2018年内蒙古赤峰市中考数学试卷
一.选择题(共8小题)
1.(2018赤峰)5-的倒数是( ) A .
1
5
B .15
-
C .5
D .5-
考点:倒数。
解答:解:∵|﹣5|=5,5的倒数是, ∴|﹣5|的倒数是.
故选A . 2.(2018赤峰)下列运算正确的是( ) A .5
3
2
x x x -=
B .222()a b a b +=+
C .336()mn mn =
D .624p p p ÷=
考点:完全平方公式;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;同底数幂的除法。
解答:解:A .x 5与x 3
不是同类项,无法合并,故本选项错误;
B .根据完全平方公式得:(a+b )2=a 2+2ab+b 2
,故本选项错误;
C .(mn 3)3=m 3n 9
,故本选项错误;
D .p 6÷p 2=p 4
,故本选项正确. 故选D .
3.(2018赤峰)我们虽然把地球称为“水球”,但可利用淡水资源匮乏.我国淡水总量仅约为899000亿米3
,用科学记数法表示这个数为( )
A .0.899×104亿米3
B .8.99×105亿米3
C .8.99×104亿米3
D .89.9×104亿米3
考点:科学记数法—表示较大的数。
解答:解:899000亿米3
=8.99×105
亿米3
, 故选:B . 4.(2018赤峰)一个空心的圆柱如图所示,那么它的主视图是( )
A .
B .
C .
D .
考点:简单组合体的三视图。
解答:解:根据主视图的定义,得出它的主视图是:
故选A . 5.(2018赤峰)已知两圆的半径分别为m 、4cm ,圆心距为8cm ,则两圆的位置关系是( ) A .外离 B .相切 C .相交 D .内含 考点:圆与圆的位置关系。
解答:解:∵两圆的半径分别为m 、4cm ,
∵两圆的半径和为:3+4=7(cm ), ∵圆心距为8cm >7cm ,
∴两圆的位置关系是:外离. 故选A . 6.(2018赤峰)下列说法正确的是( )
A .随机掷一枚硬币,正面一定朝上,是必然事件
B .数据2,2,3,3,8的众数是8
C .某次抽奖活动获奖的概率为
1
50
,说明每买50张奖券一定有一次中奖 D .想了解赤峰市城镇居民人均年收入水平,宜采用抽样调查 考点:概率的意义;全面调查与抽样调查;众数;随机事件。
解答:解:A .随机掷一枚硬币,正面一定朝上,是随机事件,故本选项错误; B .数据2,2,3,3,8的众数是2或3,故本选项错误; C .某次抽奖活动获奖的概率为
,不能说明每买50张奖券一定有一次中奖,故本选项错误;
D .想了解赤峰市城镇居民人均年收入水平,宜采用抽样调查,故本选项正确. 故选D .
7.(2018赤峰)解分式方程
13
1(1)(2)
x x x =
--+的结果为( ) A .1 B .1- C .2- D .无解 考点:解分式方程。
解答:解:方程的两边同乘(x ﹣1)(x+2), 得:x+2=3 解得:x=1.
检验:把x=1代入(x ﹣1)(x+2)=0,即x=1不是原分式方程的解. 则原分式方程无解. 故选D . 8.(2018赤峰)如图,等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,以点C 为圆心,CD 为半径的弧与BC 交于点E ,四边形ABED 是平行四边形,AB=3,则扇形CDE (阴影部分)的面积是( )
A .
32
π B .
2
π C .π D .3π
考点:扇形面积的计算;等边三角形的判定与性质;平行四边形的性质;等腰梯形的性质。 解答:解:∵四边形ABCD 是等腰梯形,且AD ∥BC , ∴AB=CD ;
又∵四边形ABED 是平行四边形, ∴AB=DE (平行四边形的对边相等), ∴DE=DC=AB=3; ∵CE=CD ,
∴CE=CD=DE=3, ∴∠C=60°,
∴扇形CDE (阴影部分)的面积为:=;
故选A .
二.填空题(共8小题) 9.(2018赤峰)一个n 边形的内角和为1080°,则n= . 考点:多边形内角与外角。 解答:解:(n ﹣2)?180°=1080°, 解得n=8.
10.因式分解:32x xy -= . 考点:提公因式法与公式法的综合运用。
解答:解:x 3﹣xy 2=x (x 2﹣y 2
) =x (x ﹣y )(x+y ). 故答案为:x (x ﹣y )(x+y ). 11.(2018赤峰)化简
22(1)2
211
a a a a +÷+++= .
考点:分式的乘除法;因式分解-运用公式法;约分。 解答:解:原式=
×
=1,
故答案为:1. 12.(2018赤峰)如图,在菱形ABCD 中,BD 为对角线,E 、F 分别是DC .DB 的中点,若EF=6,则菱形ABCD 的周长是 .
考点:菱形的性质;三角形中位线定理。
解答:解:∵AC 是菱形ABCD 的对角线,E 、F 分别是DC .DB 的中点, ∴EF 是△BCD 的中位线, ∴EF=BC=6,
∴BC=12,
∴菱形ABCD 的周长是4×12=48. 故答案为:48. 13.(2018赤峰)投掷一枚质地均匀的骰子两次,两次的点数相同的概率是 . 考点:列表法与树状图法。
∴两次的点数相同的概率是:=.
故答案为:.
14.(2018赤峰)存在两个变量x 与y ,y 是x 的函数,该函数同时满足两个条件:①图象经过(1,1)点;②当x >0时,y 随x 的增大而减小,这个函数的解析式是 (写出一个即可). 考点:反比例函数的性质。
解答:解:设此函数的解析式为y=(k >0), ∵此函数经过点(1,1), ∴k=1,
∴答案可以为:y=(答案不唯一).
故答案为:y=(答案不唯一).
15.(2018赤峰)某中学的学生自己动手整修操场,如果让初二学生单独工作,需要6小时完成;如果让初三学生单独工作,需要4小时完成.现在由初二、初三学生一起工作x 小时,完成了任务.根据题意,可列方程为 .
考点:由实际问题抽象出一元一次方程。
解答:解:根据题意得:初二学生的效率为,初三学生的效率为,
则初二和初三学生一起工作的效率为(),
∴列方程为:(
)x=1.
故答案为:(+)x=1. 16.(2018赤峰)将分数
6
7
化为小数是,则小数点后第2018位上的数是 .
考点:规律型:数字的变化类。 解答:解:∵化为小数是
,
∴2018÷6=335(组)…2(个);
所以小数点后面第2018位上的数字是:5; 故答案为:5.
三.解答题(共9小题)
17.(201820sin 30(2)-?+--; 考点:实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值。 解答:解:原式=
111
11424
-+-=-.
18.(2018赤峰)求不等式组
3(2)4
14
1
3
x x
x
x
--≥
?
?
+
?
>-
??
的整数解.
考点:一元一次不等式组的整数解。
解答:解:
3(2)4 14
1
3
x x
x
x
--≥
?
?
?+
>-
??
①
②
解①得:x≤1,
解②得:x>﹣4,
解集为:﹣4<x≤1,
整数解为:﹣3,﹣2,﹣1,0,1.
19.(2018赤峰)如图所示,在△ABC中,∠ABC=∠ACB.
(1)尺规作图:过顶点A作△ABC的角平分线AD;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在AD上任取一点E,连接BE、CE.求证:△ABE≌△ACE.
考点:全等三角形的判定;等腰三角形的判定;作图—基本作图。
解答:(1)解:如图所示:
(2)证明:∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
∵∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC,
∵在△ABE和△ACE中
,
∴△ABE≌△ACE(SAS).
20.(2018赤峰)如图,王强同学在甲楼楼顶A处测得对面乙楼楼顶D处的仰角为30°,在甲楼楼底B处
测得乙楼楼顶D处的仰角为45°,已知甲楼高26米,求乙楼的高度.
1.7)
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
解答:解:作AE⊥DC于点E
∴∠AED=90°
∵∠ABC=∠BCD=∠CEA=90°
∴四边形ABCE是矩形
∴AE=BC AB=EC
设DC=x
∵AB=26
∴DE=x﹣26
在Rt△AED中,tan30°=,
即
解得:x≈61.1
答:乙楼高为61.1米
21.(2018赤峰)甲、乙两名运动员在相同的条件下各射靶10次,每次射靶的成绩情况如图所示:
考点:折线统计图;算术平均数;中位数;方差。
解答:解:(1)S甲2=[(6﹣7)2+(6﹣7)2+(7﹣7)2+(6﹣7)2+(6﹣7)2+(7﹣7)2+(8﹣7)2+(7﹣7)2+(8﹣7)2+(9﹣7)2],
=(1+1+0+1+1+0+1+0+1+4),
=1,
乙按照成绩从低到高排列如下:4、6、6、6、7、7、7、8、9、10,
第5个与第6个数都是7,
所以,乙的中位数为7;…(6分)
(2)答:因为甲、乙的平均数与中位数都相同,甲的方差小,所以更稳定,因此甲的成绩好些.…(10分)
22.(2018赤峰)如图,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB,CF⊥OF于点F.
(1)求证:四边形CDOF是矩形;
(2)当∠AOC多少度时,四边形CDOF是正方形?并说明理由.
考点:正方形的判定;矩形的判定。
解答:(1)证明:∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB(已知),
∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF,
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴2∠COD+2∠COF=180°,
∴∠COD+∠COF=90°,
∴∠DOF=90°;
∵OA=OC,OD平分∠AOC(已知),
∴OD⊥AC,AD=DC(等腰三角形的“三合一”的性质),
∴∠CDO=90°,
∵CF⊥OF,
∴∠CFO=90°
∴四边形CDOF是矩形;
(2)当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形;
理由如下:∵∠AOC=90°,AD=DC,
∴OD=DC;
又由(1)知四边形CDOF是矩形,则
四边形CDOF是正方形;
因此,当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.
23.(2018赤峰)如图,直线1l y x =:与双曲线k
y x
=
相交于点A (a ,2),将直线l 1向上平移3个单位得到l 2,直线l 2与双曲线相交于B .C 两点(点B 在第一象限),交y 轴于D 点. (1)求双曲线k
y x
=
的解析式; (2)求tan ∠DOB 的值.
考点:反比例函数与一次函数的交点问题;一次函数图象与几何变换;锐角三角函数的定义。 解答:解:(1)∵A (a ,2)是y=x 与y=的交点, ∴A (2,2),
把A (2,2)代入y=,得k=4,
∴双曲线的解析式为y=;
(2)∵将l 1向上平移了3个单位得到l 2, ∴l 2的解析式为y=x+3, ∴解方程组
,
得,,
∴B (1,4), ∴tan ∠DOB=.
24.(2018赤峰)如图,AB是⊙O的弦,点D是半径OA上的动点(与点A.O不重合),过点D垂直于OA的直线交⊙O于点E、F,交AB于点C.
(1)点H在直线EF上,如果HC=HB,那么HB是⊙O的切线吗?请说明理由;
(2)连接AE、AF,如果AF=FB,并且CF=16,FE=50,求AF的长.
考点:圆的综合题。
解答:解:(1)HB是⊙O的切线,理由如下:
连接OB.
∵HC=HB,∴∠HCB=∠HBC,
又∵OB=OA,∴∠OAB=∠OBA,
∵CD⊥OA,∴∠ADC=90°,
∴∠ACD+∠OAB=90°,
∵∠ACD=∠HCB,∴∠OBA+∠HBA=90°,
∴HB⊥OB,
∴HB是⊙O的切线;
(2)∵=,
∴∠FAB=∠AEF,
又∵∠AFE=∠CFA,
∴△AFE∽△CFA,
∴,
∴AF2=CF?FE,
∵CF=16,FE=50,
∴AF==20.
25.(2018赤峰)如图,抛物线25y x bx =--与x 轴交于A .B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,点C 与点F 关于抛物线的对称轴对称,直线AF 交y 轴于点E ,|OC|:|OA|=5:1. (1)求抛物线的解析式; (2)求直线AF 的解析式;
(3)在直线AF 上是否存在点P ,使△CFP 是直角三角形?若存在,求出P 点坐标;若不存在,说明理由.
考点:二次函数综合题。 解答:解:(1)∵y=x 2
﹣bx ﹣5, ∴|OC|=5,
∵|OC|:|OA|=5:1, ∴|OA|=1, 即A (﹣1,0),…(2分)
把A (﹣1,0)代入y=x 2﹣bx ﹣5得
(﹣1)2
+b ﹣5=0, 解得b=4,
抛物线的解析式为y=x 2
﹣4x ﹣5;…(4分)
(2)∵点C 与点F 关于对称轴对称,C (0,﹣5),设F (x 0,﹣5),
∴x 02
﹣4x 0﹣5=﹣5, 解得x 0=0(舍去),或x 0=4, ∴F (4,﹣5),…(6分) ∴对称轴为x=2,
设直线AF 的解析式为y=kx+b , 把F (4,﹣5),A (﹣1,0),代入y=kx+b , 得
,
解得,
所以,直线FA 的解析式为y=﹣x ﹣1;…(8分) (3)存在.…(9分)
理由如下:①当∠FCP=90°时,点P 与点E 重合, ∵点E 是直线y=﹣x ﹣1与y 轴的交点, ∴E (0,﹣1), ∴P (0,﹣1),…(10分)
②当CF 是斜边时,过点C 作CP ⊥AF 于点P (x 1,﹣x 1﹣1), ∵∠ECF=90°,E (0,﹣1),C (0,﹣5),F (4,﹣5), ∴CE=CF , ∴EP=EF , ∴CP=PF ,
∴点P 在抛物线的对称轴上,…(11分)
∴x 1=2,
把x 1=2代入y=﹣x ﹣1,得 y=﹣3,
∴P (2,﹣3),
综上所述,直线AF 上存在点P (0,﹣1)或(0,﹣1)使△CFP 是直角三角形.…(12分)
26.(2018赤峰)阅读材料:
(1)对于任意两个数a b 、的大小比较,有下面的方法: 当0a b ->时,一定有a b >; 当0a b -=时,一定有a b =; 当0a b -<时,一定有a b <.
反过来也成立.因此,我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”.
(2)对于比较两个正数a b 、的大小时,我们还可以用它们的平方进行比较: ∵22
()()a b a b a b -=+-,0a b +> ∴(2
2
a b -)与(a b -)的符号相同
当22
a b ->0时,a b ->0,得a b >
当22
a b -=0时,a b -=0,得a b =
当22
a b -<0时,a b -<0,得a b <
解决下列实际问题:
(1)课堂上,老师让同学们制作几种几何体,张丽同学用了3张A4纸,7张B5纸;李明同学用了2张A4纸,8张B5纸.设每张A4纸的面积为x,每张B5纸的面积为y,且x>y,张丽同学的用纸总面积为W1,李明同学的用纸总面积为W2.回答下列问题:
①W1= (用x、y的式子表示)
W2= (用x、y的式子表示)
②请你分析谁用的纸面积最大.
(2)如图1所示,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A.B两镇供气,已知A.B到l的距离分别是3km、4km(即AC=3km,BE=4km),AB=xkm,现设计两种方案:
方案一:如图2所示,AP⊥l于点P,泵站修建在点P处,该方案中管道长度a1=AB+AP.
方案二:如图3所示,点A′与点A关于l对称,A′B与l相交于点P,泵站修建在点P处,该方案中管道长度a2=AP+BP.
①在方案一中,a1= km(用含x的式子表示);
②在方案二中,a2= km(用含x的式子表示);
③请你分析要使铺设的输气管道较短,应选择方案一还是方案二.
考点:轴对称-最短路线问题;整式的混合运算。
解答:(1)解:①W1=3x+7y,W2=2x+8y,
故答案为:3x+7y,2x+8y.
②解:W1﹣W2=(3x+7y)﹣(2x+8y)=x﹣y,
∵x>y,
∴x﹣y>0,
∴W1﹣W2>0,
得W1>W2,所以张丽同学用纸的总面积大.
(2)①解:a1=AB+AP=x+3,
故答案为:x+3.
②解:过B作BM⊥AC于M,
则AM=4﹣3=1,
在△ABM中,由勾股定理得:BM2=AB2﹣12=x2﹣1,
在△A′MB中,由勾股定理得:AP+BP=A′B==,
故答案为:.
③解:=(x+3)2﹣()2=x2+6x+9﹣(x2+48)=6x﹣39,
当>0(即a1﹣a2>0,a1>a2)时,6x﹣39>0,解得x>6.5,
当=0(即a1﹣a2=0,a1=a2)时,6x﹣39=0,解得x=6.5,
当<0(即a1﹣a2<0,a1<a2)时,6x﹣39<0,解得x<6.5,
综上所述
当x>6.5时,选择方案二,输气管道较短,
当x=6.5时,两种方案一样,
当0<x<6.5时,选择方案一,输气管道较短.