高三四校联考数学试题
江苏省姜堰中学、如皋中学、淮阴中学、前黄中学四校联考 高 三 数 学 .12
一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分.)
1．若复数z 满足i iz 32+=（i 是虚数单位），则z =__________．
2．已知命题P ：“R x ∈?，0322
≥-+x x ”，请写出命题P 的否定: ．
3．已知21sin =
α，其中
??? ??∈2,0πα，则=
+)6cos(πα ． 4．若方程
ln 62x x =-的解为
0x ，则满足
0k x ≤的最大整数
k =
．
5．已知函数()x
f x x e =?，则'(0)f = .
6．函数
)
6(sin 12π
--=x y 的最小正周期是 ． 7．设等差数列
的前项和为，若 ，则的值为 .
8．已知圆()1222=+-y x 经过椭圆
的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率= .
9．设直线： 的倾斜角为
，直线： 的倾斜角为，且
，则的值为 .
10．已知存在实数a 满足 ，则实数的取值范围为 .
11．已知函数
b a x a b x x f ++--+=)2()(2
2是偶函数，则此函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是 ．
12．已知点在直线上，点在直线上，中点为，
且
，则
的取值范围为 .
13
．已知平面上的向量、满足
,
，设向量，则
的最小值是 .
14．如果函数2
()(31)x x f x a a a =--(0a >且1)a ≠在区间[)0+，∞上是增函数，那么实数a 的
取值范围是 ．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．（本小题满分14分）如图四边形ABCD 是菱形，平面ABCD ， 为的中点. 求证：
⑴ ∥平面； ⑵ 平面平面.
{}n a n n S 41217198a a a a +++=25S 22
221x y a b +=()0a b >>e 1l
220x y -+=1α2l 40mx y -+=2α2190
αα=+m 2
ab a ab >>b P 210x y +-=Q 230x y ++=PQ (,)
M x y 2
y x >+y
x
PA PB 22
4PA PB +=2
AB =2PC PA PB =+PC
PA ⊥Q PA PC QBD QBD ⊥PAC B
A
C
D
P Q O
16．（本小题满分14分）已知O 为原点，向量，，
,.
(1)求证：;⑵ 求tan AOB ∠的最大值及相应的值.
17．（本小题满分14分）已知以点
和，线段的垂直平
分线交圆于点和，且||CD =. (1)求直线的方程；
⑵求圆的方程；
⑶设点在圆上，试问使△的面积等于8的点共有几个？证明你的结论. 18．（本小题满分16分）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系t x 2000=．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）．
（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额2
002.0t y =（元），在乙方按照获得最大利润的
产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？
(3cos ,3sin )OA x x =(3cos ,sin )OB x x =(2,0)OC =0,2x π??
∈ ?
??()OA OB OC -⊥x P ()1,0A -()3,4B AB P C D CD P Q P QAB Q
19．（本小题满分16分）设函数，
.
⑴当时，求函数
图象上的点到直线距离的最小值；
⑵是否存在正实数，使对一切正实数都成立？若存在，求出的取值范围；
若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分16分）设数列的各项都是正数，，
，
.
⑴求数列的通项公式；⑵求数列的通项公式；
⑶求证：
.
附加题
21．（本小题满分8分）求由曲线
x y 1
=
，1=y ，2=y ，1=x 所围成的面积．
()ln f x ax x
=+()22
g x a x =1a =-()
y f x =30x y -+=a ()()
f x
g x ≤x a {}n a 11a =1
1112n n n n
a a a a +++=
+2
n n n
b a a =+{}n b {}n a ()()()12231
111
1
111n n a a a a a a +++???+<+++
22．（本小题满分8分）解不等式:|21||4|2x x +--<
23．（本小题满分12分）已知两曲线x x f cos )(=，x x g 2sin )(=，
)
2,0(π
∈x ． （1）求两曲线的交点坐标；
（2）设两曲线在交点处的切线分别与x 轴交于,A B 两点，求AB 的长．
24．（本小题满分12分）已知动圆与轴相切，且过点.
⑴求动圆圆心的轨迹M 方程；
⑵设、为曲线M 上两点，，，求点横坐标的取值范围.
Q x ()0,2A Q B C ()2,2P PB BC
⊥C
高三数学答题纸
一、填空题：（14×5’=70’）
1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．
17．18．19．
20．
高三数学参考答案一、填空题
1．i 23- 2．R x ∈?,0322
<-+x x 3．21
4．2 5．1 6．π
7．50 8．1
3 9．-2 10． 11．2 12． 13．2 14．1
33
<≤a
二、解答题
15[解]：证：设 ,连 。 ⑴ ∵为菱形， ∴ 为中点，又为中点。 ∴∥ （5分） 又 , ∴∥（7分） ⑵ ∵为菱形， ∴, （9分）
又∵， ∴ （12分） 又 ∴ 又 ∴ （14分） 16[解]：解：⑴ ∵ ， ∴ ，∴ （1分）
又
（3分）
∴
∴
。 （6分）
⑵
， （8分）
∵，∴， 。
∴
（10分）
2
2tan 3tan x x =≤=+ （13分） （当
即
时取“”）
所以tan AOB ∠的最大值为3,相应的
(14分) 17．解：⑴直线的斜率 ，AB 中点坐标为
，
∴直线方程为
（4分）
(),1-∞-11,25??-- ????AC BD=0OQ ABCD O AC Q PA OQ PC ?PC 平面QBD ?OQ 平面QBD PC 平面QBD ABCD ⊥BD AC ⊥PA 平面ABCD ?BD 平面ABCD ⊥PA BD PA AC D ?=BD P ⊥平面AC ?BD 平面QBD P ⊥平面QBD 平面AC 02x π
<<
3sin sin x x >0OA OB -≠()
0,2sin OA OB x -=()022sin 00OA OB OC x -?=?+?=()OA OB OC -⊥3sin tan tan 3cos x AOC x x ∠=
=sin 1
tan tan 3cos 3x BOC x x ∠==OA OB BA -=BA OC ⊥02AOB π
<∠<
()
tan tan AOB AOC BOC ∠=∠-∠21
tan tan tan tan 311tan tan 1tan 3x x
AOC BOC AOC BOC x -∠-∠==
+∠∠+tan x =
3x π
=
=3x π=
AB 1k =()1,2CD ()21y x -=--即x+y-3=0
⑵设圆心，则由在CD上得：
①
又直径
||
CD=||
PA
∴=22
(1)40
a b
∴++=
又
∴②（7分）
由①②解得或
∴圆心或
∴圆的方程为或（9分）
⑶，∴当△面积为时，点到直线的距离为。（12分）
又圆心到直线的距离为，圆的半径且
∴圆上共有两个点使△的面积为. （14分）
18[解] (1)乙方的实际年利润为：st
t
w-
=20000
≥
t．(5分)
s
s
t
s
st
t
w
2
2
1000
)
1000
(
2000+
-
-
=
-
=
，
当
2
1000
?
?
?
?
?
=
s
t
时，w取得最大值．
所以乙方取得最大年利润的年产量
2
1000
?
?
?
?
?
=
s
t
(吨)．…………………8分
(2)设甲方净收入为v元，则2
002
.0t
st
v-
=．
将
2
1000
?
?
?
?
?
=
s
t
代入上式，得：4
3
21000
2
1000
s
s
v
?
-
=
．(13分)
又
='v，得20
=
s．令
20
<
s时，0
>'v；当20
>
s时，当
<'v，所以20
=
s时，v取得最大值．
因此甲方向乙方要求赔付价格20
=
s(元／吨)时，获最大净收入．(16分)
19. 解：⑴由得，令得（2分）
∴所求距离的最小值即为到直线的距离（4分）
（7分）
(),a b
P P
30
a b
+-=
24
PA PB
?=
2224270
a b a b
+---=
{36a b=-={52
a
b
=
=-
()
3,6
P-()
5,2
P-
P
()()
22
3640
x y
++-=()(
)
22
5240
x y
-+
+
=
AB
==QAB8Q
AB
P AB P r=>
Q QAB8
()ln
f x x x
=-+
()1
1
f x
x
'=-+()1
f x'
=
1
2
x=
11
,
22
P f
??
??
?
?
??
??30
x y
-+=
(14ln2
2
d==+
5
3
2
5
3
2
2)
8000
(
1000
1000
8
1000
s
s
s
s
v
-
=
?
+
-
='
⑵假设存在正数，令
则（9分）
由
得：
∵当
时， ，∴为减函数； 当
时，，∴ 为增函数. ∴
（14分） ∴ ∴
∴的取值范围为 （16分）
20. 解：⑴由条件得： ∴
（3分）
∵
∴
∴为等比数列∴（6分）
⑵由 得 （8分） 又 ∴ （9分）
⑶∵ （或由即）
∴为递增数列。 （11分）
∴从而
（14分）
∴
（16分）
附加题答案
21.
()
111122
122ln 1ln 2
S dx x x x ?
?=-=-=- ???? (8分)
a ()()()
F x f x g x =-()0x >()max 0F x ≤()2120F x a a x x '=+-=1x a =1
x a >
()0F x '<()F x 1
0x a <<
()0F x '>()F x ()max 11ln
F x F a a ??
== ???1
ln
0a ≤a e ≥a [),e +∞()
22112n n n n a a a a +++=+12n n
b b +=21112
b a a =+=1
2n n
b b +={}n b 2n n b =2
2n n n a a +
=n a =0n a
>1
2n a
=
11
2n n a a +-=(
)321
22/02n n ++=->()22211122n n
n n n n a a a a ++++-+=-()()1112n
n n n n a a a a ++-++={}n a ()()21
11n n n n n n a a a a a a ++=+<+()111
12
n
n n a a +<+()()()212231111111
11122
2n
n n a a a a a a +++???+<++???++++111221111212n
n ??
??
- ? ? ???????=
=-
< ???
-
22. 解：⑴①当时，
∴ （2分）
②当时，
∴ （4分） ③当
时， ∴
（6分） 综上该不等式解集为
(8分) 23. （1）?
???
?
?23,6π； (6分) （2）AB=23
3 (12分)
24. 解： ⑴设为轨迹上任一点，则
（4分）
化简得： 为求。 （6分） ⑵设，， ∵ ∴ （8分）
∴
或
为求 （12分）
4x ≥()2142
x x +-- 4 2x -≤<2142x x ++-<152 3x -≤< 12x <- 2142x x --+-<1 72x -<<- 57,3??- ???() ,P x y y =≠2 114y x = +2111,14B x x ??+ ?? ?2221,14C x x ??+ ? ??0PB BC ?=211162x x x ?? =-+ ? +??210x ≥26 x ≤-