高中数学—-指数函数与对数函数
指数函数、对数函数问题
例题剖析：
设f(x)=log2,试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；
解析：(1)a.定义法：由>0且2 —X M0得F(x)的定义域为(—1, 1),
设—1v xl v x2v 1,则
F(x2)—F(x1)=()+()
5
?/x2 —x1>0,2—x1>0,2 —x2>0, ???上式第2项中对数的真数大于1.
因此F(x2)—F(x1)>0,F(x2)>F(x1),「. F(x)在(—1, 1) 上是增函数.
b.单调性：由>0且2—X M0得F(x)的定义域为(一1 , 1),贝U
，显然在定义域上(-1 , 1)是增函数
函数在定义域上(-1, 1)是增函数。
C导数法：(理科)
?函数在定义域上(-1 , 1)是增函数。
典型例题：
例1:已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y 轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.
(1) 证明：点C、D和原点O在同一条直线上；
⑵当BC平行于x轴时，求点A的坐标.
答案：(1)证明：设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知：x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为Iog8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以，点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x 1==3log8x2,
所以OC的斜率：k1=,
OD的斜率：k2=，由此可知：k仁k2,即0、C、D在同一条直线上.
(2) 解：由BC平行于x轴知：Iog2x1=log8x2 即: Iog2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2 得：
x13log8x仁3x1log8x1,由于x1>1 知log8x1 M 0,A X13=3X1.又x1>1,「. x1=,则点A 的坐标为(,log8). 例2：在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…，对每个自然数n点Pn位于函数y=2000()x(0 (1)求点Pn的纵坐标bn的表达式； ⑵若对于每个自然数n,以bn,bn +1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围； ⑶设Cn=lg(bn)(n € N*),若a取⑵中确定的范围内的最小整数，问数列｛Cn｝前多少项的和最大？试说明理由. 解：(1)由题意知：an=n+,? bn=2000(). ⑵???函数y=2000()x(0 5( —1) (3) 5( —1) ? bn=2000().数列｛bn｝是一个递减的正数数列，对每个自然数n >2,Bn=bnBn—1.于是当bn > 1 时，B*Bn—1,当bn<1时，Bn w Bn—1,因此数列｛Bn｝的最大项的项数n满足不等式bn> 1且bn +1<1,由bn=2000()》1 得：n w 208 /? n=20. 巩固练习： 一、选择题 1?定义在(—8 ,+8)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和， 如果f(x)=lg(10x+1),其中x€ ( —8，+m),那么() A. g(x)=x,h(x)=lg(10x+10—x+2) B. g(x)= [lg(10x+1)+x] ,h(x)= : lg(10x+1) —x] C. g(x)=,h(x)=lg(10x+1)— D. g(x)=—,h(x)=lg(10x+1)+ 2. 当a>1时，函数y=logax和y=(1 —a)x的图象只可能是() 二、填空题 3. 已知函数f(x)=.则f- —1(x—1)= _____ . 4. 设函数f(x)=loga(x —3a)(a>0 且a* 1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x—2a,—y)是函数y=g(x)图象上的点. (1)写出函数y=g(x)的解析式； ⑵若当x€[ a+2,a+3]时，恒有|f(x) —g(x)| w 1,试确定a的取值范围. 5. 已知函数f(x)=logax(a>0 且a* 1),(x€ (0,+8)),若x1,x2€ (0,+m),判断:f(x1)+f(x2):与f()的大小，并加以证明. 6. 已知函数x,y 满足x> 1,y> 1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0 且a * 1),求loga(xy)的取值范围. 7. 设不等式2(logx)2+9(logx)+9 w 0的解集为M ,求当x € M时函数f(x)=(log2)(log2)的最大、最小值. 参考答案 1. 解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10x+1) ① 又g( —x)+h(—x)=lg(10 —x+1).即一g(x)+h(x)=lg(10 —x+1) ② 由①②得：g(x)=,h(x)=lg(10x+1)—. 答案：C 2. 解析：当a>1时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，又a>1时，y=(1 —a)x为减函数. 答案：B 3. 解析：容易求得f- —1(x)=,从而： f —1(x—1)= 答案： 4. 解:(1)设点Q 的坐标为(x' ,y'),则x' =x—2a,y' =—y.即x=x' +2a,y=—y，. ???点P(x,y)在函数y=loga(x—3a)的图象上，/?—y' =loga(x，+2a—3a),即y ‘ =loga, g(x)=loga. ⑵由题意得x—3a=(a+2)—3a=—2a+2>0;=>0,又a>0 且a* 1,二0v a< 1, v |f(x) — g(x)|=|loga(x —3a) —loga|=|loga(x2 —4ax+3a2)| ? |f(x) —g(x)| w 1, A — 1 w loga(x2 — 4ax+3a2)w 1, v 0< a< 1, ??? a+2>2a.f(x)=x2 —4ax+3a2 在[a+2,a+3]上为减函数，A卩(x)=loga(x2 —4ax+3a2)在 [ a+2,a+3] 上为减函数，从而[(x)] max=(a+2)=loga(4 —4a), [(x)] min=卩 (a+3)=loga(9—6a),于是所求问题转化为求不等式组的解. 由loga(9 —6a)》—1 解得0< a w ,由loga(4 —4a) w 1 解得0< a w , ?所求a的取值范围是0< a w . 5. 解:f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2, ?/x1,x2 € (0,+s),x1x2W ()2(当且仅当x仁x2 时取“=”号), 当a>1 时，有Iogax1x2 < loga()2, .?.Iogax1x2w loga(), (Iogax1+logax2)< loga, 即f(x1)+f(x2)]w f()(当且仅当x仁x2时取“=”号) 当O v a v 1 时，有logax1x2 > loga()2, ???(Iogax1+logax2) > loga,即]f(x1)+f(x2) ]> f()(当且仅当x仁x2 时取“=”号). 6. 解：由已知等式得：Ioga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax —1)2+(logay —1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy则(u —1)2+(v —1)2=4(uv > 0),k=u+v.在直角坐标系uOv 内，圆弧(u —1)2+(v—1)2=4(uv > 0)与平行直线系v= —u+k有公共点，分两类讨论. (1)当u > 0,v> 0时，即a>1时，结合判别式法与代点法得1+w k w 2(1+); ⑵当u w 0,v< 0,即0v a v 1时，同理得到2(1 —)< k< 1 —.x综上，当a>1时，logaxy的最大值为2+2，最小值为1+;当0 v a v 1时，logaxy的最大值为1 ―,最小值为2 —2. 7. 解：T 2(x)2+9(x)+9w 0 ?? (2x+3)( x+3) w 0. ? —3w x w—. 即()—3 w x w () ?- () w x w () —3, ?? 2w x w 8 即M={x|x €[ 2,8: } 又f(x)=(log2x —1)(log2x —3)=log22x —4log2x+3=(log2x —2)2 —1. ■/ 2w x w 8, .w Iog2x w 3 ???当Iog2x=2,即x=4 时ymin= —1;当Iog2x=3,即x=8 时，ymax=0.