信息论与编码期末考试题(全套)..

一、判断题共 10 小题，满分 20 分.

1. 当随机变量X 和Y 相互独立时，条件熵)|(Y X H 等于信源熵)(X H . （ ）

2. 由于构成同一空间的基底不是唯一的，所以不同的基

底或生成矩阵有可能生成同一码集.

（ ） 3.一般情况下，用变长编码得到的平均码长比定长编码大得多. （ ） 4. 只要信息传输率大于信道容量，总存在一种信道编译码，可以以所要求的任意小的误差概率实现可靠的通

信.

（ ） 5. 各码字的长度符合克拉夫特不等式，是唯一可译码存

在的充分和必要条件. （ ） 6. 连续信源和离散信源的熵都具有非负性.

（ ） 7. 信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大，信宿

收到消息后对信源存在的不确

定性就越小，获得的信息量就越小. 8. 汉明码是一种线性分组码. （ ） 9. 率失真函数的最小值是0

. （ ）

10.必然事件和不可能事件的自信息量都是0.

（ ）

二、填空题共 6 小题，满分 20 分.

1

、

码

的

检

、

纠

错

能

力

取

决

于 .

2、信源编码的目的是 ；信道编码的目的是 .

3、把信息组原封不动地搬到码字前k 位的),(k n 码就叫做 .

4、香农信息论中的三大极限定理

是 、 、

. 5、设信道的输入与输出随机序列分别为X 和Y ，则),(),(Y X NI Y X I N N =成立的

条件 .

6、对于香农-费诺编码、原始香农-费诺编码和哈夫曼编码，编码方法惟一的是 .

7、某二元信源0

1()1/21/2X P X ????=???

?

????

，其失真矩阵00a D a ??

=????

，则该信源的max D = . 三、本题共 4 小题，满分 50 分. 1、某信源发送端有2种符号i x )2,1(=i ,a x p =)(1；接收端

有3种符号i y )3,2,1(=j ，转移概率矩阵为1/21/201/21/41/4P ??

=????. （1） 计算接收端的平均不确

定度()H Y ； （2） 计算由于噪声产生的不确定度(|)H Y X ；

（3） 计算信道容量以及最佳

入口分布. 2、一阶马尔可夫信源的状态转移图如右图所示， 信源X 的符号集为}2,1,0{.

（1）求信源平稳后的概率分布； （2）求此信源的熵； （3）近似地认为此信源为无记忆时，符号的概率分布为

平

稳分布.求近似信源的熵)(X H 并与H ∞进行比较. 4、设二元)4,7(线性分组码的生成矩阵为

?

?

???

????

???=1000101010011100101100001011G . （1）给出该码的一致校验矩阵，写出所有的陪集首和与之相对应的伴随式；

（2）若接收矢量)0001011(=v ，试计算出其对应的伴随式S 并按照最小距离译码准则 试着对其译码.

（二）

一、填空题（共15分，每空1分）

图2-13

1、信源编码的主要目的是 ，信道编码的主要目的是 。

2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是 ，二是 。

3、三进制信源的最小熵为 ，最大熵为 。

4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为 。

5、当 时，信源与信道达到匹配。

6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为

和 。 7、根据是否允许失真，信源编码可分为

和 。

8、若连续信源输出信号的平均功率为2σ，则输出信号幅度的概率密度是 时，信源具有最大熵，其值为值 。

9、在下面空格中选择填入数学符号“,,,=≥≤?”或“?”

（1）当X 和Y 相互独立时，H （XY ） H(X)+H(X/Y) H(Y)+H(X)。

（2）()()

1222H X X H X = ()()12333

H X X X H X =

（3）假设信道输入用X 表示，信道输出用Y 表示。在无噪有损信道中，H(X/Y) 0,

H(Y/X) 0,I(X;Y) H(X)。

三、（16分）已知信源

1234560.20.20.20.20.10.1S s s s s s s P ????=????????

（1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分） （2）计算平均码长L ;（4分）

（3）计算编码信息率R ';（2分）

（4）计算编码后信息传输率R ;（2分） （5）计算编码效率η。（2分）

四、（10分）某信源输出A 、B 、C 、D 、E 五种符号，每一个符号独立出现，出现概率分别为1/8、1/8、1/8、1/2、1/8。如果符号的码元宽度为0.5s μ。计算： （1）信息传输速率t R 。（5分）

五、(16分)一个一阶马尔可夫信源，转移概率为

()()()()1121122221

|,|,|1,|033

P S S P S S P S S P S S ====。

(1) 画出状态转移图。(4分)

(2) 计算稳态概率。(4分)

(3) 计算马尔可夫信源的极限熵。(4分) (4) 计算稳态下1H ,2H 及其对应的剩余度。(4分)

六、设有扰信道的传输情况分别如图所示。试求这种信道的信道容量。

X Y

七、(16分)设X 、Y 是两个相互独立的二元随机变量，其取0或1的概率相等。定义另一个二元随机变量Z=XY(一般乘

积)。试计算 (1) ()(),;H X H Z

(2) ()(),;H XY H XZ

(3) ()()|,|;H X Y H Z X

(4) ()();,;I X Y I X Z ;

八、(10分)设离散无记忆信源的概率空间为

120.80.2X x x P ????

=????????

，通过干扰信道，信道输出端的接收符号集为[]12,Y y

y =，信道传输概率如下图所示。

1

x 2

x 1

y 2

y

(1) 计算信源X 中事件1x 包含的自信息量； (2) 计算信源X 的信息熵； (3) 计算信道疑义度()|H X Y ； (4) 计算噪声熵()|H Y X ；

(5) 计算收到消息Y 后获得的平均互信息量。

《信息论基础》2参考答案

一、填空题（共15分，每空1分） 1、信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。 2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是信源符号间的相关性，二是信源符号的统计不均匀性。

3、三进制信源的最小熵为0，最大熵为32log bit/符号。

4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵（或H(S)/logr= H r (S)）。

5、当R=C 或（信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。

6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为恒参信道和随参信道。

7、根据是否允许失真，信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。

8、若连续信源输出信号的平均功率为2σ，则输出信号幅度的概率密度是高斯分布或正态分布或(

)2

2

2x

f x σ-=

时，

信源具有最大熵，其值为值21

log 22

e πσ。

9、在下面空格中选择填入数学符号“,,,=≥≤?”或“?” （1）当X 和Y 相互独立时，H （XY ）=H(X)+H(X/Y)=H(Y)+H(X)。

（2）()()

1222H X X H X =≥()()12333

H X X X H X = （3）假设信道输入用X 表示，信道输出用Y 表示。在无噪有损信道中，H(X/Y)> 0, H(Y/X)=0,I(X;Y)

1234560.20.20.20.20.10.1S s s s s s s P ????

=????????

（1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分） （2）计算平均码长L ;（4分）

（3）计算编码信息率R ';（2分）

（4）计算编码后信息传输率R ;（2分） （5）计算编码效率η。（2分）

（1）

010

10

1

1

1

1.00.20.20.20.20.10.1

1S 2S 3S 4S 5S 6

S

编码结果为：

1234560001100101110111

S S S S S S ====== （2）6

10.420.63 2.6i i i L P ρ===?+?=∑码元

符号

（3）bit log r=2.6R L '=符号

（4）()

2.53

bit

0.9732.6

H S R L =

=

=码元其中，()()bit 0.2,0.2,0.2,0.2,0.1,0.1 2.53H S H ==符号

（5）()()0.973log H S H S L r

L

η=

==

评分：其他正确的编码方案：1，要求为即时码 2，平均码长最短 四、（10分）某信源输出A 、B 、C 、D 、E 五种符号，每一个符号独立出现，出现概率分别为1/8、1/8、1/8、1/2、1/8。如果符号的码元宽度为0.5s μ。计算： （1）信息传输速率t R 。（5分）

（1）()()

1

t X R H X H Y t ??=-?

?

()61111

log 4log 882211

log 8log 22231

log 2log 2222log 22bit

24100.5t H X bit

R bps

s

μ=-

?-=+=+===

=?

五、(16分)一个一阶马尔可夫信源，转移概率为

()()()()1121122221

|,|,|1,|033

P S S P S S P S S P S S ====。

(1) 画出状态转移图。(4分)

(2) 计算稳态概率。(4分)

(3) 计算马尔可夫信源的极限熵。(4分)

(4) 计算稳态下1H ,2H 及其对应的剩余度。(4分) 解：(1)

S

1

(2)由公式()()()2

1

|i i

j j j P S P S

S P S ==∑

有

()()()()()()()()()()()2

111212

2211122|31

|31i i i i i

i P S P S S P S P S P S P S P S S P S P S P S P S ==?

==+??

?==??

?+=??

∑∑ 得()()12

341

4

P S P S ?

=???

?=?? (3)该马尔可夫信源的极限熵为：

()()()

22

11

|log |322311log log

43343311

0.578 1.599240.6810.4720.205i j i j i i j H P S P S S P S S bit nat hart ∞===-=-??-??=?+?===∑∑符号符号符号

(4)在稳态下：

()()2

1

3

311log log log 0.8114444i i i P x P x bit =??=-=-?+?= ???∑符号

20.2050.4720.681H H hart nat bit ∞====符号符号符号

对应的剩余度为

1100.811110.1891111log log 2222H H η=-

=-=??

????-+ ? ? ???????

2200.681110.3191111log log 2222H H η=-

=-=??

????-+ ? ? ???????

六、设有扰信道的传输情况分别如图所示。试求这种信道的信道容量。

X

Y

解：信道传输矩阵如下

|1

10022110022110022110

2

2Y X

P ??????????=????????????

可以看出这是一个对称信道，L=4,那么信道容量为

()()

111log 4,,0,022log |log |11

log 42log

22

1L

j i j i j C H L p y x p y x bit

=??

=- ?

??

=+=+?=∑

七、(16分)设X 、Y 是两个相互独立的二元随机变量，其取0或1的概率相等。定义另一个二元随机变量Z=XY(一般乘积)。试计算 (1) ()(),;H X H Z (2) ()(),;H XY H XZ (3) ()()|,|;H X Y H Z X

(4) ()();,;I X Y I X Z ; 解：(1)

()11,122H X H bit ??

== ???

31(2),0.811344H H bit ??

== ???

(2) ()()()112H XY H X H Y bit =+=+=对

()()()()1111|11,0, 1.52222H XZ H X H Z X H H bit ??

=+=++= ???

对

(3) ()()|1H X Y H X bit ==

()()1111|1,0,0.52222H Z X H H bit ??

=

+= ???

(4) ()()()()(),|0I X Y H Y H Y X H Y H Y =-=-=

()()(),|0.81130.50.3113I X Z H Z H Z X bit =-=-=

八、(10分)设离散无记忆信源的概率空间为

120.80.2X x x P ????

=????????

，通过干扰信道，信道输出端的接收符号集为[]12,Y y y =，信道传输概率如下图所示。

1

x 2

x 1

y 2

y

(6) 计算信源X 中事件1x 包含的自信息量； (7) 计算信源X 的信息熵； (8) 计算信道疑义度()|H X Y ； (9) 计算噪声熵()|H Y X ；

(10) 计算收到消息Y 后获得的平均互信息量。 解：

(3)

()2231,,,31520201.4040.9730.423H XY H bit nat hart ??

= ?

??===符号

()()49/60,11/600.6870.4760.207H Y H bit nat hart ====符号符号符号 ()()()|0.7170.4970.216H X Y H XY H Y bit nat hart =-===符号

(4)

()()()|0.6820.4730.205H Y X H XY H X bit nat hart =-===符号符号符号

(5)

()()();|0.005040.003490.00152I X Y H X H X Y bit nat hart =-===符号符号

(三)

一、 选择题（共10分，每小题2分）

1、有一离散无记忆信源X ，其概率空间为

??????=??????125.0125.025.05.04321

x x x x P X ，则其无记忆二次扩展信源的熵H(X 2)=( ) A 、1.75比特/符号； B 、3.5比特/符号； C 、9比特/符号； D 、18比特/符号。 2、信道转移矩阵为

112132425363(/)(/)

000000(/)(/)000000(/)(/)P y x P y x P y x P y x P y x P y x ??????????其中(/)j i P y x 两两不相等，则该信道为

3、A 、一一对应的无噪信道

B 、具有并归性能的无噪信道

C 、对称信道

D 、具有扩展性能的无噪信道

3、设信道容量为C ，下列说法正确的是：（ ）

A 、互信息量一定不大于C

B 、交互熵一定不小于C

C 、有效信息量一定不大于C

D 、条件熵一定不大于C

4、在串联系统中，有效信息量的值（ ）

A 、趋于变大

B 、趋于变小

C 、不变

D 、不确定

5、若BSC 信道的差错率为P ，则其信道容量为：（ ） A 、

()

H p

B 、

()12log 1p

p

p p -??-??

???? C 、

()

1H p -

D 、log()P P -

二、填空题（20分，每空2分）

1、(7,4)线性分组码中，接受端收到分组R 的位数为____ ，伴随式S 可能的值有____ 种,差错图案e 的长度为 ，系统生成矩阵G s 为____ 行的矩阵，系统校验矩阵H s 为____ 行的矩阵，G s 和H s 满足的关系式是 。

2、香农编码中,概率为

()

i P x 的信源符号x i 对应

的码字C i 的长度K i 应满足不等式 。

3、设有一个信道，其信道矩阵为

0.250.50.250.250.250.50.50.250.25??

????????

，则它是 信道（填对称，准对称），其信道容量是 比特/信道符号。

三、（20分）12()0.50.5X x x P X ????

=????????，通过一个干扰信道，接受符号集为

{}

12Y y y =，信道转移矩阵为

13443144??

??????????

试求（1）H(X),H(Y),H(XY);（7分）

(2) H(Y|X),H(X|Y);（5分） (3) I(Y;X)。（3分）

(4)该信道的容量C （3分）

（5）当平均互信息量达到信道容量时，接收端Y 的熵H （Y ）。（2分）

计算结果保留小数点后2位,单位为比特/符号。

四、（9分）简述平均互信息量的物理意义，并写出应公式。

六、（10分）设有离散无记忆信源，其概率分布如下：

12345671111111()2

4

8

16

32

6464x

x x x x x x X P X ??????=?? ????

???

对其进行费诺编码，写出编码过程，求出信源熵、平均码长和编码效率。 七、信道编码（21分）

现有生成矩阵1

0001110

10011000100110

001101s G ?????

?=??

??

??

1.求对应的系统校验矩阵H s。（2分）

2求该码字集合的最小码字距离d、最大检错能力

max

l、最大纠错能力t max。（3分）

2.

4.现有接收序列为(1100100)

r=，求纠错译码输出?c。（4分）

5. 画出该码的编码电路（4分）

(四)

四、简答题（共20 分，每题10分

1.利用公式介绍无条件熵、条件熵、联合熵和平均互信息

量之间的关系。

2.简单介绍哈夫曼编码的步骤

五、计算题（共40 分）

1．某信源含有三个消息，概率分别为p(0)=0.2，p(1)=0.3，

p(2)=0.5，失真矩阵为

421

032

201

D

??

??=??

??

??

。

求D max、D min和R (D max)。（10分）

2．设对称离散信道矩阵为

1111

3366

1111

6633

P

??

??

=??

??

??

??

，求信道容

量C。（10分）

3．有一稳态马尔可夫信源，已知转移概率为p(S1/ S1)=2/3，p(S1/ S2)=1。求：

(1)画出状态转移图和状态转移概率矩阵。

(2)求出各状态的稳态概率。

(3)求出信源的极限熵。

（20分）

（五）

一、（11’）填空题

（1）1948年，美国数学家香农发表了题为

“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。（2）必然事件的自信息是0 。

（3）离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的N倍。

对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条

件为__信源符号等概分布_。

对于香农编码、费诺编码和霍夫曼编码，编码方法惟

一的是香农编码。

已知某线性分组码的最小汉明距离为3，那么这组码

最多能检测出_2_______个码元错误，最多能纠正

___1__个码元错误。

设有一离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，只要

待传送的信息传输率R__小于___C（大于、小于或者

等于），

则存在一种编码，当输入序列长度n足够大，使译码错误概率任意小。

（8）平均错误概率不仅与信道本身的统计特性有关，还与___译码规则____________和___编码方法___有关二、（9'）判断题

（1）信息就是一种消息。

（?）

（2）信息论研究的主要问题是在通信系统设计中如何实现信息传输、存储和处理的有效性和可靠性。

（√）

（3）概率大的事件自信息量大。

（?）

（4）互信息量可正、可负亦可为零。

（√）

（5）信源剩余度用来衡量信源的相关性程度，信源剩余度大说明信源符号间的依赖关系较小。

（?）

（6）对于固定的信源分布，平均互信息量是信道传递概率的下凸函数。（√）

（7）非奇异码一定是唯一可译码，唯一可译码不一定是非奇异码。（?）

（8）信源变长编码的核心问题是寻找紧致码（或最佳码），霍夫曼编码方法构造的是最佳码。

（ √ ）

（9）信息率失真函数R(D)是关于平均失真度D 的上凸函数.

( ? )

五、（18’）.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，

求：

1） 黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这个只有两个符号的信源X 的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵()X H ；

3）分别求上述两种信源的冗余度，比较它们的大小并说明其物理意义。

解：1）信源模型为 （1分）

（2分）

2）由题意可知该信源为一阶马尔科夫信源。 （2分）

由 4分）

得极限状态概率

（

2分）

3分）

119.0

2log )

(121=-

=X H γ （1分）

447.02log )

(122=-

=∞X H γ

12γγ>。说明：当信源的符号之间有依赖时，信源输出消息

的不确定性减弱。而信源冗余度正是反映信源符号依赖关系

的强弱，冗余度越大，依赖关系就越大。（2分）

六、（18’）.信源空间为

1

234567()0.20.190.180.170.150.10.01

X x x x x x x x P X ????

=???????

?

，试分别构造二元香农码和二元霍夫曼码，计算其平均码长

和编码效率（要求有编码过程）。

14

.3)(7

1

==∑=i i i l a p L 831.014.361

.2)(===

L

X H R

2）（3分）最大后验概率准则下，有，

八（10'）.二元对称信道如图。

1）若()430=

p ，()4

1

1=p ，求()X H 、()Y X H |和()Y X I ;；

2）求该信道的信道容量。

解：1）共6分

2）， （3分）此时输入概率分布为等概率分布。（1分）

九、（18'）设一线性分组码具有一致监督矩阵

??

??

?

?????=110101100110111000H

1）求此分组码n=?,k=?共有多少码字？ 2）求此分组码的生成矩阵G 。

3）写出此分组码的所有码字。 4）若接收到码字（101001），求出伴随式并给出翻译结果。

解：1）n=6,k=3,共有8个码字。（3分）

2）设码字

()012345C C C C C C C =

由T T HC 0=得

???

??=⊕⊕⊕=⊕⊕=⊕⊕0

000135

034012C C C C C C C C C C （3分）

令监督位为

()012C C C ，则有

???

??⊕=⊕=⊕=3

404513

52C

C C C C C C C C （3分） 生成矩阵为?????

????

?101100110010011001 （2分） 3）所有码字为000000，001101，010011，011110，100110，101011，110101，111000。（4分）

4）由T

T HR S =得

()101=S ，（2分）该码字在第5位发生错误，（101001）纠正为（101011），即译码为（101001）（1分）

（六）

一、概念简答题（每题5分，共40分）

1.什么是平均自信息量与平均互信息，比较一下这两个概念

的异同？

2.简述最大离散熵定理。对于一个有m 个符号的离散信源，其最大熵是多少？

()符号

/749.0|bit Y X H =

3.解释信息传输率、信道容量、最佳输入分布的概念，说明平均互信息与信源的概率分布、信道的传递概率间分别是什么关系？

4.对于一个一般的通信系统，试给出其系统模型框图，并结合此图，解释数据处理定理。

5.写出香农公式，并说明其物理意义。当信道带宽为5000Hz，信噪比为30dB时求信道容量。

6.解释无失真变长信源编码定理。

7.解释有噪信道编码定理。

8.什么是保真度准则？对二元信源

，其失真矩阵，求a>0时率

失真函数的和？

二、综合题（每题10分，共60分）

1.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求：

1）黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这个只有两个符号的信源X的数学模型。假设图上黑白消息出

现前后没有关联，求熵；

2）假设黑白消息出现前后有关联，其依赖关系为：

，，，，求其熵；

2.二元对称信道如图。；1）若，，求和；

2）求该信道的信道容量和最佳输入分布。3.信源空间为

，试分别构造二元和三元霍夫曼码，计算其平均码长和编码效率。

5.已知一（8，5）线性分组码的生成矩阵为。

求：1）输入为全00011和10100时该码的码字；2）最小码距。

答案

一、概念简答题（每题5分，共40分）

二、1.答：平均自信息为

表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。

平均互信息

表示从Y获得的关于每个X的平均信息量，也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。

2.答：最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。最大熵值为。

平均互信息是信源概率分布的∩型凸函数，是信道传递概率的U 型凸函数。

5.答：香农公式为，它是高斯加性白噪声信道在单位时间内的信道容量，其值取决于信噪比和带宽。

由得

，则

6.答：只要，当N足够长时，一定存在一种无失真编码。

7.答：当R＜C时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。

8.答：1）保真度准则为：平均失真度不大于允许的失真度。

2）因为失真矩阵中每行都有一个0，所以有，而

。

二、综合题（每题10分，共60分）

1.答：1）信源模型为

2）由得

则

2.答：1）

2），最佳输入概率分布为等概率分布。3.答：1）二元码的码字依序为：10，11，010，011，1010，1011，1000，

1001。

平均码长，编码效率

2）三元码的码字依序为：1，00，02，20，21，22，010，011。

平均码长，编码效率

*