三角形五心性质概念整理(超全).docx

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2: 1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

证明方法：

设三角形三个顶点为(xι,yι),(x 2,y2),(x 3,y3)平面上任意一点为(X，y)则该点到三顶点距离平方和为：(X ι-x) 2+(y 仁y) 2+(x2-x) 2+(y 2-y) 2+(χ3-x) 2+(y 3-y) 2

=3χ2-2x(x 1+x2+χ3)+3y 2-2y(y 1 +y2+y3)+x 12+x2+χ32+y12+y22+y32

=3[x-1∕3*(x 1+X2+X3)] 2+3[y-1∕3*(y 1+y2+y3)] 2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1∕3(x 1+X2+X3) 2-1∕3(y 1+y2+y3)2 显然当X=(X 1+x2+x3)∕3,y=(y 1+y2+y3)∕3 (重心坐标)时

上式取得最小值X12+x22+x32+y12+y22+y32-1∕3(x 1+X2+X3) 2-1∕3(y 1+y2+y3)2

最终得出结论。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，

即其坐标为[(X 1+%+X)∕3,(Y 1+Y+Y3)∕3]；

空间直角坐标系——横坐标：(X1+%+X)∕3 ,纵坐标：(Y 1+Y+Y0/3 ,纵坐标：(乙+乙+乙)

∕3

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

6、在厶ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=O (向量)，贝S M点为△ ABC的重心，

反之也成立。

7、设厶ABC重心为G点，所在平面有一点O,则向量OG=1∕3(向量OA+向量OB+

向量OC

设厶ABC的内切圆为。l(r) , ∠ A ∠ B∠C的对边分别为a、b、c, p=(a+b+c)∕2 .

1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径

r.

2、 / BIC=90° +∠ BAC/2.

3、在Rt Δ ABC中,∠ A=90o ,三角形内切圆切BC于D,则

S A ABC=B×CD

4、点O是平面ABC上任意一点，点I是厶ABC内心的充要条件是:

向量Ol=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]∕(a+b+c)

5、在厶ABC中，若三个顶点分别是A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , C(x3, y3), 那么△

ABC内心I的坐标是：

(ax1∕(a+b+c)+bx2∕(a+b+c)+cx3∕(a+b+c),

ay1∕(a+b+c)+by2∕(a+b+c)+cy3∕(a+b+c))

6、(欧拉定理)△ ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，贝S OI2=R2-2Rr.

7、A ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则内切圆半径r=2S∕(a+b+c)

8 双曲线上任一支上一点与两交点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点

9、A ABC中，内切圆分别与AB, BC CA相切于P, Q

R

贝S AP=AR=(b+c-a)∕2 , BP =BQ =(a+c-b)∕2,

CR =CQ =(b+a-c)∕2,

r=[(b+c-a)ta n( A∕2)]∕2O

10、三角形内角平分线定理：

△ ABC中，I为内心，/ BAC、/ ABC ∠ ACB的内角平分线分别交BC AC AB于Q R P，贝S BQ∕QC=c∕b BP/PA=a/b, CR∕RA=a∕c。

内切圆的半径

(1)在Rt Δ ABC中，∠ C=90o, r=(a+b-c)∕2.

(2)在Rt Δ ABC中，∠ C=90o, r=ab∕(a+b+c)

(3)任意△ ABC中r= (2*S^ABC ∕C △ ABC ( C 为周长)

外心

设/ABC勺外接圆为。G(R),角A B、C的对边分别为a、b、c, p=(a+b+c)∕2 .

锐帝三角形的外心在三角形內

直角三第形的外心在斛边上，与斜边中点重合‘

钝角三角形的外心在三角形外

性质1:( 1)锐角三角形的外心在三角形内；

(2)直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；

(3)钝角三角形的外心在三角形外.

(4)等边三角形外心与内心为同一点。

性质2:∠ BGC=∠A,(或∠ BGC=2(180 - ∠A)).

性质3: ∠ GAC∠ B=90o

证明：如图所示延长AG与圆交与P (B、C下面的那个点)

V A C、B、P四点共圆

???∠ P=∠B

V∠ P+∠ GAC=90

?∠GAC∠ B=90o