沪教版(上海)数学高二上册-7.4 数学归纳法 学案

7.4 数学归纳法

【学习目标】

1 、了解“归纳法” 的含意，能区分不完全归纳法与完全归纳法；

2、理解“数学归纳法”的实质；并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤；

3、掌握数学归纳法证明命题的两个步骤，会用“数学归纳法”证明简单的恒等式。

【课前导学】

1、请思考以下三个问题：

①从一个袋子里摸出来的第一个东西是红球，第二个也是红球，第三个，第四个都是红球，此时能判断袋子里的东西是红球吗？

②从袋子里的第一次摸出的是一个红球，如果同时提供这样一个保证：“若你这一次摸出的是红球，则下一次摸出的一定也是红球”，那么能否判断袋子里的东西全是红球呢？

③如何用数学语言描述：“若你这一次摸出的是红球，则下一次摸出的一定也是红球？”

2、观看“多米诺骨牌视频”请讨论以下三个问题：

①假设从教室到操场立摆着许多砖块，我们当然可以一块一块地把它们全部推倒.现在只允许推倒一块，你能保证外面的砖块都倒下吗？你有办法做到使它们都倒下吗？

②如果不推任何一块砖，这些砖能全部倒下吗？

③如果在砖列的某一段上拿走几块，那么你推第一块还能保证全部都倒下吗？

【课堂学习】

一、归纳法

叫做归纳法。

[点拨]①归纳法分为 和

把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为

根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做

② 由 得到的结论不一定都是正确的。

如：对于数列{}n a 22(55)n a n n =-+，易验证：12341,1,1,1a a a a ====，如

果由此得出结论——“对任意*n N ∈，都有1n a =”显然是错误的，事实上，

5251a =≠。

二、数学归纳法

用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

①证明 结论正确；

②假设当 时结论正确，证明当 时结论也正确。 由①②可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。这种证明方法叫做 。

[点拨]①数学归纳法的适用范围，仅限于有关自然数（N 或*

N ）的命题。数学归纳法的重要性在于运用了有限的两个步骤，就解决了有关自然数的无限的命题的证明。

②数学归纳法的第一步称为奠基步；第二步称为归纳假设递推步。第一步

的验证是递推的基础，第二步的假设是递推的依据，在归纳假设的前提

下，完成递推进程，即完成“()P k 真(1)P k +也真”。（其原理如图）

③数学归纳法的两个步骤缺一不可。只有第一步而无第二步，那只是不

完全归纳法，只能得到有限个命题的真实性。如：对于数列{}n a 22(55)n a n n =-+，易验证：12341,1,1,1a a a a ====，如果由

此得出结论——“对任意*n N ∈，都有1n a =”显然是错误的，事实上，5251a =≠。

只有第二步而无第一步，此时命题虽然具有递推性，但第二步的假设就失去了基础，命题的真实性也不可靠。

如：对“等式”：2

135...(21)1n n ++++-=-，由假设当n k =时成立，即 2135...(21)1k k ++++-=-，则1n k =+时有：

22135...(21)[2(1)1]1[2(1)1](1)1k k k k k ++++-++-=-++-=+-

所以1n k =+时“等式”也成立。事实上，1n =时“等式”就不成立。

三、数学归纳法的应用

[例题1]用数学归纳法证明：2222(1)(21)123...6n n n n ++++++=

[练习] 用数学归纳法证明：① 2135...(21)n n ++++-=；*n N ∈

② 21427...(31)(1)n n n n ?+?+++=+；*

n N ∈

[例题2]用数学归纳法证明：222222

1234...(21)(2)(21)n n n n -+-++--=-+， *n N ∈

[练习] 用数学归纳法证明 2222121(1)1234 (1)

(1)2n n n n n --+-+-++-=-?，*n N ∈

[例题3] 用数学归纳法证明：422135n n +++能被14整除（其中*n N ∈）。

[练习] 用数学归纳法证明(31)71n

n +?-能被9整除（其中*n N ∈）。

[例题4]①用数学归纳法证明()()()()()N n n n n n n n

∈-????=+++1231221 时，从“k ”到“1+k ”的证明，左边需增添的代数式是 （ ）

A ．12+k

B ．1

12++k k C ．)12(2+k D ．132++k k ②设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推 出(1)f k +≥2

)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是 （ ） Ａ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立

Ｂ．若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立

Ｃ．若49)7(

Ｄ．若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立

【自主小结】 ①数学归纳法适用的范围是 ．

②数学归纳法的核心，是在验证n0正确的基础上，证明n=k+1的正确具有递推性(n≥n0)．第一步是递推的基础或起点，第二步是递推的依据．因此，两步缺一不可．证明中，恰当地运用归纳假设是关键．

【课后练习】

【必做作业】练习册 P12 习题7.4(A)(B)组.

教学反思

数学归纳法是高中数学中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法，数学归纳法这一方法，贯通了高中数学的几大知识点：不等式，数列，三角函数，平面几何等。通过对它的学习，能起到以下几方面的作用：提高学生的逻辑思维、推理能力；培养学生辩证思维素质，全面提高学生数学能力；培养学生科学探索的创新精神，提高学生综合素质。

对数学归纳法的教学，我主要从以下几个方面进行设计：

（1）为什么要使用数学归纳法？

（2）什么是数学归纳法？

（3）什么时候使用数学归纳法？

（4）怎样正确使用数学归纳法？

根据本节课的内容和学生的实际水平，我采用的是引导发现法和感性体验法进行教学。

为了说明两种归纳法的可靠程度，我通过一个盒子中的粉笔（白色和彩色）、笔盖等的判断和回忆等差数列的通项公式的推导，又通过多米诺骨牌游戏的实际操作促进学生对“递推关系” 的理解，为数学归纳法的应用前提和场合提供形象化的参照物。

通过生活事例和数学问题的比较，引导学生讨论，促使学生主动思维。

通过本节课的教学也使学生掌握递推原理，提高学生的逻辑思维和推理能力。

本节课的结构可以，对学生的学法指导不错，让学生清楚学习数学归纳法的用途，指明了方向，总体来说，学生接受的程度不错。