第2讲 三角变换与解三角形
考情解读 1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用,常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等,经常和三角恒等变换结合进行综合考查.
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β. (3)tan(α±β)=tan α±tan β1?tan αtan β
.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α.
(2)cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α. (3)tan 2α=2tan α
1-tan 2α.
3.三角恒等式的证明方法
(1)从等式的一边推导变形到另一边,一般是化繁为简. (2)等式的两边同时变形为同一个式子. (3)将式子变形后再证明. 4.正弦定理
a sin A =
b sin B =
c sin C
=2R (2R 为△ABC 外接圆的直径).
变形:a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C . sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c
2R .
a ∶
b ∶
c =sin A ∶sin B ∶sin C . 5.余弦定理
a 2=
b 2+
c 2-2bc cos A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos B , c 2=a 2+b 2-2ab cos C .
推论:cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 2
2ab .
变形:b 2+c 2-a 2=2bc cos A ,a 2+c 2-b 2=2ac cos B ,
a 2+
b 2-
c 2=2ab cos C . 6.面积公式
S △ABC =12bc sin A =12ac sin B =1
2ab sin C .
7.解三角形
(1)已知两角及一边,利用正弦定理求解.
(2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一. (3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解. (4)已知三边,利用余弦定理求解.
热点一 三角变换
例1 (1)已知sin(α+π3)+sin α=-435,-π2<α<0,则cos(α+2π
3)等于( )
A .-4
5
B .-35
C.45
D.35
(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0,π2),β∈(0,π
2),且tan α=1+sin βcos β,则( )
A .3α-β=π
2
B .2α-β=π
2
C .3α+β=π
2
D .2α+β=π
2
思维启迪 (1)利用和角公式化简已知式子,和cos(α+2
3
π)进行比较.
(2)先对已知式子进行变形,得三角函数值的式子,再利用范围探求角的关系. 答案 (1)C (2)B
解析 (1)∵sin(α+π3)+sin α=-435,-π
2<α<0,
∴32sin α+32cos α=-43
5, ∴
32sin α+12cos α=-45
, ∴cos(α+2π3)=cos αcos 2π3-sin αsin 2π3
=-12cos α-32sin α=4
5
.
(2)由tan α=1+sin βcos β得sin αcos α=1+sin β
cos β,
即sin αcos β=cos α+cos αsin β, ∴sin(α-β)=cos α=sin(π
2-α).
∵α∈(0,π2),β∈(0,π
2
),
∴α-β∈(-π2,π2),π2-α∈(0,π
2),
∴由sin(α-β)=sin(π2-α),得α-β=π
2-α,
∴2α-β=π
2
.
思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,三角恒等变换公式的熟记和灵活应用,要善于观察各个角之间的联系,发现题目所给条件与恒等变换公式的联系,公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现张冠李戴的情况.(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解.
设函数f (x )=cos(2x +π
3
)+sin 2x .
(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值;
(2)若θ是第二象限角,且f (θ2)=0,求cos 2θ
1+cos 2θ-sin 2θ
的值.
解 (1)f (x )=cos(2x +π3)+sin 2x =cos 2x cos π3-sin 2x sin π3+1-cos 2x 2=12-3
2sin 2x .
所以f (x )的最小正周期为T =2π
2=π,最大值为1+32
. (2)因为f (θ
2
)=0,
所以12-32sin θ=0,即sin θ=33,
又θ是第二象限角, 所以cos θ=-1-sin 2θ=-
6
3
. 所以cos 2θ
1+cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θ2cos 2
θ-2sin θcos θ=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)2cos θ(cos θ-sin θ)=cos θ+sin θ2cos θ =-
63+3
32×(-63)
=6-326
=2-24.
热点二 解三角形
例2 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,满足a =2sin A ,cos B cos C +2a c +b
c =
0.
(1)求边c 的大小;
(2)求△ABC 面积的最大值.
思维启迪 (1)将cos B cos C +2a c +b
c =0中的边化成角,然后利用和差公式求cos C ,进而求c .(2)只
需求ab 的最大值,可利用cos C =a 2+b 2-c 2
2ab 和基本不等式求解.
解 (1)∵
cos B cos C +2a c +b
c
=0, ∴c cos B +2a cos C +b cos C =0,
∴sin C cos B +sin B cos C +2sin A cos C =0, ∴sin A +2sin A cos C =0, ∵sin A ≠0,
∴cos C =-1
2,∵C ∈(0,π)
∴C =2π3,∴c =a sin A
·sin C = 3.
(2)∵cos C =-12=a 2+b 2
-3
2ab
,
∴a 2+b 2+ab =3,∴3ab ≤3,即ab ≤1. ∴S △ABC =12ab sin C ≤3
4.
∴△ABC 的面积最大值为
3
4
. 思维升华 三角形问题的求解一般是从两个角度,即从“角”或从“边”进行转化突破,实现“边”或“角”的统一,问题便可突破. 几种常见变形:
(1)a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C ;
(2)a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ,其中R 为△ABC 外接圆的半径; (3)sin(A +B )=sin C ,cos(A +B )=-cos C .
(1)△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a sin A sin B +b cos 2A =2
a ,则b
a 等于( )
A. 2 B .2 2 C. 3
D .2 3
(2)(2014·江西)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2=(a -b )2+6,C =π
3,
则△ABC 的面积是( ) A .3 B.93
2
C.332
D .3 3
答案 (1)A (2)C
解析 (1)因为a sin A sin B +b cos 2A =2a ,由正弦定理得sin 2A sin B +sin B cos 2A =2sin A ,即sin B =2sin A , 即
sin B sin A =2,b a =sin B
sin A
= 2. (2)∵c 2=(a -b )2+6,∴c 2=a 2+b 2-2ab +6.① ∵C =π3,∴c 2=a 2+b 2-2ab cos π
3=a 2+b 2-ab .②
由①②得ab =6.
∴S △ABC =12ab sin C =12×6×32=332.
热点三 正、余弦定理的实际应用
例3 (2013·江苏)如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,
然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min 后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1 min 后,再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ,山路AC 长为1 260 m ,经测量cos A =12
13,
cos C =3
5
.
(1)求索道AB 的长;
(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? 思维启迪 (1)直接求sin B ,利用正弦定理求AB .(2)利用余弦定理和函数思想,将甲乙距离表示为乙出发后时间t 的函数.
解 (1)在△ABC 中,因为cos A =1213,cos C =3
5,
所以sin A =513,sin C =4
5
.
从而sin B =sin [π-(A +C )]=sin(A +C ) =sin A cos C +cos A sin C
=513×35+1213×45=6365.由正弦定理AB sin C =AC sin B ,得 AB =AC sin B ×sin C =1 2606365×45
=1 040(m).
所以索道AB 的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t 分钟后,甲、乙两游客距离为d ,此时,甲行走了(100+50t )m ,乙距离A 处130t m ,
所以由余弦定理得
d 2=(100+50t )2+(130t )2-2×130t ×(100+50t )×12
13
=200(37t 2-70t +50),由于0≤t ≤1 040
130,即0≤t ≤8,
故当t =35
37 min 时,甲、乙两游客距离最短.
(3)由正弦定理BC sin A =AC
sin B
,
得BC =AC sin B ×sin A =1 2606365
×5
13
=500(m).
乙从B 出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ,由题意得-3≤500v -71050≤3,解得1 25043≤v ≤625
14
,
所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ,乙步行的速度应控制在????
1 25043,62514(单位:m/min)范围内.
思维升华 求解三角形的实际问题,首先要准确理解题意,分清已知与所求,关注应用题中的有关专业名词、术语,如方位角、俯角等;其次根据题意画出其示意图,示意图起着关键的作用;再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型,从而正确求解,演算过程要简练,计算要准确;最后作答.
如图,中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业,中国海监船在A 地侦察发现,
在南偏东60°方向的B 地,有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶,企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民.此时,C 地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处,中国海监船以每小时30海里的速度赶往C 地救援我国渔民,能不能及时赶到?(2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45)
解 过点A 作AD ⊥BC ,交BC 的延长线于点D .
因为∠CAD =45°,AC =10海里, 所以△ACD 是等腰直角三角形. 所以AD =CD =
22AC =2
2
×10=52(海里). 在Rt △ABD 中,因为∠DAB =60°,
所以BD =AD ×tan 60°=52×3=56(海里). 所以BC =BD -CD =(56-52)(海里).
因为中国海监船以每小时30海里的速度航行,某国军舰正以每小时13海里的速度航行, 所以中国海监船到达C 点所用的时间t 1=AC 30=1030=1
3(小时),某国军舰到达C 点所用的时间t 2
=
BC 13=5×(6-2)13≈5×(2.45-1.41)13
=0.4(小时). 因为1
3
<0.4,所以中国海监船能及时赶到.
1.求解恒等变换问题的基本思路
一角二名三结构,即用化归转化思想“去异求同”的过程,具体分析如下:
(1)首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变换形式,角的变换是三角函数变换的核心.
(2)其次看函数名称之间的关系,通常“切化弦”. (3)再次观察代数式的结构特点. 2.解三角形的两个关键点
(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据,注意定理的灵活变形,如a =2R sin A ,sin A =
a
2R
(其中2R 为三角形外接圆的直径),a 2+b 2-c 2=2ab cos C 等,灵活根据条件求解三角形中的边与角.
(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用,如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A +B )=sin C ,sin A +B 2=cos C
2
等,利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等.
3.利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题,抽象出三角形模型.
真题感悟
1.(2013·浙江)已知α∈R ,sin α+2cos α=10
2
,则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C .-34 D .-43 答案 C
解析 ∵sin α+2cos α=
10
2
, ∴sin 2α+4sin α·cos α+4cos 2α=5
2.
用降幂公式化简得:4sin 2α=-3cos 2α, ∴tan 2α=sin 2αcos 2α=-3
4
.故选C.
2.(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A +2sin B =2sin C ,则cos C 的最小值是________. 答案
6-2
4
解析 由sin A +2sin B =2sin C ,结合正弦定理得a +2b =2c . 由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 2
2ab
=a 2
+b 2
-(a +2b )242ab =34a 2+12b 2-
2ab
2
2ab
≥2????34a 2????12b 2-2ab 2
2ab
=
6-2
4
, 故
6-2
4
≤cos C <1,且3a 2=2b 2时取“=”. 故cos C 的最小值为6-2
4
. 押题精练
1.在△ABC 中,已知tan A +B
2
=sin C ,给出以下四个结论: ①
tan A
tan B
=1;②1 A .①③ B .②③ C .①④ D .②④ 答案 D 解析 依题意,tan A +B 2=sin A + B 2cos A +B 2=2sin A +B 2cos A +B 22cos 2A +B 2 = sin (A +B )1+cos (A +B )=sin C 1+cos (A +B ) =sin C . ∵sin C ≠0,∴1+cos(A +B )=1,cos(A +B )=0. ∵0 2,即△ABC 是以角C 为直角的直角三角形. 对于①,由tan A tan B =1,得tan A =tan B ,即A =B ,不一定成立,故①不正确; 对于②,∵A +B =π2,∴sin A +sin B =sin A +cos A =2sin(A +π 4), ∴1 对于③,∵A +B =π 2,∴sin 2A +cos 2B =sin 2A +sin 2A =2sin 2A , 其值不确定,故③不正确; 对于④,∵A +B =π 2 ,∴cos 2A +cos 2B =cos 2A +sin 2A =1=sin 2C ,故④正确. 2.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,q =(2a,1),p =(2b -c ,cos C ),且q ∥p . (1)求sin A 的值; (2)求三角函数式-2cos 2C 1+tan C +1的取值范围. 解 (1)∵q =(2a,1),p =(2b -c ,cos C )且q ∥p ,∴2b -c =2a cos C , 由正弦定理得2sin A cos C =2sin B -sin C , 又sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C , ∴1 2 sin C =cos A sin C . ∵sin C ≠0,∴cos A =12,又∵0 3, ∴sin A = 3 2 . (2)原式=-2cos 2C 1+tan C +1=1-2(cos 2C -sin 2C ) 1+ sin C cos C =1-2cos 2C +2sin C cos C =sin 2C -cos 2C =2sin(2C -π 4 ), ∵0 12π, ∴- 22 4 )≤1, ∴-1<2sin(2C -π 4 )≤2, 即三角函数式-2cos 2C 1+tan C +1的取值范围为(-1,2]. (推荐时间:60分钟) 一、选择题 1.(2014·浙江)为了得到函数y =sin 3x +cos 3x 的图象,可以将函数y =2cos 3x 的图象( ) A .向右平移π 4个单位 B .向左平移π 4个单位 C .向右平移π 12个单位 D .向左平移π 12 个单位 答案 C 解析 因为y =sin 3x +cos 3x =2sin(3x +π 4) =2sin[3(x +π12)],又y =2cos 3x =2sin(3x +π 2 ) =2sin[3(x +π6)],所以应由y =2cos 3x 的图象向右平移π 12个单位得到. 2.已知α∈(π2,π),sin(α+π4)=3 5,则cos α等于( ) A .-210 B.7210 C .- 210或7210 D .-7210 答案 A 解析 ∵α∈(π2,α).∴α+π4∈(34π,5 4π). ∵sin(α+π4)=3 5, ∴cos(α+π4)=-4 5 , ∴cos α=cos(α+π4)cos π4+sin(α+π4)sin(π4)=-45×22+35×22=-2 10. 3.在△ABC 中,若sin C sin A =3,b 2-a 2=5 2ac ,则cos B 的值为( ) A.1 3 B.12 C.15 D.14 答案 D 解析 由正弦定理:c a =sin C sin A =3, 由余弦定理:cos B =a 2 +c 2 -b 2 2ac =c 2-52ac 2ac =12×c a -54=32-54=1 4 . 4.(2013·陕西)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos C +c cos B = a sin A ,则△ABC 的形状为( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .不确定 答案 B 解析 由b cos C +c cos B =a sin A ,得sin B cos C +sin C cos B =sin 2A ,即sin(B +C )=sin 2A ,所以sin A =1,由0 2 ,所以△ABC 为直角三角形. 5.已知tan β=43,sin(α+β)=5 13,其中α,β∈(0,π),则sin α的值为( ) A.63 65 B.3365 C.1365 D.6365或3365 答案 A 解析 依题意得sin β=45,cos β=35.注意到sin(α+β)=513 2(否则,若α+ β≤π2,则有0<β<α+β≤π 2,0 . 6.已知△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且tan B =2-3a 2-b 2+c 2,BC →·BA →=12,则 tan B 等于( ) A.3 2 B.3-1 C .2 D .2- 3 答案 D 解析 由题意得,BC →·BA →=|BC →|·|BA → |cos B =ac cos B =12,即cos B =12ac , 由余弦定理, 得cos B =a 2+c 2-b 22ac =1 2ac ?a 2+c 2-b 2=1, 所以tan B =2-3 a 2- b 2+ c 2=2-3,故选D. 二、填空题 7.已知tan ????α+π4=12,且-π 2<α<0,则2sin 2 α+sin 2αcos ????α-π4=________. 答案 -25 5 解析 由tan ????α+π4=tan α+11-tan α=12, 得tan α=-13. 又-π2<α<0,可得sin α=-10 10. 故2sin 2α+sin 2αcos ????α-π4=2sin α(sin α+cos α)22(sin α+cos α) =22sin α=-25 5 . 8.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,已知a 2-c 2=2b ,且sin A cos C =3cos A sin C ,则b =________. 答案 4 解析 由sin A cos C =3cos A sin C 得:a 2R ·a 2+b 2-c 2 2ab =3·b 2+c 2-a 22bc ·c 2R , ∴a 2 +b 2 -c 2 =3(b 2 +c 2 -a 2 ),a 2 -c 2 =b 2 2 , 解方程组:???? ? a 2-c 2 =2b a 2-c 2=b 22 ,∴b =4. 9.已知0<α<π2<β<π,cos(β-π4)=13,sin(α+β)=45,则cos(α+π 4)=________. 答案 82-315 解析 因为0<α<π 2<β<π, 所以π4<β-π4<3π4,π2<α+β<3π2. 所以sin(β-π 4 )>0,cos(α+β)<0. 因为cos(β-π4)=13,sin(α+β)=4 5, 所以sin(β-π4)=223,cos(α+β)=-3 5. 所以cos(α+π4)=cos[(α+β)-(β-π 4)] =cos(α+β)cos(β-π4)+sin(α+β)sin(β-π 4) =-35×13+45×223=82-3 15 . 10.如图,嵩山上原有一条笔直的山路BC ,现在又新架设了一条索道AC ,小李在山脚B 处看索道AC ,发现张角∠ABC =120°;从B 处攀登400米到达D 处,回头看索道AC ,发现张角∠ADC =150°;从D 处再攀登800米方到达C 处,则索道AC 的长为________米. 答案 40013 解析 如题图,在△ABD 中,BD =400米,∠ABD =120°.因为∠ADC =150°,所以∠ADB =30°.所以∠DAB =180°-120°-30°=30°. 由正弦定理,可得BD sin ∠DAB =AD sin ∠ABD . 所以400sin 30°=AD sin 120° ,得AD =4003(米). 在△ADC 中,DC =800米,∠ADC =150°,由余弦定理,可得 AC 2=AD 2+CD 2-2×AD ×CD ×cos ∠ADC =(4003)2+8002-2×4003×800×cos 150°=4002×13,解得AC =40013(米). 故索道AC 的长为40013米. 三、解答题 11.(2014·安徽)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且b =3,c =1,A =2B . (1)求a 的值; (2)求sin ??? ?A +π 4的值. 解 (1)因为A =2B ,所以sin A =sin 2B =2sin B cos B . 由正、余弦定理得a =2b ·a 2+c 2-b 2 2ac . 因为b =3,c =1,所以a 2=12,a =2 3. (2)由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =9+1-126=-1 3. 由于0 所以sin A =1-cos 2A = 1-19=223 . 故sin ????A +π4=sin A cos π4+cos A sin π4=223×22+????-13×22=4-2 6. 12.已知函数f (x )=4cos ωx ·sin(ωx -π6)+1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f (x )的单调递增区间; (2)求f (x )在[π8,3π 8]上的最大值和最小值. 解 (1)f (x )=4cos ωx ·sin(ωx -π 6)+1 =23sin ωx cos ωx -2cos 2ωx +1 =3sin 2ωx -cos 2ωx =2sin(2ωx -π 6). 最小正周期是2π 2ω=π,所以,ω=1, 从而f (x )=2sin(2x -π 6 ). 令-π2+2k π≤2x -π6≤π 2+2k π,k ∈Z . 解得-π6+k π≤x ≤π 3 +k π,k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为[-π6+k π,π 3+k π](k ∈Z ). (2)当x ∈[π8,3π8]时,2x -π6∈[π12,7π 12], f (x )=2sin(2x -π 6)∈[6-22 ,2], 所以f (x )在[π8,3π 8]上的最大值和最小值分别为2,6-22 . 13.已知角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角,若向量m =(1-cos(A +B ),cos A -B 2),n =(5 8,cos A -B 2), 且m ·n =9 8 . (1)求tan A tan B 的值; (2)求 ab sin C a 2 +b 2-c 2 的最大值. 解 (1)m ·n =58-5 8cos(A +B )+cos 2A -B 2 =98-18cos A cos B +98sin A sin B =9 8 , ∴cos A cos B =9sin A sin B 得tan A tan B =1 9 . (2)tan(A +B )=tan A +tan B 1-tan A tan B =98(tan A +tan B )≥98·2tan A tan B =3 4. (∵tan A tan B =1 9 >0, ∴A ,B 均是锐角,即其正切值均为正) ab sin C a 2 +b 2-c 2=sin C 2cos C =1 2 tan C =-12tan(A +B )≤-3 8, 所求最大值为-38 . 《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??= ?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断; 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形; 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数; 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式; 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式; 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、(浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文) 已知函数. (1).求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间; (2).当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】(1)π, (2) 【解析】 (1) ,π=T , 单调递增区间为; (2) ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、(河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文)试卷)已知 中,角 所对的边分别是 , 且,其中是的面积,. (1)求的值; (2)若,求的值. 【答案】 (1);(2). (2),所以,得①, 由(1)得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、(湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题)已知函数f(x)=sin(ωx+)- b(ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f(x)的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数. (1)求f(x)的解析式并写出单增区间; (2)当x∈,f(x)+m-2<0恒成立,求m取值范围. 【答案】 (1),单调递增区间为; (2). 1.(10分) 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡,坡面上是一块平地,如图所示,BC ∥AD ,斜坡AB=40米,坡角∠BAD=600 ,为防夏季因瀑雨引发山体滑坡,保障安全,学校决 定对山坡进行改造,经地质人员勘测,当坡角不超过450 时,可确保山体不滑坡,改造时保持坡脚A 不动,从坡顶B 沿BC 削进到E 处,问BE 至少是多少米(结果保留根号)? 2. 如图,山顶建有一座铁塔,塔高CD =20m ,某人在点A 处,测得塔底C 的仰角为45o ,塔顶D 的仰角为60o ,求山高BC (精确到1m ,参考数据:2 1.41,3 1.73≈≈) 3.(10分)如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水 坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈). D A B C E F G (22题图) 4.(8分)某市为缓解城市交通压力,决定修建人行天桥,原设计天桥的楼梯长AB=6m , ∠ABC=45o ,后考虑到安全因素,将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处,使0 30=∠ADC (如图所示). (1)求调整后楼梯AD 的长; (2)求BD 的长. (结果保留根号) 5.(8分)为促进我市经济快速发展,加快道路建设,某高速公路建设工程中,需修建隧道AB. 如图,在山外一点C 测得BC 距离为20m ,∠,540=CAB ∠,300=CBA 求隧道AB 的长.(参考 数据: ,73.13,38.154tan ,59.054cos ,81.054sin 000≈≈≈≈精确到个位) 6.(8分)(2013?恩施州)“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点.某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A 处测得“香顶”N 的仰角为45°,此时,他们刚好与“香底”D 在同一水平线上.然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110米,到达B 处,测得“香顶”N 的仰角为60°.根据以上条件求出“一炷香”的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到1米,参考数据:, ). 解三角形专题 1.在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若1,3 a b B π ===,则A = ( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 2 π 2.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,S 表示ABC ?的面积,若 () 2 2214 S b c a = +-,则A ∠=( ) A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 3.在ABC ?中,若sin 2sin cos A B C =,且 ()()3b c a b c a bc +-++=,则该三角形的形状是( ) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 在 中,内角为钝角, , , ,则 ( ) A. B. C. D. 5.在中,若,,则的周长为( )C A . B . C. D . 6. 在锐角中,角、、所对的边分别为,且、、成等差数列, 则面积的取值范围是 7.已知锐角的内角 的对边分别为 ,且 ,则 的最大值为 __________. 8.在中,角,,所对的边分别为,,,且,,则的最小值为 . 9.在 中,内角,,所对的边分别为,,,已知 . (1)求角的大小; (2)若的面积,为边的中点,,求. ABC △23 C π = 3AB =ABC △6sin 33A π?? + + ?? ?6sin 36A π??++ ???33A π??++ ???36A π? ?++ ?? ?ABC ?A B C ,,a b c A B C b =ABC ?ABC ?A B C a b c 2sin cos 2sin sin C B A B =+3c ab =ab 三角求值与解三角形专项训练 1三角公式运用 【通俗原理】 1?三角函数的定义:设 P(x,y),记 xOP R , r |0P| ~y", 则sin y ,cos r x , ,ta n r 弘0) 2 .基本公式: 2 2 sin c os 1,tan sin cos 3 ?诱导公式: 其中 由tan -及点(a,b)所在象限确定 a ② asin bcos a cos b sin . a 2 b 2 cos( 4 ?两角和差公 式: si n( ) sin cos cos sin , cos( ) cos cos msin sin , tan( ) tan tan 1 mtan gtan 5.二倍角公式: si n2 2si n cos , cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 1 tan 2 6 .辅助角公式:① asin bcos 、、a 2 b 2 sin( 其中由tan b及点(a , b)所在象限确定 a 【典型例题】 1.已知R,证明:sin(-) cos 4 ?求cos15o tan 15o的值. 、 3 5 ?证明:cos3 4cos 3cos 【跟踪练习】 1 ?已知sin( ) 3 ,求cos( )的值. 2 ?若(0,—), tan 2,求sin cos 的值. 2 3 ?已知sin()1 , sin() 2,求芽的值. 3 5 6 1 2?若sin2 2,求tan 的值. 三角求值与解三角形专项训练 2.解三角形 A, B, C 的对边分别为a,b,c ,①A B C ② cos2A cos2B A B . 7.解三角形的三种题型:①知三个条件 (知三个角除外),求其他(角、边、面积、周长等 ② 知两个条件,求某个特定元素或范围; ③ 知一边及其对角,求角、边、周长、面积的范围或最值 . 【典型例题】 1 .在△ ABC 中,若acosA bcosB ,试判断△ ABC 的形状. 2 a b 2 2 c 2bccosA 2 2 2 b 2 2 2 2accosB .变形: b c a a c cosA ,其他同理可得 2bc 2 c 2 a b 2 2abcosC 3 .余弦定理: 1 ?三角形边角关系:在 △ ABC 中, ②若a b c ,则a b c ;③等边对等角,大边对大角 2 .正弦定理: a b c sin A sinB sinC 变形:a 2RsinA , b 2Rsin B,c 2R ( R 是厶ABC 外接圆的半径). 2Rsi nC 1 4 .三角形面积公式: S A ABC absi nC 2 5.与三角形有关的三角方程:① si n2A bcsin A 2 acs in B . 2 sin2B A B 或 2A 2B ; 6 .与三角形有关的不等式:① a b si nA sin B cosA cosB . 第一章 解三角形 一、选择题 1.在A B C ?中,a =03,30;c C == (4) 则可求得角045A =的是( ) A .(1)、(2)、(4) B .(1)、(3)、(4) C .(2)、(3) D .(2)、(4) 2.在ABC ?中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( ) A .10=b , 45=A , 70=C B .60=a ,48=c , 60=B C .14=a ,16=b , 45=A D . 7=a ,5=b , 80=A 3.在ABC ?中,若, 45=C , 30=B ,则( ) A ; B C D 4.在△ABC ,则cos C 的值为( ) A. D. 5.如果满足 60=∠ABC ,12=AC ,k BC =的△ABC 恰有一个,那么k 的取值范围是( ) A B .120≤ 三、解答题 11. 已知在ABC ?中,cos A = ,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边. (Ⅰ)求tan 2A ; (Ⅱ)若sin()2 B π += ,c =求ABC ?的面积. 解: 12. 在△ABC 中,c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边,5 82 22bc b c a - =-,a =3, △ABC 的面积为6, D 为△ABC 内任一点,点D 到三边距离之和为d 。 ⑴求角A 的正弦值; ⑵求边b 、c ; ⑶求d 的取值范围 解: 解三角形专题题型归纳 《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??=?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 解三角形 一、选择题 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=60°,c=2,b=1,则a=( ) A.1 B.3 C.2 D.3 2.设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C所对的边,则直线l1:sin A·x+ay+c=0与l2:bx-sin B·y+sin C=0的位置关系是( ) A.平行B.重合 C.垂直D.相交但不垂直 3.在△ABC中,若2cos B sin A=sin C,则△ABC的形状一定是( ) A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形 4.在△ABC中,已知A∶B=1∶2,∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为3∶2的两部分,则cos A等于( ) A.1 3 B. 1 2 C.3 4D.0 5.在△ABC中,AC=7,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于( ) A. 3 2 B. 33 2 C.3+6 2 D. 3+39 4 6.已知锐角三角形三边长分别为3,4,a,则a的取值范围为( ) A.1(完整版)解三角形专题题型归纳
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