重庆一中学年上学期高二年级期末考试数学试卷理科
一中高二年级期末考试数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共50分） 1.抛物线22x y
=的焦点到准线的距离为
（ ）
A.1
B.
12 C. 1
4
D. 18
2.双曲线
2
2
1
2
x y -=的渐近线方程为
（ ）
A.
2y x =± B. y = C. 2y x =±
D. 12
y x =± 3. 直线0x y a -+=与圆222x y +=相切,则a 的值为 ( )
A.
B. 2± B. ± D. 4±
4. 三角形ABC 中， 90,3,1B AB BC ∠===，以边AB 所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A. π B. 2π C. 3π .D. 3
π
5. 已知直线,m n 和平面βα,满足,,m n m ααβ⊥⊥⊥,则 ( )
.A n β⊥ ,//.βn B 或β?n .//C n α或α?n .D n α⊥
6. 设a R ∈，则“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线2:(1)40l x a y +++=平行的（ ）
A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
7. 已知点(,)
P x y在椭圆221
4
x
y
+=上，则22
3
2
4
x x y
+-的最大值为（）
A. 2-
B. -1
C. 2
D.7
8. 方程()
22
1lg10
x x y
-+-=所表示的曲线的图形是（）
9. 记动点P是棱长为1的正方体
1111
-
ABCD A B C D的对角线1
BD上一点，记1
1
D P
D B
λ
=．当APC
∠为钝角时，则λ的取值围为( )
A. (0,1)
B. 1(,1)
3
C. 1
(0,)
3
D. (1,3)
10. 过双曲线)0
,0
(1
2
2
2
2
>
>
=
-b
a
b
y
a
x的左焦点
)0,
(c
F-作圆2
2
2a
y
x=
+的切线，切点为E，延长FE交抛物线cx
y4
2=于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）
A．5 B.
2
5 C.1
5+ D.
2
1
5+
二、填空题（每小题5分，共25分）
11. 已知向量(1,2,3)
a=，(1,,0)
b x
=，且a b
⊥，则x=。
12. 双曲线22
2
1(0)
x
y a
a
-=>的右焦点到它的渐近线的距离为。
13. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 .
14. 过抛物线24y x =焦点的直线与抛物线交于,A B 两点，8AB =，则线
段AB 的中点横坐标为 。
15. 椭圆22
1169
x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过焦点1F 的直线交该椭圆
于,A B 两点，若2ABF 的切圆面积为π，,A B 两点的坐标分别为
1122(,),(,)x y x y ，则12y y -的值为 。
三、解答题（共75分）
16. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA AD =，点M 、N 分别为侧棱PD 、PC 的中点 （1）求证：CD ∥平面AMN ； （2）求证：AM ⊥平面PCD .
17. 已知抛物线C ：22y px =的焦点为圆22230x y x +--=的圆心，直线
1
:(2)2
l y x =
-与C 交于不同的两点,A B . （1） 求C 的方程； （2） 求弦长||AB 。
18.已知椭圆2
2:14
x C y +=，左右焦点分别为12,F F ，
（1）若C 上一点P 满足1290F PF ∠=，求12F PF ?的面积；
（2）直线l 交C 于点,A B ，线段AB 的中点为1(1,)2
，求直线l 的方程。
19. 如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，M 是棱1CC 上一点，
（1）若M 为CC 1的中点，求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；
（2）是否存在这样的M ，使得平面ABM ⊥平面A 1B 1M ，若存在，求出CM 的值；若不存在，请说明理由。
20. 已知离心率为3的椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点()2,1M ，O 为坐
标原点，平行于OM 的直线l 交椭圆于C 不同的两点,A B 。
（1）求椭圆的C 方程。
（2）证明：若直线,MA MB 的斜率分别为1k 、2k ，求证：1k +2k =0。
21. 设双曲线C ：12
22
=-y x 的左、右顶点分别为A 1、A 2，垂直于x
轴的直线m 与双曲线C 交于不同的两点,P Q 。
（1）若直线m 与x 轴正半轴的交点为T ，且121=?Q A P A ，求点T 的坐标；
（2）求直线A 1P 与直线A 2Q 的交点M 的轨迹E 的方程； （3）过点F （1，0）作直线l 与（Ⅱ）中的轨迹E 交于不同的两点A 、B ，设FB FA λ=，若||],1,2[TB TA +--∈求λ（T 为（1）中的点）的取值围。
数 学 试 题 卷（理科）
1—10ACBAC ADDBD
11. 12
- 12.1 13. 21) 14.3 15.
87
16. （1）证明
：
M
、N 分别为侧棱PD 、PC 的中点，
∴CD MN
CD AMN CD AMN MN AMN ??
??????
面面面 （2）
PA AD AM PD M PD =?
?⊥??
为中点
PA CD CD DA CD PAD CD AM PA AD A AM PAD ⊥?
???
⊥???
?⊥???=?????
面,又PD CD D ?=,AM ∴⊥平面PCD 17. 解：(1) 22(1)4x y -+=，圆心(1,0)，
1,22
p
p ==，所以C 的方程为24y x =。
（2）21
(2)2
4y y x
x ???=-=??，消去y ，22040x x -+=，
2||AB x =-==。
18. 解：（1）由第一定义，1224PF PF a +==,即
2
2
1212216PF PF PF PF ++=
由勾股定理，22
212(2)12PF PF c +==，所以122PF PF =，
12121
12
F PF S PF PF ?=
=. （2）设1122(,),(,)A x y B x y ,满足22
1114x y +=，222214
x y +=，两式作差12121212()()
()()04x x x x y y y y +-++-=，将122x x +=，121y y +=代入，得
1212()()02x x y y -+-=，可得121212AB y y k x x -==--，直线方程为：1
12
y x =-+。
19. 解：（1）∵C 1D 1∥A 1B 1
∴
∠B 1A 1M 即为直线A 1M 和C 1D 1所成的角