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高中数学竞赛训练题目二

高中数学竞赛训练题二

姓名：________________ （训练时间80分钟）得分：___________________

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。）

1．已知复数m 满足11=+m m ，

则=

2009

2008

m ．

2．设2cos sin 23

cos 2

)(2

=x x x x f ，]4

,6[π

π-∈x ，则)(x f 的值域为____________________．

3．设等差数列{}n

a 的前n 项和为n

S ，若0

,01615

<>S S

，

则

1522

11,,,a S a S a S 中最大的是

______________________．

4．已知O 是锐角△ABC 的外心，10,6==AC AB ，若

y x +=，且

102=+y x ，则

∠BAC cos _____________________．

5．已知正方体1

1D C B A ABCD -的棱长为1，O 为底面

ABCD 的中心，M ，N 分别是棱A 1D 1和CC 1的中点．则

四

面体

MNB O -的体积为

_________________________．

6．设}6,5,4,3,2,1{=C B A ，且}2,1{=B A ，C B ?}4,3,2,1{，则符合条件的),,(C B A 共有组．（注：C B A ,,顺序不同视为不同组．）

7．设x x x x x x y csc sec cot tan cos sin +++++=，则||y 的最小值为________________________--． 8．设

p 是给定的正偶数，集合

}

,3,22|{1N ∈=<<=+m m x x x A p p p 的所有元素的和是

______________________．

二、解答题（本题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9．设数列

)

0}({≥n a n 满足

1=a ，

)(2

22n m n m n m a a n m a a +=

+-+-+，其中n m n m ≥∈,,N ．

（1）证明：对一切N ∈n ，有2

212

+-=++n n n a a a ；

（2）证明：1

12009

++a a a ．

10．已知抛物线C ：2

1x y =与直线l ：1-=kx y 没有公共点，设点P 为直线l 上的动点，过P 作抛物线

C 的两条切线，A ，B 为切点． (1)证明：直线AB 恒过定点Q ；

(2)若点P 与（1）中的定点Q 的连线交抛物线C

于M ，N 两点，证明：

QM PN

PM =

．

11．设d c b a ,,,为正实数，且4=+++d c b a ．证明：

222)(4b a a

d d c c b b a -+≥+++．

2020年全国高中数学联合竞赛一试B卷

2020年全国高中数学联合竞赛一试B 卷试题参考答案及评分标准〔B 卷〕讲明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次． 2．假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、选择题〔此题总分值36分，每题6分〕 1．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是〔 B 〕 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 [解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=，当且仅当1 22x x =--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2． 2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，假设B A ?，那么实数a 的取值范畴为〔 A 〕 A ．[0,3) B ．[0,3] C ．[1,2)- D ．[1,2]- [解] 因240x ax --=有两个实根 12a x =22a x = 故B A ?等价于12x ≥-且24x <，即 22a ≥-且42a ，解之得03a ≤<． 3．甲乙两人进行乒乓球竞赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，竞赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 23，乙在每局中获胜的概率为1 3 ，且各局胜负相互独立，那么竞赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为〔 C 〕 A. 670243 B. 27481 C. 266 81 D. 24181 [解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.

历年全国高中数学联赛二试几何题汇总汇总

历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试类似九点圆如图，在锐角?ABC 中，AB

全国高中数学联合竞赛竞赛二试B卷试题和参考答案

2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明： 2(1)(1)(1)1a b c d +++≥- 二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A L ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=. 三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY . 四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈L L ，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈L L ，集合 {(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值. 2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明： 2(1)(1)(1)1a b c d +++≥- 证明：当1d ≥时，不等式显然成立以下设01d ≤<，不妨设,a b 不异号，即0ab ≥，那么有

因此222 (1)(1)(1)(1)(1)111a b c c c c c d +++≥-+=-=-≥- 二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A L ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=. 证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,,1i m =+L 设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡?-?=+，故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m -= 三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY . 证明：首先证明//YX BC ，即证AX AY XC YB = 连接,BD CD ，因为ACQ ACQ ABC ABC ABP ABP S S S S S S ???????=，所以111sin sin sin 222111sin sin sin 222 AC CQ ACQ AC BC ACB AC AQ CAQ AB BC ABC AB BP ABP AB AP BAP ?∠?∠?∠?=?∠?∠?∠， ① 由题设，,BP CQ 是圆ω的切线，所以ACQ ABC ∠=∠，ACB ABP ∠=∠，又 CAQ DBC DCB BAP ∠=∠=∠=∠（注意D 是弧BC 的中点），于是由①知AB AQ CQ AC AP BP ?=? ② 因为CAQ BAP ∠=∠，所以BAQ CAP ∠=∠，

高中数学联赛二试训练

二试训练题（1） 1. （本题满分40分）实数a 使得对于任意实数12345,,,,x x x x x ，不等式 22222 1234512233445()x x x x x a x x x x x x x x ++++≥+++ 都成立，求a 的最大值． 2. （本题满分40分）在直角三角形ABC 中，90B ∠=?，它的内切圆分别与边BC ，CA ，AB 相切与点D ，E ，F ，连接AD ，与内切圆相交于另一点P ，连接PC ，PE ，PF ．已知PC PF ⊥，求证：PE ∥BC ． F C B A

3．（本题满分50分）对正整数n ，记()f n 为数2 31n n ++的十进制表示的数码和． (1) 求()f n 的最小值； (2) 是否存在一个正整数n ，使得()f n =100？ 4．（本题满分50分）求满足如下条件的最小正整数n ，在圆O 的圆周上任取n 个点 12,,,n A A A L ，则在2n C 个角(1)i j A OA i j n ∠≤<≤中，至少有2011个不超过120?．

二试训练题（2） 1、（本题40分）在△ABC 中，AB ＞BC ，K 、M 分别是边AB 和AC 的中点，O 是△ABC 的内心。设P 点是直线KM 和CO 的交点，而Q 点使得QP⊥KM 且QM∥BO，证明：QO⊥AC。 2、（本题40分）已知无穷数列{}n a 满足,,10y a x a ==()Λ,2,11 1 11=++= --+n a a a a a n n n n n . （1）对于怎样的实数x ，y ，总存在正整数0n ,使当0n n ≥时，n a 恒为常数？（2）求数列{}n a 的通项公式.

2009年全国高中数学联赛一、二试及详细答案和评分标准(A卷)

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共8小题，每小题7分，共56分） 1．若函数( )f x ()()()n n f x f f f f x ??=??????，则() ()991f = ．【答案】 1 10 【解析】 ()()( )1f x f x == ， ( ) ()( )2f x f f x ==???? …… ( ) ( )99f x = 故()()991 110f =． 2．已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．【答案】 []36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =?，由直线AC 与圆M 相交，得d 解得36a ≤≤． 3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ?? ??-? ≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1 t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212 t t -++ 【解析】由题意知 ()f t S =阴影部分面积 A O B O C D B S S S ???=-- ()22111122 t t =--- 2 12 t t =-++ 4．使不等式1111 200712213 a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为．【答案】 2009 【解析】设()1111221f n n n n =+++ +++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1 120073 f a <-，可得2009a =．

全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(79).pdf

加试模拟训练题（79） 1 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC。 2. ?数列y1，y2，y3，…满足条件y1=1，对于k＞0，证明：数列y1，y2，y3，…能取遍每个正整数并且恰好一次． 3.设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一；若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从A点出发跳动到停止为止，可能出现的不同跳法共有多少种？ 4.求都能使成立的最大的加试模拟训练题（79） 1 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC。证如图，连接BD交AC于H，过点C作AB的平行线交AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J。对△BCD用塞瓦定理，可得 ① 因为AH是∠BAD的角平分线，由角平分线定理知。代入①式得 ② 因为CI∥AB，CJ∥AD，则，。代入②式得. 从而CI=CJ。又由于∠ACI=180°－∠BAC=180°－∠DAC=∠ACJ，所以△ACI≌△ACJ，故∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC. 2. ?数列y1，y2，y3，…满足条件y1=1，对于k＞0，证明：数列y1，y2，y3，…能取遍每个正整数并且恰好一次．【题说】第二十五届（1993年）加拿大数学奥林匹克题5．【证】用二进制表示．设 n=（amam-1…a1a0）2 其中am=1，ai=0或1，i=0，1，…，m-1．我们用归纳法证明 yn=（bmbm-1…b1b0）2 其中bm=1，b2≡ai+ai+1（mod2），i=0，1，…，m-1．（1）n=1时，显然．（2）假设对于小于n的正整数结论成立．对于n=（am…a1a0）2，其中b0=0≡a1+a0（mod2）．（ii）若a1=1，a0=0，则其中b0=1≡a0+a1（mod2）．（iii）若a1=0，a0=1，则其中b0=1≡a0+a1（mod2）．（iv）若a1=a0=1，则其中b0=0≡a0+a1（mod2）．因此，命题对任意正整数n也成立．反之，对任意数（bm…b1b0）2，可以唯一确定n=（amam-1…a1a0）如下： am=bm=1，ai≡bi-ai+1（mod2）所以，yn→n是N+→N+的一一对应．? 3.设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一；若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从A点出发跳动到停止为止，可能出现的不同跳法共有多少种？【题说】 1997年全国联赛一试题2(5)．【解】如果跳5次才停，那么由于在每一点都有2种跳法，共有25种跳法．其中3步跳到D的有2种，跳到D后继续再

2018年全国高中数学联赛试题

2018年全国高中数学联赛一试一、填空题 1. 设集合{1,2,3,...,99},{2|},{|2},A B x x A C x x A ==∈=∈ 则B C 的元素个数为 __________. 2. 设点P 到平面α 点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60，则这样的点Q 所构成的区域的面积为__________. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,,a b c d e f 则abc def +是偶数的概率为________. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F 的面积为_________. 5. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]0,1上严格递增，且满足 ()1,(2)2f f ππ== ，则不等式组121()2 x f x ≤≤??≤≤?的解集为________. 6. 设复数z 满足1z =，使得关于x 的方程2 220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为__________. 7. 设O 为ABC 的外心，若2,AO AB AC =+ 则sin BAC ∠的值为__________. 8. 设正整数数列1210,,...a a a 满足1012853,+2,a a a a a ==且 1{1,2},1,2,...,9i i i a a a i +∈++=，则这样的数列的个数为__________. 二、解答题 9.已知定义在R + 上的函数()f x 为3log 1,09()49x x f x x ?-<≤?=?>?? ，设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ==，求abc 的取值范围

高中数学竞赛二试试题答案B卷

题一图答一图 2008年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）试题参考答案说明： 1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分； 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分， 10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，ABCD 是圆内接四边形．AC 与BD 的交点为 P ，E 是弧AB 上一点，连接EP 并延长交DC 于点F ，点 ,G H 分别在CE ，DE 的延长线上，满足EAG FAD ∠=∠，EBH FBC ∠=∠，求证：,,,C D G H 四点共圆． [证] 由已知条件知 FAG FAE EAG FAE FAD DAE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．又 180DAE DCE ∠+∠=?，所以 180FAG DCE ∠+∠=?，从而,,,A F C G 四点共圆，此圆记为1Γ．同理可证：,,,B F D H 四点共圆，此圆记为2Γ．点E 在圆1Γ，2Γ内．延长FE 与圆1Γ相交于点I ，则 I P P F A P P C D ?=?=?，故,,,B F D I 四点共圆．所以I 在BFD ?的外接圆上，故I 在2Γ上．再用相交弦定理： E C E G E F E I E ? =?=?，故,,,C D G H 四点共圆．二、（本题满分50分）求满足下列关系式组的正整数解组(,,)x y z 的个数．

[解] 令r y z =-，由条件知050r <≤，方程化为 222()2x z r z ++=，即2222x zr r z ++=．（1）因0y z r -=>，故22222z x y z x =+->，从而z x >．设0p z x =->．因此（1）化为 22220zp p zr r -+++=．（2）下分r 为奇偶讨论，（ⅰ）当r 为奇数时，由（2）知p 为奇数．令121r r =+，121p p =+，代入（2）得 221111112()10p p zp zr r r +-++++=．（3）（3）式明显无整数解．故当r 为奇数时，原方程无正整数解．（ⅱ）当r 为偶数时，设12r r =，由方程（2）知p 也为偶数．从而可设12p p =，代入（2）化简得 2211110p zp zr r -++=．（4）由（4）式有221111()0z p r p r -=+>，故11p r >，从而可设11p r a =+，则（4）可化为 2211()0r a za r +-+=， 2211220r ar za a +-+=．（5）因2 1122r z r a a =++为整数，故212a r ．又1122()z z x p r a >-==+，因此 22111()2()r a r za r a a ++=>+，得2212a r <， 1a ．因此，对给定的11,2,,25r =???，解的个数恰是满足条件a <的212r 的正因数a 的个数1()N r ．因212r 不是完全平方数，从而1()N r 为212r 的正因数的个数21(2)r σ的一半．即 211()(2)/2N r r σ=．

全国高中数学竞赛二试模拟训练题(82)

加试模拟训练题（82） 1 如图，四边形ABCD 内接于圆，AB ，DC 延长线交于E ，AD 、BC 延长线交于F ，P 为圆上任意一点，PE ，PF 分别交圆于R ，S . 若对角线AC 与BD 相交于T . 求证：R ，T ，S 三点共线。 2.对于每个实数x 1，由x n+1=x n （x n +1/n ），n ≥1，构成序列x 1，x 2，…，证明：存在唯一的x 1，使得0＜x n ＜x n+1＜1（n=1，2，…）． 3.九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2:3的两个四边形．证明：这九条直线 E B R C T A P S D F

中至少有三条经过同一点． 4. 已知49个正整数的集合M，M中的每个数的质因数不大于10，证明：M中有4个互不相同的元素，它们的乘积等于某个整数的四次方。加试模拟训练题（82） 1如图，四边形ABCD内接于圆，AB，DC延长线交于E，AD、BC延长 E B R C

线交于F ，P 为圆上任意一点，PE ，PF 分别交圆于R ，S . 若对角线AC 与BD 相交于T . 求证：R ，T ，S 三点共线。先证两个引理。引理1: A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1为圆内接六边形，若A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于一点，则有 11 11 111111111=??A F F E E D D C C B B A . 如图，设A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于点O ，根据圆内接多边形的性质易知 △ OA 1B 1∽△OE 1D 1，△OB 1C 1∽△OF 1E 1， △ OC 1D 1∽△OA 1F 1，从而有 △ O D O B E D B A 111111=， O B O F C B F E 111111=， O F O D A F D C 111111=. 将上面三式相乘即得11 11111111111=??A F F E E D D C C B B A ，引理2：圆内接六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，若满足 11 11 111111111=??A F F E E D D C C B B A 则其三条对角线A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于一点。该引理与定理2的证明方法类似，留给读者。例11之证明如图，连接PD ，AS ，RC ，BR ，AP ，SD . 由△EBR ∽△EPA ，△FDS ∽△FPA ，知EP EB PA BR =,FD FP DS PA = . 两式相乘，得 FD EP FP EB DS BR ??= . ① 又由△ECR ∽△EPD ，△FPD ∽△FAS ，知 EP EC PD CR =，FA FP AS PD = . 两式相乘，得FA EP FP EC AS CR ??= ② 由①，②得FD EC FA EB CR DS AS BR ??= ??. 故 =??AB SA DS CD RC BR CE DC FD AF BA EB ? ?. ③ 对△EAD 应用梅涅劳斯定理，有1=??CE DC FD AF BA EB ④ 由③，④得1=??AB SA DS CD RC BR . 由引理2知BD ，RS ，AC 交于一点，所以R ，T ，S 三点共线。 2.对于每个实数x 1，由x n+1=x n （x n +1/n ），n ≥1，构成序列x 1，x 2，…，证明：存在唯一的x 1，使得0＜x n ＜x n+1＜1（n=1，2，…）．【题说】第二十六届（1985年）国际数学奥林匹克题6．本题由瑞典提供． B F A E 1 O C D 1 1 1 1 1

2017年全国高中数学联合竞赛竞赛二试(B卷)试题和参考答案

一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明： 2(1)(1)(1)1a b c d +++≥- 二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集 12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=. 三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ， CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY . 四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈ ，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈ ，集合 {(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.

一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明： 2(1)(1)(1)1a b c d +++≥- 证明：当1d ≥时，不等式显然成立以下设01d ≤<，不妨设,a b 不异号，即0ab ≥，那么有 (1)(1)11110a b a b ab a b c d ++=+++≥++=-≥-> 因此2 22(1)(1)(1)(1)(1)111a b c c c c c d +++≥-+=-=-≥- 二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集 12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=. 证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,,1i m =+ 设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡?-?=+，故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m -= 三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ， CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .

高中数学竞赛讲义

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。二、初中数学竞赛大纲 1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法；

全国高中数学联赛试卷及答案

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二○○一年全国高中数学联合竞赛题（10月4日上午8：00—9：40） 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6个小是题，每题均给出（A ）（B ）（C ）（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1、已知a 为给定的实数，那么集合M={x|x 2-3x-a 2+2=0,x ∈R}的子集的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）不确定 2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；以上三个命题中正确的有（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个 3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以为周期、在（0，2 π ）上单调递增的偶函数是（A ）y=sin|x| （B ）y=cos|x| （C ）y=|ctgx| （D ）y=lg|sinx| 4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k 的⊿ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（A ）k=83 （B ）0

历年全国高中数学联赛二试几何题汇总

历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007联赛二试类似九点圆如图，在锐角?ABC 中，AB

高中数学竞赛基本知识集锦

高中数学竞赛基本知识集锦一、三角函数常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）：半角公式 2cos 12 sin α α -± = 2 cos 12 cos α α +± = α α ααααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12 tan += -=+-± = 积化和差 ()()[]βαβαβα-++= sin sin 21 cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21 sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21 cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2 1 sin sin 和差化积 2cos 2sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ 2sin 2cos 2sin sin β αβαβα-+=- 2cos 2cos 2cos cos β αβαβα-+=+ 2 sin 2sin 2cos cos β αβαβα-+-=- 万能公式 α αα2 tan 1tan 22sin += αα α2 2tan 1tan 12cos +-= α α α2tan 1tan 22tan -= 三倍角公式

()() αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()() αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3 二、某些特殊角的三角函数值除了课本中的以外，还有一些三、三角函数求值给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去举个例子求值：7 6cos 74cos 72cos πππ++ 提示：乘以7 2sin 2π ，化简后再除下去。求值：??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 2 2 来个复杂的设n 为正整数，求证 n n n i n i 21 212sin 1 += +∏=π 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲四、三角不等式证明最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。例求证：x 为锐角，sinx+tanx<2x 设12 π ≥ ≥≥z y x ，且2 π = ++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值。

全国高中数学竞赛二试模拟训练题

3、设n 是正整数，我们说集合{1，2，…，2n }的一个排列（n x x x 221,, ）具有性质P ，是指在{1，2，…，2n －1}当中至少有一个i ，使得.||1n x x i i =-+求证，对于任何n ，具有性质P 的排列比不具有性质P 的排列的个数多. 4、求方程||1r s p q -=的整数解，其中q p ,是质数，s r ,是大于1的正整数，并证明你所得到的解是全部解.

加试模拟训练题（14） 1、非等腰ABC ?的内切圆圆心为I，其与,, BC CA AB分别相切于点 111 ,, A B C， 11 , AA BB 分别交圆于 22 , A B， 111 A B C ?中 111111 , C A B C B A ∠∠的角平分线分别交 1111 , B C AC于点 33 , A B，证明（1） 23 A A是 121 B A C ∠的角平分线；（2）如果,P Q是 123 A A A ?和 123 B B B ?的两个外接圆的交点，则点I在直线PQ上。证明（1）因为 12 AC A ?∽ 11 AAC ?， 12 AB A ?∽ 11 AA B ?，所以有 122212 111111 C A AA AA B A C A AC AB B A ===，从而有13 1211 121113 C A C A C A B A B A B A ==，即 23 A A是 121 B A C ∠的角平分线。（2）设 123 A A A ?的外心为O，连 221 ,,, OI IA OA OA，则 12 OI A A ⊥。由于 132 A A A ∠= () 112123113112121111112 1 90 2 A C A C A A C A A A C A C A B C A B A C A ∠+∠+∠=∠+∠+∠=?+∠，所以 2211321122 1 1809090 2 A OI A OA A A A A C A A IO ∠=∠=?-∠=?-∠=?-∠，于是有2 90 IA O ∠=?，即 2 IA与O相切于 2 A。同理 2 IB与 123 B B B ?的外接圆相切于 2 B，从而I在 O与 123 B B B ?的外接圆的根轴上，即 ,, I P Q三点共线。 2、对任意实数z y x, ,，试证：). 9 ( 6 19 1 3 2 ) 9 ( 6 19 1 2 2 2 2 2 2z y x yz xz xy z y x+ + + ≤ + + ≤ + + - 证明：当z y x= =时，所证不等式显然成立. 当z y x, ,不全为零时，,0 92 2 2> + +z y x将所证不等式可变形为 . 6 19 1 9 3 2 6 19 1 2 2 2 + ≤ + + + + ≤ - z y x yz xz xy