2019-2020学年高三数学 高三数学周练试卷复习.doc
F
E
D 1C 1
B 1
B
C
D A 1A
2019-2020学年高三数学 高三数学周练试卷复习
一．填空题
1. 已知复数),(R y x yi x z ∈+=，且5)21(=+z i ，则=+y x ． 2．集合{
}*
523M x x N
=--∈，则M 的非空真子集的个数是 ．
3. 设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21x f x =+，若()3f a =，则实数a 的值为 ．
4. 方程lg(2)1x x +=有 个不同的实数根
5. 不等式
1
1
112-≥-x x 的解集为 6. 直线(2m 2
+m-3)x+(m 2
-m)y=4m-1与直线2x-3y=5平行，则m=
7. 已知)2sin ,2(),sin ,1(2x b x a ==，其中()0,x π∈，若a b a b ?=?， 则tan x = ．
8. 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , DC AD =, 12AE EB =, 若12
BD AC ?=-, 则AB CE ?= ．
9.32
121212()1,()[()()]0
f x x x mx x x R x x f x f x =+++∈-->对任意满足（21x x ≠），则
实数m 的取值范围是
10. 已知B 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左准线与x 轴的交点， (0,)A b ，若满足
2AP AB =的点P 在双曲线上，则该双曲线的离心率为 .
11. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA =
，11
3
CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3：2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCD
F ABD
V V --= ______.
12. 已知函数ln ,
1()1(2)(),1x x f x x x a x e
≥??
=?+-
点(,1)A e 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a 的取值范围是 ． 二．解答题
13.已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos 2C ?=m n ，其中,,A B C 为
ABC ?的内角．
（1）求角C 的大小；（2）若6AB =，且18CA CB ?=，求,AC BC 的长．
15. 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线f （x ）
=1﹣ax 2
（a ＞0）的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线于点P ，设P （t ，f （t ））．
（1）将△OMN（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数S （t ）； （2）若在t=处，S （t ）取得最小值，求此时a 的值及S （t ）的最小值．
16.椭圆C ：22
22+1x y a b
=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)的距离为10．不过
原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 求?ABP 的面积取最大时直线l 的方程．
13. 解：（Ⅰ）cos cos sin sin cos()cos A B A B A B C ?=-=+=-m n ， 所以
c o s c o s 2C C -=
，即2
2cos cos 10C C +-=故1
cos 2
C =
或cos 1C =-（舍）， 又0C π<<，所以3
C π
=
．
（Ⅱ）因为18CA CB ?=，所以36CA CB ?=． ①
由余弦定理2222cos60AB AC BC AC BC =+-???，
及6AB =得，12AC BC +=． ② 由①②解得6,6AC BC ==． 14．证明：（Ⅰ）取PD 中点G ，连,AG FG ，
因为F 、G 分别为PC 、PD 的中点，所以FG ∥CD ，且1
2
FG CD =． 又因为E 为AB 中点，所以AE ∥CD ，且1
2
AE CD =
． 所以AE ∥FG ，AE FG =．故四边形AEFG 为平行四边形．所以EF ∥AG ，又EF ?
平面PAD ，AG ?平面PAD ， 故EF ∥平面PAD ． （Ⅱ）设AC
DE H =，由AEH ?∽CDH ?及E 为AB 中点得
1
2
AG AE CG CD ==， 又因为2AB =，1BC =，所以3AC =，13
33
AG AC ==．
所以23
AG AB AE AC ==
，又BAC ∠为公共角，所以GAE ?∽BAC ?． 所以90AGE ABC ∠=∠=?，即DE AC ⊥． 又DE PA ⊥，PA
AC A =，
所以DE ⊥平面PAC ． 又DE ?平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ．
15. 解：（1）∵曲线f （x ）=1﹣ax 2
（a ＞0） 可得f′（x ）=﹣2ax ，P （t ，f （t ））．
直线MN 的斜率为：k=f′（t ）=﹣2at ，可得 L MN ：y ﹣f （t ）=k （x ﹣t ）=﹣2at （x ﹣t ）， 令y=0，可得x M =t+
，可得M （t+
，0）；
令x=0，可得y M =1+at 2
，可得N （0，1+at 2
）， ∴S（t ）=S △OMN =×（1+at 2
）×
=；
（2）t=时，S （t ）取得最小值，
S′（t ）=
=，
∴S′（）=0，可得12a 2
×﹣4a=0，可得a=，
此时可得S （t ）的最小值为S （）===；
16. (Ⅰ)由题：1
2
c e a =
=； (1) 左焦点(﹣c ，0)到点P(2，1)的距离为：22(2)1d c =++=10． (2) 由(1) (2)可解得：222431a b c ===，，．
∴所求椭圆C 的方程为：22
+143
x y =．
(Ⅱ)易得直线OP 的方程：y ＝12x ，设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，R(x 0，y 0)．其中y 0＝1
2
x 0．
∵A ，B 在椭圆上， ∴22
02
2
0+12333
43
4422
+14
3A A A B A B AB A B A B B B x y x y y x x k x x y y y x y ?=?-+??=
=-?=-?=-?-+?=??．
设直线AB 的方程为l ：y ＝﹣3
2
x m +(m ≠0)，
代入椭圆：22
22+143
333032
x y x mx m y x m ?=???-+-=?
?+??＝-．
显然222(3)43(3)3(12)0m m m ?=-?-=->． ∴﹣12＜m ＜12且m ≠0．
由上又有：A B x x +＝m ，A B y y +＝23
3
m -．
∴|AB|＝1AB k +|A B x x -|＝1AB k +2
()4A B A B x x x x +-＝1AB
k +243
m -．
∵点P(2，1)到直线l 的距离表示为：31211AB
AB
m m d k k -+-+==
++．
∴S ?ABP ＝12d|AB|＝12
|m ＋2|2
43m -，
当|m ＋2|＝2
43m -，即m ＝﹣3 或m ＝0(舍去)时，(S ?ABP )max ＝12
．
此时直线l 的方程y ＝﹣31
22
x +．
17. 解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，
则123451,2,1,2,12a a a d a q a d ===+==+
34,12(1)2,42S a d q d q =∴++=+=即
又3542a a a +=+，(1)(12)22,32d d q d q ++=+=即，解得2,3d q == ∴对于k N *
∈，有12121(1)221,23k k k a k k a --=+-?=-=?
故12,21,23,2n
n n n k a k N n k
*
-=-??=∈???=?- （2）22(121)2(13)
13213
k k k k k S k +--=
+=-+- （3）在数列{}n a 中，仅存在连续的三项123,,a a a ，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m 的值为1，下面说明理由 若2m k a a =，则由212m m m a a a +++=，得1
23
232(21)k k k -?+?=+
化简得1
43
21k k -?=+，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立
若21m k a a -=，则由212m m m a a a +++=，得1
(21)(21)223
k k k --++=??
化简得1
3k k -=
令1,()3k k k T k N *
-=
∈，则111120333k k k k k
k k k T T +-+--=-=<
因此，1231T T T =>>>，故只有11T =，此时1,2111k m ==?-=
综上，在数列{}n a 中，仅存在连续的三项123,,a a a ，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m 的值为1