相似三角形分类整理(超全)
第一节：相似形与相似三角形
基本概念：1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，
我们称它们互为相似形。
I 2一1 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形 1 ?几个重要概念与性质(平行线分线段成比例定理
)
已知 a // b // c,
AB DE AB 或
可得BC EF AC
(2) 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边
A
D E
B
C
(或两边的延长线)所得的对应线段成比例
AD AE 十 BD EC 十 AD
或
或——
由 DE// BC 可得：DB EC AD EA AB 条件是平行? (3) 推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两
边
(或两边的延长线)所得的对应线段成比 例.
那么这条直线平行于三角形的第三边 ?
此定理给出了一种证明两直线平行方法
，即：利用比例式证平行线.
(4) 定理:平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线 ，所截的三角形的三边与原三角 形三边对应成比例?
(5 ［①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②比例线段：四条线段 a , b , c ,d 中, 如果a 与b 的比等于 c 与d 的比，即-=
c
b d
那么这四条线段a , b , c , d 叫做成比, 例线段,
简称比例线段。
2 ?比例的有关性质
①比例的基本性质： 如果 旦
_c ，那么 ad=bc 。如果 ad=bc ( a , b , c , d 都不等于 0),
b d
那么旦-。
(1)平行线分线段成比例定理
:三条平行线截两条直线 ,所得的对应线段成比例
DE~BC EF BC
或
或—— DF AB DF AC
AE
AC
.此推论较原定理应用更加广泛
丟或DE 云等.
b d
②合比性质：如果a
—，那么
a b c d
。
b d b d
a c
m ③ 等比性质：如果
=???= (b+d+???+ nz 0)，那么
b d
n
④ b 是线段a 、d 的比例中项，贝U b 2
= ad.
典例剖析
例1:①在比例尺是1: 38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约 7cm,则它的实际长
度约为 ______ Km.
② 若a =2
则a
一b
= ________________ .
b 3 b
③ 若
a
——= 9 贝H a : b= __________ .
2a b 5
3?相似三角形的判定 (1)
如果两个三角形的两角分
别于另一个三角形的两角对应相等，
那么这两个三角形相似。
(2) 两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
(3 )三边对应成比例的两个三角形相似。 补充：相似三角形的识别方法
(1) 定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。 (2) 平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边 (或两边的延长
线)相交，所构成的三角
形与原三角形相似。
注意：适用此方法的基本图形，
(简记为A 型，X 型)
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似。
(4) 两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。 (5) 两角对应相等的两个三角形相似。
(6) 一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。 (7) 被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。
【基础练习】
a c ??? m
b d ??? n
(1)如图1,当__________________________ 时，△ AB3 △ ADE
小结：此类图开为基本图开：兄弟型或 X 型
典例剖析
例1 :判断
① 所有的等腰三角形都相似. ② 所有的直角三角形都相似. ③ 所有的等边三角形都相似.
④ 所有的等腰直角三角形都相
( ( ( (
) ) ) )
例2：如图，△ ABC 中，AD 是/ BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交
AD 于E,交BC 的延长线于
求证：△ ABI △ CAF.
例 3:如图：在 Rt △ ABC 中， / ABC=90 , BD 丄 AC 于 D,若 AB=6 ; AD=2 则
AC= _______ ; BD= _________ ; BC= _________
例3：如图：在Rt △ ABC 中, / ABC=90 , BD 丄 AC 于 D ,若 E 是 BC 中点，ED 的
延长线交BA 的延长线于F , 求证：AB : AC=DF : BF
小结：以上三类归为基本图形：母子型或 A 型
(3) _________________________________________ 如图4,如图1,当AB// ED 时，则△ _____________________________________________________ s\ __________ 。_
(4) _____________________ 如图5,当 ____________时，则△ 。
第二节：相似三角形的判定
（一）相似三角形：定义
B
'
E
A
D