n 个事件恰好有一个发生.

解:1) )(21n A A A P ∏==n i i A P 1)(])(1[1∏=-=n i i A P ∏=-=n

i i p 1

)1(;

2) )(1 n i i A P =)(11 n

i i A P =-=)(121n A A A P -=∏=--=n

i i p 1

)1(1; 3) )}({11

n k

j j j n

k k A A P ≠==∑=≠==n k n

k

j j j k A A P 11)(

])(1()([1

1∑∏=≠=-?=n

k n k

j j j k A P A P ])1([1

1∑∏=≠=-?=n k n

k

j j j k p p .

27. 一架轰炸机袭击1号目标,另一架袭击2号目标,击中1号目标的概率为0.8,击中2号目标的概率为0.5,求至少击中一个目标的概率.

解: 记事件=i A {击中i 号目标}, 2,1=i .要求:=?)(21A A P ?

方法一: =?)(21A A P )()()(2121A A P A P A P -+

)()()()(2121A P A P A P A P ?-+= 90.05.08.05.08.0=?-+=.

方法二: =?)(21A A P )(121A A P ?-)(121A A P -=

)()(121A P A P ?-=

90.0)5.01()8.01(1=-?--=.

28. 如下列图,分别求所示系统能正常工作的概率,其中框图中的字母代表元件,各元件能否正常工作是相互独立的.字母相同而下标不同的都是同类元件,D C B A ,,,类元件的可靠性分别为

D C B A p p p p ,,,.

解: 分别以i i i D C B A ,,,表示对应元件能正常工作.则所求概率分别为 1) )(332211B A B A B A P ??)(1332211B A B A B A P ??-=

)(13

1

=-=i i i B A P )(13

1

∏=-=i i i B A P

)](1[131

∏=--=i i i B A P )]()(1[13

1

∏=?--=i i i B P A P

3

11)]()(1[1B P A P ?--=3)1(1B A p p ?--=.

2) ))((21D C B A D P ??)()()(21C B A P D P D P ????=

)](1[2C B A P p D ??-?=)](1[2C B A P p D -?=

)]()()(1[2C P B P A P p D ??-?= )]1()1()1(1[2C B A D p p p p -?-?--?=.

3) 方法一: )})(()({21212211B B A A C B A B A C P ????

)})(({)}({21212211B B A A C P B A B A C P ??+?=

)()()()()(21212211B B P A A P C P B A B A P C P ????+??=

)2()2()2()1(2222B B A A C B A

B A

C p p p p p p p p p p -?-?+?-??-=. 方法二: )(12212211CB A CB A B A B A P ???

))((12212211B A B A C B A B A P ???=

))(()()(12212211B A B A C P B A P B A P ?++=

))(())(()(1221221221112211B A B A C B A P B A B A C B A P B A B A P ?-?-- ))((12212211B A B A C B A B A P ?+

)()()()()()(12212211B A B A P C P B P A P B P A P ??+?+?=

)()()()()()(1212112211B A A B B A P C P B P A P B P A P ??-???- )()(212221B B A B A A P C P ??-)()(2121B B A A P C P ?+

]2[222B A B A C B A p p p p p p p -+=22B A p p -][22222B A B A B A C p p p p p p p -+-2

2B A C p p p +

A 1 A 2 A 3

B 3

B 2 B 1 B C

A

D 2

D 1

A 1

C

B 2

B 1

A 2

)22222(C B A C B C A B A C B A p p p p p p p p p p p p +---+=.

29.今有甲、乙两名射手轮流对同一目标进行射击,甲、乙命中的概率分别为21,p p ,甲先射,谁先命中谁得胜.问甲、乙两人获胜的概率各为多少?

解: 记事件=i A {第i 轮甲命中目标}, =i B {第i 轮乙命中目标}, ,2,1=i . 则 {甲获胜} ???=322112111A B A B A A B A A , 所以 =}{甲获胜P )(322112111 ???A B A B A A B A A P

+++=)()()(322112111A B A B A P A B A P A P

+????+??+=)()()()()()()()()(322112111A P B P A P B P A P A P B P A P A P +?-?-+?-?-+=12211211)]1()1[()1()1(p p p p p p p

)1()1(1211p p p -?--=2

1211

p p p p p ?-+=.

由于 {乙获胜} ???=332211221111B A B A B A B A B A B A , 所以 =}{乙获胜P )(332211221111 ???B A B A B A B A B A B A P

+++=)()()(332211221111B A B A B A P B A B A P B A P

+?-?-+?-?-+?-=22231222121)1()1()1()1()1(p p p p p p p p

)1()1(1)1(2121p p p p -?--?-=2

1212

1)1(p p p p p p ?-+?-=.

或: =}{乙获胜P }{1甲获胜P -212111p p p p p ?-+-=2

1212

1)1(p p p p p p ?-+?-=.

30.一个医生已知某种病患者的痊愈率为25%.为试验某种新药是否有效,把它给10名患者服用,并

规定至少有4名患者痊愈则认为新药有效,否则,认定新药无效.试求: 1) 虽然新药有效,且把痊愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率; 2) 新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率.

解: 一名患者痊愈的概率记为p , 10名患者痊愈的个数记为X ,则),10(~p b X . 1) 由题意知,35.0=p ,所求概率为 =}{通过试验被否定P }3{≤X P i i i i -=???

?

?

??=∑103

065.035.0105138.0≈. 2) 由题意知,25.0=p ,所求概率为

=}{通过试验被认定有效P }4{≥X P }3{1≤-=X P

i i i i -=????

?

??-=∑103

075.025.01012241.0≈.

概率论第一章课后习题答案

《概率论与数理统计》课后习题解答 习题一 3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件： （1）A 发生,B 与C 不发生; （2）A 与B 都发生,而C 不发生; （3）A ,B ,C 都发生; （4）A ,B ,C 都不发生; （5）A ,B ,C 中至少有一个发生; （6）A ,B ,C 中恰有一个发生; （7）A ,B ,C 中至少有两个发生; （8）A ,B ,C 中最多有一个发生. 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）ABC ； （4）C B A ； （5）C B A ； （6）C B A C B A C B A ++； （7）BC AC AB ； （8）BC AC AB 或C B C A B A ． 5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码． （1）求最小的号码为5的概率; （2）求最大的号码为5的概率. 解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得 （1）12 1)(31025==C C A P ； （2）20 1)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求： （1）任取3件产品恰有1件是废品的概率; （2）任取3件产品没有废品的概率; （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得

（1）0855.0)(3200 2194161≈=C C C A P ； （2）9122.0)(3200 31940≈=C C A P ； （3）0023.0)(3200 3611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率： A 表示“这三个数字中不含0和5” ； B 表示“这三个数字中包含0或5” ； C 表示“这三个数字中含0但不含5”． 解：由概率的古典定义得 157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；30 7)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ． 解：4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P )]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-== 3.0) 4.06.0 5.0(1=-+-= 10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ． 解：314.014.06.0)(1)()() ()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少? 解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为 3 19.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码．

李贤平 《概率论与数理统计 第一章》答案

第1章 事件与概率 2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =Y Y ； (3)C AB ?；(4)BC A ?. 3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和． 6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ； （2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ； （3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边； （2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。 11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码Λ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。

上海工程技术大学概率论第一章答案

习题一 2．设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7，P (A -B )=0.3，求P （ AB 解： P （AB ） =1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6。 3. 设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率。 解：因为 A B C A B ?,所以0()()P ABC P AB ≤≤，又 P （AB ）=0，则()0P ABC =， P （A ∪B ∪C ） =P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=34 。 4．将3个不同的球随机地放入4个杯子中去，求所有杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率。 解：设i A ={杯中球的最大个数为i }，i =1，2，3。 将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故 34 13C 3!3()84 P A == 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()164 P A ==，因此 213319()1()()181616 P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()164P A ==. 6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数，求下列事件的概率：(1) 这五个数字组成一个五位偶数；(2) 2和3都被抽到且靠在一起. 解（1）5105987648764190 P A ????-???==． （2）145102!876445 C P A ????==． 7．对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率；（2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 解：基本事件总数为57， （1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，所求事件包含基本事件的个数为1个，故 P （A 1）=517=51()7 ;

概率论第一章习题解答

00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”；

(3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？

第一章概率论习题解答附件

教 案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics ) Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用1A 、2A 、 3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标” ，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件： （1）只击中第一枪； （2）只击中一枪； （3）三枪都没击中； （4）至少击中一枪。 Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 1A 32A A 。 （2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A . （4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A . Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为 21,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值： （１）A 与B 互斥； （２）；B A ? （３）81)(=AB P ． Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -. （1） 因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)= 21 （2） 因为；B A ?所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -= 6 13121=-

《概率论与随机过程》第1章习题

《概率论与随机过程》第一章习题 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录 抽取的次数。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选 举的结果。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次 品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察 装球的情况。 （10） 测量一汽车通过给定点的速度。 （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1） A 发生，B 与C 不发生。 （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 （3） A ，B ，C 都发生。 （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。 （5） A ，B ，C 都不发生。 （6） A ，B ，C 中至多于一个发生。 （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。 （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，??????≤<=121x x A ，? ?????<≤=234 1x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，81)(=AC P ，求A ， B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？ （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取 出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ． 解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ； 法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；

(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ． 解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ． 解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．

第一章 概率论的基本概念习题答案

第三章 多维随机变量及其分布习题答案 3. 220,(1)(1),4,(,),0.5940, x y x y e e c F x y --<<+∞?--==? ? 其它 . 4. 2012.4(2),()0,X x x x f x ≤≤?-=??，其它201 2.4(34),()0,Y y y y y f y ≤≤?-+=? ? 其它. 5. ???=,0,4),(y x f ,),(其它G y x ∈???+=,0,48)(x x f X ,05.0其它<≤-x ?? ?-=, 0,22)(y y f Y 其它10<≤y . 6. (1) (|)(1),0,1,;,m m n m n P Y m X n C p p n m n -===-=≤否则(|)0P Y m X n ===; (2)(,)(1)/!,0,1,;,m m n m n n P Y m X n C p p e n n m n λλ--===-=≤否则(|)0P Y m X n ===. 7. 10. ⑴0y ≥时|0 ,(|)0 0,x X Y x e f x y x -≥?=?

11. ⑴放回抽样 ⑵ 不放回抽样 X 的条件分布律与上相同，再结合联合分布律可以看出: 放回抽样时独立，不放回抽样时不独立。 12. 1c = ; 当10x -<<时，|1/2,||(|)0, Y X x y x f y x -<-?=? ? 其它 ; 当| |1y <时，|1/(1||),1|| (|)0,X Y y x y f x y --<<-?=? ? 其它 . 13. ⑴ (2|2)5/16,(3|0)1/5P X Y P Y X ====== ； ⑶ ⑷ . ;0.375 . 16. ? ? ?<≥-=--00 ,0,)1()(6/3/z z e e z f z z Z . 17. ⑴(2)30 3!,()00,t T t t e f t t ->?=?≤? ；⑵(3)50()00,t T t t e f t t ->?=?≤?.

同济大学版概率论与数理统计——修改版答案

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A A B - （B ）()A B B ?- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则A B 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<

概率统计第一章答案

概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第一章 概率论的基本概念 教学要求： 一、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算． 二、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式． 三、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法． 重点：事件的表示与事件的独立性；概率的性质与计算． 难点：复杂事件的表示与分解；试验概型的选定与正确运用公式计算概率；条件概率的理 解与应用；独立性的应用． 练习一 随机试验、样本空间、随机事件 1.写出下列随机事件的样本空间 (1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子点数之和； (2)生产产品直到有5件正品为止，记录生产产品的总件数； (3)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：（1）{=Ω2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12 }; （2）{=Ω5；6；7；…}; （3）(){} 1,22≤+=Ωy x y x 2.设C B A ,,三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 与C 不发生，记为 C B A ； （2）C B A ,,至少有一个发生，记为C B A Y Y ； (3) C B A ,,中只有一个发生，记为C B A C B A C B A Y Y ； (4）C B A ,,中不多于两个发生，记为ABC ． 3.一盒中有3个黑球，2个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到黑

球}，,2,1=i 叙述下列事件的内涵： （1）21A A ={}次都取得黑球次、第第21. （2）21A A Y ={}次取得黑球次或地第21. （3）21A A ={}次都取得白球次、第第21 . （4）21A A Y ={}次取得白球次或地第21. （5）21A A -={}次取得白球次取得黑球，且第第21. 4.若要击落飞机，必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱，记1A ={击毁第1个发动机}；2A ={击毁第2个发动机}；3A ={击毁驾驶舱}；试用1A 、2A 、3A 事件表示=B {飞机被击落}的事件. 解：321A A A B Y = 练习二 频率与概率、等可能概型（古典概率） 1.若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 16 3)(=AC P , 求事件A 、B 、C 都不发生的概率. 解：由于 ,AB ABC ? 则 ()(),00=≤≤AB P ABC P 得(),0=ABC P 于是 ()()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=Y Y 16 9163414141=-++= 所以 ()().16 716911=- =-=C B A P C B A P Y Y 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P ===Y 求B A P (). 解：因为 ()()(),AB A P B A P B A P -=-=且,A AB ?则() ()().AB P A P B A P -= 又 ()()()(),r q p B A P B P A P AB P -+=-+=Y

概率论与数理统计复旦大学出版社第一章课后答案

第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A ，B ，C 都发生； （3） A ，B ，C （4） A ，B ，C 都不发生； （5） A ，B ，C （6） A ，B ，C 至多有1个不发生； 【解】（1） ABC （2） ABC （3）A B C (4) ABC =A B C (5) ABC (6) ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7, （1） 在什么条件下P （AB （2） 在什么条件下P （AB 【解】（1） 当AB =A 时，()()0.6P AB P A ==,()P AB 取到最大值为0.6. （2） 当A ∪B =Ω时，()()()()0.3P AB P A P B P A B =+-=,()P AB 取到最小值为0.3. 6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率. 【解】 因为P （AB ）=P （BC ）=0，所以P (ABC )=0， 由加法公式可得 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ = 14+14+13-112=34

概率论第一章答案

.1. 解：（正， 正）， （正， 反）， （反， 正）， （反， 反） A （正 ，正） ， （正， 反） .B （正，正），（反，反） C （正 ，正） ， （正， 反） ，（反，正） 2.解：(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解：(1) ABC ；(2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ； (4) ABC ABC ABC ；( 5) A B C ； (6) ABC ；(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ；(9) ABC 4. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中； 甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解：如图： 第一章概率论的基本概念习题答案

每次拿一件，取后放回，拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 （A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解： P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ；8C ； C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ；c

概率论与数理统计第一章习题解答

《概率论与数量统计》第一章习题解答 1、写出下列随机试验的样本空间： （1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。 （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。 解： （1）设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0，1，2，……，100n。故随机试验的样本空间S=｛i/n|i=0,1,2,……,100n｝。 （2）随机试验的样本空间S=｛10,11,12,……｝。 （3）以0表示检查到一个次品，1表示检查到一个正品，则随机试验的样本空间S=｛00，0100，0101，0110，0111，100，1010，1011，1100，1101，1110，1111｝。 （4）随机试验的样本空间S=｛（x,y）|x2+y2<1｝。 2、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B 与C都不发生。 （2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C中至少有一个发生。

（4）A，B，C都发生。 （5）A，B，C都不发生。 （6）A，B，C中不多于一个发生。 （7）A，B，C中不多于两个发生。 （8）A，B，C中至少有两个发生。 解： （1）A B C（2）AB C（3）A∪B∪C （4）ABC （5）A B C（6）A B C∪A B C∪A B C∪A B C （7）S-ABC （8）ABC∪AB C∪A B C∪A BC 3、（1）设A，B，C为三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P （AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。 （2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求A∪B，A B，A∪B∪C，A B C，A B C，A B∪C的概率。 （3）已知P（A）=1/2，（i）若A，B互不相容，求P（A B），（ii）若P（AB）=1/8，求P（A B）。 解： （1）因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0。故P（A∪B∪C）=P（A）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3/4-1/8=5/8。 （2）P（A∪B）=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15, P（A B）=1-P（A∪B）= 4/15, P（A∪B∪C）=P（A）

概率论课本作业第一章

第一章 1、一般事件（复合事件）：由不止一个样本点做成的事件。 以下哪些试验是随机试验。 （1）抛掷一枚硬币，观察出现的是正面在上还是反面在上； （2）记录某电话传呼台在一分钟内接到的呼叫次数； （3）从一大批元件中任意取出一个，测试它的寿命； （4）观察一桶汽油遇到明火时的情形； （5）记录一门炮向某一目标射击的弹着点位置。 ：（1）（2）（3）（5）是随机试验，（4）不是随机试验。2、写出下列随机试验的样本空间。 （1）抛掷一颗骰子，观察出现的点数； （2）抛掷二次硬币，观察出现的结果； （3）记录某汽车站在5分钟内到达的乘客数； （4）从一批灯泡中任取一只，测试其寿命； （5）记录一门炮向其目标射击的弹落点； （6）观察一次地震的震源； ： （1）{1,2,3,4,5}； （2）{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}；

（3）{0,1,2,3,4...} （4）,其中x表示灯泡的寿命； （5）,其中x、y分别表示弹着点的横坐标、纵坐标； （6）,其中x、y、z分别表示震源的经度、纬度、离地面的深度。 3、抛掷一个骰子，观察出现的点数。用A表示“出现的点数为奇数”，B表示“出现的点数大于4”，C表示“出现的点数为3”,D表示“出现的点数大于6”，E表示“出现的点数不为负数”， （1）写出实验的样本空间； （2）用样本点表示事件A、B、C、D、E； （3）指出事件A、B、C、D、E何为基本事件，何为必然事件，何为不可能事件。 : （1）{1,2,3,4}； （2）{1，3，5}，{5，6}，{3}，，{1，2，3，4，5，6}； （3）C为基本事件，E为必然事件，D为不可能事件。 1．先抛掷一枚硬币，若出现正面（记为Z）,则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F），则再抛一次硬币，试验停止，请写出样本空间。 1．答案：

概率论课后答案

习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. 解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}； (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }. 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生； (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2 3A A ； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标. 习题1-3 1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C)()()()P AB P A P B = . (D)()()()P A P AB P AB =+. 解 由文氏图易知本题应选(D). (2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C). 2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ). 解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= , 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =- 3. 已知() 0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB .

概率论~第一章习题参考答案与提示

第一章 随机事件与概率习题参考答案与提示 1． 设为三个事件，试用表示下列事件，并指出其中哪两个事件是互逆事件： C B A 、、C B A 、、（1）仅有一个事件发生； （2）至少有两个事件发生； （3）三个事件都发生； （4）至多有两个事件发生； （5）三个事件都不发生； （6）恰好两个事件发生。 分析：依题意，即利用事件之间的运算关系，将所给事件通过事件表示出来。 C B A 、、 解：（1）仅有一个事件发生相当于事件C B A C B A C B A 、、有一个发生，即可表示成C B A C B A C B A ∪∪； 类似地其余事件可分别表为 （2）或AC BC AB ∪∪ABC B A BC A C AB ∪∪∪；（3）；（4）ABC ABC 或C B A ∪∪；（5）C B A ；（6）B A BC A C AB ∪∪或。 ABC AC BC AB ?∪∪ 由上讨论知，（3）与（4）所表示的事件是互逆的。 2．如果表示一个沿着数轴随机运动的质点位置，试说明下列事件的包含、互不相容等关系： x {}20|≤=x x A {}3|>=x x B {}9|<=x x C {}5|?<=x x D {}9|≥=x x E 解：（1）包含关系： 、 A C D ??B E ? 。 （2）互不相容关系：C 与E （也互逆） 、B 与、D E 与。 D 3．写出下列随机事件的样本空间： （1）将一枚硬币掷三次，观察出现H （正面）和T （反面）的情况； （2）连续掷三颗骰子，直到6点出现时停止, 记录掷骰子的次数； （3）连续掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和； （4）生产产品直到有10件正品时停止，记录生产产品的总数。 提示与答案：（1）； {}TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH ,,,,,,,=?（2）； { ,2,1=?}（3）； {}18,,4,3 =?（4）。 { } ,11,10=?4．设对于事件有C B A 、、=)(A P 4/1)()(==C P B P , ， 8/1)(=AC P

大学概率统计试题及答案 (1)

)B= B (A) 0.15 B是两个随机事件， )B= (A) 0(B) B,C是两个随机事件

8.已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。设他们有Y 个儿子，如果生男孩的概率为0.5，则Y 服从 B 分布. (A) (01)- 分布 (B) (4,0.5)B (C) (2,1)N (D) (2)π 9.假设某市公安机关每天接到的110报警电话次数X 可以用泊松(Poisson)分布 ()πλ来描述.已知{49}{50}.P X P X ===则该市公安机关每天接到的110报警电话次数的方差为 B . (A) 51 (B) 50 (C) 49 (D) 48 10.指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为 则这种电器的平均寿命为 B 小时. (A) 500 (B) 1000 (C) 250000 (D) 1000000 11.设随机变量X 具有概率密度 则常数k = C . (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 1 12.在第11小题中, {0.50.5}P X -≤≤= D . (A) 14 (B) 34 (C) 1 8 (D) 38 13.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗骰子的点数之和(Z=X+Y)为6的概率为 C . (A) 336 (B) 436 (C) 5 36 (D) 636 14.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗 0.0010.001, 0()0, t e t f t -?>=? ?其它,01,()0, 其它. x k x f x +≤≤?=? ?