2017_2018学年高中数学课时跟踪检测二十四两角和与差的正弦新人教B版必修4
课时跟踪检测（二十四） 两角和与差的正弦
层级一 学业水平达标 1．(全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160° sin 10°＝( )
A ．－32 B. 32
C ．－12 D. 12 解析：选
D 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12
. 2.sin α＋30°－sin α－30°cos α
的值为( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4 解析：选A 原式＝
sin α cos 30°＋cos αsin 30°－sin αcos 30°＋cos αsin 30°cos α
＝2cos αsin 30°cos α
＝2sin 30°＝1. 3．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ?
????α＋π4＝( ) A ．－7210
B. 7210 C ．－210 D. 210
解析：选A 因为cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－35
，由两角和的正弦公式可得sin ? ????α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝? ????－35×22＋? ????－45×22＝－7210
. 4．已知sin ? ????π6＋α＝14
，则cos α＋3sin α的值为( ) A ．－14
B. 12 C ．2 D ．－1
解析：选B cos α＋3sin α＝2? ??
??12cos α＋32sin α＝2sin ? ????π6＋α＝2×14＝12. 5．函数y ＝sin ? ????2x ＋π4＋sin ?
????2x －π4的最小值为( ) A. 2
B ．－2
C ．－ 2 D. 3
解析：选C 因为y ＝sin ? ????2x ＋π4＋sin ?
????2x －π4＝sin 2x cos π4＋cos 2x sin π4＋sin 2x cos π4－cos 2x sin π4
＝2sin 2x ，所以所求函数的最小值为－ 2. 6．化简sin 50°cos 38°＋cos 50°cos 128°的结果为________．
解析：sin 50°cos 38°＋cos 50°cos 128°＝sin 50°cos 38°＋cos 50°(－sin 38°)＝sin 50°cos 38°－cos 50°sin 38°＝sin(50°－38°)＝sin 12°.
答案：sin 12°
7．已知π4<β<π2，sin β＝223，则sin ?
????β＋π3＝________. 解析：∵π4<β<π2，sin β＝223
， ∴cos β＝13，∴sin ?
????β＋π3＝sin β·cos π3＋cos β·sin π3＝223×12＋13×32＝23＋36＝22＋36
. 答案：22＋36
8．已知cos ? ????α＋π3＝sin ?
????α－π3，则tan α＝________. 解析：cos ? ????α＋π3＝cos αcos π3－sin αsin π3＝12cos α－32sin α，sin ?
????α－π3＝sin αcos π3－cos αsin π3＝12sin α－32cos α，∴? ????12＋32sin α＝? ??
??12＋32cos α，故tan α＝1.
答案：1
9．已知cos α＝45(α为第一象限角)，求cos ? ????π6＋α，sin ? ??
??π3－α的值．
解：∵cos α＝45，且α为第一象限角， ∴sin α＝1－cos 2 α＝ 1－? ????452＝35. ∴cos ? ????π6＋α＝cos π6cos α－sin π6sin α ＝32×45－12×35＝43－310
. 同理可求sin ? ??
??π3－α＝43－310. 10．化简下列各式：
(1)sin ? ????x ＋π3＋2sin ? ????x －π3－3cos ? ??
??2π3－x ； (2)sin 2α＋βsin α
－2cos(α＋β)． 解：(1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3
－3cos 2π3·cos x －3sin 2π3
sin x ＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32
sin x ＝? ????12＋1－32sin x ＋? ????32
－3＋32cos x ＝0.
(2)原式＝sin[α＋β＋α]－2cos α＋βsin αsin α
＝
sin α＋βcos α－cos α＋βsin αsin α ＝
sin[α＋β－α]sin α ＝sin βsin α
. 层级二 应试能力达标
1．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝( )
A ．±1
B ．1
C ．－1
D ．0
解析：选D 原式＝sin[60°＋(θ＋15°)]＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝－32cos(θ＋15°)＋12
sin(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)＝sin(θ－45°)＋cos(θ＋45°)＝0，故选D.
2．在△ABC 中，如果sin A ＝2sin C cos B ，那么这个三角形是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
解析：选C ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝π－(B ＋C )．
由已知可得 sin(B ＋C )＝2sin C cos B
?sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin C cos B
?sin B cos C －cos B sin C ＝0?sin(B －C )＝0.
∵0
∴B ＝C .故△ABC 为等腰三角形．
3．函数f (x )＝sin x ＋sin ?
????2π3－x 图象的一条对称轴为( ) A ．直线x ＝π2
B ．直线x ＝π
C ．直线x ＝π6
D ．直线x ＝π3
解析：选D f (x )＝sin x ＋sin 2π3·cos x －cos 2π3·sin x ＝32sin x ＋32
cos x ＝3sin ?
????x ＋π6，其图象的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，令k ＝0，得x ＝π3. 4．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,3cos A ＋4sin B ＝1，则C 的大小为( ) A. π6
B. 5π6
C. π6或5π6
D. π3或2π3
解析：选A 由已知可得(3sin A ＋4cos B )2＋(3cos A ＋4sin B )2＝62＋12，即9＋16＋
24sin(A ＋B )＝37.
所以sin(A ＋B )＝12
.
所以在△ABC 中sin C ＝12，所以C ＝π6或C ＝5π6
. 又1－3cos A ＝4sin B >0，所以cos A <13
. 又13<12，所以A >π3，所以C <2π3
， 所以C ＝5π6不符合题意，所以C ＝π6
. 5．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ?
????β＋5π4＝________.
解析：sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α
＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α
＝sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35
， 即sin β＝－35，又β是第三象限角，∴cos β＝－45
， ∴sin ? ????β＋5π4＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝? ????－35×? ????－22＋? ????－45×? ??
??－22＝7210
. 答案：7210
6．设α为锐角，若cos ? ????α＋π6＝35，则sin ?
????α－π12＝________. 解析：因为α为锐角，所以π6<α＋π6<2π3
. 又 cos ? ????α＋π6＝35，所以sin ?
????α＋π6＝45. 所以sin ? ????α－π12＝sin ???????
????α＋π6－π4 ＝sin ? ????α＋π6cos π4－cos ?
????α＋π6sin π4 ＝45×22－35×22＝210
.
答案：210 7．已知α，β均为锐角，且sin α＝
55，cos β＝1010，求α－β的值． 解：∵α，β均为锐角，且sin α＝
55，cos β＝1010， ∴cos α＝255，sin β＝31010. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22
. 又∵α，β均为锐角，∴－
π2<α－β<π2.故α－β＝－π4.
8．已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos ? ????π4＋α＝－35，sin ? ????3π4＋β＝513
，求sin(α＋β)的值．
解：∵π4＜α＜3π4
， ∴π2＜π4
＋α＜π， ∴sin ? ????π4＋α＝ 1－cos 2? ??
??π4＋α＝45. ∵0＜β＜π4，∴3π4＜3π4
＋β＜π， ∴cos ? ????3π4＋β＝－ 1－sin 2? ??
??3π4＋β ＝－1213
， ∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin ????
??? ????π4＋α＋? ????3π4＋β ＝－????
??sin ? ????π4＋αcos ? ????3π4＋β＋cos ? ????π4＋αsin ? ????3π4＋β
＝－??????45×? ????－1213＋? ????－35×513＝6365
.