)*
n S n N
∈，{}n
b 是首项为2的等比数列，且公
比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -?的前n 项和.
26．已知函数()f x a b =?v v ，其中
()
()2cos 32,cos ,1,a x sin x b x x R ==∈v v
． （1）求函数()y f x =的单调递增区间；
（2）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,7a b c f A a ==2b c =，求
ABC ?的面积．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式， 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。 【详解】
：设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，那么1
q n n a a -=，根据最
后一个音是最初那个音的频率的2倍，112
12
13
2q q 2a a a ==?=，所以
47
213
q a f f a ===D 【点睛】
：本题考查了等比数列的基本应用，从题目中后一项与前一项之比为一个常数，抽象出等比数列。
2．C
解析：C 【解析】
依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，Q 数列的首项为正数，
()()1201610081009100810092016
201620160,0,02
2
a a a a a a S +?+?∴>∴==
，
()1201720171009
2017201702
a a S a
+?=
=?<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是
2016，故选C.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】
根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142
a λ
+∴=
,
故当2n ≥时，1
12n n n n a S S --=-=,
Q 数列{}n a 是等比数列,
则11a =，故412
λ
+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】
本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】
∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1， ∴
()11119999110216y x y x
x y x y x y x y x y ??+=+?+=+++≥+?= ???
当且仅当9y x x y =时成立，即11
,124
x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】
本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.
5．B
解析：B 【解析】
试题分析：由题可知，将111
()(233
n n n a a n -=
+≥，两边同时除以，得出
，运用累加法，解得
，整理得2
3
n n n a +=
； 考点：累加法求数列通项公式
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】
由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>?<，所以0d <，且
20182019
00a a >??
240374037022a a S a a a
a a S +?=?=+?>???+?=?=?
，所以使前n 项和
0n S >成立的最大正整数n 是4036.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线1
2
BD c =
，在BCD V 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】
解：3,33,30b c B ===o Q ，
∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得239272332
a a =+-???，
整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．
Q 如图，CD 为AB 边上的中线，则1332BD c ==，
∴在BCD V 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-??，可得：
222333336(
)26222CD =+-???，或222333333()23222
CD =+-???
， ∴解得AB 边上的中线32CD =
或37
2
． 故选C ．
【点睛】
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．
8．D
解析：D 【解析】
作出不等式组20400x y x y y -+≥??
+-≤??≥?
，所表示的平面区域，如图所示，
当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，
max 2z =，
当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．
点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（
y b x a
++型）和距离型（()()22
x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值． 【详解】
由题意，设ABC ?的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222
sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A
+++===， 所以2
cos 2n A n
+=
． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5
cos 2(2)(1)2(2)
n n n n A n n n +++-+==+++．
所以
25
22(2)
n n n n ++=+，解得4n =， 所以453
cos 2(42)4
A +=
=+，
即最小角的余弦值为34
． 故选A ． 【点睛】
解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】
由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2
sin cos sin cos sin ,C B B C A +=
()2sin sin sin 1C B A A ?+=?=,因为000180A <<，所以090A =；
由余弦定理、三角形面积公式及)
2224S b a c =
+-，得1sin 2cos 24
ab C ab C =,
整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】
本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
11．D
解析：D 【解析】
∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1，
∴(a4－1)3＋2 016(a4－1)＋(a2 013－1)3＋2 016(a2 013－1)＝0，设a4－1＝m，a2 013－1＝n，
则m3＋2 016m＋n3＋2 016n＝0，
化为(m＋n)·(m2＋n2－mn＋2 016)＝0，
∵
2
222
13
2?01620160
24
m n mn m n n
??
=-++>
?
??
＋－＋，
∴m＋n＝a4－1＋a2 013－1＝0，∴a4＋a2 013＝2，
∴
()()
1201642013
2016
20162016
2016
22
a a a a
S
++
===.
很明显a4－1>0，a2 013－1<0，∴a4>1>a2 013，本题选择D选项.
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
()()
11
22
n n n n
+-
=-
的表达式，可得出数列{}n a的通项公式.
【详解】
(1)(1)
,(2)
22
n n n n
n n
+-
=-=≥
1
=
，所以
2
,(1),
n
n n a n
=≥=，选B.
【点睛】
给出n S与n a的递推关系求n a，常用思路是：一是利用1,2
n n n
a S S n
-
=-≥转化为
n
a的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S的递推关系，先求出n S与n之间的关系，再求n a. 应用关系式1
1
,1
{
,2
n
n n
S n
a
S S n
-
=
=
-≥
时，一定要注意分1,2
n n
=≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
二、填空题
13．【解析】分析：根据可以求出通项公式；判断与是否相等从而确定的表达式详解：根据递推公式可得由通项公式与求和公式的关系可得代入化简得经检验当时所以所以点睛：本题考查了利用递推公式求通项公式的方法关键是最
解析：
4,1
41,2
n
n
a
n n
=
?
=?
-≥
?
.
【解析】
分析：根据1n n n a S S -=-可以求出通项公式n a ；判断1S 与1a 是否相等，从而确定n a 的表达式。
详解：根据递推公式，可得2
12(1)(1)1n S n n -=-+-+
由通项公式与求和公式的关系，可得1n n n a S S -=- ，代入化简得
22212(1)(1)1n a n n n n =++-----
41n =-
经检验，当1n =时，114,3S a == 所以11S a ≠ 所以 4,1
41,2n n a n n =?=?
-≥?
.
点睛：本题考查了利用递推公式1n n n a S S -=-求通项公式的方法，关键是最后要判断1S 与
1a 是否相等，确定n a 的表达式是否需要写成分段函数形式。
14．【解析】【分析】将已知条件平方后结合余弦定理及基本不等式求解出的范围得出角的范围【详解】解：在中即当且仅当是取等号由余弦定理知故答案为：【点睛】考查余弦定理与基本不等式三角函数范围问题切入点较难故属
解析：(0,]3
π
【解析】 【分析】
将已知条件平方后，结合余弦定理，及基本不等式求解出cos C 的范围.得出角C 的范围. 【详解】
解：在ABC V 中，2a b c +=Q ，
22()4a b c ∴+=，
222422a b c ab ab ∴+=-≥，
即2c ab ≥，
当且仅当a b =是，取等号， 由余弦定理知，
222223231
cos 12222a b c c ab c C ab ab ab +--===-≥，
03
C π
∴<≤
.
故答案为：(0,]3
π
.
【点睛】
考查余弦定理与基本不等式，三角函数范围问题，切入点较难，故属于中档题.
15．【解析】【分析】结合已知条件结合余弦定理求得然后利用基本不等式求得的最大值进而求得三角形面积的最大值【详解】由于三角形面积①由余弦定理得②由①②得由于所以故化简得故化简得所以三角形面积故答案为【点睛
解析：
1
4
【解析】 【分析】
结合已知条件，结合余弦定理求得π
4
C =，然后利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】
由于三角形面积2211sin 24a b S ab C +-==①，由余弦定理得221
cos 2a b C ab +-=②，由
①②得sin cos C C =，由于()0,πC ∈，所以π4C =.故221cos 2a b C ab +-==
，化简
221a b =+-22121a b ab =+-≥-，化简得22
ab +≤所以三角形
面积1121
sin 22224
S ab C =≤?=.
故答案为1
4
. 【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值的方法，属于中档题.
16．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的
【解析】
试题分析：cos
23
C =
，21cos 2cos 129C C =-=，sin 9C =，
cos cos 2a B b A c +==，外接圆直径为2sin c R C =
=
，由图可知，当C 在AB 垂
直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x =，则由相交弦定理有1x x ?
-=????
，解得
52
x =
，故最大面积为155
2222S =??=
.
考点：解三角形．
【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角公式、正弦定理，化归与转化的数学思想方法，数形结合的数学思想方法.一开始题目给了C 的半角的余弦值，我们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值.第二个条件cos cos 2a B b A +=我们结合图像，很容易知道这就是2c =.三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定的，所以面积最大也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.
17．9【解析】解：由题意可知：良马与驽马第天跑的路程都是等差数列设路程为由题意有：故：满足题意时数列的前n 项和为由等差数列前n 项和公式可得：解得：即二马相逢需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题(1)
解析：9 【解析】
解：由题意可知：良马与驽马第n 天跑的路程都是等差数列，设路程为{}{},n n a b ， 由题意有：()()1111031131390,97197222n n a n n b n n ??
=+-?=+=+-?-=-+ ???
， 故：11
187
1222
n n n c a b n =+=+ ， 满足题意时，数列{}n c 的前n 项和为112522250n S =?= ，
由等差数列前n 项和公式可得：1111187121871222222250
2
n n ?
???+++ ? ??????= ， 解得：9n = .
即二马相逢，需9日相逢 点睛：本题考查数列的实际应用题. (1)解决数列应用题的基本步骤是：
①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知； ②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型； ③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论．
(2)数列应用题常见模型：
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n －1的递推关系，或前n 项和S n 与S n －1之间的递推关系．
18．或【解析】【分析】根据同侧同号列不等式解得结果【详解】因为原点和点在直线的同侧所以或即的取值范围是或【点睛】本题考查二元一次不等式区域问题考查基本应用求解能力属基本题
解析：{|2020a a >或0}a < 【解析】 【分析】
根据同侧同号列不等式，解得结果. 【详解】
因为原点和点()1,2019-在直线0x y a -+=的同侧，所以
(00)(12019)02020a a a -+--+>∴>或0a <，即a 的取值范围是{2020a a 或0}.a <
【点睛】
本题考查二元一次不等式区域问题，考查基本应用求解能力.属基本题.
19．【解析】【分析】利用成等比数列得到再利用余弦定理可得而根据正弦定理和成等比数列有从而得到所求之值【详解】∵成等比数列∴又∵∴在中由余弦定理因∴由正弦定理得因为所以故故答案为【点睛】在解三角形中如果题
【解析】 【分析】
利用,,a b c 成等比数列得到222c b a bc +-=，再利用余弦定理可得60A =?，而根据正弦定理和,,a b c 成等比数列有1
sin sin c b B A
=，从而得到所求之值. 【详解】
∵,,a b c 成等比数列，∴2b ac =.又∵22a c ac bc -=-，∴222c b a bc +-=.
在ABC ?中，由余弦定理2221
cos 22
c b a A bc +-== ，
因()0,A π∈，∴60A =?. 由正弦定理得
2sin sin sin sin sin sin c C C
b B B B B
==，
因为2b ac =， 所以2sin sin sin B A C = ，
故
2
sin sin 1sin sin sin sin 3
C C B A C A ===.
故答案为 3
. 【点睛】
在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
20．【解析】【分析】变形之后用基本不等式：求解即可【详解】原式可变形为：当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等 解析：
94
【解析】 【分析】
变形
14141444x y y x x y x y ????
++=+++ ? ?????之后用基本不等式：求解即可. 【详解】
原式可变形为：
()141419
14544444x y y x x y x y ????++=+++≥+= ? ????? 当且仅当43x =，8
3y =时取等．
故答案为：9
4
【点睛】
本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
三、解答题
21．（1）3
π
； （2） 【解析】 【分析】
（1）由正弦定理化简已知可得sinA=sin （A +
3
π
），结合范围A ∈（0，π），即可计算求
解A 的值；
（2）利用等差数列的性质可得b ，利用三角形面积公式可求bc 的值，进而根据余弦定理即可解得a 的值． 【详解】
（1）∵asinB=bsin （A+
3
π
）． ∴由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin （A +3
π
）． ∵sinB≠0， ∴sinA=sin （A+
3
π
）． ∵A ∈（0，π），可得：A +A+3
π
=π， ∴A=
3
π．
（2）∵b ，c 成等差数列，
∴，
∵△ABC 的面积为S △ABC =1
2
，
∴
123
bc sin π
??bc=8， ∴由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣2bc ﹣2bccos 3
π
=（b+c ）2﹣3bc=）2﹣24，
∴解得： 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
22．（1）3
； （2） 【解析】 【分析】
（Ⅰ）已知等式括号中第一项利用同角三角函数间基本关系化简，整理后求出cosB 的值，确定出sinB 的值，
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosB ，利用完全平方公式变形后，将a+b ，b ，cosB 的值代入求出ac 的值，再由sinB 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积． 【详解】
（Ⅰ）由()3cos cos tan tan 11A C A C -=得，sin sin 3cos cos 11cos cos A C A C A C ??
-=
???
,
3sin sin cos cos )1A C A C ∴-=（，即()1cos 3A C ∴+=-， 1
cos 3
B ∴=，
又0B π<< , 22
sin 3
B ∴=
． （Ⅱ）由余弦定理得：2221cos 23a c b B ac +-== ()2
221
23
a c ac
b a
c +--∴=，
又33a c +=，3b =
，9ac =,
1
sin 322
ABC S ac B ?∴=
=． 【点睛】
本题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 23．救援船到达D 点需要1小时． 【解析】 【分析】 【详解】
5(33)906030,45,105sin sin ?sin 5(33)?sin 455(33)?sin 45sin AB DBA DAB ADB DB AB
DAB DAB ADB AB DAB DB ADB =+∠=?-?=?∠=?∴∠=?
?=
∠∠∠+?+?
∴=
==
∠解：由题意知海里，在中，由正弦定理得
海里
又
海里
中，由余弦定理得
,
海里，则需要的时间
答：救援船到达D 点需要1小时 24．(1) 21n a n =- (2)见证明 【解析】 【分析】
(1)由题意将递推关系式整理为关于n S 与1n S -的关系式，求得前n 项和然后确定通项公式即可；
(2)由题意结合通项公式的特征放缩之后裂项求和即可证得题中的不等式.
【详解】 （1
）由n a =
1n n S S --=+
1(2)n =≥，
所以数列
1==为首项，以1为公差的等差数列，
1(1)1n n =+-?=，即2
n S n =，
当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，
当1n =时，111a S ==，也满足上式，所以21n a n =-； （2）当2n ≥时，
111(21)(22)n na n n n n =<--111112(1)21n n n n ??==- ?--??
， 所以123111123n a a a na +++???+1111111122231n n ??<+-+-++- ?-??L 313222
n =-< 【点睛】
给出n S 与n a 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .
25．（1）32n a n =-，2n
n b =，*
n N ∈；（2）()14328
3
n n +-+，*n N ∈.
【解析】 【分析】
（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式； （2）用错位相减法求和． 【详解】
（1）数列{}n b 公比为q ，则2
232212b b q q +=+=，∵0q >，∴2q =，
∴2n
n b =，
{}n a 的公差为d ，首项是1a ，
则41328a a b ==-，4
11411112176S b ==?=，
∴111328
1110111762a d a a d +-=??
??+?=??
，解得113a d =??=?． ∴13(1)32n a n n =+-=-．
（2）21221(62)2n n n a b n --?=-?，数列{}221n n a b -?的前n 项和记为n T ，
352142102162(62)2n n T n -=?+?+?++-?L ，①
23572121242102162(68)2(62)2n n n T n n -+=?+?+?++-?+-?L ，②
①－②得：3521
2138626262
(62)2n n n T n -+-=+?+?++?--?L 1218(14)
86(62)214
n n n -+-=+?--?-14(23)8n n +=--，
∴14(32)83
n n n T +-+=．
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和及错位相减法求和．在求等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等． 26．（1）(),36k k k Z ππππ??
-++∈????；（2）736
.
【解析】 【分析】
（1）利用向量数量积的坐标运算公式、降次公式和辅助角公式，化简()f x 为
()sin A x B ω?++的形式，将x ω?+代入ππ2π,2π22k k ?
?
-+???
?中，解出x 的范围，由此
求得函数的单调区间.（2）利用()2f A =求得角A 的大小，利用余弦定理和2b c =列方程组，解方程组求得2c 的值，由此求得三角形的面积. 【详解】 （1）=
，
令πππ
2π22π,262
k x k -
≤+≤+解得，k ∈Z ， 函数y=f （x ）的单调递增区间是（k ∈Z ）．
（2）∵f （A ）=2，∴，即
，
又∵0＜A ＜π，∴，
∵
，由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣3bc=7，①
b=2c ，②， 由①②得， ∴．
【点睛】
本小题主要考查向量的数量积运算，考查三角函数降次公式、辅助角公式，考查利用余弦定理解三角形.属于中档题.
