高中数学集合练习题及答案
集 合
1 集合与集合的表示方法
1．下列各组对象
①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体；
③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体； ⑤2的近似值的全体．
其中能构成集合的组数有( )
A ．2组
B ．3组
C ．4组
D ．5组
2．设集合M ＝{大于0小于1的有理数}，
N ＝{小于1050的正整数}，
P ＝{定圆C 的接三角形}，
Q ＝{所有能被7整除的数}，
其中无限集是( )
A ．M 、N 、P
B ．M 、P 、Q
C ．N 、P 、Q
D ．M 、N 、Q
3．下列命题中正确的是( )
A ．{x ｜x 2＋2＝0}在实数围无意义
B ．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合
C ．{4，5}与{5，4}表示相同的集合
D ．{4，5}与{5，4}表示不同的集合
4．直角坐标平面，集合M ＝{(x ，y )｜xy ≥0，x ∈R ，y ∈R }的元素所对应的点是
( )
A ．第一象限的点
B ．第三象限的点
C ．第一或第三象限的点
D ．非第二、第四象限的点
5．已知M ＝{m ｜m ＝2k ，k ∈Z }，X ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，Y ＝{y ｜y ＝4k ＋1，k ∈Z }，则( )
A ．x ＋y ∈M
B ．x ＋y ∈X
C ．x ＋y ∈Y
D ．x ＋y ?M
6．下列各选项中的M 与P 表示同一个集合的是( )
A ．M ＝{x ∈R ｜x 2＋0.01＝0}，P ＝{x ｜x 2＝0}
B ．M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2＋1，x ∈R }
C ．M ＝{y ｜y ＝t 2＋1，t ∈R }，P ＝{t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R }
D ．M ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z }，P ＝{x ｜x ＝4k ＋2，k ∈Z }
7．由实数x ，－x ，｜x ｜所组成的集合，其元素最多有______个．
8．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是______．
9．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______．
10．用符号∈或?填空：
①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ． ②2
1______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ． 11．若集合A ＝{x ｜x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝______，b ＝
______．
12．已知集合P ＝{0，1，2，3，4}，Q ＝{x ｜x ＝ab ，a ，b ∈P ，a ≠b }，用列举法表示集合Q ＝______．
13．用描述法表示下列各集合：
①{2，4，6，8，10，12}________________________________________________． ②{2，3，4}___________________________________________________________． ③}7
5,64,53,42,31{______________________________________________________．
14．已知集合A ＝{－2，－1，0，1}，集合B ＝{x ｜x ＝｜y ｜，y ∈A }，则B ＝______．
15．设A 表示集合{2，3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{a ＋3，2}，若已知5∈A ，且
5 B ，数a 的值．
16．已知集合A ＝{x ｜ax 2－3x ＋2＝0}，其中a 为常数，且a ∈R
①若A 是空集，求a 的围；
②若A 中只有一个元素，求a 的值；
③若A 中至多只有一个元素，求a 的围．
2 集合间的基本关系
1．集合{a ，b}的子集有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．下列各式中，正确的是( )
A ．23∈{x|x ≤3}
B ．23?{x|x ≤3}
C ．23?{x|x ≤3}
D ．{23}{x|x ≤3}
3．集合B ＝{a ，b ，c}，C ＝{a ，b ，d}，集合A 满足A ?B ，A ?C.则集合A 的个数是________．
4．已知集合A ＝{x|1≤x<4}，B ＝{x|x 5．集合A ＝{x|0≤x<3且x ∈Z }的真子集的个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 6．已知集合A ＝{x|－1 A ．A> B B ．A B C ．B A D ．A ?B 7．下列说法： ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若?A ，则A ≠?. 其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 8．已知?{x|x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值围是________． 9．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B ?A ，则实数m ＝________. 10．设集合A ＝{x ，y}，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，数x ，y. 11．若集合M ＝{x|x 2＋x －6＝0}，N ＝{x|(x －2)(x －a)＝0}，且N ?M ，数a 的值． 12．(10分)已知集合M ＝{x|x ＝m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x|x ＝n 2－13 ，n ∈Z }，P ＝{x|x ＝p 2＋16 ，p ∈Z }，请探求集合M 、N 、P 之间的关系． 3 集合的基本运算 1．设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合? U (A∩B)中的 元素共有( ) A．3个B．4个 C．5个D．6个 2．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和 N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是( ) 3．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合 A∩(? U B)等于________． 4．设集合A＝{x|－5≤x≤3}，B＝{x|x<－2或x>4}，求A∩B，(? R A)∪(?R B)． 5．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}， N＝{5,6,7}，则? U (M∪N)＝( ) A．{5,7} B．{2,4} C．{2,4,8} D．{1,3,5,6,7} 6．已知U＝{x|－1≤x≤3}，A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x2－2x－3＝0}，C＝{x|－1≤x＜3}，则下列关系正确的是( ) A．? U A＝B B．? U B＝C C．(? U B)?C D．A?C 7. 设U=Z，A={1,3,5,7,9}，B={1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是( ) A．{1,3,5} B．{1,2,3,4,5} C．{7,9} D．{2,4} 8．设全集U＝A∪B＝{x|1≤x<10，x∈N ＋}，若A∩(? U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝ 0,1,2,3,4}，则集合B＝________. 9．设全集为R ，A ＝{x|3≤x<7}，B ＝{x|2 10．集合A ＝{x|x ≤－2或x ≥3}，B ＝{x|a A ∪ B ＝R ，数a ，b. 集合习题答案 一、选择题 1．A 2．B 3．C 4．D 5．A 6．C 解析：在选项A 中，M ＝φ，P ＝{0}，是不同的集合； 在选项B 中，有M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2＋1≥1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2＋1≥1，y ∈R }，是不同的集合，在选项C 中，y ＝t 2＋1≥1，t ＝(y －1)2＋1≥1，则M ＝{y ｜y ≥1}，P ＝{t ｜t ≥1}，它们都是由不小于1的全体实数组成的数集，只是用不同的字母代表元素，因此，M 和P 是同一个集合，在选项D 中，M 是由…，0，2，4，6，8，10，…组成的集合，P 是由…，2，6，10，14，…组成的集合，因此，M 和P 是两个不同的集合．答案： C ． 二、填空题 7．2 8．x ≠3且x ≠0且x ≠－1 根据构成集合的元素的互异性，x 满足?? ???=/-=/-=/.2,32,322x x x x x x 解之得x ≠3且x ≠0且x ≠－1． 9．2或4 10．①∈，∈，∈，?，∈．②∈，?，∈，?． 11．m ＝3，n ＝2． 12．Q ＝{0，2，3，4，6，8，12} 13．①{x ｜x ＝2n ，n ∈N *且n ≤6}， ②{x ｜2≤x ≤4，x ∈N }，或{x ｜(x －2)(x －3)(x －4)＝0} ③}6,2 |{*<∈+=n n n n x x 且N 14．B ＝{0，1，2}解析：∵y ∈A ，∴y ＝－2，－1，0，1，∵x ＝｜y ｜，∴x ＝2，1，0，∴B ＝{0，1，2} 15．解：∵5 ∈A ，且5?B ． ∴? ??=/+=-+,53，5322a a a 即???=/=-=.2,24a a a 或 ∴a ＝－4 16．解：①∵A 是空集∴方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根 ∴???<-=?=/, 089,0a a 解得?>89a ②∵A 中只有一个元素， ∴方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实数根． 当a ＝0时，方程化为－3x ＋2＝0，只有一个实数根32= x ； 当a ≠0时，令?＝9－8a ＝0，得89= a ，这时一元二次方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实数根，即A 中只有一个元素． 由以上可知a ＝0，或8 9=a 时，A 中只有一个元素． ③若A 中至多只有一个元素，则包括两种情形，A 中有且仅有一个元素，A 是空集，由①、②的结果可得a ＝0，或89≥ a ． 1． 【解析】 集合{a ，b}的子集有?，{a}，{b}，{a ，b}共4个，故选D. 2．【解析】 23表示一个元素，{x|x ≤3}表示一个集合，但23不在集合中，故23?{x|x ≤3}，A 、C 不正确，又集合{23}?{x|x ≤3}，故D 不正确．【答案】 B 3．【解析】 若A ＝?，则满足A ?B ，A ?C ；若A ≠?，由A ?B ，A ?C 知A 是由属于B 且属于C 的元素构成，此时集合A 可能为{a}，{b}，{a ，b}．【答案】 4 4．【解析】 将数集A 表示在数轴上(如图所示)，要满足A ?B ，表示数a 的点必须在表示4的点 处或在表示4的点的右边，所以所求a 的集合为{a|a ≥4}． 5．【解析】 由题意知A ＝{0,1,2}，其真子集的个数为23－1＝7个，故选C. 6．【解析】 如图所示， ，由图可知，B A.故选C. 7． 【解析】 ①空集是它自身的子集；②当集合为空集时说法错误；③空集不是它自身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错，④正确．故选 B. 8．【解析】 ∵?{x|x 2－x ＋a ＝0}， ∴方程x 2－x ＋a ＝0有实根， ∴Δ＝(－1)2－4a ≥0，a ≤14 . 9．【解析】 ∵B ?A ，∴m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0∴m ＝1，当m ＝1时，A ＝{－1,3,1}，B ＝{3,1}满足B ?A.【答案】 1 10．【解析】 从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，必须注意集合中元素的 互异性．因为A ＝B ，则x ＝0或y ＝0. (1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去． (2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去． 综上知：x ＝1，y ＝0. 11．【解析】 由x 2＋x －6＝0，得x ＝2或x ＝－3. 因此，M ＝{2，－3}． 若a ＝2，则N ＝{2}，此时N M ； 若a ＝－3，则N ＝{2，－3}，此时N ＝M ； 若a ≠2且a ≠－3，则N ＝{2，a}， 此时N 不是M 的子集， 故所数a 的值为2或－3. 12． 【解析】 M ＝{x|x ＝m ＋16 ，m ∈Z } ＝{x|x ＝6m ＋16 ，m ∈Z }． N ＝{x|x ＝n 2－13 ，n ∈Z } ＝?????? ????x|x ＝3n －26，n ∈Z P ＝{x|x ＝p 2＋16 ，p ∈Z } ＝{x|x ＝3p ＋16 ，p ∈Z }． ∵3n －2＝3(n －1)＋1，n ∈Z . ∴3n －2,3p ＋1都是3的整数倍加1， 从而N ＝P. 而6m ＋1＝3×2m ＋1是3的偶数倍加1， ∴M N ＝P. 1．【解析】A ∩B ＝{4,7,9}，A ∪B ＝{3,4,5,7,8,9}，?U (A ∩B)＝{3,5,8}，故选A. 2．【解析】 ∵M ＝{－1,0,1}，N ＝{0，－1}，∴N M ，故选B. 3．【解析】 由图1易得?U B ＝{x|－1≤x ≤4}，则A ∩(?U B)＝{x|－1≤x ≤3}． 4．【解析】 A ∩B ＝{x|－5≤x ≤3}∩{x|x<－2或x>4}＝{x|－5≤x<－2}， ?R A ＝{x|x<－5或x>3}， ?R B ＝{x|－2≤x ≤4}． ∴(?R A)∪(?R B) ＝{x|x<－5或x>3}∪{x|－2≤x ≤4} ＝{x|x<－5或x ≥－2}． 5．【解析】 M ∪N ＝{1,3,5,6,7}，∴?U (M ∪N)＝{2,4,8}，故选C. 6．【解析】 B ＝{－1,3}，?U A ＝{－1,3}，∴?U A ＝B.【答案】 A 7.【解析】 由Venn 图可知阴影部分表示的集合为B ∩(?U A)＝{2,4}．【答案】D 8．【解析】 ∵x ∈N *，∴U ＝A ∪B ＝{1,2,3，…，9}．又∵A ∪B ＝U ，∴?U B ＝A ， ∴A ∩(?U B)＝?U B ＝{1,3,5,7,9}，∴B ＝{2,4,6,8}．【答案】 {2,4,6,8} 9．【解析】 把全集R 和集合A 、B 在数轴上表示如下： 由图知，A∪B={x|2 ∴?R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}． ∵?RA={x|x<3或x≥7}， ∴(?RA)∩B={x|2 10．集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|a 【解析】∵A∩B＝?，A∪B＝R. ∴A与B互为补集． A＝{x|－2 故B＝? R 又B＝{x|a