磁力和磁力矩地计算
第6章磁力的计算
由理论力学可知，体系在某一方向的力和力矩等于在该方向的能量梯度，可表达为：
WW
F,T(6-1)
i
q
ii
式中，W—为体系的能量，q—在i方向的坐标，F
i—i方向的力，T—作用在方向的力
i
矩，—旋转角。
1．吸引力的计算
1)气隙能量有解的表达式:
2
B g AL
gg W或
2
2
B g AL
gg W(6-2)
8
由上式得吸引力:
2
B g A
g
F（6-3）
2
Wb，式中，F—吸引力N，B g—气隙磁密2
m A—板面积
g
2
m，0—真空磁导率
7H
410
m
2)如果气隙较大,B g不均匀，能量表达式由(3)得引力应为:
2
B g A
g
F(6-4)
8
式中，F—吸引力d，
yn B—G，
g
A—
g
2
cm。
为了计算方便，将上式化为：
F
2
B
gA
g
4965
（6-5）
式中，F—kgf，B
—G，A g—
g
2
cm。
W
1
2
2
g
B
dV （6-6）
dV为气隙体积元，积分在全部气隙中进行，如果r1时，0应改为0r0，此式由计算
80
机求出W ，再由
W q
i
求出 F 。
i 3）也可不先求W ，直接按下式求出磁吸引力F ：
Fpds （6-7）
F ——作用于磁体上的磁吸引力； s ——包围该物体的任意表面； p ——作用于该表面上的应力； p 的表达式为：
p
11 nBB 02
2 B n （6-8）
n ——沿积分表面s 法线方向的单位矢量； B ——磁感应强度矢量
4）下面介绍 R C 与铁氧体之间的磁吸引力。
05
试验证明，在永磁体直径D 等于高度 L 时，吸引力最大。故假定L m D1，此时，
m
气隙磁密 B 可用下列公式（注：此法由磁核积分法导出）。
g
L g
B g
B r
1
D 2
L g 1
D
在磁力试验中发现永磁体的 B H 也起作用，故将上式改为：
C
L g D
B g BH1(6-9)
rBC
2
L g 1
D
例，求两个铁氧圆环之间的吸引力。两环的磁特性和几何尺寸为：
B r3500G，B H C2250O e，d外＝5.0cm，d＝3.2cm
内
81
高度L m1.5cm
可把圆环看成是直径
D 1
2
d
外－d 内
和高度L m的圆柱绕z轴旋转而成的，故可用（6）
和（10）式联立求解。
L g
试验结果和计算结果表面，当相对气隙0.5
D 以前计算值和试验值相近。
2.排斥力的计算
由库伦定律可知，排斥力在数值上与吸引力相等，
F
01m2
m（6-10）
2
4r
当Q与Q
m2符号相同，为排斥力；
m1
当Q与Q
m2符号相反，为吸引力。
m1
这个条件F
引＝F对于线性退磁曲线的铁氧体和稀土铬永磁体，基本满足，而对于
斥
A1N i C等的永磁体不满足。
o
这个条件即使对RC O5,吸引力也稍大于排斥力。
这是由于在排斥条件下，有一磁矩偏离原来的方向，从而使磁板厚度有所减小。如果
两个永磁体的退磁曲线与纵坐标的交角接近45
0，则M在退磁场中变化越微小。
例，利用磁荷积分法，求出吸引力与排斥力，将排斥力的计算值与试验值比较，可知：
L g 1）当0.5
D 时，计算值和试验值接近；
2）当L较小时，计算值大于试验
值；
g
3）当L大时，计算值小于试验值。
g
故在利用排斥力的系统中，为了稳定，常使用中等气隙。因为气隙太小时，排斥力与气
隙的曲线太陡。气隙稍有变化，排斥力变化太大，不利于稳定。而气隙L太大，则排斥力
g
太小，需要使用更多的永磁材料。所以选择中等气隙较合适。
3.力矩的计算
1)永磁力矩电机的力矩。
82
T
C NI
e （6-11）
T ——力矩（Nm ，除以9.8九化为kgfm ）；
C ——常数，决定于电机的具体结构；
e
NI ——每板的总电流（A ）；
——每板的磁通量（Wb ）.
2)磁力传动器的力矩计算。
平面轴向磁力传动器。
静止时，永磁体的工作点在A ，这是低状态，转动时，主动体与被动体有一个角度差（或 较相位差），永磁体的工作点在C ，这是高状态，它的能量用下式计算：
OAC1
面积
WV m B r
82
H 2
H 1
（6-12） V 为全部永磁体的体积，V m 2A m L m m 在A 点有：
B 1 H 1 A m L m 1 f k 1 k k
B H 1 g 1 g A
g
L
g
（6-13）
在C 点有：
H 2 L m B 2 A m 2 k
r H k 2
g f 2 2 B g 2 L g
A g r 2
（6-14） 上两式各符号的意义与磁导法中相同。角标1对应A 点，角标2对应C 点。 假定， A g A （忽略漏磁）， m
1, 12 B g HBH
gg
2 g
上面条件在空气和真空中成立，在A1，C u ，无磁不锈钢中也基本成立，得：
B
1 1 k k
f 1 r
H L
1m L
g
B 2 k k f r 22
H 2 g L
2
L m r 2 （6-15） 利用
BHB
r 的关系，求出
83
H 1
1k
f
1 B r
1 k r
L m L g
H 2 22 1kk fr B r
L
m 2
g L r
2
（6-16） 于是得到能量表达式：
W 12
V m 8 2 B r 1k f 2 k r 2 1 L m 2 L g
r 2 1k f 1 1 k r 1 L m L g
（6-17） 进一步计算力矩： W 1
2 V m 8 2 B r k f k r 22 L m 1
2 g L k k f r 2 2 r 2 2 g L
3 2 L m r r r T
（6-18）
2 2
L g
令，cos
2r 2
R g
r 2r L g
2
sin 代入（23）式，得：
2k
2
1VrLsincos
f
m2m
TB （6-19）
r
222
28kL
2 k
r f
gLcos
m
1
2
kL
rg
当
22
k f k＝1时，欲得到最大力矩T max，由式（24）确定条件是：r
50.4, L m L3代入式（24）中，得，
g
22
T max1.3210B r A m rd yn
c m 式中，B r——G;
A——m
2
cm，永磁体的面积；
r——cm，永磁体的半径。
注意：
84
（a ）当
22
k f k 和L m L g 的值变化时，的最佳值也要变化；
r
（b ）在L g 较大的场合， 22 k f k ＝1和L m L g 3这两个条件不能试验，这时得到
r
的力矩明显小于 T 。
max
T 时理想设计的最大值，在L g 较小时，能接近T max 。 max
（c ）实际计算时应考虑气隙磁密分布的状态（它和极数有关）。系数，当气隙磁密 时理想的矩形波时，为1.0；当气隙磁密分布时理想的正方形波时，为0.5。当气隙磁 密在两者之间，在0.5与1.0之间取值。为设计留有余量，一般取＝0.5。
（d ）由气隙磁能求力和力矩
气隙磁电W g 可通过气隙磁通 g ，气隙磁压降g ，和气隙磁导P g 来表示：
g 来表示：
111 22
W g pp
gggggg 222
(6-20)
按理论力学求力和力矩的法则，在x 方向的力， F x W g x
1 2 gg x 1 2 2 g x p g 1
2 2 g p g x
（6-21）
方向的力矩，
T
22
W g pp
111 gggggg
222
（6-22） 例，求两平行磁极之间的吸引力。
气隙截面 A ，间隙L g ，
g
A 0g
p gL
g
，gH g L g ，gB g A g
85
A
111
20g
22
W g p1HLHLA
gggg0ggg 22L2
g
L
111
2g
22
或ggg
ggg
22A2
0g0
或
1 2 1 gBHLA ggggg
2
轴向吸引力 F ，
x
WW
1121gg
2
F x HABABHA
0ggggggg
xL222
g0
这三个式子是等价的，因为，
B g0H
g
2
,,,,410
27
式中，B g
W b mH g AmA g mFNHm
例2，同轴圆柱表面由径向磁通引起的轴向力。同轴圆柱表面的径向气隙 L ，可动小圆柱 g
的半径 r ，深入大圆筒内的深度为l ，欲求小圆柱所受的轴向力F z 。
1
解：径向气隙中的磁导p g ，
2r
p gL
g
L 2 g
WORD格式
22
prL
1
g01g
F
zL
g
2l
g 2 g
或
4
L
g
0rL2
1g
l
2
2
g
例3，求同轴圆柱面之间的力矩。
86
转子半径为r，定子的单边气隙为L
g，转子离开平衡位置的转角为（单位为弧度）。
1
气隙磁导p，
g
rL
01g
p
gL
2
g
2L
p g 0r
1
L
g
2L
2L
g
prL2L 1
2g01g2
T，或
gL
g
24
g 0
2
g
rL g
1
力矩
2
2L
87