高中数学向量专题 概念+例题

高中数学向量专题

学习目标

1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.掌握向量的加法和减法.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.

2.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用，掌握平移公式.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.

3.了解平面向量的基本原理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.

向量是高中数学的新增内容，作为数形结合的有力工具，它的应用极其广泛，在复数、平几、解几、立几、物理等知识中均有涉及.

本章在系统地学习了平面向量的概念及运算的基础上，突出了向量的工具作用，利用向量的思想方法解决问题是本章特点的一个方面，向量本身具有数与形结合的双重身份，这为解决问题过程中充分运用数形结合的思想方法创造了条件.通过本章学习，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力.

知识点

1.向量的定义

既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向线段表示. AB表示从点A到B的向量(即A为起点，B为终点的

向量)，也可以用字母a、b、c…等表示.(印刷用黑体a、b、c，书写用a、b、c注意：长度、面积、体积、质量等为数量，位移、速度、力等为向量).

2.向量的模

所谓向量AB的大小，就是向量AB的长度(或称模)，记作｜AB｜或者｜a｜.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.

3.零向量与单位向量：长度为0的向量称为零向量，用0表示. 0向量的方向是不定的，或者说任何方向都是0向

量的方向，因此0向量有两个特征：一长度为0；二是方向不定.长度为1的向量称为单位向量.

4.平行向量、共线向量

方向相同或相反的非零向量称为平行向量.特别规定零向量与任一向量都平行.因此，零向量与零向量也可以平行.根据平行向量的定义可知：共线的两向量也可以称为平行向量.例如AB与BA也是一对平行向量.

由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量.例如，若四边形ABCD是平行四边形，则向量AB与CD是一组共线向量；向量AD与BC也是一组共线向量.

5.相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量a与向量b相等，记作a=b.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.

重点难点

通过本节学习，应该掌握：(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念；(2)掌握向量的几何表示，会用字母表示向量；(3)了解平行向量的概念及表示法，了解共线向量的概念.

例1判断下列各命题是否正确

(1)若｜a｜=｜b｜，则a=b

(2)若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB =DC 是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件. (3)若a =b ,b =c ,则a =c (4)两向量a 、b 相等的充要条件是

(5)｜a ｜=｜b ｜是向量a =b 的必要不充分条件. (6) AB =CD 的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合.

解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. (2)正确.∵AB =DC ,∴｜AB ｜=｜DC ｜且AB ∥DC . 又A 、B 、C 、D 是不共线的四点.

∴四边形ABCD 是平行四边形，反之，若四边形ABCD 是平行四边形则AB ∥DC ，且AB 与DC 方向相同，因此

AB =DC .

(3)正确.∵a =b

∴a ，b 的长度相等且方向相同； 又∵b =c

∴b ，c 的长度相等且方向相同.

∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a =c

(4)不正确.当a ∥b ,但方向相反，即使｜a ｜=｜b ｜，也不能得到a =b ，故

不是a =b 的充要条件.

(5)正确.这是因为|

b || a |=a =b ,但a =b ?｜a ｜=｜b ｜,所以｜a ｜=｜b ｜是a =b 的必要不充分条件.

(6)不正确.这是因为AB =CD 时，应有：｜AB ｜=｜CD ｜及由A 到B 与由C 到D 的方向相同，但不一定要有A 与C 重合、B 与D 重合.

说明：①针对上述结论(1)、(4)、(5)，我们应该清醒的认识到，两非零向a 、b 相等的充要条件应是a 、b 的方向相同且模相等.

②针对结论(3)，我们应该理解向量相等是可传递的.

③结论(6)不正确，告诉我们平面向量a 与b 相等，并不要求它们有相同的起点与终点.当然如果我们将相等的两向量的起点平移到同一点.则这时它们的终点必重合.

例2 如图所示，△ABC 中，三边长｜AB ｜、｜BC ｜、｜AC ｜均不相等，E 、F 、D 是AC ，AB ，BC

的中点.

(1)写出与EF 共线的向量. (2)写出与EF 的模大小相等的向量. (3)写出与EF 相等的向量.

解：(1)∵E 、F 分别是AC ，AB 的中点 ∴EF ∥BC

从而，与EF 共线的向量，包括：

FE ，BD ，DB ，DC ，CD ，BC ，CB .

(2)∵E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点 ∴EF=

21BC,BD=DC=2

1

BC. 又∵AB 、BC 、AC 均不相等

从而，与EF 的模大小相等的向量是：FE 、BD 、DB 、DC 、CD (3)与EF 相等的向量，包括：DB 、CD .

例3 判断下列命题真假 (1)平行向量一定方向相同. (2)共线向量一定相等.

(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量. (4)不相等的向量，则一定不平行. (5)非零向量的单位向量是±

a

a .

解：(1)假命题，还可以方向相反；

(2)假命题，共线向量仅方向相同或相反；大小不一定相等； (3)真命题，因为向量与起点位置无关；

(4)假命题，因为若a ,b 方向相同，但只要｜a ｜≠｜b ｜，则a ≠b . (5)真命题，任一非零向量：a 的单位向量为±

a

a .

例4 如图，已知：四边形ABCD 中，N 、M 分别是AD 、BC 的中点，又AB =DC .

求证：CN =MA ， 证明：∵AB =DC

∴｜AB ｜=｜DC ｜，且AB ∥DC.从而，四边形ABCD 是平行四边形. ∴AD ∥BC ，AD=BC

∵N 、M 分别是AD 、BC 的中点. ∴AN=

21AD,MC=2

1

BC. ∴AN=MC. 又AN ∥MC ，

∴四边形AMCN 是平行四边形.于是得：AM ∥NC ，｜AM ｜=｜NC ｜. 又由图可知：CN 与MA 的方向一致. ∴CN =MA

【难题巧解点拔】

例1 如图，已知四边形ABCD 是矩形，O 是两对角线AC 与BD 的交点，设点集M={A,B,C,D,O}、向量的集合T={PQ ｜任P ，Q ∈M ，且P 、Q 不重合}，试求集合T 的子集个数.

分析：要确定向量为元素的集合T 有多少个子集，就需搞清楚集合T 中有多少个相异的向量.

解：以矩形ABCD 的四顶点及它的对角线交点O ，五点中的任一点为起点，其余四点中的一点为终点的向量共有20个，但是这20个向量不是各不相等的，我们下面将这20个向量一一列举出来：AO =OC 、OA =CO ;DO =OB 、

BO =OD ;AC 、CA ；BD 、DB ；AD =BC 、DA =CB ;AB =DC 、BA =CD .它们中有12个向量是各不相等的.

故T 是一个12元集.所以T 有212

个子集.

说明：在上述解题过程中，我们一定要根据集合元素的互异性.算出T 中的元素个数为12.而不是20.这样才能得到正确的结果.

例2 已知；如图，点D 在△ABC 的边BC 上，且与B 、C 不重合，E 、F 分别在AB 、AC 上，DF =EA .

(1)求证：△BDE ∽△DCF.

(2)求当D 在什么位置时，四边形AEDF 的面积可以取到最大值? 证明：(1)∵DF =EA

∴DF ∥AE ，｜DF ｜=｜EA ｜.

从而，得：四边形AEDF 是平行四边形 ∴DE ∥AF ，｜DE ｜=｜AF ｜ 由DE ∥AF 可得：∠BDE=∠C 由DF ∥AE 可得：∠B=∠FDC ∴△BDE ∽△DCF

(2)设｜BC ｜=a,｜AC ｜=b,｜AB ｜=c,｜BD ｜=x,则｜DC ｜=a-x. ∵△BDE ∽△DCF. ∴

CD

BD =

DF

BE =

FC

ED

从而，

x BE =

x

a DF -，设比为k 1.

x

ED =

x

a FC

-，设比为k 2.

由｜BE ｜+｜DF ｜=c,｜ED ｜+｜FC ｜=b. 可得：xk 1+(a-x)k 1=c,∴k 1=a

c . xk 2+(a-x)k 2=b,∴k 2=a

b . ∴｜DF ｜=a

c

(a-x) ｜DE ｜=

a

b x 由点F 作FT ⊥AB ，垂足为T

由锐角三角函数，｜FT ｜=｜AF ｜sinA=a

b

x 2sinA ∴S □AEDF =｜DF ｜2｜FT ｜=

a c (a-x)2a

b

x 2sinA =

2

a bc (ax-x 2

)sinA

=2a bc ［4

2a -(x-2a )2］sinA ≤4bc sinA

当且仅当x=

2

a

时，等号成立. 答：D 是BC 边的中点时，S □AEDF 取到最大值.

例3 如图A 1，A 2，…A 8是⊙O 上的八个等分点，则在以A 1，A 2…A 8及圆心O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个?模等于半径2倍的向量有多少个?

分析：(1)由于A 1、A 2…A 8是⊙O 上的八个等分点，所以八边形A 1A 2…A 8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与⊙O 的半径不相等.所以模等于半径的向量只可能是i OA 与O A i (i=1,2,…，8)两类.

(2)⊙O 内接正方形的边长是半径的2倍，所以我们应考虑与圆心O 形成90°圆心角的两点为端点的向量个数. 解：(1)模等于半径的向量只有两类，一类是i OA (i=1,2，…，8)共8个；另一类是O A i (i=1,2,…,8)也有8个，两类合计16个.

(2)以A 1，A 2，…，A 8为顶点的⊙O 的内接正方形有两个，一是正方形A 1A 3A 5A 7；另一个是正方形A 2A 4A 6A 8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍.所以模为半径2倍的向量共有43232=16个.

说明：(1)在模等于半径的向量个数的计算中，要计算i OA 与O A i (i=1，2，…，8)两类，一般我们易想到i OA (i=1,2,…，8)这8个，而易遗漏O A i (i=1，2，…，8)这8个.

(2)圆内接正方形的一边对应了长为2的两个向量.例如边A 1A 3对应向量31A A 与42A A .因此与(1)一样，在解题过程中主要要防止漏算.认为满足条件的向量个数为8是错误的.

【命题趋势分析】

本节着重考查对向量的概念的理解，高考中将会以选择题、填空题形式命题.

【典型热点考题】

例1 给出下列3个命题：(1)单位向量都相等；(2)单位向量都共线；(3)共线的单位向量必相等.其中真命题的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

分析：本题考查单位向量和共线向量的概念及它们之间的联系等基础知识，增加了考点，加大了难度.因为不同的单位向量有不同的方向，所以(1)和(2)较易判断是假命题.因为共线的单位向量有可能方向相反，它们不一定相等，所

以(3)也是假命题.

∴选A.

例2如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.

(1)与向量AB相等的向量有；(2)若｜AB｜=3，则向量EC的模等于 .

分析：本题考查用向量的观点对平面图形进行初步判断的能力，是容易题，由条件，可得ED=AB且DC=AB，所以ED=DC.于是E、D、C三点共线，故｜EC｜=｜ED｜+｜DC｜=2｜AB｜=6.

答：(1) ED，DC；(2)6

例3下列命题中，正确的是( )

A.｜a｜=｜b｜?a=b

B.｜a｜＞｜b｜?a＞b

C. a=b?｜a｜∥｜b｜

D.｜a｜=0?a=0

解：由向量的定义知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B，零向量、数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0的.

∴应排除D，∴应选C.

例4下列四个命题：①若｜a｜=0,则a=0；②若｜a｜=｜b｜,则a=b或a=-b；③若a与b是平行向量，则｜a｜=｜b｜；④若a=0，则-a=0正确命题个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

分析：①是忽略了0与0不同，由于｜a｜=0?a=0,但0不能写成0；

②是对两个向量的模相等与两个实数相等混淆了，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相同，并不意味它们的方向相同或相反；

③是对两个向量平行的意义理解不透，两个向量平行，只是这两个向量的方向相同或相反，而它们的模不一定相等；

④正确，故选A.

强化练习： 一、选择题

1.下列命题中的假命题是( )

A.向量AB 与BA 的长度相等

B.两个相等向量若起点相同，则终点必相同

C.只有零向量的模等于0

D.共线的单位向量都相等

2.如图，在圆O 中，向量OB ，OC ，AO 是( ) A.有相同起点的向量 B.单位向量 C.相等的向量 D.

模相等的向量

3.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，则其中共线向量有( ) A.一组 B.二组 C.三组

D.四组

4.若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①｜a ｜＞｜b ｜；②a ∥b ；③｜a ｜＞0；④｜b ｜=±1；⑤

a

a =

b ，其中正确的有( ) A.①④⑤

B.③

C.①②③⑤

D.②③⑤

5.四边形ABCD 中，若向量AB 与CD 是共线向量，则四边形ABCD( )

A.是平行四边形

B.是梯形

C.是平行四边形或梯形

D.不是平行四边形，也不是梯形

6.把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A.一条线段 B.一个圆面 C.圆上的一群弧立点 D.一个圆

7.若a ，b 是两个不平行的非零向量，并且a ∥c , b ∥c ，则向量c 等于( ) A. 0

B. a

C. b

D. c 不存在

8.命题p ：a 与b 是方向相同的非零向量，命题q: a 与b 是两平行向量，则命题p 是命题q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

二、判断题

1.向量AB 与BA 是两平行向量.( )

2.若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a =b .( )

3.长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量.( )

4.与任一向量都平行的向量为0向量.( )

5.若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形.( )

6.两向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点也相同.( )

7.设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍.( )

8.已知四边形ABCD 是菱形，则｜AC ｜=｜BD ｜是菱形ABCD 为正方形的充要条件.( ) 9.在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆.( ) 10.凡模相等且平行的两向量均相等.( )

三、填空题

1.已知a ，b ，c 为非零向量，且a 与b 不共线，若c ∥a ，则c 与b 必定 .

2.已知｜OA ｜=4,｜AB ｜=8，∠AOB=60°，则｜AB ｜= .

3.如图，已知O 是正六边形的中心，则在图中所标出的各向量中，模等于该正六边形边长的向量共有 个.

4.如图所示，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形，则 ①与向量AB 共线的向量有 ； ②若｜AB ｜=1.5,则｜CE ｜= .

5.已知四边形ABCD 中，AB =2

1

DC ,且｜AD ｜=｜BC ｜,则四边形ABCD 的形状是 .

四、解答题

1.如图，在△ABC 中，已知：向量AD =DB ,DF =BE ,求证：DE =AF .

2.在直角坐标系中，将所有与y 轴共线的单位向量的起点移到x 轴上，其终点的集合构成什么图形?

【素质优化训练】

1.已知a、b是任意两个向量，下列条件：①a=b;②｜a｜=｜b｜;③a与b的方向相反；④a=0或b=0;⑤a 与b都是单位向量.其中，哪些是向量a与b共线的充分不必要条件 .

2.已知ABCD是等腰梯形，AB∥DC，下列各式：①AB=DC;②AD=BC;③｜AC｜=｜BD｜;④｜AB｜≠｜DC｜;⑤AB∥CD.

正确的式子的序号是 .

3.不相等的向量a和b，有可能是平行向量吗?若不可能，请说明理由；若有可能，请把各种可能的情形一一列出.

4.下列各组量是不是向量?如果是向量，说明这些向量之间有什么关系?

(1)两个三角形的面积S1，S2；

(2)桌面上两个物体各自受到的重力F1，F2；

(3)某人向河对岸游泳的速度v1与水流的速度v2；

(4)浮在水面上的物体受到的重力W和水的浮力F.

【生活实际运用】

某人从A点出发向西走了10米，到达B点，然后改变方向按西偏北60°走了15米到达C点，最后又向东走了10米到达D点.

(1)作出向量AB、BC、CD (用1cm长的线段表示10m长)；

(2)求｜DA｜.

解：(1)

(2)显然DA=CB,故｜DA｜=｜CB｜=15cm

【知识验证实验】

已知某轮船从S岛沿北偏西30°的方向航行了45海里，请你用有向线段表示此轮船的位移.

【知识探究学习】

一小球在30m 高处，以2m/s 的速度水平抛出，请你用有向线段画出小球经过2S 后的水平位移，竖直位移，并计

算出实际位移的大小.(g=10m/s 2

)

解：依题意：v 0=2m/s,t=2s 水平位移x=232=4m 竖直位移h=

2

1gt 2

=20m 实际位移大小是：｜OC ｜=

2

2OB OA +=22204+=426m

参考答案

【同步达纲练习】

一、1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A

二、1.√ 2.3 3.3 4.√ 5.3 6.3 7.√ 8.√ 9.√ 10.3

三、1.不共线 2.43 3.12 4.①ED ，DC ，EC ，DE ，CD ，CE ，BA ②3 5.等腰梯形 四、1.提示：证F 平分AC ，E 平分BC.

2.平行于x 轴，且与x 轴的距离为1的两条直线 【素质优化训练】

1.①③④

2.②④⑤

3.有三种情况：(1)两个向量a 和b 中有一个是零向量，另一个是非零向量； (2)向量a ，b 为模不相等，方向相同的两个非零向量； (3)向量a ，b 为非零向量且方向相反

4.(1)不是向量 (2)是向量，它们是方向相同的向量 (3)是向量，不共线 (4)模相等方向相反的向量

2021年高中数学-平面向量专题

第一部分：平面向量的概念及线性运算 欧阳光明（2021.03.07） 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 减法求a与b的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向； 当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线

段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 三．基础自测 1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果等于________． 2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______． 3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD → ＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于() A ．－4e1－2e2 B ．－2e1－4e2 C ．e1－3e2 D ．3e1－e2 5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________． 变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ； (2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作?OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13 CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中，AD →＝23 AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC → ＝b ，用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD → ＝2e1－e2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线； (2)若BF → ＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．

高中数学平面向量测试题及答案[001]

平面向量测试题 一、选择题： 1。已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且?→?AB =→a ，?→?AD ＝→b ，则?→ ?BE ＝（ ） （A ） →b +→a 2 1 （B ） →b －→a 2 1 （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） →a －→ b 2 1 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ ） （A ） ?→?AB ＝－?→?BC （B ） ?→?AC ＝?→?BC 2 1 （C ） ?→?BA ＝?→?BC （D ） ?→?BC ＝?→ ?AC 2 1 3．已知ABCDEF 是正六边形，且?→?AB ＝→a ，?→?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1→→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 4．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→ a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→ ?BC （C ）?→?AD ＝－?→ ?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 5．将图形F 按→ a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （ ） （A ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （B ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （C ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 （D ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6．已知→a ＝（)1,2 1，→ b ＝(), 2 22 3- ，下列各式正确的是（ ） （A ） 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4）

平面向量及空间向量高考数学专题训练

平面向量及空间向量高考数学专题训练（四） 一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ， 则锐角α为（ ） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（ ） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（ ） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+x )－2 D.y=sin(321π-x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（ ） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为 （ ） A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,

高中数学向量专项练习(含答案)

高中数学向量专项练习 一、选择题 1．已知向量(1,),(1,),a x b x ==-r r 若(2).a b b -⊥r r r 则a =r （ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．4 2．化简+ + + 的结果是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知向量(1,2),(4,)a b m ==-v v ，若2a b +v v 与a v 垂直，则m =（ ） A ．-3 B ．3 C ．-8 D ．8 4．已知向量(1,1)a =-r ，(1,)b m =r ，若(2)4a b a -?=r r r ，则m =（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 5．设向量(12)a =-r ， ,(1)b m =r ，，若向量a r 与b r 平行，则a b ?=r r A ．27- B ．21- C ．23 D ．2 5 6．在菱形ABCD 中，对角线4AC =，E 为CD 的中点，则AE AC ?=u u u r u u u r （ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 7．在△ABC 中，若点D 满足2BD DC =u u u v u u u v ，则AD =u u u v （ ） A ．1233AC A B +u u u v u u u v B ．5233AB A C -u u u v u u u v C ．2133AC AB -u u u v u u u v D ．2133 AC AB +u u u v u u u v 8．在ABC ?中，已知90BAC ∠=o ，6AB =，若D 点在斜边BC 上，2CD DB =，则AB AD ?u u u r u u u r 的值为 （ ）． A ．6 B ．12 C ．24 D ．48 9．已知向量(1,1),(2,2),m n λλ→ → =+=+若()()m n m n → → → → +⊥-，则=λ（ ） A ．4- B ．3- C ．2- D ．1- 10．已知向量(12)=，a ，(4)x =，b ，若向量//a b ，则实数的x 值为 A ．2 B ．2- C ．8 D ．8- 11．已知向量()()2,1,3,4==-a b ，则2+=a b A ．()1,5- B ．()1,5 C ．()1,6- D ．()1,6 12．已知向量()()2,1,3,4==-a b ，则+=a b A ．()1,5- B ．()1,5 C ．()1,3-- D ．()1,3

高中数学平面向量公式(精选课件)

高中数学平面向量公式１、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a，b。作OＡ＝a,OB=b，则角AOB称作向量ａ和向量b的夹角,记作〈ａ，b〉并规定0≤

２、向量的数量积不满足消去律，即:由ａ?b=a? c （a≠0)，推不出 b=ｃ。 3、|a?b｜≠|ａ｜?|b｜ 4、由 |a｜=|ｂ| ，推不出a=ｂ或ａ=－ｂ。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和ｂ的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ａ×b。若a、b不共线,则ａ×b的模是：∣a×b ∣＝｜ａ|?｜ｂ｜?ｓｉn〈a，b>；ａ×ｂ的方向是:垂直于ａ和ｂ,且ａ、ｂ和ａ×b按这个次序构成右手系.若ａ、ｂ共线，则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×ｂ∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=０。 a‖b〈=〉ａ×b＝０。 向量的向量积运算律 a×b=－b×a； （λa）×b=λ（ａ×b)=a×（λb)； （a+b)×c=a×ｃ+b×c。 注:向量没有除法，“向量ＡB/向量CＤ”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a＋ｂ∣≤∣ａ∣+∣b∣；

人教版高中数学向量练习题

一、选择题； 1、若a r ,b r ,c r 是空间任意三个向量, R λ∈,下列关系式中,不成立的是（ ） A 、a b b a +=+r r r r B 、() a b a b λλλ+=+r r r r C 、()() a b c a b c ++=++r r r r r r D 、b a λ=r r 2、已知向量a r =（1，1，0），则与a r 共线的单位向量（ ） A 、（1，1，0） B 、（0，1，0） C 、（ 22，2 2，0） D 、（1，1，1） 3、若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 4、设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 5、若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为8 9 ，则λ=（ ） Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或 2 55 Ｄ．2或255 - 6、已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，， 则D 的坐标为（ ） Ａ．7412 ?? - ??? ， ， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，， 7、在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ） Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ． Ｄ． 8、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 到平面11ABC D 的距离是（ ） Ｃ．12 9、ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，2PD AD PD AD ⊥==，，二面角 P AD C --为60°，则P 到AB 的距离为（ ） Ａ． Ｃ．2

2020年高考数学平面向量专题复习(含答案)

2020年高考数学平面向量专题练习 一、选择题 1、P是双曲线上一点，过P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 求的值（） A. B. C. D. 2、向量,，若，且，则x＋y的值为（） A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1 3、已知向量满足，若，则向量在方向上的投影为A． B． C．2 D．4 4、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则 （） A．B． C．D． 5、在平行四边形中，，若是的中点，则（） A. B. C. D. 6、已知向量，且，则（）

A. B. C. D. 7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则( ) A. B.1 C. D. 3 8、在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为 A． B． C．5 D．10 9、下列命题中正确的个数是（） ⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0 ⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 10、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（） 二、填空题 11、已知向量与的夹角为120°,且,则____. 12、若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________. 13、已知，，则向量在方向上的投影等于___________. 14、.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为 __________.

15、已知向量与的夹角为120°，，，则________. 16、已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若 ， 则__________． 17、已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为. 18、在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足，。若 (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为。 三、简答题 19、已知平面直角坐标系中，向量，，且. （1）求的值；（2）设，求的值． 20、已知向量＝(sin，cos﹣2sin)，＝(1，2)． （1）若∥，求的值； （2）若，0＜＜，求的值． 21、已知向量，．(1)若在集合中取值，求满足的概率；(2)若 在区间[1,6]内取值，求满足的概率. 22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量， （1）求证：且； （2）设向量，，且，求实数t的值．

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第一部分：平面向量的概念及线性运算 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则 (或几何 运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算 求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则 求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa； 数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向 运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa； ＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说， 即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案

一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。 A、B、C、D、 3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得 向量为（）。 A、（2，3） B、（1，2） C、（3，4） D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。A、B、C、D、 6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。 A、B、 C、D、 7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b| (3)| +b|2=( +b)2

(4)(b ) -( a )b 与 不一定垂直。其中真命题的个数是（ ）。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 9．在ΔABC 中，A=60°，b=1， ，则 等 于（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、 10．设 、b 不共线，则关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的情况是（ ）。 A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）. 11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，则CA AB =_________ 12．已知ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，AD =b ，则用a ，b 表示AB 为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为 的小船要从河的一边驶 向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。 14．如果向量 与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”， ×b 是一个向量，它的长度| ×b |=| ||b |sin θ，如果| |=3, |b |=2, ·b =-2，则| ×b |=______。 三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.） 15．已知向量 = , 求向量b ，使|b |=2| |，并且 与b 的夹角 为 。（10分）

高中数学(理)空间向量知识点归纳总结及综合练习

空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于 b ，记作b a //。 》 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使 p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 ,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使 OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： ~ （1）空间直角坐标系中的坐标： （2）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=。 ②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 》

高三数学复习微专题之平面向量篇矩形大法教师

一、 知识清单 1. 极化恒等式：如图，+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C ②,则： ①2 +②2 得：AC AD BC AB +=+242 2 22 ；①2-②2 得：AC AD BC AB ?=-4422 推广：AC AB AC BC AB AB AC cosA ?=?=?+-2 222 速记方法：?==-+-a b a b a b 4()()22，=++=+-a b a b a b 2 ()()2222 2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得 +=+PO BD 2PD PB 42 2 22①+=+PO AC 2 PA PC 422 22 ② 因为BD=AC ，所以PD PB PA PC +=+2222， 速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。 推广1：若ABCD 为平行四边形，则有PA PC PD PB =+-+-AC 2 )(BD 2 2 2 2 22 =-?= -AC AM BC 4 422 =4 1 0，且对于边AB 上任一点P ，恒有?≥?PB PC P B PC 00 。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC 解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：?=-PC PD BC 4 PB 422 则当PD 最小时，PB ????? ?PC ????? 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。 3. 已知向量a b e ,,是平面向量，e 是单位向量． ?-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围？ 解析：由?-++=b e a b a ()10,得-?-=e b e a ()()0 如图，===OA a OB b OE e ,, ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有 +=+OE OC OA OB 222 2，则=OC ==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,] [2 3 1,231] 高三数学复习微专题之平面向量篇 第三讲：极化恒等式与矩形大法 解析：由极化恒等式有：AB 16推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。二、典型例题1．（２０１９浙江模拟卷）在?ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则A B A ? C =_________． 2.（2019山东模拟）在?ABC 中,P 0是边AB 上一定点，满足P B AB

高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)

平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21-a +23b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3-a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103(- = B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或 C 、)2,6(-= D 、)2,6()2,6(或-= 3、已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于α－β B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i θθsin 3cos 3+=，i -=∈),2 ,0(π θ。若用 来表示与的夹角，则 等于 （ ） A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是 （ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP ?取得最小值的点P 的坐标

届高三文科数学平面向量专题复习

2014届高三数学四步复习法—平面向量专题（311B ） 第一步：知识梳理——固本源，基础知识要牢记 1.基本概念：（1）向量：既有大小又有方向的量. （2）向量的模：有向线段的长度，a r . （3）单位向量：长度为1 的向量 .（4）零向量0r ，00=r ，方向任意. （5）相等向量：长度相等，方向相同.（6）共线向量（平行向量）：方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 （7）向量的加减法 ①共起点的向量的加法：平行四边形法则 ②首尾相连的向量的加法：口诀：首尾连，起点到终点. 如:AB BC CD AD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ③共起点的向量的减法：共起点，连终点，指向被减向量 ④化减为加：AB AC AB CA CA AB CB -=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （8）平面向量基本定理（向量的分解定理）1e u r ，2e u u r 是平面内两个不共线的 向量，a r 为该平面内任一向量，则存在唯一的实数对12,λλ，使得 1122a e e λλ=+u r u u r r ，12,e e u r u u r 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2. 平面向量的坐标运算?? ①设()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则()()()11221212,,,a b x y x y x x y y ±=±=±±r r ； ()()1111,,a x y x y λλλλ==r ， ②(),B A B A AB x x y y =--u u u r ，AB = u u u r ③(),a x y =r ，则a =r 3. 平面向量的数量积 ①向量a r 与b r 的数量积：cos a b a b θ?=r r r r （θ为向量a r 与b r 的夹角，[]0,θπ∈） ； ②若()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则1212a b x x y y ?=+r r ； ③22a a a a =?=r r r r ；④a r 在b r 方向上的投影：cos a θr （θ为向量a r 与b r 的夹角）； ⑤θ为锐角?0a b ?r r f ，且a r 与b r 不同向；θ为钝角?0a b ?r r p ，且a r 与b r 不 反向； θ为直角?0a b ?=r r （θ为向量a r 与b r 的夹角）. 4.向量的平行： ① a r ∥b r a b λ?=r r （0b ≠r r ，λ唯一确定）； ②a r ∥b r 1221x y x y ?= 5.向量的垂直: 121200a b a b x x y y ⊥??=?+=r r r r 第二步：典例精析——讲方法，究技巧，悟解题规律.

(完整版)高中数学平面向量专题训练

高中数学平面向量专题训练 一、选择题： 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ，则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ，那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-r ，(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ，(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ，(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ，(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ，则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ，(5,5)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ，j r 都是单位向量，则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， BC c =u u u r r ，则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a r 是 C B A D

高三数学平面向量专题复习

高三数学平面向量专题复习 一、选择题： 1.若r r |a -b|=r r |a|=4, |b|=5，则r r a与b 的数量积为 （ ） A ．10 3 B ．－10 3 C ．10 2 D ．10 2.若点P 分 AB 所成的比为 4 3 ，则A 分BP 所成的比是（ ） A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 3．若将向量r a =(2, 1)围绕原点按逆时针方向旋转π 4 得到向量b r ，则向量b r 的坐标为（ ） A ．) 2 23,22(-- B ．)223,22( C ．)22,223(- D ．)2 2,223(- 4．在矩形ABCD 中，u u r u u r u u r u u r u u r u u r 设11AE =AB,BF =BC, AB =(a,0),AD =(0,b)22，当u u r u u r EF ⊥DE 时， |a| |b| 的值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 5．已知A （5，7），B （2，3），将u u r r AB a 按=（4，1）平移后的坐标为 （ ） A ．（－3，－4） B ．（－4，－3） C ．（1，－3） D ．（－3，1） 6．将函数 )(x f y =图象上的点P （1，0）平移至P ′（2，0），则经过这种平移后得到的新 函数的解析式为 （ ） A ．y =f(x -1) B ．y =f(x)-1 C ．y =f(x +1) D ．y =f(x)+1 7.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-2 1 ) 8．已知02 =+?AB BC AB ，则△ABC 一定是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 9．若非零向量r r a,b 互相垂直，则下列各式中一定成立的是 （ ） A ．r r r r a + b =a -b B ．r r r r |a +b|=|a -b| C ．r r r r (a +b)(a -b)=0 D ．r r 2 (a -b)=0 10.设四边形ABCD 中，有DC =2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 11.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是 A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 12．将椭圆0716******* 2 =---+y x y x 按向量r a 平移，使中心与原点重合，则r a 的坐标为 （ ） A ．（2，1） B ．（－1，－2） C ．（－1，2） D ．（1，－2）

高中数学平面向量知识点总结及常见题型(供参考)

平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1 ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ? ｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同),(),(2211y x y x =?? ?==?2 12 1y y x x 2 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

(完整版)高一数学必修四平面向量基础练习题及答案

平面向量的基本定理及坐标表示 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21 a +23 b B 、21a 23 b C 、23a 2 1 b D 、2 3 a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103( e B 、)10 10 ,10103()1010,10103( 或e C 、)2,6( e D 、)2,6()2,6(或 e 3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1( 与垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA 的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1( n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos ,sin )，b =(cos ,sin )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于 － B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP sin 3cos 3 ， i OQ ),2 ,0( 。若用来表示OP 与OQ 的夹角，则等于 （ ） A 、 B 、 2 C 、 2 D 、 8、设 20 ，已知两个向量 sin ,cos 1 OP ， cos 2,sin 22 OP ，则向

高中数学向量专题复习(知识点+典型例题+大量习题附解析)精编材料值得拥有

平面向量 平面向量 平面向量的概念 与线性运算 向量概念及表示 向量的线性运算 平面向量基本定理 及坐标表示 平面向量基本定理 正交分解及坐标表示 坐标运算 平面向量的数量积 数量积的定义 数量积的性质

一、平面向量的概念与线性运算 1．向量概念及表示 定义：即有大小，又有方向的量叫做向量． 表示： 有向线段 小字母上加箭头 起点到终点，大字母加箭头 向量的长度（模）：a r 或AB 的模记作||a 或||AB ． 几种特殊向量：

2．向量的线性运算 例如：AB BC CD AD +=u u u r u u u r u u u r u u u r +，0AB BC CA +=u u u r u u u r u u u r r +，BC BA AC -=u u u r u u u r u u u r ，DE DF FE -=u u u r u u u r u u u r ． 向量不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+r r r r r r （等号在向量a r ，b r 共线时取得）． 例如：||3a =r ，||5b =r ，则||a b +r r 的最大值为8，当且仅当a r ，b r 同向时取到；最小值为2， 当且仅当a r ，b r 反向时取到． 3 如图：正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=u u u r u u u r u u u r （ ） A ．0r B ．BE u u u r C ．A D u u u r D ．CF u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r