椭圆焦半径公式的证明和应用

椭圆焦半径公式的证明及巧用2008年08月31日星期日 21:56 命题：证明：

说明：

巧用焦半径公式能妙解许多问题，下面举例说明。

一、用于求离心率

例

分析：

所以，

所以。

二、用于求椭圆离心率的取值范围

例

分析：

得由

，又。故，即

所以。

三、用于求焦半径的取值范围

例

分析：

所以。

四、用于求两焦半径之积

例

分析：

的最小值为知，最大值由，所以

。为五、用于求三角形的面积

分析：

。

由余弦定理得。

解得

所以

六、用于求点的坐标例

分析：

及得

，

解

得．

所以。

七、用于证明定值问题例

分析：

化简得

所以为定值。

八、用于求角的大小

分析：

所以

。所以．

九、用于求线段的比。例

分析：

两式相减并化简得由

。所以

。所以

。

令，则，故

，所以

。所

以．

，椭圆与双曲线的离心率分别为的坐标为设，则如图

得，消去，

成等差数，由，。不妨设

。易知易知列得，即

的最值不妨设为椭圆的左焦点，而

，则。故

如图，连，则，则设的坐标为。

，即。，由焦半径公式得

。我们把椭圆上的点若椭圆的焦点在轴上，则有

称为焦半径，而的距离（或到两焦点

）称为焦半径公式。如图）、1，（或

和。由椭圆的第二定义得椭圆的准线方程为

为椭圆如图，化简即得1

四点，顺次连结这的两个焦点，以线段为直径的圆交椭圆于

。2已知四点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则离心率

的焦点，若椭圆上恒存在点为椭圆，使

上的点，是椭圆若3的取值范围。，求离心

率．