(完整)北师大版初中数学找规律题
归纳—猜想~~~找规律
给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题. 一、数字排列规律题
1、观察下列各算式： 1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24…按此规律
（1）试猜想：1+3+5+7+…+2005+2007的值？
（2）推广： 1+3+5+7+9+…+（2n-1)+（2n+1)的和是多少 ？
2、下面数列后两位应该填上什么数字呢？2 3 5 8 12 17 __ __
3、请填出下面横线上的数字。 1 1 2 3 5 8 ____ 21
4、有一串数，它的排列规律是1、2、3、2、3、4、3、4、
5、4、5、
6、……聪明的你猜猜第100个（ ） 5、有一串数字 3 6 10 15 21 ___ 第6个是什么数？
6、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是（ ）.
7、100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100个数
的前两个数依次为1，0，那么这100个数中“0”的个数为二、几何图形变化规律题
1、观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第
2、观察下列图形排列规律（其中△是三角形，□是正方形，○是圆）□┅┅，若第一个图形是正方形，则第2008个图形是三、数、式计算规律题 1、已知下列等式：
① 13＝12； ② 13＋23＝32； ③ 13＋23＋33＝62； ④ 13＋23＋33＋43＝102 ； 由此规律知，第⑤个等式是 ． 2、观察下面的几个算式：
1+2+1=4， 1+2+3+2+1=9， 1+2+3+4+3+2+1=16， 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，… 根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=____.
3、1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+()121
+=n n n ，其中ｎ是正整数.
现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…()1+n n ＝ ？
观察下面三个特殊的等式
()2103213121??-??=? ()3214323132??-??=? ()4325433
1
43??-??=?
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝205433
1
=???
读完这段材料，请你思考后回答：
⑴=?++?+?1011003221Λ ⑵()()=++++??+??21432321n n n Λ
……
⑶()()=++++??+??21432321n n n Λ 4、，
，，，已知：245
52455154415448338333223222222?=+?=+?=+?=+
=
+?=+b a a b
a b 则符合前面式子的规律，，若 (21010)
规律发现专题训练
1．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干个图案：第(4)个图案中有黑色地砖4块；
那么第(n )个图案中有白色．．地砖 块。
2.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”如图，
在一个边长为1的正方形纸版上，依次贴上面积为21，41，81，…，n 2
1
的矩形
彩色纸片（n 为大于1的整数）。请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规
律，计算n 2
1
814121++++Λ= 。
3.有一列数：第一个数为x 1=1，第二个数为x 2=3，第三个数开始依次记为x 3，x 4，…，x n ；从第二个数开始，每个数是它相邻两个数和的一半。（如：x 2=
2
3
1x x +） (1)求第三、第四、第五个数，并写出计算过程； (2)根据（1）的结果，推测x 8= ； (3)探索这一列数的规律，猜想第k 个数x k = .（k 是大于2的整数）
4.将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）. 继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到_ 条折痕 .如果对折n 次，可以得到 条折痕 .
5. 观察下面一列有规律的数 ΛΛ,48
6
,355,244,153,82,31， 根据这个规律可知第n 个数是 （n 是正整数） 6.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 。
7. 按照一定顺序排列的一列数叫数列,一般用a 1，a 2，a 3，…，a n 表示一个数列，可简记为{a n }.现有数
列{a n }满足一个关系式：a n +1=2
n a -na n +1,(n =1,2,3,…,n ),且a 1=2.根据已知条件计算a 2,a 3,a 4的值，然后进行归纳猜想a n =_________.（用含n 的代数式表示）
第3题
8.观察下面一列数：-1，2，-3，4，-5，6，-7，．．．，将这列数排成下列形式
按照上述规律排下去，那么第10行从左边第9个数是 .
9.观察下列等式9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 …………
这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n ≥1)表示自然数，用关于n 的等式表示这个规律为. 10．如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案， 图中阴影部分为红色。若每个小长方形的面积都1， 则红色的面积是 。
11．如下图，从A 地到C 地，可供选择的方案是 走水路、走陆路、走空中.从A 地到B 地有2条水
路、2条陆路，从B 地到C 地有3条陆路可供选择，走空中从A 地不经B 地直接到C 地.则从A 地到C 地可供选择的方案有( )
A ．20种
B ．8种
C ． 5种
D ．13种
12．某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为12，从第2排开始，每一排都比前一排增加a 个座位。（1）请你在下表的空格里填写一个适当的代数式： 第1排的座位数 第2排的座位数 第3排的座位数 第4排的座位数 … 第n 排的座位数 12
12＋a
…
（2）已知第15排座位数是第5排座位数的2倍，求a 的值，并计算第21排有多少座位？
13.探索：⑴一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成 部分，四条直线最多可以把平面分成 部分，试画图说明；⑵n 条直线最多可以把平面分成几部分？
14.先观察3
21
211?+
?＝)3121()2111(-+-＝1－31＝32 431321211?+
?+?＝)41
31()3121()2111(-+-+-＝1－41＝43 再计算
)
1(1
431321211+++?+?+?n n Λ的值． 15..观察下列顺序排列的等式：
9×0＋1＝1 9×1＋2＝11 9×2＋3＝21 9×4＋5＝41…，猜想：第21个等式应为： 16.我们把分子为1的分数叫做单位分数. 如21，31，4
1…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如2
1＝6
13
1+，3
1＝12141+
，41＝20
1
51+，… （1）根据对上述式子的观察，你会发现51
＝1
1+. 请写出□，○所表示的数；
（2）进一步思考，单位分数n
1（n 是不小于2的正整数）＝1
1+，请写出△，☆所表示的式。
￡¨μú9 ìaí?￡?
......16-1514-1312-1110-9
-76-54
-32-1
第8题 第17题
○ □
△
☆
11
10
9
128
7
6
5
43
2
1
O
F E
D
C
B
A
1
1
2
3
5...
17．你到过县城的拉面馆吗？拉面馆的师傅，能把一根很粗的面条，先两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根细面条，如下面草图所示。请问这样第__________次可拉出256根面条。
18．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个格内均有数目不等 的点图，每一行、每一列以及每条对角线上的三个点图的点数之和 均相等．如图，给出了“河图”的部分点图，请你推算出M 处所对应 的点图 A ．· B ．·· C ． D ．
19.计算20082007654321-++-+-+-Λ的结果是（ ）
A. -2008
B. -1004
C. -1
D. 0
20．观察右图并寻找规律，x 处填上的数字是
A ．－136
B ．－150
C ．－158
D ．－162 21．若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6， 4！=4×3×2×1，…，则
100!
98!
的值为 22．如图，平面内有公共端点的六条射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，从射线OA 开始按逆时针依次在射线上写出数字1、2、3、4、5、6、7…，则数字“2008”在（ ） A ．射线OA 上 B ．射线OB 上
C ．射线O
D 上 D ．射线OF 上
23．(1)左下图是有几个大小完全一样的小正方体搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数,请你画出该几何体的主视图和左视图.
(2) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.现以这组数中的各个数作为正方形的边长值构造如下正方形：
-26 -48 -14
-88 -8 -4 -2
-2
x
再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个…正方形拼成如下长方形并记为①、②、③、④、 …
相应长方形的周长如下表所示：
仔细观察图形，上表中的
=x ，=y . 若按此规律继续作长方形，则序号为⑧的长方形周长是 . 24．(本题满分10分)
如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中
的一个正方形剪成四个小正方形，如此继续下去，………，请你根据以上操作方法得到的正方形的个数的规律完成各题. (1)将下表填写完整；
(2) n a =（用含n 的代数式表示）．
(3)按照上述方法，能否得到2009个正方形?如果能，请求出n ；如果不能，请简述理由.
25.观察下列图形的构成规律，根据此规律，第8个图形中有 个圆．
26.观察下面图形，按规律在两个．．箭头所指的“田”字格内分别 画上适当图形
27、观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：1，43，95，16
7
……则第n 个数为 ；
序号 ① ② ③ ④
… 周长
6
10
x
y
…
11
2
3
15
1
1
2
11
3
2
1④
③
②
①…
第26题图
35791※※※※※※
※
※※※※
※※※※※※※
※※※※※※※
阅读规律题专题测试卷
一填空
1、.观察下列各数，按规律在横线上填上适当的数.
(1)1，1,2,3,5,_____,13,21,34,_____,_____.(2)1,－2,4,－8,16,_____,_____.
(3).观察下列数据，按某种规律在横线上填上适当的数：1，43-，9
5
，167-， ，…
(4)、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 ．
(5).观察下列各数之间的关系,在空中填上适当的数:1,1,2,3,5,8,______.
2、为庆祝“六g 一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ） A ．26n + B ．86n + C ．44n + D ．8n
3,广西河3、（2007池非课改）填在下面三个田字格内的数有相同
的规律，根据此规律，C = ． 4、观察下列等式，并回答问题：
23)31(6321?+==++ 24
)41(104321?+=
=+++
25
)51(1554321?+=
=++++ ……
=++++n Λ321 。 并求1000321++++Λ的结果。
5、观察下列算式：21＝2、22＝4、23＝8、24＝1
6、55＝32、26＝64、27＝128、28＝256……。观察后，用
你所发现的规律写出223的末位数字是 。
6．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：
1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52 （1）请猜想1+3+5+7+9+…+19= ；（只填数字，2分） （2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）= ；（只填乘方形式，3分） （3）请用上述规律．．．．．计算：103+105+107+…+2003+2005
7、观察下面的几个算式：
1+2+1=4， 1+2+3+2+1=9， 1+2+3+4+3+2+1=16， 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…
根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=____。
C
B
A 556
7
5320
5
31
8、观察下列算式：21＝2、22＝4、23＝8、24＝16、55＝32、26＝64、27＝128、28＝256……。观察后，用你所发现的规律写出223
的末位数字是 。 9、已知：
, ……，若
符合前面式子的规律， 则 a + b = ___ ____．
10,例 计算：10
91
431321211?+
+?+?+?Λ 解：10
91431321211?+
+?+?+?Λ =??? ??-++??? ??-+??? ??-+??? ??-10191413131212111Λ=10
910111=-. 观察上面的解题过程，请你用类似的方法计算：101
991
751531311?+
+?+?+?Λ.
1+2+1=4， 1+2+3+2+1=9， 1+2+3+4+3+2+1=16， 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，… 根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=____。
12.观察下面的一列数：
21，－61，121，－20
1
……请你找出其中排列的规律，并按此规律填空． （1）第9个数是________，第14个数是________．
（2）若n 是大于1的整数，按上面的排列规律，写出第n 个数．
13．按如图所示的方式搭正方形，则搭x 个正方形所需的火柴棒数是 根．
14、(9分)树的高度与树生长的年数有关，测得某棵树的有关数据如下表（树苗原高100厘米）
年数（n ） 高度a n （单位：厘米） 1 100＋5 2 100＋10 3 100＋15 4 100＋20 … ……
a n 。(2)生长了11年的树的高度是多少？
15.已知任意三角形的内角和为180°,试利用多边形中过某一点的对角线条数，寻求多边形内角和的公式。
……
内角和180° 180°×2 180°×3 180°×4 n 边形
根据上图所示，一个四边形可以分成____个三角形；于是四边形的内角和为______度：一个五边形可以分成______个三角形，于是五边形的内角和为______度，……，按此规律，n 边形可以分成_______个三角形,于是n 边形的内角和为________________度
1
1
2
3
5
...
16、合情推理题：
观察右面的图形（每个正方形的边长均为１）和相应的等式，探究其中的规律：
①11
1122
?=-
②22
2233
?=-
③33
3344
?=-
④44
4455
?=-
L L L L
(1)写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；
(2)猜想并写出与第n 个图形相对应的等式．
17、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，
其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下正方形：
再分别依次从左到右取2个、3个、
4个、5个,正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表所示：若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿＿＿＿＿。
18,请你观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a 、b 、c 的值分 别为 （ ）
序号 ① ② ③ ④ 周长 6 10
16 26
A ．20、29、30
B ．18、30、26
C ．18、20、26
D ．18、30、28 19、根据下列图形的排列规律，第2008个图形
是 (填序号即可). (① ；②
；③ ；④ .) ……
表二
表三 表四
参考答案（一）:
一、1、（1）21004（2）2
1n ）（+
2、23 30。数列中每两个相邻数字间的差分别是1，2，3，4，5，6，7。
3、13。这一数列后面一个数是前面相邻两个数的和。
4、34 。考虑时，可以从第一个数开始，每3个数加一个括号（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），……一共加了33个括号，剩下的一个必是第100个。每个括号的第一个数分别是1，2，3，……因此第100个数必然是34。
5、28。3+3=6 6+4=10 10+5=15 15+6=21 21+7=28, 所以第6个是28。其实一般这类的规律题无非就是在数的基础上加减乘除，有些麻烦点的就是一个数乘上倍数后在加1或减1。
6、A
7、33 二、 1、602 2、圆
三、1、2333331554321=++++ 2、10000
3、 ⑴343400 或1021011003
1??? ⑵()()2131++n n n ⑶()()()32141
+++n n n n
4、109.
规律发现专题训练答案
1.4n+2
2.1
3.(1)5;7;9 (2)15 (3)2n-1
4.15;?
5.n/n(n+2)
6.45
7.n+1
8.90
9.? 10.5 11.D 12.(1)12+2a;12+3a;12+a(n-1)(2)a=2;54 13.7;11;n/(n+1)+1 14.n/(n+1)
15.9×20+21=201
16.(1)6;30(2)n+1;n(n+1)
17.8 18.C 19.B 20.D 21.9900 22.C 23.（2）16；26；178
24(1)13;16;(2)3n+1;(3)不能，3n+1=2009 3n=2008 因为2008不是3的倍数。 25.n ×n 26.？ 27.(2n-1)/n ×n