高中数学必修四《三角函数》知识点与题型总结

三角函数典型考题归类

1．根据解析式研究函数性质

例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84??????

，上的最小值和最大值．

【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ?

?????=-+

+++ ? ? ??

?????

． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ?

?

=+

??

?

，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．

2．根据函数性质确定函数解析式

例2（江西）如图，函数π

2cos()(00)2

y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤

≤的图象与y

轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π．

（1）求θ和ω的值；

（2）已知点π02

A ?? ???

，，

点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，

当0y =

0ππ2x ??

∈????

，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω?

???=+

+--∈ ? ??

??

?R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域； （II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为

π

2

，求函数()y f x =的单调增区间．

（理）若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图象与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数()y f x x =∈R ，的单调增区间． 【相关高考2】（全国Ⅱ）在ABC △中，已知内角A π

=

3

，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求函数()y f x =的最大值． 3．三角函数求值 例3（四川）已知cos α=

71,cos(α-β)＝14

13

，且0<β<α<2π,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β.

【相关高考1】（重庆文）已知函数f (x )=)

2

sin(42cos 2ππ+?

?? ??

-x x .（Ⅰ）求f (x )的定义域；（Ⅱ）若角a 在第一象限，且）。

（求a f a ,5

3

cos = 【相关高考2】(重庆理)设f (x ) = x x 2sin 3cos 62-（1）求f(x )的最大值及最小正周期；（2）若锐角α满足

323)(-=αf ，求tan α5

4

的值.

4．三角形中的函数求值

例4（全国Ⅰ）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．

（Ⅰ）求B

的大小；（文）（Ⅱ）若a =，5c =，求b ．（理）（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 【相关高考1】（天津文）在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5

A =-． （Ⅰ）求sin

B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π??

+

???

的值． 【相关高考2】（福建）在ABC △中，1tan 4A =

，3tan 5

B =．（Ⅰ）求角

C 的大小；文（Ⅱ）若AB

，求BC 边的长．理（Ⅱ）若ABC △

，求最小边的边长． 5．三角与平面向量

例5（湖北理）已知ABC △的面积为3，且满足0≤AC AB ?≤6，设AB 和AC 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围；

（II

）求函数2()2sin 24f θθθ??

=+

???

π的最大值与最小值． 【相关高考1】（陕西）设函数()x f ?=，

其中向量R x x x m ∈+==),1,2sin 1(),2cos ,(，且函数y=f (x )的图象经过点??

?

??2,4π，

（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合.

【相关高考2】（广东）已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)．

（文）(1)若0=?AC AB ，求c 的值；（理）若∠A 为钝角，求c 的取值范围；(2)若5c =，求sin ∠A 的值．

6三角函数中的实际应用

例6

（山东理）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B

处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？

【相关高考】（宁夏）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测

得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．

7．三角函数与不等式

例7（湖北文）已知函数2π()2sin 24f x x x ??=+

???，ππ42x ??

∈????

，．（I ）求()f x 的最大值和最小值； （II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ??∈????

，上恒成立，求实数m 的取值范围． 8．三角函数与极值

例8（安徽文）设函数()R x t t t x

x t x x f ∈+-++--=,4342

cos 2sin

4cos 232

其中t ≤1，将()x f 的最小值记为g (t ).

(Ⅰ)求g (t )的表达式；(Ⅱ)讨论g (t )在区间（-1,1）内的单调性并求极值. 三角函数易错题解析 例题1 已知角α的终边上一点的坐标为（3

2cos ,32sin

ππ），则角α的最小值为（ ）。 A 、65π B 、3

2π C 、35π D 、611π

例题2 A ，B ，C 是?ABC 的三个内角，且B A tan ,tan 是方程01532

=+-x x 的两个实数根，则?ABC 是（ ）

A 、钝角三角形

B 、锐角三角形

C 、等腰三角形

D 、等边三角形

例题3 已知方程01342

=+++a ax x （a 为大于1的常数）的两根为αtan ，βtan ，

且α、∈β ??-

2π,??

?

2π，则2tan βα+的值是_________________.

例题4 函数的最大值为3，最小值为2，则

______，

_______。

例题5 函数f(x)=

x

x x

x cos sin 1cos sin ++的值域为______________。

例题6 若2sin 2

α

βααβ2

22sin sin ,sin 3sin +=+则的取值范围是 例题7 已知

，求的最小值及最大值。

例题8 求函数22tan ()1tan x

f x x

=

-的最小正周期。

例题9 求函数3)4

cos(

222sin )(+++=x x x f π

的值域

例题10 已知函数0,0)(sin()(>Φ+=ωωx x f ≤Φ≤)π是R 上的偶函数，其图像关于点M )0,4

3(π对称，且在区

间[0，

2

π

]上是单调函数，求Φ和ω的值。 2011三角函数集及三角形高考题

1.（2011年北京高考9）在ABC 中，若

1

5,,sin 4

3b B A π

=∠=

=

，则a = .

2.（2011年浙江高考5）.在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2

sin cos cos A A B +=

(A)- 12 (B) 1

2 (C) -1 (D) 1

3.（2011年全国卷1高考7）设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π

个单位长度后，所得的

图像与原图像重合，则ω的最小值等于

（A ）1

3 （B ）3 （C ）6 （D ）9

5.（2011年江西高考14）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若

()

4,p y 是角θ

终边上一点，且

sin θ=，则y=_______.

6．（2011年安徽高考9）已知函数()sin(2)f x x ?=+，其中?为实数，若()()

6f x f π

≤对x R ∈恒成立，且()()

2f f π

π>，则()f x 的单调递增区间是

（A ）,()36k k k Z ππππ??-+∈???? （B ）,()2k k k Z πππ?

?+∈????

（C ）2,()63k k k Z ππππ?

?++∈???? （D ）,()2k k k Z πππ??-∈????

7．（2011四川高考8）在△ABC 中，222

sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是

（A ）(0,]6π

（B ）[,)6π

π

（C ）

(0,]

3π

（D ）[,)

3π

π

1.（2011年北京高考17）已知函数()4cos sin() 1.

6f x x x π

=+-

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ??-????上的最大值和最小值。

3. （2011年山东高考17） 在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c a

B b --=

， （Ⅰ）求sin sin C A 的值；（Ⅱ）若1

cos ,2

4B b ==，求ABC ?的面积S 。

5.（2011年全国卷高考18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.

己知sin csin sin sin a A C C b B +=.

(Ⅰ)求B ；（Ⅱ）若

75,2,A b ==a c 求，. 6.（2011年湖南高考17）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C =

（I ）求角C 的大小；（II

cos()

4A B π

-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小． 7．（2011年广东高考16）已知函数

1()2sin()

36f x x π

=-，x ∈R ． （1）求

5(

)

4f π的值；（2）设,0,2παβ??∈????，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求cos()αβ+的值．

8．（2011年广东高考18）已知函数

73()sin()cos()44f x x x ππ

=+

+-，x ∈R ．

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知

4cos()5βα-=

，4cos()5βα+=-，02π

αβ<<≤．求证：2

[()]20f β-=．

9.（2011年江苏高考17）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,

（1）若

,

cos 2)6

sin(A A =+

π

求A 的值；（2）若c

b A 3,31

cos ==，求C sin 的值.

10.（2011高考）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB+bcos 2

。（I ）求b

a ；（II ）

若c 2=b 2

2，求B 。

11. （2011年湖北高考17）设ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知

1

1,2,c o s 4a b C ===

(I) 求ABC ?的周长；(II)求c o

s ()A C -的值。 12. （2011年浙江高考18）在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知1cos 24C =-

(I)求sinC 的值；(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．

2011三角函数集及三角形高考题答案

1.（2011年北京高考9）在ABC 中，若

1

5,,sin 4

3b B A π

=∠=

=

，则a = .

【答案】325【解析】：由正弦定理得sin sin a b A B =又15,,sin 43b B A π=∠==

所以5,1sin

34a a π==

2.（2011年浙江高考5）.在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2

sin cos cos A A B +=

(A)- 12 (B) 1

2 (C) -1 (D) 1

【答案】D 【解析】∵B b A a sin cos =，∴B A A 2

sin cos sin =，

∴1cos sin cos cos sin 2

22=+=+B B B A A .

3.（2011年全国卷1高考7）设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π

个单位长度后，所得的

图像与原图像重合，则ω的最小值等于

（A ）1

3 （B ）3 （C ）6 （D ）9

【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π

是此函数周期的

整数倍,得2()

3

k k Z π

π

ω

?=

∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min

6ω=.

4.（2011全国卷），设函数

（A ）

y=在单调递增，其图像关于直线对称（B ）y=在单调递增，其图像关于直线

对称

（C ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 4π对称（D ）y= f (x) 在（0，2π

）单调递减，其图像关于直线x = 2π

对称

解析：解法一：f(x)=2sin(2x+2π

)=2cos2x.所以f(x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 2π对称。故选

D 。

5.（2011年江西高考14）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若

()

4,p y 是角θ终边上一点，且

sin θ=，则y=_______.

答案：—8. 解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角。

斜边对边=θsin =552162-=+y y 8-=?y

6．（2011年湖南高考9）【解析】若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()s i n ()1

63f ππ

?=+=，所以

,3

2

k k Z

π

π

?π+=+

∈，

,6

k k Z

π

?π=+

∈.由()()

2f f π

π>，（k Z ∈），可知sin()sin(2

)π?π?+>+，即sin 0?<，所以(21)

,6

k k Z

π

?π=++∈，代入()

s i n (2f x x ?=+，得()s i n (2)

6f x x π

=-+，由

32222

6

2k x k π

π

π

ππ+

+

+

剟，得

263k x

k ππ

ππ++

剟，故选C.

7．（2011四川高考8）解析：由222

sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-得222a b c bc ≤+-，即

2221

22b c a bc +-≥， ∴

1cos 2A ≥

，∵0A π<<，故03A π

<≤

，选C ．

1.【解析】：（Ⅰ）因为

1)6

sin(cos 4)(-+

=π

x x x f 1)cos 21

sin 23(

cos 4-+=x x x [高考资源网https://www.sodocs.net/doc/e2646269.html,]

1cos 22sin 32

-+=x x x

x 2cos 2sin 3+=)

62sin(2π

+

=x 所以)(x f 的最小正周期为π

（Ⅱ）因为

.326

26

,4

6

ππ

π

π

π

≤

+

≤-

≤

≤-

x x 所以于是，当6,262π

ππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2；当

)

(,6,66

2x f x x 时即π

π

π

-=-

=+

取得最小值—1．

2.（2011年浙江高考18）已知函数

()sin (

)

3

f x A x π

?=+，x R ∈，0A >，

02π

?<<

.()y f x =的部分图像，如

图所示，P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1,)A .

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及?的值；（Ⅱ）若点R 的坐标为(1,0)，

23PRQ π

∠=

，求A 的值.

2.（Ⅰ）解：由题意得，26

3

T π

π

=

=因为(1,)P A 在sin()

3y A x π

?=+的图

像

上

所以sin() 1.3π?+=又因为

02π

?

，所以6π

?=

（Ⅱ）解：设点Q 的坐

标

为(

0,x A ).，由题意可知023

6

3x π

π

π

+

=

，得04x =，所以(4,)Q A -，连接PQ,在△PRQ 中，∠PRQ=23π,由余弦定

理得

2222221

cos 2.2RP RQ PQ PRQ RP RP +-∠===

，解得A 2=3。 又A ＞0，所以

3. （2011年山东高考17） 在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c a

B b --=

， （Ⅰ）求sin sin C A 的值；（Ⅱ）若1

cos ,2

4B b ==，求ABC ?的面积S 。

解：（Ⅰ）在ABC ?中，由cos 2cos 2cos A C c a B b --=及正弦定理可得，cos 2cos 2sin sin cos sin A C C A

B B --=

，

即sin sin 2cos sin 2sin cos sin cos A B C B C B A B -=- 则sin sin sin cos 2sin cos 2cos sin A B A B C B C B +=+

sin()2sin()A B C B +=+，而A B C π++=，则s i n 2s i n C A =，即sin 2

sin C

A =。另解1：在ABC ?中，由cos 2cos 2cos A C c a

B b --=

可得，cos 2cos 2cos cos b A b C c B a B -=-

由余弦定理可得22222222222

2

22b c a a b c a c b a c b c a a c +-+-+-+--=-，整理可得2c a =，由正弦定理可得

sin 2sin C c

A a ==。另解

2：利用教材习题结论解题，在

ABC

?中有结论

cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b c A a C c a B b A =+=+=+由

cos 2cos 2cos A C c a

B b

--=

可得

c

o s

2

c

o b A b C c B a B -=-即

cos cos 2cos 2cos b A a B c B b C +=+，则2c a =， 由正弦定理可得

sin 2sin C c

A a

==。（Ⅱ）由

2c a

=及

1

cos ,24

B b =

=可得

2

222

2

42c o s 44,c a a c B a a a a =+-=+

-=则1a =，

2c =，

S 11sin 12224ac B =

=??=

，即4S =

。

4.（2011年安徽高考16）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，

12cos()0B C ++=，求边BC 上的高

.

解：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ，又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=，即12cos 0A -=，

1cos 2A =

，又0°

A B =

得

sin 2

sin 2b A B a =

==， 又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，∴BC

边上的高AD ＝AC ·sinC 2sin(45

30)=+

45cos30cos45sin30)

+1)2==.

5.（2011年全国卷高考18）△ABC 的内角A 、B 、C

的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin a A C C b B +=.

(Ⅰ)求B ；（Ⅱ）若

75,2,A b ==a c 求，.

【解析】(I)

由正弦定理得222a c b +=…由余弦定理得222

2cos b a c ac B =+-.

故

cos 2B =

，因此

45B =

（II ）sin sin(3045)A =+sin30cos 45cos30sin 45=

+=

故

sin 1sin A a b B =?==+sin sin 60

26sin sin 45C c b B =?

=?=……………………………

6.（2011年安徽高考17）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A

a C =

（I ）求角C 的大小；（II cos()

4A B π

-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小． 解

析

：

（

I ）

由

正

弦

定

理

得

sin sin sin cos .

C A A C =因为

0,

A π<<所以

s i n 0.s i n c o s

.c o s 0,t a n

1,

4A C C C C C π>=

≠==从而又所以则（II ）由（I ）知

3.4B A π

=-于是

cos()cos()

4

cos 2sin().

6

3110,,,,46612623A B A A A A A A A A A π

ππ

πππππππ

-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时，

2sin()

6A π+取最大值2． cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.

312A B ππ

== 7．（2011年广东高考16）已知函数

1()2sin()

36f x x π

=-，x ∈R ． （1）求5()4f π的值；（2）设

,0,2παβ??∈????，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求cos()αβ+的值．

16．解：（1）

515(

)2sin()2sin 43464f ππππ=?-==2）

110

(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即

5sin 13α=

，16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=

，∵

,0,2πα

β??∈????， ∴

12

cos 13

α==

，

4sin 5

β==

∴

1235416cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=

?-?=

8．（2011年广东高考18）已知函数

73()sin()cos()44f x x x ππ=+

+-，x ∈R ．

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知4cos()5βα-=

，4cos()5βα+=-，02π

αβ<<≤．求证：2

[()]20f β-=．

（Ⅰ）解析：

7733()sin cos cos sin cos cos sin sin 4444f x x x x x ππππ=++

+x x =2sin()

4x π

=-，∴()f x 的最小正周期2T π=，最小值min ()2f x =-．Ⅱ）证明：由已知得4cos cos sin sin 5αβαβ+=

，4

cos cos sin sin 5αβαβ-=-，

两式相加得2cos cos 0αβ=，∵02π

αβ<<≤

，∴cos 0β=，则

2π

β=

．

∴

22

[()]24sin 20

4

f π

β-=-=．

9.（2011年江苏高考17）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,

（1）若

,

cos 2)6

sin(A A =+

π

求A 的值；（2）若c

b A 3,31

cos ==，求C sin 的值.

解析：（1

）

sin()2cos ,sin ,63A A A A A ππ

+=∴=∴=

（2

）22221

cos ,3,2cos 8,3A b c a b c bc A c a ==∴=+-==

由正弦定理得：sin c C =

，而

sin A ==1sin 3C ∴=

。（也可以先推出直角三角形）

高中数学必修4知识点总结归纳

高中数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<

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高中数学必修4知识点汇总 第一章：三角函数 1、任意角①正角：按逆时针方向旋转形成的角 ②负角：按顺时针方向旋转形成的角 ③零角：不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

高中数学必修必修知识点总结

高中数学必修1知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每 一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a 属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合 的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： （1）．有限集含有有限个元素的集合 （2）．无限集含有无限个元素的集合 （3）．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且B? A那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B? A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

高中数学必修4知识总结(完整版)

高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．

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高中数学必修4知识点 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落 在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<

①角度化为弧度： 180180ππ n n n o o o = ? =，②弧度化为角度：o o 180180?? ? ??=?=παπαα （3）若扇形的圆心角为α（α是角的弧度数），半径为r ，则： 弧长公式： ①,180 （用度表示的）π n l = ② （用弧度表示的）r l ||α=； 扇形面积：①)(3602用度表示的扇r n s π=② lr r S 2 1 ||212==α扇（用弧度表示的） 5、三角函数: （1）定义①：设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点 是(),x y ，它与原点的距离是( ) 0r OP r ==>， 则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠ 定义②：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α=y ; u 叫做α的余 弦，记作cos α，即cos α=x ; 当α的终边不在y 轴上时， x y 叫做α的正切，记作tan α, 即tan α=x y . （2）三角函数值在各象限的符号：口诀：全正，S 正，T 正，C 正。 口诀：第一象限全为正； 二正三切四余弦. （3）特殊角的三角函数值 αsin x y + + _ _ O x y + + _ _ αcos O αtan x y + + _ _ O

人教版高中数学必修一知识点总结

高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 注意：B ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

高中数学人教版必修4全套教案

第1，2课时1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角：按顺时针方向旋转形成的角

角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究： 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{β|β=α+k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o

高一数学必修1知识点总结

高中数学必修1知识点 第一章、集合综合应用题；单调性、奇偶性证明与应用； 第二章、指数幂与对数的运算；指数函数与对数函数性质的应用； 第三章、零点问题，尤其是二次函数的零点、二次函数根的分布。 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念： 1、集合的含义： 2、集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 3、集合的表示： （Ⅰ）列举法： （Ⅱ）描述法： 4、常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）N ；正整数集N*或N+ ；整数集Z；有理数集Q；实数集R 5、“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a A 6、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 集合相等，子集，真子集，空集等定义 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集、并集、全集与补集的定义 2.性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A. ⑴C U(C U A)=A ⑵(C U A)∩A=Φ⑶(C U A)∪A=U (4)(C U A)∩(C U B)=C U(A∪B) (5)(C U A)∪(C U B)=C U(A∩B) 二、函数的有关概念 1．函数的概念：(看课本) 注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充： 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是

高中数学必修4知识点整理

高中数学必修4知识点自测题 一、填空题（每空1分,共100分） 1、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l =__________，C=_________，S=_____________ 2、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是r ，则r=__________sin α=_______，cos α=________，tan α=________． 3、三角函数在各象限的符号：第一象限________为正，第二象限__________为正，第三象限___________为正，第四象限______________为正． 4、三角函数线：sin α=________，cos α=____，tan α 5、同角三角函数的基本关系：(1)___________ =1, cos 2α=__________________; sin 2α=__________________ (3)tan α=____________． 6、三角函数的诱导公式： (1)Sin(2k +πα)=___________ cos(2k +πα)=___________ tan(2k +πα)=___________ (2) Sin(π-α)=___________ cos(π-α)=___________ tan(π-α)=___________ (3) Sin(π+α)=___________ cos(π+α)=___________ tan(π+α)=___________ (4) Sin(-α)=___________ cos(-α)=___________ tan(-α)=___________ (5)sin(2π-α)=_________cos(2π -α)=_________ (6) sin(2π+α)=_________cos(2 π +α)=_________ 7、函数sin y x =的图象上所有点向_____（_____）平移?个单位长度，得到函数()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的_______倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；

高中数学必修4第一章知识点总结及典型例题

高中数学必修四 第一章 知识点归纳 第一:任意角的三角函数 一：角的概念:角的定义,角的三要素,角的分类(正角、负角、零角和象限角）,正确理解角,与角终边相同的 角的集合 } {|2,k k z ββπα=+∈ , 弧度制，弧度与角度的换算， 弧长l r α=、扇形面积2112 2 s lr r α==， 二:任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是(ｘ,ｙ）,它与原点的距离是 22r x y =+（r>0），那么角α的正弦r y a = sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。 三：同角三角函数的关系式与诱导公式： １.平方关系: 22sin cos 1 αα+= 2. 商数关系： sin tan cos α αα = 3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 正弦 余弦 正切 第二、三角函数图象和性质 基础知识:１、三角函数图像和性质 1-1 y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2π π -π o y x 1-1y=cosx -3π2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π 4π 3π 2π π -π o y x

2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域,最值,周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ,会用五点法作 sin()y A x ω?=+简图:五点分别为： 、 、 、 、 。

3、图象的基本变换：相位变换:sin sin()y x y x ?=?=+ 周期变换：sin()sin()y x y x ?ω?=+?=+ 振幅变换：sin()sin()y x y A x ω?ω?=+?=+ 4、求函数sin()y A x ω?=+的解析式:即求A 由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。 基础练习： 1、tan(600)-= . sin 225?= 。 2、已知扇形AOB 的周长是6cm ，该圆心角是１弧度,则扇形的面积= cm 2 . 3、设a <0，角α的终边经过点P （-3a ，4a ），那么ｓin α+2cos α的值等于 ４、函数 y =的定义域是＿____ __ 5、. 的结果是 。 6、函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3 x 2sin(3y π -=的图象-------( ） (A)向左平移个6π单位 (B ）向右平移个6π单位(C ）向左平移个3π单位 （D ）向右平移个3 π 单位 7、已知0tan ,0sin ><θθ,那么θ是 。 8.已知点P (tan α,ｃｏｓα）在第三象限，则角α的终边在 ９、下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 π = x 对称的是( ) A ．sin(2)3π=-y x Ｂ.sin(2)6π=-y x Ｃ．sin(2)6π=+y x D ．sin()23 π =+x y 10、下列函数中,周期为π的偶函数是（ ) A.cos y x = B.sin 2y x = C. tan y x = D. sin(2)2 y x π =+ 解答题解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 第一类型:1、已知角α终边上一点P(－4,3)，求) 2 9sin()211cos() sin()2cos(απαπαπαπ +---+的值

高中数学必修一、必修四、必修五知识点汇总

高中数学必修一、必修四、必修五知识点 一、知识点梳理 必修一第一单元 1.集合定义：一组对象的全体形成一个集合. 2.特征：确定性、互异性、无序性. 3.表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}、韦恩图、语言描述法{不是直角三角形的三角形} 4.常用的数集：自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、正整数集N *. 5.集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集φ 不含任何元素的集合 例：{x|x 2 =－5｝ 5.关系：属于∈、不属于?、包含于?(或?)、真包含于、集合相等＝. 6.集合的运算 （1）交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合；表示为：B A ? 数学表达式：{} B x A x x B A ∈∈=?且 性质：A B B A A A A A ?=?Φ=Φ?=?,, （2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合；表示为：B A ? 数学表达式：{} B x A x x B A ∈∈=?或 性质：A B B A A A A A A ?=?=Φ?=?,, （3）补集：已知全集I ，集合I A ?，由所有属于I 且不属于A 的元素组成的集合。表示：A C I 数学表达式：{} A x I x x A C I ?∈=且 方法：韦恩示意图, 数轴分析. 注意：① 区别∈与、与?、a 与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A ?B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ. ③若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有真子集的个数是n 2-1, 所有非空真子集的个数是22-n 。 ④空集是指不含任何元素的集合。}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 ⑤符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“,?”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 8.函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域. ①．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

高中数学必修知识点总结

高中数学必修知识点总结 必修一 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 3．集合的表示方法：列举法与描述法。 非负整数集（即自然数集）记作：正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 二、集合间的基本关系 1.对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B … 2、子集与真子集 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集． 记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}． 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}． 3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集 > （1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。 （3）性质： 二、函数的有关概念 1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． ☆求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ☆构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 2、补充一：分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 补充二：复合函数 ' 如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。 补充三：抽象函数 3、函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、配方法 4、函数的值域的常用求法： 1、换元法； 2、配方法； 3、判别式法； 4、几何法； 5、不等式法； 6、单调性法 5、函数单调性

新人教版高中数学必修4知识点

新人教版高中数学必修4知识点总结经典

新课标高中数学必修4知识点详细总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<

高中数学必修一必修四知识点总结(杠杠的)

数学知识点总结

高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集().把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 【1.1.2】集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的 子集。记作. 2、如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有个子集，个真子集. 5、子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质示意图 子集（或A中的任一元素都 属于B A (1)A (2) ，则 且 若 (3) ，则 且 若 (4)或

真子集 A B （或 B A） 中 B ，且 至少有一元素不属 于A 为非空子集） A （ ） 1 （ ，则 且 若 (2) 集合相等A中的任一元素都 属于B，B中的任 一元素都属于A B (1)A A (2)B 6、已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有 非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：. 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：. 3、全集、补集 名称记号意义性质示意图 交集且 （1） （2） （3） 并集或 （1） （2） （3） 补集 2 1 【1.2.1】函数的概念 1、函数的概念 ①设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作：. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等 【1.2.2】函数的表示法 2、函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． ①解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． ②列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．

高中数学必修123知识点总结

高中数学必修1知识点总结 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1 （2 0)

〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中， () 2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义

人教版高中数学必修4知识点总结

高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、角三角函数的基本关 系

新课标人教a版高中数学必修知识点总结

高中数学必修2知识点总结 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 (1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 (2)画三视图的原则：