数学八年级上册 全等三角形中考真题汇编[解析版]

数学八年级上册全等三角形中考真题汇编[解析版]

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____．

【答案】AD的中点

【解析】

【分析】

【详解】

分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出

AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短.

详解：如图，过AD作C点的对称点C′，

根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D

∵四边形ABCD是矩形

∴AB=CD

∴△ABP≌△DC′P

∴AP=PD

即P为AD的中点.

故答案为P为AB的中点.

点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．

∥，2．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PD AB，PE BC

++=____cm．

PF AC

∥，若ABC的周长为12cm，则PD PE PF

【答案】4

【解析】

【分析】

先说明四边形HBDP是平行四边形，△AHE和△AHE是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．

【详解】

∥

解：∵PD AB，PE BC

∴四边形HBDP是平行四边形

∴PD=HB

∵ABC为等边三角形,周长为12cm

∴∠B=∠A=60°,AB=4

∥

∵PE BC

∴∠AHE=∠B=60°

∴∠AHE=∠A=60°

∴△AHE是等边三角形

∴HE=AH

∵∠HFP=∠A=60°

∴∠HFP=∠AHE=60°

∴△AHE是等边三角形，

∴FP=PH

∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm

故答案为4cm．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．

3．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．

【答案】5

【解析】

【分析】

作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论．

【详解】

如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN 为所求的最小值．

∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）．

∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH==5．

∵BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5．

故答案为5．

【点睛】

本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．

4．已知A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），以线段AB为直角边，在第一象限

内作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P（a，1

2

），且

△ABP和△ABC的面积相等，则a＝_____．

【答案】-8

3

．

【分析】 先根据AB 两点的坐标求出OA 、OB 的值，再由勾股定理求出AB 的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC 的面积；连接OP ，过点P 作PE ⊥x 轴，由△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，可知S △ABP ＝S △POA +S △AOB ﹣S △BOP ＝

132，故可得出a 的值． 【详解】

∵A 、B 两点的坐标分别为 （0，3），（2，0），

∴OA ＝3，OB ＝2，

∴223+213AB ＝＝，

∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，

∴1113?1313222

ABC S AB AC ??＝＝＝， 作PE ⊥x 轴于E ，连接OP ，

此时BE ＝2﹣a ，

∵△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，

∴111???222

ABP POA AOB BOP S S S S OA OE OB OA OB PE ++＝﹣＝﹣， 111113332222222a ??+????＝（﹣）﹣＝

，

解得a ＝﹣83

． 故答案为﹣83

． 【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S △ABP =S △POA +S △AOB -S △BOP 列出关于a 的方程．

5．如图，已知等边ABC ?的边长为8，E 是中线AD 上一点，以CE 为一边在CE 下方作等边CEF ?，连接BF 并延长至点,N M 为BN 上一点，且5CM CN ==，则MN 的长为_________．

【答案】6

【解析】

作CG⊥MN于G，证△ACE≌△BCF，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出

1

2

4

CG BC

==，在Rt△CMG中，由勾股定理求出MG，即可得到MN的长．

【详解】

解：如图示：作CG⊥MN于G，

∵△ABC和△CEF是等边三角形，

∴AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°，

∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE，

即∠ACE=∠BCF，

在△ACE与△BCF中

AC BC

ACE BCF

CE CF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△ACE≌△BCF（SAS），

又∵AD是三角形△ABC的中线

∴∠CBF=∠CAE=30°，

∴

1

2

4

CG BC

==，

在Rt△CMG中，2222

543

MG CM CG

=-=-，

∴MN=2MG=6，

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF≌△BCF．

6．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作

DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE的周长为_____．

【答案】14．

【解析】

【分析】

先根据角平分线的定义及平行线的性质得BD＝DF，CE＝EF，则△ADE的周长＝AB+AC＝14．

【详解】

∵BF平分∠ABC，

∴∠DBF＝∠CBF，

∵DE∥BC，

∴∠CBF＝∠DFB，

∴∠DBF＝∠DFB，

∴BD＝DF，

同理FE＝EC，

∴△AED的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝8+6＝14．

故答案为：14．

【点睛】

此题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的等角对等边的性质.

7．如图,A,B,C三点在同一直线上,分别以AB,BC（AB>BC）为边,在直线AC的同侧作等边

ΔABD和等边ΔBCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN. 以下结论：

①AE=DC，②MN//AB，③BD⊥AE，④∠DPM=60°，⑤ΔBMN是等边三角形.其中正确的是__________（把所有正确的序号都填上）.

【答案】①②④⑤

【解析】

【分析】

①由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等即可得结论；

②由①中三角形ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA 可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形；可得∠BMN=60°，进行可得∠BMN=∠ABD，故MN//AB，从而可判断②，⑤正确；

③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；

④由①得∠EAB=∠CDB，根据三角形内角和和外角的性质可证得结论.

【详解】

①∵等边△ABD和等边△BCE，

∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，

∴∠ABE=∠DBC=120°，

在△ABE和△DBC中，

∵

AB DB

ABE DBC BE BC

?

∠

?

?

∠

?

?

＝

＝

＝

，

∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=DC，

故①正确；

∵△ABE≌△DBC，

∴∠AEB=∠DCB，

又∠ABD=∠EBC=60°，

∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，即∠MBE=∠NBC=60°，

在△MBE和△NBC中，

∵

AEB DCB EB CB

MBE NBC ∠∠

∠

?

?

?

?∠

?

＝

＝

＝

，

∴△MBE≌△NBC（ASA），

∴BM=BN，∠MBE=60°，

则△BMN为等边三角形，

故⑤正确；

∵△BMN为等边三角形，

∴∠BMN=60°,

∵∠ABD=60°,

∴∠BMN=∠ABD，

∴MN//AB，

故②正确；

③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；

④由①得∠EAB=∠CDB，∠APC+∠PAC+∠PCA=180°，

∴∠PAC+∠PCA=∠PDB+∠PCB=∠DBA=60°，

∵∠DPM =∠PAC+∠PCA

∴∠DPM =60°，故④正确，

故答案为：①②④⑤.

【点睛】

此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．

8．如图，△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC 上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为_____________

【答案】2.25或3

【解析】

【分析】

分两种情况讨论：①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD=CQ=6厘米，BP=CP=

1

2

BC=

1

2

×9=4.5（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若

△BPD≌△CQP，则CP=BD=6厘米，BP=CQ，得出

96

3

vt

vt t

?

?

-

?＝

＝

，解得：v=3．

【详解】

解：∵△ABC中，AB=AC=12厘米，点D为AB的中点，

∴BD=6厘米，

若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=6厘米，BP=CP=

1

2

BC=

1

2

×9=4.5（厘米），

∵点Q的运动速度为3厘米/秒，

∴点Q的运动时间为：6÷3=2（s），

∴v=4.5÷2=2.25（厘米/秒）；

若△BPD≌△CQP，则需CP=BD=6厘米，BP=CQ，

则有

96

3

vt

vt t

?

?

-

?＝

＝

，

解得：v=3

∴v 的值为：2.25或3厘米/秒

故答案为：2.25或3.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

9．如图，过边长为1的等边三角形ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于点E ，Q 为BC 延长线上一点，当AP ＝CQ 时，PQ 交AC 于D ，则DE 的长为______．

【答案】

12

【解析】 过点Q 作AD 的延长线的垂线于点F.

因为△ABC 是等边三角形，所以∠A=∠ACB=60°.

因为∠ACB=∠QCF，所以∠QCF=60°.

因为PE⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP=∠CFQ=90°，

又因为AP=CQ ，所以△AEP≌△CFQ，所以AE=CF ，PE=QC.

同理可证，△DEP≌△DFQ，所以DE=DF.

所以AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE ，所以DE=

12AC=12. 故答案为12

.

10．如图：在ABC ?中，D ，E 为边AB 上的两个点，且BD BC =，AE AC =，若108ACB ∠=?，则DCE ∠的大小为______.

【答案】036

【解析】

【分析】

根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ，用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC，然后根据内角和求出∠DCE 的度数.

【详解】

∵∠ACB=1080，

∴∠A+∠B=1800-1080=720,

∵AC=AE,BC=BD,

∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,

∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902

A =-∠ 01(180)2BDC

B ∠=

-∠ =01902

B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800，

∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠ = 00011180(90)(90)22A B --

∠--∠ =1122

A B ∠+∠ =1()2

A B ∠+∠ =360

【点睛】

此题考察等腰三角形的性质，注意两条等边所在三角形，依此判断对应的两个底角相等.

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）

11．如图，等腰 Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，∠ABC 的平分线分别交 AC ，AD 于E ，F ，点M 为 EF 的中点，AM 的延长线交 BC 于N ，连接 DM ，NF ，EN ．下列结论：①△AFE 为等腰三角形；②△BDF ≌△ADN ；③NF 所在的直线垂直平分AB ；④DM 平分∠BMN ；⑤AE ＝EN ＝NC ；⑥AE BN EC BC

=．其中正确结论的个数是( )

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

【答案】D

【解析】

【分析】 ①由等腰三角形的性质得∠BAD=∠CAD=∠C=45°，再根据三角形外角性质得

∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5°，则得到∠AEF=∠AFE ，可判断△AEF 为等腰三角形，于是可对①进行判断；求出BD=AD ，∠DBF=∠DAN ，∠BDF=∠ADN ，证△DFB ≌△DAN ，由题意可得BF>BD=AD,所以BF ≠AF,所以点F 不在线段AB 的垂直平分线上，所以③不正确，由

∠ADB=∠AMB=90°， 可知A 、B 、D 、M 四点共圆， 可求出∠ABM=∠ADM=22.5°，继而可得∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°， 即可求出DM 平分∠BMN ,所以④正确；根据全等三角形的性质可得△AFB ≌△CAN ， 继而可得AE=CN ，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可得△ENC 是等腰直角三角形,继而可得AE=CN=EN ，所以⑤正确；根据等腰三角形的判定可得△BAN 是等腰三角形，可得BD=AB ，继而可得22BD BC A BC B ==,由⑤可得22

AE EN EC EC ==所以⑥正确. 【详解】

解：∵等腰Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，

∴∠BAD=∠CAD=∠C=45°，

∵BE 平分∠ABC ，

∴∠ABE=∠CBE=12

∠ABC=22.5°， ∴∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5° ∴∠AEF=∠AFE ，

∴△AEF 为等腰三角形，所以①正确；

∵∠BAC=90°，AC=AB ，AD ⊥BC ，

∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD ，∠ADN=∠ADB=90°，

∴∠BAD=45°=∠CAD ，

∵BE 平分∠ABC ，

∴∠ABE=∠CBE= 12

∠ABC=22.5°， ∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，

∴AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，

∴AF=AE ，AM ⊥BE ，

∴∠AMF=∠AME=90°，

∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，

在△FBD和△NAD中,

∠FBD＝∠DAN ,BD＝AD ,∠BDF＝∠ADN ，

∴△FBD≌△NAD，所以②正确；

因为BF>BD=AD,

所以BF AF,

所以点F不在线段AB的垂直平分线上，所以③不正确∵∠ADB=∠AMB=90°，

∴A、B、D、M四点共圆，

∴∠ABM=∠ADM=22.5°，

∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，

∴DM平分∠BMN ,所以④正确；

在△AFB和△CNA中，

∠BAF＝∠C＝45°,AB＝AC, ∠ABF＝∠CAN＝22.5°,∴△AFB≌△CAN（ASA），

∴AF=CN，

∵AF=AE，

∴AE=CN，

∵AE=AF，FM=EM，

∴AM⊥EF，

∴∠BMA=∠BMN=90°，

∵BM=BM，∠MBA=∠MBN，

∴△MBA≌△MBN，

∴AM=MN，

∴BE垂直平分线段AN，

∴AB=BN，EA=EN，

∵BE=BE，

∴△ABE≌△NBE，

∴∠ENB=∠EAB=90°，

∴EN⊥NC．

∴△ENC是等腰直角三角形,

∴AE=CN=EN，所以⑤正确；

∵AF=FN,

所以∠FAN =∠FNA,

因为∠BAD =∠FND=45°,

所以∠FAN+ ∠BAD =∠FNA+∠FND, 所以∠BAN =∠BNA,

所以AB=BN,

所以22

BD BC A BC B ==， 由⑤可知，△ENC 是等腰直角三角形，AE=CN=EN ，

∴2AE EN EC EC ==, 所以

AE BN EC BC

=，所以⑥正确, 故选D.

【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．

12．如图，已知：30MON ∠=?，点1A 、2A 、3A …在射线ON 上，点1B 、2B 、3B …在射线OM 上，112A B A △、223A B A △、334A B A △…均为等边三角形，若112

OA =，则667A B A 的边长为( )

A ．6

B ．12

C ．16

D ．32

【答案】C

【解析】

【分析】 先根据等边三角形的各边相等且各角为60°得：∠B 1A 1A 2=60°，A 1B 1=A 1A 2，再利用外角定理求∠OB 1A 1=30°，则∠MON=∠OB 1A 1，由等角对等边得：B 1A 1=OA 1=

12，得出△A 1B 1A 2的边长为12

，再依次同理得出：△A 2B 2A 3的边长为1，△A 3B 3A 4的边长为2，△A 4B 4A 5的边长为：22=4，△A 5B 5A 6的边长为：23=8，则△A 6B 6A 7的边长为：24=16．

【详解】

解：∵△A 1B 1A 2为等边三角形，

∴∠B 1A 1A 2=60°，A 1B 1=A 1A 2，

∵∠MON=30°，

∴∠OB 1A 1=60°-30°=30°，

∴∠MON=∠OB 1A 1，

∴B 1A 1=OA 1=12

， ∴△A 1B 1A 2的边长为

12

， 同理得：∠OB 2A 2=30°， ∴OA 2=A 2B 2=OA 1+A 1A 2=

12+12

=1， ∴△A 2B 2A 3的边长为1， 同理可得：△A 3B 3A 4的边长为2，△A 4B 4A 5的边长为：22=4，△A 5B 5A 6的边长为：23=8，则△A 6B 6A 7的边长为：24=16．

故选：C ．

【点睛】

本题考查等边三角形的性质和外角定理，运用类比的思想，依次求出各等边三角形的边长，解题关键是总结规律，得出结论．

13．等边△ABC ，在平面内找一点P ，使△PBC 、△PAB 、△PAC 均为等腰三角形，具备这样条件的P 点有多少个？（ ）

A ．1个

B ．4个

C ．7个

D ．10个

【答案】D

【解析】

试题分析：根据点P 在等边△ABC 内，而且△PBC 、△PAB 、△PAC 均为等腰三角形，可知P 点为等边△ABC 的垂心；由此可得分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．

解：由点P 在等边△ABC 内，而且△PBC 、△PAB 、△PAC 均为等腰三角形，

可知P 点为等边△ABC 的垂心；

因为△ABC 是等边三角形，所以分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，交垂直平分线的交点就是满足要求的，

每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．

故选D ．

点评：此题主要考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，有一定的拔高难度，属于中档题．

14．如图所示，等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，其中1(0,1)A ，

(

21,1A -，(31,1A ，4(0,2)A ，(52,2A --，……，按此规律排下去，则2019A 的坐标为（ ）

A ．()673,6736733-

B ．()673,6736733--

C ．(0,1009)

D ．()674,6746743- 【答案】A

【解析】

【分析】 根据等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，及点的坐标特征，每三个点一个循环，2019÷3=673，A 2019的坐标在第四象限即可得到结论．

【详解】

∵2019÷3=673，

∴顶点A 2019是第673个等边三角形的第三个顶点，且在第四象限．

第673个等边三角形边长为2×673=1346，

∴点A 2019的横坐标为 12?1346=673．

点A 2019的纵坐标为673-13463?=673﹣6733．故点A 2019的坐标为：()673,6736733-．

故选：A ．

【点睛】

本题考查了点的坐标、等边三角形的性质，是点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质，确定出点A 2019所在三角形是解答本题的关键．

15．如图，ABC ?中，AB 的垂直平分线DG 交ACB ∠的平分线CD 于点D ，过D 作DE AC ⊥于点E ，若10AC =，4CB =，则AE =（ ）

A ．7

B ．6

C ．3

D ．2

【解析】

【分析】

连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=AD，DE=DF，依据HL定理可判断出Rt△AED≌Rt△BFD，根据全等三角形的性质即可得出BF=AE，再运用AAS定理可证得Rt△CED≌Rt△CFD，证出CE=CF，设AE的长度为x，根据CE=CF列方程求解即可．

【详解】

如图,连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F.

的平分线CD于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，

∵AB的垂直平分线DG交ACB

∴BD=AD，DE=DF．∴Rt△AED≌Rt△BFD．

∴BF=AE．

又∵∠ECD=∠FCD，∠CED=∠CFD，CA=CA，∴Rt△CED≌Rt△CFD，

∴CE=CF，

设AE的长度为x，则CE=10-x，CF=CB＋BF= CB＋AE= 4＋x,

∴可列方程10-x=4＋x，x=3，∴AE=3；

故选C.

【点睛】

本题涉及到线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形解答．

16．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E,若△ABC的周长为24，CE＝4，则△ABD的周长为（）

A．16 B．18 C．20 D．24

【答案】A

【解析】

【分析】

根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行解答即可.

解：∵DE是BC的垂直平分线，

∴DB=DC，BC=2CE=8

又∵AABC的周长为24，

∴AB+BC+AC=24

∴AB+AC=24-BC=24-8=16

∴△ABD的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=16，故答案为A

【点睛】

本题考查的是线段的垂直平分线的性质，理解并应用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

17．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为(1，0)、(2，3)，若顶点C 落在坐标轴上，则符合条件的点C有( )个.

A．9 B．7 C．8 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若CA=CB，②若BC=BA，③若AC=AB）讨论，通过画图就可解决问题．

【详解】

①若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上．

∵A（1，0），B（2，3），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点C1，C2．

②若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有3个交点（A点除外）C3，

C4，C5；

③若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点C6，C7，C8，C9．而C8（0，-3）与A、B在同一直线上，不能构成三角形，故此时满足条件的点有3个．

综上所述：符合条件的点C的个数有8个．

故选C．

本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解答本题的关键．

18．如图，在△ABC 中，BI ，CI 分别平分∠ABC，∠ACB，过I 点作DE∥BC，交AB 于D ，交AC 于E ，给出下列结论：①△DBI 是等腰三角形；②△ACI 是等腰三角形；③AI 平分∠BAC；④△ADE 周长等于AB ＋AC ．其中正确的是( )

A ．①②③

B ．②③④

C ．①③④

D ．①②④

【答案】C

【解析】

【分析】 根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．

【详解】

①∵IB 平分∠ABC ，∴∠DBI =∠CBI ．

∵DE ∥BC ，∴∠DIB =∠CBI ，∴∠DBI =∠DIB ，∴BD =DI ，∴△DBI 是等腰三角形．

故本选项正确；

②∵∠BAC 不一定等于∠ACB ，∴∠IAC 不一定等于∠ICA ，∴△ACI 不一定是等腰三角形． 故本选项错误；

③∵三角形角平分线相交于一点，BI ，CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，∴AI 平分∠BAC ．故本选项正确；

④∵BD =DI ，同理可得EI =EC ，∴△ADE 的周长=AD +DI +EI +AE =AD +BD +EC +AE =AB +AC ． 故本选项正确；

其中正确的是①③④．

故选C ．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键．

19．如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，AH BC ⊥，AE 平分BAC ∠，M 是 BC 中点，则下列结论正确的个数为（ ）

（1）AB BE AC += （2）2AB BH BC += （3）2AB HM = （4）

CH EH AC

+=

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】

【分析】

（1）延长AB取BD=BE，连接DE，由∠D=∠BED，2

ABC C

∠=∠，得到∠D=∠C，在△ADE和△ACE中，利用AAS证明ADE ACE

≌，可得AC=AD=AB+BE；

（2）在HC上截取HF=BH,连接AF，可知△ABF为等腰三角形，再根据

2

ABC AFB C

∠=∠=∠，可得出△AFC为等腰三角形，所以FC+BH+HF=AB+2BH=BC；（3）HM=BM-BH，所以2HM=2BM-2BH=BC-2BH，再结合（2）中结论，可得2

AB HM

=；

（4）结合（1）（2）的结论，

BC2BH BE BC BH BE BH CH EH

AC AB BE

=+=-+=-+-=+.

【详解】

解：

①延长AB取BD=BE，连接DE，

∴∠D=∠BED，∠ABC=∠D+∠BED=2∠D,

∵2

ABC C

∠=∠，∴∠D=∠C，

在△ADE和△ACE中，

DAE CAE

D C

AE AE

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴ADE ACE

≌

∴AC=AD=AB+BE，故（1）正确；

②在HC上截取HF=BH,连接AF，

∵AH BC

⊥，∴△ABF为等腰三角形，

∴AB=AF，∠ABF=∠AFB，

∵2

ABC C

∠=∠，∴∠AFB=2∠C=∠C+∠CAF，

∴FC=AF=AB，

∴FC+BH+HF=AB+2BH=BC，

故（2）正确；

③

∵HM=BM-BH ，∴2HM=2BM-2BH=BC-2BH ，

由②可知BC-2BH=AB ，

∴2AB HM =

④

根据①②结论，可得:

BC 2BH BE BC BH BE BH CH EH AC AB BE =+=-+=-+-=+，

故（4）正确；

故选D.

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的外角以及全等三角形的判定和性质，结合实际问题作出合适辅助线是解题关键.

20．如图，ABC △中，60BAC ∠=?，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=?．下列结论：

①120BEC ∠=?；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（ ）．

A ．①②

B ．①③

C ．②③

D ．①②③

【答案】D

【解析】 分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出

∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．

详解：∵60BAC ∠=?，

∴18060120ABC ACB ∠+∠=?-?=?，

∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，