导数典型例题(含答案)

导数典型例题

导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点.

一、与导数概念有关的问题

【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 A.0 B.1002 C.200 D.100！ 解法一 f ＇(0)=x

f x f x ?-?+→?)

0()0(lim

=

x

x x x x ?--?-?-??→?0

)100()2)(1(lim 0

Λ

=lim 0

→?x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D.

解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D.

点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解.

【例2】 已知函数f (x )=n

n n k k n

n n n

x c n

x c k x c x c c 11212210

++++++ΛΛ，n ∈N *，则 x

x f x f x ??--?+→?)

2()22(lim 0

= .

解 ∵

x

x f x f x ??--?+→?)

2()22(lim 0

=2x

f x f x ?-?+→?2)

2()22(lim

+

[]x

f x f x ?--?-+→?-)

2()(2lim 0

=2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)，

又∵f ＇(x )=1

1

2

1

--+++++n n n k k

n n n x c x c x c c ΛΛ，

∴f ＇(2)=

21（2n

n n k n k n n c c c c 222221+++++ΛΛ）=21[(1+2)n -1]= 2

1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如

x

m x f x m x f x ?--?-→?-)()(000

lim ，且其定义形式可以是

x

m x f x m x f x ?--?-→?)

()(000

lim ，也可以是

00

)()(lim x x x f x f x --→?（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关

知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖.

【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 .

解 ∵S =πR 2，而R =R (t )，t R '=2 cm/s ，∴t S '=t R )π(2

'=2πR ·t R '=4πR ，

∴t S '/R =10=4πR/R =10=40π cm 2/s.

点评 R 是t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t 而言的（R 是中间变量），此题易出现“∵S =πR 2，S ＇=2πR ，S ＇/R =10=20π cm 2/s ”的错误.本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004年高考湖北卷理科第16题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4分.

二、与曲线的切线有关的问题

【例4】 以正弦曲线y =sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是

A.??????4π,

0∪??????π,4π3 B. []π,0 C.??

?

??

?4π

3,4π D. ??????4π,0∪??

?

???4

π

3,2π 解 设过曲线y =sin x 上点P 的切线斜率角为α，由题意知，tan α=y ＇=cos x . ∵cos x ∈[-1，1]， ∴tan α∈[-1，1]，又α∈[

)π,0，∴α∈??????4π,0∪??

?

???π,4π3. 故选A.

点评 函数y =f (x )在点x 0处的导数f ＇(x 0)表示曲线，y =f (x )在点（x 0，f (x 0)）处的切线斜率，即k =tan α(α为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.

【例5】 曲线y =x 3-ax 2的切线通过点（0，1），且过点（0，1）的切线有两条，求实数a 的值.

解 ∵点（0，1）不在曲线上，∴可设切点为（m ,m 3-am 2）.而y ＇=3x 2-2ax ， ∴k 切=3m 3-2am ，则切线方程为y =(3m 3-2am )x -2m 3-am 2. ∵切线过（0，1），∴2m 3

-am 2

+1=0.(*)

设（*）式左边为f (m )，∴f (m )=0，由过（0，1）点的切线有2条，可知f (m )=0有两个实数解，其等价于“f (m )有极值，且极大值乘以极小值等于0，且a ≠0”.

由f (m )=2m 3-am 2+1，得f ＇(m )= 6m 3-am 2=2m (3m -a )，令f ＇(m )=0，得m =0，m =3

a

， ∴a ≠0，f (0)·f (

3a )=0，即a ≠0，-27

1a 3+1=0，∴a =3.

点评 本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.

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三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题

【例6】 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是

A.①、②

B.①、③

C.③、④

D.①、④

解 由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x 轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是③、④，故选C.

点评 f ＇(x )>0（或<0）只是函数f ＇(x )在该区间单递增（或递减）的充分条件，可导函数f ＇(x )在(a ，b )上单调递增（或递减）的充要条件是：对任意x ∈(a ，b )，都有f ＇(x )≥0(或≤0)且f ＇(x )在(a ，b )的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条件可以方便地解决“已知函数的单调性，反过来确定函数解析式中的参数的值域范围”问题.本题考查函数的单调性可谓新颖别致.

【例7】函数y =f (x )定义在区间（-3，7）上，其导函数如图所示，则函数y =f (x )在区间（-3，7）上极小值的个数是 个.

解 如图，A 、O 、B 、C 、E 这5个点是函数的极值点，观察这5个极值点左、右导数的正、负，可知O 点、C 点是极小值点，故在区间（-3，7）上函数y =f (x )的极小值个数是2个.

点评 导数f ＇(x )=0的点不一定是函数y =f (x )的极值点，如使f ＇(x )=0的点的左、右的导数值异号，则是极值点，

其中左正右负点是极大值点，左负右正点是极小值点.本题考查函数的极值可以称得上是匠心独运.

【例8】 设函数f (x )与数列{a n }满足关系：①a 1>α，其中α是方程f (x )=x 的实数根；②a n+1=f (a n )，n ∈N *；③f (x )的导数f ＇(x )∈（0，1）.

（1）证明：a n >α，n ∈N *；

（2）判断a n 与a n+1的大小，并证明你的结论. （1）证明：（数学归纳法）

当n =1时，由题意知a 1>α，∴原式成立. 假设当n =k 时，a k >α，成立. ∵f ＇(x )>0，∴f (x )是单调递增函数.

∴a k+1= f (a k )> f (α)=α，（∵α是方程f (x )= x 的实数根）

即当n =k +1时，原式成立.

故对于任意自然数N *，原式均成立.

（2）解：g (x )=x -f (x ),x ≥α，∴g ＇(x )=1-f ＇(x )，又∵0< f ＇(x )<1，∴g ＇(x )>0. ∴g ＇(x )在[

)+∞,α上是单调递增函数.

而g ＇(α)=α-f (α)=0，∴g ＇(x )>g (α) (x >α)，即x >f (x ). 又由（1）知，a n >α，∴a n >f (a n )=a n+1.

点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳法，令人耳目一新.

四、与不等式有关的问题

【例9】 设x ≥0，比较A =xe -

x ，B =lg(1+x )，C =

x

x +1的大小.

解 令f (x )=C -B=

x

x +1-lg(1+x )，则f ＇(x )=

x

x x ++-+1)1(2)11(2>0，

∴f (x )为[

)+∞,0上的增函数，∴f (x )≥f (0)=0，∴C ≥B . 令g (x )=B -A =lg(1+x )-xe -x

，则当x ≥0时，g ＇(x )=x

x e x +---1)

1(12≥0，

∴g (x )为[)+∞,0上的增函数，∴g (x )≥g (0)=0，∴B ≥A .

因此，C ≥B ≥A （x =0时等号成立）.

点评 运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f (a )=φ(a )，要证明当x >a 时，有f (a )=φ(a )，则只要设辅助函数F (x )= f (a )-φ(a )，然后证明F (x )在x >a 单调递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次，2004年全国卷Ⅱ的压轴题就考查了此知识点.

五、与实际应用问题有关的问题

【例10】 某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与(a -x )和x 2的乘积成正比；②当2

a

x =

时，y =a 3.并且技术改造投入比率：

)

(2x a x

-∈(]t ,0,其中t 为常数，且t ∈(]2,0.

（1）求y =f (x )的解析式及定义域；

（2）求出产品的增加值y 的最大值及相应的x 值. 解：（1）由已知，设y =f (x )=k (a -x )x 2，

∵当2a x =时，y = a 3，即a 3=k ·2

a

·42

a ，∴k =8，则f (x )=8-(a -x )x 2.

∵0<)(2x a x -≤t ，解得0

22+t at

.

（2）∵f ＇(x )= -24x 2+16ax =x (-24x +16a )，令f ＇(x )=0，则x =0（舍去），3

2a

x =，

当00，此时f (x )在（0，32a

）上单调递增；

当x >32a 时，f ＇(x )<0，此时f (x )是单调递减.

∴当122+t at ≥32a 时，即1≤t ≤2时，y max =f (32a )=3

27

32a ；

当122+t at <32a 时，即0

2

3)

12(32+t t a . 综上，当1≤t ≤2时，投入

32a 万元，最大增加值是32732a ，当0

22+t at

万元，最大增加值是3

2

3)12(32+t t a .

点评 f ＇(x 0)=0，只是函数f (x )在x 0处有极值的必要条件，求实际问题的最值应先建立一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质可以断定所建立的目标函数f (x )确有最大或最小值，并且一定在定义区间内取得，这时f (x )在定义区间内部又只有一个使f ＇(x 0)=0的点x 0，那么就不必判断x 0是否为极值点，取什么极值，可断定f (x 0)就是所求的最大或最小值.